2018年全国高考文科数学2卷---精美解析版

2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）文科数学 2018.7.1本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．=+i)32(i （ ）A ．2i 3-B ．2i 3+C ．2i 3--D ．2i 3+- 1．【解析】i 233i 2i)32(i +-=-=+，故选D ．2．已知集合}7,5,3,1{=A ，}5,4,3,2{=B ，则=B A I （ ）A ．}3{B ．}5{C ．}5,3{D ．}7,5,4,3,2,1{ 2．【解析】}5,3{=B A I ，故选C ．3．函数2)(x e e x f xx --=的图像大致为（ ）ABC D3)x ，即)(x f 为奇函数，排除A ；由01)1(>-=e e f 排除D ；由)1(1)1)4(f e e e e f =->-=排除C ，故选B ．4．已知向量,1=，1-=⋅，则=-⋅)2(（ ）A ．4B ．3C ．2D ．0 4．【解析】3122)2(2=+=⋅-=-⋅b a a b a a ，故选B ．5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）A ．6.0B ．5.0C ．4.0D ．3.05．【解析】记2名男同学为b a ,和3名女同学为C B A ,,，从中任选2人：,,,,,,,,AB bC bB bA aC aB aA abBC AC ,，共10种情况．选中的2人都是女同学为：BC AC AB ,,，共3种情况，则选中的2人都是女同学的概率为3.0，故选D ．6．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 3±=C ．x y 22±= D ．x y 23±= 6．【解析】离心率3322222=+=⇒==a b a a c a c e ，所以2=ab，渐近线方程为x y 2±=，故选A ． 7．在ABC ∆中，552cos=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB （ ） A ．24 B ．30 C ．29 D ．52 7．【解析】5312cos 2cos 2-=-=C C ， 由余弦定理得24cos 222=⋅⋅-+=C AC BC AC BC AB故选A ． 8．为计算10019914131211-++-+-=ΛS ，设计了右侧的 程序框图，则在空白框中应填入（ ）A ．1+=i iB ．2+=i iC ．3+=i iD ．4+=i i8．【解析】依题意可知空白框中应填入2+=i i ．第1次循环：3,21,1===i T N ；第2次循环：5,4121,311=+=+=i T N ；Λ；第50次循环：101,10014121,991311=+++=+++=i T N ΛΛ，结束循环得10019914131211-++-+-=ΛS ，所以选B ．9．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A ．22 B ．23 C ．25 D ．279．【解析】如图所示，因为AB CD //，所以异面直线AE 与CD 所成角即AE 与AB 所成角，其大小等于EAB ∠， 令正方体的棱长为2，则2=AB ，5=EB ，所以25tan ==∠AB EB EAB ，故选C ． 10．若x x x f sin cos )(-=在],0[a 上是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．4π B ．2πC ．43πD ．π10．【解析】因为)4cos(2sin cos )(π+=-=x x x x f 在区间]43,4[ππ-上是减函数，所以a 的最大值是43π，故选C ．11．已知21,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若21PF PF ⊥，且ο6012=∠F PF ，则C 的离心率为（ ）A ．231-B ．32-C ．213- D ．13- 11．【解析】不妨令椭圆C 的两个焦点在x 轴上，如图所示．因为21PF PF ⊥，且ο6012=∠F PF ，所以c P F =2，c P F 31=．由a c P F P F 2)31(21=+=+，所以离心率13312-=+==a c e ，故选D ．12．已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-．若2)1(=f ，则=++++)50()3()2()1(f f f f Λ（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．5012．【解析】因为)()(x f x f -=-，所以)1()1(--=-x f x f ，则)1()1(--=+x f x f ，)(x f 的最小正周期为4=T ．又2)1(=f ，0)0()2(=-=f f ，2)1()3(-=-=f f ，0)0()4(==f f ，所以2)2()1()50()49()]4()3()2()1([12)50()3()2()1(=+=+++++=++++f f f f f f f f f f f f Λ，选C ．D 1AB CDA 1C 1 B 1 E二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线x y ln 2=在点)0,1(处的切线方程为 ． 13．【解析】2|21='⇒='=x y xy ，则曲线x y ln 2=在点)0,1(处的切线方程为22-=x y ． 