金属电导率与外加电场频率的关系

金属电导率与电场频率的关系

电导率

电导率指在介质中该量与电场强度之积等于传导电流密度，也可以称为导电率，是用来描述物质中电荷流动难易程度的参数。

σ=1/ρ (1) 电导率是电阻率的倒数。

研究金属的电导率也即研究金属的电阻率，而想要知道电阻的来源就需要从微观物质

结构的角度去考察。金属是是一种电子导体，它的载流子是电子或空穴（电子空位）

当外加电场E时，自由电子在外电场作用下获得加速度,产生定向运动但实际晶体中，

电子运动会被声子，杂志，缺陷碰撞而散射，从而失去前进方向上的分量，形成电

阻。【1】

经典的金属电子论由德国科学家Drude于1900年建立，成功解释了金属的导电性

和热学性质。他认为，金属内的电子可以分成两部分，一部分被原子所束缚，只能在

原子内部运动并与原子核构成金属内的正离子；另一部分电子受到的束缚比较弱，它

们已不属于特定的原子，而是在整块金属中自由运动，成为自由电子，金属良好的导

电性和导热性就是由这些自由电子的运动所决定的.自由电子不断地与金属内的正离子

相撞，相互交换能量，在一定温度下达到热平衡.处在热平衡状态的自由电子就像气体

分子那样做无规则的热运动，因而可以采用气体分子运动论来处理金属内自由电子的

运动。

欧姆定律

金属导电的宏观规律是由它的微观导电机制所决定的.金属导体具有晶体结构，原子实以一定方式排列成整齐的空间点阵，自由电子在点阵间不停地作热运动.带正电的原子实虽然被固定在格点上，但可以在各自的平衡位置附近作微小的振动；自由电子在晶格间作激烈的不规则热运动.自由电子的热运动不形成电流，因为电子热运动是无规的，不形成自由电子的集体定向移动。

当金属中存在电场时，每个电子受到电场作用力，每个电子在原先无规则热运动基础上添加一个逆着电场方向的定向运动（叫做漂移运动），自由电子整体上有了一个定向运动速度u叫做漂移速度。大量电子漂移运动形成电流。下面根据上述观点找出金属导体中电流密度和自由电子漂移速度的关系.

设通电导体中某点附近自由电子的数密度为n，自由电子的漂移速度为u，经过时间t ，该点附近的自由电子都移过距离u∆t.在该点附近取一小圆柱体，截面和漂移速度方向垂直截面积为∆S，长为u∆t..显然，位于这小圆柱体内的自由电子，经过时间∆t后都将穿过小圆柱体的左端面.在∆t时间内穿过小圆柱体左端面的自由电子也都在这个小圆柱体中.位于小圆

柱体内的自由电子数为nu∆t∆S ，所以在时间t ∆内穿过左端面的电量∆q 为

q ∆=nu t Se ∆∆ （2）

式中e 是电子电量的绝对值.由此可得左端面上的电流I ∆为 q I neu S t

∆∆=

=∆∆ （3） 左端面处的电流密度的大小为 I j neu S

∆==∆ (4) 因为电子带负点，所以电流密度的方向与电子漂移速度的方向相反.故上式可写成矢量形式

ne j u =- (5)

式（5）给出电流密度与漂移速度的关系.利用此式可计算金属中自由电子的漂移速度. 根据经典电子论，可以从微观上导出欧姆定律的微分形式.

电子与正离子连续两次碰撞所经历的时间称为自由时间.在一定温度下，大量电子的平均自由时间τ是一定的.在电场作用下，电子的速度为无规则运动的速度和定向运动速度的叠加，后者与场强有关.由于金属中自由电子定向运动的速率比无规则运动的速率小得多，平均自由时间τ实际上与外电场无关.

由于电子与晶格上原子实的碰撞，电子的最大定向速度是在一个自由时间内被电场加速所得到的速度，故在一定的电场作用下，定向速度不可能无限增大.

考察某一个电子，其电量为e ，质量为m ，若作用于电子的电场为E ，则由牛顿运动定律得

α=eE

m e (6)

由于电子热运动的速率远大于定向漂移运动的速率，所以电子与原子实碰撞时受到的冲力远大于电场力.因而在碰撞过程中可以忽略电场力.因此电子与原子实碰撞后向各方向运动的概率相等.所以，可以假设碰撞后的瞬间，电子的平均定向漂移速度为零.设自由电子与正离子晶格相邻两次碰撞前后的平均定向速度从u 0=0增为u 1，自由电子的平均定向速度为:

()0111112222e m E u u u u a ττ=+===- （7）

即平均定向速度与电场强度E 和平均自由时间τ成正比.考虑到电子的电量为负值，平均定向速度的方向与场强的方向相反.式（7）代入式（5），导体中的电流密度为

2

2ne m ne u E j τ=-= （8）

这就是欧姆定律的微分形式.由气体分子动理论知道，τ等于自由电子的热运动平均速率v

与平均自由程λ之比:

v λτ=

（9）

由以上（9）式得 22ne m v j

E λ= （10）

因欧姆定律中j =σE ，故电导率σ为 22ne mv λσ= （11）

这样，我们就用经典的电子理论解释了欧姆定律，并导出了电导率σ与微观量平均值之间的关系，又由式（11）可以看出电导率与自由电子的热运动平均速率v 成反比，与平均自由程λ成正比.【2】

金属电导率与频率的依赖关系

严格说来，金属的电导率并不是常量，它和介电常量，折射率一样，也依赖于频率.只在一定的频率范围内，才能把金属的电导率σ近似地看作是常量.现在，根据简单的自由电子模型来确定这一频率范围.

金属中的自由电子在运动过程中要不断地与正离子相碰撞，作为简单模型，合理假定是认为平均说来自由电子要受到一个阻尼力的作用，该阻尼力的大小应与自由电子的速度成正比，其方向与自由电子的速度方向相反.故自由电子的运动方程为 e m r r E γ+= （12） 式中e 和m 是电子的电量和质量，γ是单位质量的阻力系数.在无外电场时，即E =0时，有

0r r γ+= （13）

其解为: 00t e v r r γγ-=- （14）

00t t

e

e v v v r γτ--=== （15） 式（14）中r 0和v 0分别是t =0时自由电子的径矢和速度.式（15）表明，自由电子的速度v 要随时间t 作指数衰减，式中的τ=1γ具有时间的量纲，称为衰变时间和弛豫时间.

再假定外电场E ≠0，且是一个时谐电场，即