2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设z=1-i

1+i

+2i，则|z|=

A．0 B．1

2

C．1 D． 2

解析：选C z=1-i

1+i

+2i=-i+2i=i

2．已知集合A={x|x2-x-2>0}，则∁R A =

A．{x|-12} D．{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

解析：选B A={x|x<-1或x>2}

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析：选A

4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=

A．-12 B．-10 C．10

D．12

解析：选∵3(3a1+3d)=(2a1+d )+(4a1+6d) a1=2 ∴d=-3 a5=-10

5．设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为

A．y=-2x B．y=-x C．y=2x

D．y=x

解析：选D ∵f(x)为奇函数∴a=1 ∴f(x)=x3+x f′(x)=3x2+1 f′(0)=1 故选D

6．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=

A ．34A

B → - 14A

C →

B ． 14AB → - 3

4

AC →

C ．34AB → + 1

4

AC →

D ． 14AB → +

3

4

AC →

解析：选A 结合图形，EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 1

4

AC →

7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表

面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为

A ．217

B ．2 5

C ．3

D ．2

解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长

8．设抛物线C ：y 2

=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →=

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

解析：选D F(1,0)，MN 方程为y=23 (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则FM →=(0,2),FN →=(3,4) ∴FM →·FN →=8

9．已知函数f(x)= ⎩⎪⎨

⎪⎧

ex ， x≤0lnx ，x>0

，g(x)=f(x)+x+a ．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是

A ．[–1，0）

B ．[0，+∞）

C ．[–1，+∞）

D ．[1，+∞）

解析：选C g(x)=0即f(x)=-x-a ，即y=f(x)图象与直线y=-x-a 有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a<1 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p1，p2，p3，则

A ．p1=p2

B ．p1=p3

C ．p2=p3

D ．p1=p2+p3

解析：选A ∵AC=3，AB=4，∴BC=5，∴12AC=32，12AB=2 , 12BC=5

2

∴以AC 和AB 为直径的两个半圆面积之和为12×π×(32)2+12×π×22=25

8

π

∴以BC 为直径的半圆面积与三角形ABC 的面积之差为12×π×(52)2- 12×3×4=25

8π-6；

∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于258π-(25

8π-6)=6=ΔABC 面积

∴p1=p2

11．已知双曲线C ：x23 - y 2

=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别

为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|= A ．32

B ．3

C ．2 3

D ．4

解析：选B 依题F(2,0),曲线C 的渐近线为y=±3

3

x,MN 的斜率为3，方程为y=3(x-2),联立方程组解得M(32,- 3

2

),N(3, 3),∴|MN|=3

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．33

4

B ．

23

3

C ．

32

4

D ．

32

解析：选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大

此时正六边形的边长为

22，其面积为6×34×(22)2=334

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x-2y-2≤0

x-y +1≥0 y≤0

，则z=3z+2y 的最大值为_____________．

解析：答案为6

14．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =2a n +1，则S 6=_____________．

解析：a 1=-1，n ≥2时，a n =S n -S n-1=2a n-1，a n =-2n-1

，S 6=2a 6+1=-64+1=-63

15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

解析：合条件的选法有C 63-C 43

=16

16．已知函数f(x)=2sinx+sin2x ，则f(x)的最小值是_____________．

解析：由题意可得T=2π是f （x ）=2sinx+sin2x 的一个周期，故只需考虑f （x ）=2sinx+sin2x 在[0，2π）上的最小值。

∵ f ′（x ）=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cos 2

x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)， 令f ′（x ）=0可解得cosx=12或cosx=-1， 可得此时x=π3，π或5π

3

；

∴y=2sinx+sin2x 的最大值和最小值只能在点x=π3，π或5π

3

和边界点x=0中取到，