14．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+05032052x y x y x ，则y x z +=的最大值为 ．14．【解析】可行域为ABC ∆及其内部，当直线z x y +-=经过点)4,5(B 时，9max =z ．15．已知51)45tan(=-πα，则=αtan ． 15．【解析】因为51tan 11tan )4tan()45tan(=+-=-=-ααπαπα，所以23tan =α． 16已知圆锥的顶点为S ，母线SB SA ,互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为ο30，若SAB ∆的面积为8，则该圆锥的体积为 ．16．【解析】如图所示，因为821212==⋅=∆SA SB SA S SAB ，所以4=SA ． 又SA 与圆锥底面所成角为ο30，即ο30=∠SAO ， 则底面圆的半径32=OA ，2=SO ，圆锥的体积为ππ821231=⨯⨯=V ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71-=a ，153-=S ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．17．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由71-=a ，153313-=+=d a S 得2=d ，ASBO所以922)1(7-=⨯-+-=n n a n ，即{}n a 的通项公式为92-=n a n ； （2）由（1）知n n n n S n 82)927(2-=-+-=，因为16)4(2--=n S n ，所以4=n 时，n S 的最小值为16-．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为17,,2,1Λ）建立模型①：t y 5.134.30ˆ+-=；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为7,,2,1Λ）建立模型②：t y5.1799ˆ+=． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．18．【解析】（1）将19=t 代入模型①：1.226195.134.30ˆ=⨯+-=y（亿元）， 所以根据模型①得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为1.226亿元；将9=t 代入模型②：5.25695.1799ˆ=⨯+=y（亿元）， 所以根据模型②得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为5.256亿元． （2）模型②得到的预测值更可靠．理由如下：答案一：从折现图可以看出，2010年至2016年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线t y5.134.30ˆ+-=的上下，2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加，这说明模型①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长．而2010年至2016年的数据对应的点紧密的分布在回归直线t y 5.1799ˆ+=的附近，这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长，所以模型②得到的预测值更可靠．年份答案二：从计算结果来看，相对于2016年的环境基础设施投资额为220亿元，利用模型①得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为1.226亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为5.256亿元的增幅明显更合理，所以模型②得到的预测值更可靠．19．（12分）如图，在三棱锥ABC P -中，22==BC AB ，4====AC PC PB PA ，O 为AC 的中点． （1）证明：⊥PO 平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MB MC 2=，求点C 到平面POM 的距离． 19．【解析】（1）证明：连接OB ，PC PA =Θ，O 为AC 的中点，AC PO ⊥∴，4,22===AC BC AB Θ，222AC BC AB =+∴，即BC AB ⊥，221==∴AC OB ， 又4,32==PB PO ，则222PB PO OB =+，即OB OP ⊥，O OB AC =I Θ，∴⊥PO 平面ABC ；（2）点C 到平面POM 的距离为d ，93832491313131=⨯⨯=⋅⨯=⋅=∆∆-PO S PO S V ABC OMC OMC P ， 由余弦定理得OCM CM OC CM OC OM ∠⋅⋅-+=cos 222， 则3523169324=-+=OM ， 由（1）知⊥PO 平面ABC ，得OM PO ⊥， 则315221=⨯⨯=∆OM PO S POM ， 又POM C OMC P V V --=， 则55431938=⇒⋅=∆d d S POM ， 所以点C 到平面POM 的距离为554．20．（12分）设抛物线x y C 4:2=的交点为F ，过F 且斜率为)0(>k k 的直线l 与C 交于B A ,两点，8=AB ． （1）求l 的方程；（2）求过点B A ,且与C 的准线相切的圆的方程．