系统频域的理解
线性系统的频域分析
第五章 线性系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。
它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。
频域分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。
本章研究频率特性的基本概念、典型环节和控制系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据以及开环频域性能分析等内容。
§5-1 频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位都不同与输入量。
下面以RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。
图5-1所示的RC 电路，)(t u i 和)(0t u 分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为：)()()(00t u t u dtt du Ti =+ 式中T=RC 为电路的时间常数。
RC 电路的传递函数为11)()(0+=Ts s U s U i （5-1） Rui )t图 5-1 RC 电路当输入电压为正弦函数t U t u i i ωsin )(=，则由式（5-1）可得22011)(11)(ωω+⋅+=+=s U Ts s U Ts s U i i 经拉氏反变换得电容两端的输出电压)sin(11)(122/220T tg t T U e T T U t u iT t i ωωωωω---+++=式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量，当∞→t 时，第一项趋于零，于是)sin(1|)(1220T tg t T U t u i t ωωω-∞→-+=)](sin[)(ωϕωω+=t A U i （5-2）式中：2211)(TA ωω+=，T tgωωϕ1)(--=，分别反映RC 网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，二者皆是输入正弦信号频率ω的函数。
控制系统频域分析
控制系统频域分析控制系统频域分析是对控制系统的频率特性进行研究和评估的方法。
它通过在频域上分析信号的幅值和相位响应，帮助我们了解系统的稳定性、性能以及对不同频率输入的响应。
一、引言控制系统在现代工程中起着至关重要的作用。
通过对系统的频域特性进行分析，我们可以更好地理解和优化控制系统的性能。
二、频域分析的基本概念1. 频率响应控制系统的频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应能力。
通过频率响应，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
2. 幅频特性幅频特性是指系统输出信号的幅度与输入信号的频率之间的关系。
通常用幅度曲线图来表示，可以帮助分析系统的放大或衰减程度。
3. 相频特性相频特性描述了系统输出信号的相位与输入信号的频率之间的关系。
相位曲线图可以帮助评估系统的相位延迟或提前程度。
三、常见的频域分析方法1. 频率响应函数频率响应函数是一个复数函数，可以描述系统的幅频和相频特性。
常见的频率响应函数包括传递函数和振荡函数等。
2. Bode图Bode图是一种常用的频域分析工具，可以将系统的幅频和相频特性直观地表示出来。
它以频率为横轴，幅度或相位为纵轴，通过线性坐标或对数坐标来绘制。
3. Nyquist图Nyquist图是一种使用复平面来表示频率响应的图形。
它可以帮助我们判断系统的稳定性，并评估系统的相位边界和幅度边界。
四、频域分析的应用频域分析在控制系统设计和优化中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 系统稳定性分析通过频域分析，我们可以判断系统是否稳定，以及如何设计控制器来维持或改善系统的稳定性。
2. 性能评估频域分析可以帮助我们评估系统的性能，比如响应时间、超调量等。
通过调整系统的频率响应，我们可以提高系统的性能。
3. 滤波器设计频域分析在滤波器设计中起着重要的作用。
通过分析系统的频率响应，我们可以设计出满足特定要求的滤波器。
4. 控制系统建模频域分析可以帮助我们建立控制系统的数学模型，从而更好地理解和优化系统的性能。
傅里叶变换和系统的频域
频分复用应用
广泛应用于无线通信、有线电视等领域，提高信号传输的效率和 可靠性。
05
傅里叶变换的局限性
频域混叠现象
频域混叠现象是指由于采样频 率不足或信号频率超出采样频 率的一半，导致频谱出现重叠
的现象。
频域混叠会导致信号失真， 使得信号的频谱分析变得困
调频（FM）、调相（PM）、调相调频 （PM/FM）等。
调制解调器设计原理
利用傅里叶变换将信号从时域转换到频域，实 现信号的调制和解调。
调制解调器应用
用于无线通信、卫星通信等领域，实现信号的传输和接收。
频分复用技术
频分复用原理
将多个信号分配到不同的频率通道上，实现多路信号同时传输。
频分复用技术实现
线性时不变系统的频域分析
线性时不变系统
01
在频域中，线性时不变系统可以用频率响应函数来描述，该函
数将输入信号的频率映射到输出信号的频率。
频域表示
02
通过傅里叶变换，将系统的时域表示转换为频域表示，从而可
以分析系统在不同频率下的行为。
系统特性分析
03
通过分析频率响应函数，可以了解系统的带宽、稳定性、阻尼
定义：对于任何时间函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为： F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-iomega t} dtF(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt
傅里叶变换的性质
线性性质
如果f1(t)和f2(t)分别是两个函数的傅里叶变换，那么对于任意常数a和b，有 aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)aF_1(omega) + bF_2(omega) = a f_1(t) + b f_2(t)aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)
第六章 信号与系统的时域和频域 ...
