2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设z=1-i1+i+2i，则|z|=A．0 B．12C．1 D． 2解析：选C z=1-i1+i+2i=-i+2i=i2．已知集合A={x|x2-x-2>0}，则∁R A =A．{x|-1<x<2} B．{x|-1≤x≤2} C．{x|x<-1}∪{x|x>2} D．{x|x≤-1}∪{x|x≥2}解析：选B A={x|x<-1或x>2}3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A．-12 B．-10 C．10D．12解析：选∵3(3a1+3d)=(2a1+d )+(4a1+6d) a1=2 ∴d=-3 a5=-105．设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A．y=-2x B．y=-x C．y=2xD．y=x解析：选D ∵f(x)为奇函数∴a=1 ∴f(x)=x3+x f′(x)=3x2+1 f′(0)=1 故选D6．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=A ．34AB → - 14AC →B ． 14AB → - 34AC →C ．34AB → + 14AC →D ． 14AB → +34AC →解析：选A 结合图形，EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14AC →7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．2 5C ．3D ．2解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →=A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D F(1,0)，MN 方程为y=23 (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则FM →=(0,2),FN →=(3,4) ∴FM →·FN →=89．已知函数f(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧ex ， x≤0lnx ，x>0，g(x)=f(x)+x+a ．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）解析：选C g(x)=0即f(x)=-x-a ，即y=f(x)图象与直线y=-x-a 有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a<1 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p1，p2，p3，则A ．p1=p2B ．p1=p3C ．p2=p3D ．p1=p2+p3解析：选A ∵AC=3，AB=4，∴BC=5，∴12AC=32，12AB=2 , 12BC=52∴以AC 和AB 为直径的两个半圆面积之和为12×π×(32)2+12×π×22=258π∴以BC 为直径的半圆面积与三角形ABC 的面积之差为12×π×(52)2- 12×3×4=258π-6；∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于258π-(258π-6)=6=ΔABC 面积∴p1=p211．已知双曲线C ：x23 - y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形，则|MN|= A ．32B ．3C ．2 3D ．4解析：选B 依题F(2,0),曲线C 的渐近线为y=±33x,MN 的斜率为3，方程为y=3(x-2),联立方程组解得M(32,- 32),N(3, 3),∴|MN|=312．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．334B ．233C ．324D ．32解析：选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。

当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大此时正六边形的边长为22，其面积为6×34×(22)2=334二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x-2y-2≤0x-y +1≥0 y≤0，则z=3z+2y 的最大值为_____________．解析：答案为614．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =2a n +1，则S 6=_____________．解析：a 1=-1，n ≥2时，a n =S n -S n-1=2a n-1，a n =-2n-1，S 6=2a 6+1=-64+1=-6315．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）解析：合条件的选法有C 63-C 43=1616．已知函数f(x)=2sinx+sin2x ，则f(x)的最小值是_____________．解析：由题意可得T=2π是f （x ）=2sinx+sin2x 的一个周期，故只需考虑f （x ）=2sinx+sin2x 在[0，2π）上的最小值。

∵ f ′（x ）=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cos 2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)， 令f ′（x ）=0可解得cosx=12或cosx=-1， 可得此时x=π3，π或5π3；∴y=2sinx+sin2x 的最大值和最小值只能在点x=π3，π或5π3和边界点x=0中取到，计算可得f （π3）=332，f （π）=0，f （5π3）=-332，f （0）=0， ∴函数的最小值为-332三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（12分）在平面四边形ABCD 中，∠ADC=900，∠A=450，AB=2，BD=5. （1）求cos ∠ADB ； （2）若DC=22，求BC.解：（1）在ΔABD 中，由正弦定理得BD sinA =AB sin∠ADB .由题设知，sin ∠ADB=25.由题设知，∠ADB <900，所以cos ∠ADB =235. （2）由题设及（1）知，cos ∠BDC= sin ∠ADB=25. 在ΔBCD 中，由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2BD ·DC ·cos ∠BDC=25 所以BC=5. 18．（12分）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把ΔDFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF. 又BF 平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD.（2）作PH ⊥EF ，垂足为H.由（1）得，PH ⊥平面ABFD.以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz. 由（1）可得，DE ⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= 3.又PF=1，EF=2，故PE ⊥PF. 可得PH=32,EH=32. 则H(0,0,0),P(0,0,32),D(-1,- 32,0 ), DP→=(1, 32,32), HP →=(0,0, 32)为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ=|DP →·HP →| DP →|·|HP →||=34.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 19．（12分） 设椭圆C:x22+ y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A,B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB. 解：（1）由已知得F(1,0)，l 的方程为x=1. 由已知可得，点A 的坐标为(1, 22)或(1,- 22). 所以AM 的方程为y= -22x+2或y= 22x- 2. （2）当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB =00.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y=k(x-1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1<2,x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA +k MB =y1x1-2+y2x2-2.由y 1=kx 1-k, y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)( x2-2)将y=k(x-1)代入x22 + y 2 =1得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0 所以，x 1+x 2=4k2 2k2+1, x 1x 2=2k2-2 2k2+1.则2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k =4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB. 综上，∠OMA=∠OMB. 20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．学科&网 （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．学.科网 （i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX; （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1-p)18.因此f ′(p)= C 202[2p(1-p)18-18p 2(1-p)17]=2 C 202p(1-p)17(1-10p)令f ′(p)=0，得p=0.1.当p ∈(0,0.1)时，f ′(p)>0；当p ∈(0.1,1)时，f ′(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0=0.1. （2）由（1）知，p=0.1.（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B(180,0.1)，X=40+25Y ， 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400，故应该对余下的产品作检验. 21．（12分）已知函数f(x)= 1x - x+alnx ．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f(x1)-f(x2)x1-x2<a-2．解:（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)= - 1x2-1+a x =- x2-ax+1x2.（i ）若a ≤2，则f ′(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f ′(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减.（ii ）若a>2，令f ′(x)=0得，x=a-a2-42或x=a+a2-42. 当x ∈(0, a-a2-42)∪(a+a2-42,+∞)时，f ′(x)<0； 当x ∈(a-a2-42,a+a2-42)时，f ′(x)>0. 所以f(x)在(0,a-a2-42)、(a+a2-42,+∞)单调递减，在(a-a2-42,a+a2-42)单调递增. （2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x 1,x 2满足x 2-ax+1=0，所以x 1x 2=1，不妨设x 1<x 2，则x 2>1. 由于f(x1)-f(x2)x1-x2= - 1 x1x2 -1+a lnx1-lnx2 x1-x2= -2+ a lnx1-lnx2 x1-x2=-2+ a -2lnx21x2-x2，所以f(x1)-f(x2)x1-x2<a-2等价于1x2–x 2+2lnx 2<0.设函数g(x)= 1x - x+2lnx ，由（1）知，g(x)在(0,+∞)单调递减，又g(1)=0，从而当x ∈(1,+∞)时，g(x)<0. 所以1x2–x 2+2lnx 2<0，即f(x1)-f(x2)x1-x2<a-2. （二）选考题：共10分。