ABCMOPACMOP20．【解析】（1）焦点F 为)0,1(，则直线)1(:-=x k y l ，联立方程组⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)1(2，得0)42(2222=++-k x k x k ，令),(),,(2211y x B y x A ，则222142kk x x +=+，121=x x ． 根据抛物线的定义得8221=++=x x AB ，即64222=+kk ，解得1=k （舍去1-=k ）， 所以l 的方程为1-=x y ；（2）设弦AB 的中点为M ，由（1）知3221=+x x ，所以M 的坐标为)2,3(， 则弦AB 的垂直平分线为5+-=x y ，令所求圆的圆心为)5,(m m -，半径为r ，根据垂径定理得341222152222+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m m m AB r ， 由圆与准线相切得3412212+-=+m m m ，解得3=m 或11=m ．则所求圆的方程为：16)2()3(22=-+-y x 或144)6()11(22=++-y x ．21．（12分）已知函数)1(31)(23++-=x x a x x f ． （1）若3=a ，求)(x f 的单调区间； （2）证明：)(x f 只有一个零点． 21．【解析】（1）3=a 时，)1(331)(23++-=x x x x f ，则36)(2--='x x x f ， 由036)(2>--='x x x f 得),323()323,(+∞+--∞∈Y x ； 由036)(2<--='x x x f 得)323,323(+-∈x ，所以3=a 时，)(x f 的单调增区间为),323(),323,(+∞+--∞，减区间为)323,323(+-．（2）因为012>++x x 恒成立，所以要证明)(x f 只有一个零点等价于证明方程a x x x =++)1(323， 即证明直线a y =与曲线)1(3)(23++=x x x x g 只有一个交点． []0)1(32)1()1(3)32()1(9)12(3)1(9)(2222222222322>++++=++++=+++-++='x x x x x x x x x x x x x x x x x g所以)(x g 在R 上为单调递增的函数，所以直线a y =与曲线)(x g y =只有一个交点，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为θθθ( sin 4cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数)，直线l 的参数方程为t t y t x ( sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+=αα为参数) （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为)2,1(，求l 的斜率．22．【解析】（1）消去参数θ，得C 的直角坐标方程为116422=+y x ； 消去参数t ，得l 的直角坐标方程为0cos 2sin cos sin =+-⋅-⋅ααααy x ； （l 的直角坐标方程也可写成：)2(2)1(tan παα≠+-=x y 或1=x ．）（2）方法1：将l 的参数方程：t t y t x ( sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+=αα为参数)代入1164:22=+y x C 得： ()()16sin 2cos 1422=+++ααt t ，即()()08sin cos 24cos 3122=-+++t t ααα，由韦达定理得()ααα221cos 31sin cos 24++-=+t t ， 依题意，曲线C 截直线l 所得线段的中点对应0221=+t t ，即0sin cos 2=+αα，得2tan -=α． 因此l 的斜率为2-．方法2：令曲线C 与直线l 的交点为),(),,(2211y x B y x A ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1164116422222121y x y x 得()()()()016421212121=+-++-y y y y x x x x ，其中4,22121=+=+y y x x ． 所以204221212121-=--⇒=-+-x x y y y y x x ，即l 的斜率为2-．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数25)(--+-=x a x x f ．（1）当1=a 时，求不等式0)(≥x f 的解集； （2）若1)(≤x f ，求a 的取值范围．23．【解析】（1）1=a 时，215)(--+-=x x x f ，1-≤x 时，042215)(≥+=-+++=x x x x f ，解得12-≤≤-x ； 21<<-x 时，02215)(≥=-+--=x x x f ，解得21<<-x ； 2≥x 时，062215)(≥+-=+---=x x x x f ，解得32≤≤x ，综上所述，当1=a 时，不等式0)(≥x f 的解集为]3,2[-． （2）125)(≤--+-=x a x x f ，即42≥-++x a x ， 又222+=+-+≥-++a x a x x a x ， 所以42≥+a ，等价于42≥+a 或42-≤+a ， 解得a 的取值范围为2|{≥a a 或}6-≤a ．。