5
LTI系统频率响应的模和相位表示： LTI系统频率响应的模和相位表示： 系统频率响应的模和相位表示
Y ( jω) = X ( jω)H ( jω)
称为系统的增益
Y ( jω) =| X ( jω) || H ( jω) |
∠Y ( jω ) = ∠H ( jω ) + ∠X ( jω )
称为系统的相移
8
二、信号的不失真传输条件
信号在传输过程中， 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变 都会引起信号波形的改变，如果这种改变是不希望发生 都会引起信号波形的改变，如果这种改变是不希望发生 那么信号即发生了失真。 的，那么信号即发生了失真。
信号的失真有两种： 信号的失真有两种： 1.幅度失真 1.幅度失真 2.相位失真 2.相位失真 在实际应用中，不同的场合， 在实际应用中，不同的场合，对幅度失真和相 位失真有不同的敏感程度。 位失真有不同的敏感程度。
7
H ( jω ) = e
− jωt0
如果系统的相位特性是非线性的 如果系统的相位特性是非线性的，不同频 系统的相位特性是非线性 率分量受相位特性影响产生的时移不同， 率分量受相位特性影响产生的时移不同，叠加 起来一定会变成一个与原信号很不相同的信号 波形。 波形。 LTI系统 也有同样的结论。 系统， 对离散时间 LTI系统，也有同样的结论。
如果对数模描述 的是频率响应： 的是频率响应： 0dB：频率响应的模特性为 频率响应的模特性为1 频率响应的模特性为 20dB：模特性有 倍增益 模特性有10倍增益 模特性有 -20dB：模特性衰减为原来的 模特性衰减为原来的0.1 模特性衰减为原来的 6dB：模特性有 倍增益 模特性有2倍增益 模特性有
d dω
系统频域分析
Fs ( jw)
1 T
n
F[ j(w nws )]
f [kT]e jkwT
k
且序列f[k]的频谱等于抽样信号的频谱，即有
F(e j ) Fs ( jw)
f
(k T)ejk
(设 wT)
k
其中： T 为抽样间隔，ws=2p /T为抽样角频率。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第15讲 系统的频域分析02 p 7
第7页/共25页
解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：
对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)；
对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)；
对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
第15讲 系统的频域分析02 p 12
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3、抽样定理的工程应用
抽样信号fs(t)频谱包含有F(jw)的完整信息的条件:
2、时域取样定理
若带限信号f(t)的最高角频率为ωm，则信号f(t) 可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T 需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于2fm。
若从抽样信号fs(t)中恢复原信号f(t)，需满足两个条件：
(1) f(t)是带限信号，即其频谱函数在|w|>wm各处为零； F(jw)
系统的频域分析及其应用
连续时间系统的频率响应 连续信号通过系统响应的频域分析 无失真系统与理想低通 抽样与抽样定理 调制与解调 离散时间系统的频域分析
第15讲 系统的频域分析02 p 1
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连续时间信号的时域抽样
信号抽样的理论分析 时域抽样定理 抽样定理的工程应用 信号重建 实际应用举例
控制系统频域分析
控制系统频域分析1. 引言频域分析是控制系统理论中的重要内容之一，它可以帮助工程师们深入了解控制系统的特性和性能。
通过对系统在频域上的响应进行分析，可以得到系统的频率响应曲线和频率特性，从而更好地设计和调节控制系统。
本文将介绍控制系统频域分析的基本概念、常用方法和应用场景。
2. 控制系统频域分析的基本概念2.1 传递函数传递函数是描述系统输入与输出之间关系的数学模型。
对于线性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数的频域特性可以通过对传递函数进行频域变换得到。
2.2 频率响应频率响应是控制系统在不同频率下的输出响应，它是描述系统在不同频率下性能的重要指标。
频率响应可以通过传递函数的频域特性来分析。
2.3 增益余弦图增益余弦图是描述控制系统增益和相位随频率变化的图形。
在增益余弦图中，横轴表示频率，纵轴表示增益和相位角。
通过分析增益余弦图，可以得到系统的幅频特性和相频特性。
3. 控制系统频域分析的常用方法3.1 简单频率响应分析简单频率响应分析是最基本也是最常用的频域分析方法之一。
它通过对系统输入信号进行正弦波信号的傅里叶变换，得到系统的频率响应曲线。
常用的频率响应曲线有幅频特性曲线和相频特性曲线。
3.2 Bode图Bode图是一种常用的频域分析方法，它将系统的增益和相位角随频率变化的情况绘制在一张图中。
通过分析Bode图，可以得到系统的幅频特性和相频特性，并进行系统的稳定性分析。
3.3 Nyquist图Nyquist图是一种用于分析系统稳定性的频域分析方法。
它将系统的传递函数关联到一个复平面上，通过对系统传递函数的频域特性进行分析，可以得到系统的稳定性信息。
Nyquist图可以帮助工程师们更好地设计和调节控制系统。
4. 控制系统频域分析的应用场景频域分析在控制系统设计和调节中有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：4.1 控制系统稳定性分析通过对控制系统的频域特性进行分析，可以判断系统的稳定性。
系统的频域分析
6 系统的频域分析 p 5
Yzs (jw)= H(jw) F(jw)
Yzs ( jw ) 或 : H ( jw ) H ( jw ) e j (w ) F ( jw )
如果信号不存在傅氏变换时，不可以用频域分析方法。 在本教材中，没有特别提示时，涉及到H(jw) 的求解， 都指满足IR条件的LTI因果系统，即不考虑初始状态的影响， 即满足：
4/RC
w
随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号 的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大，即低通。 由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。
6 系统的频域分析 p 13
连续信号通过系统响应的频域分析
在此就是求零状态响应。又称：零状态响应的频域分析法
H ( jw ) FT[h(t )]
1 1 jw 1 jw 2 1 ( jw ) 2 3( jw ) 2
6 系统的频域分析 p 9
例 LTI系统，输入 f(t)＝e –t u(t)，输出 y(t)= e-tu(t) + e2tu(t) ，求频率响应H(jw)和h(t)。
部分分式展开
1 3( jw ) 3 jw 44 Yzs ( jw ) Fzs ( jw ) H ( jw ) jw ) 22 jw 2 (jw 3 1)((jw )(3 jw 3)
1 -t 5 - 3t - 2t y zs (t ) FT [Yzs ( jw )] [ e 2e - e ]u (t ) 2 2
j wC
由Fourier反变换，得系 统的冲激响应h(t)为：
6 系统的频域分析 p 12
1 -(1 / RC)t h(t ) e u(t ) RC
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
系统的频域分析
系统的零状态响应yzs (t)等于信号与系统冲激响应的卷积， 而yzs (t)的频谱等于信号频谱与系统频响的乘积。 H(jw)只与 系统本身的特性有关，而与激励无关，当某些频率点上 H(jw)＝0时，输出端对应的频率输出为零，体现了一种滤波、 选择的思想。
6 系统的频域分析 p 4
Yzs (jw)= H(jw) F(jw)
6 系统的频域分析 p 9
例 LTI系统，输入 f(t)＝e –t u(t)，输出 y(t)= e-tu(t) + e2tu(t) ，求频率响应H(jw)和h(t)。
1 F ( jw ) FT [e u (t )] 1 jw
t
1 1 Y ( jw ) FT [e u (t ) e u (t )] 1 jw 2 jw
+
Y(jw)
-
-
1
-
H ( jw )
Y ( jw ) jw C 1 F ( jw ) (R ) I C ( jw )
jw C
I C ( jw )
1 / RC jw 1 / RC
由Fourier反变换，得系 统的冲激响应h(t)为：
6 系统的频域分析 p 12
1 (1 / RC )t h(t ) e u (t ) RC
6 系统的频域分析 p 13
在此就是求零状态响应。又称：零状态响应的频域分析法
方法：根据Yzs(jw)= H(jw) F(jw) ，先求系统的频率响应 H(jw) ， 信号频谱F(jw)，然后求yzs (jw) ，然后作傅氏反变 换，即可求出系统零状态响应 yzs (t) 。
6 系统的频域分析 p 14
输入为 f(t)=e- 3tu(t)，求系统的零状态响应yzs (t) 。
第六章 系统的频域分析及其应用 6-2
2) 系统的相位响应()在整个频率范围内应与成正比。
一、无失真传输系统
3 失真原因
1）幅度失真：系统对信号中各频率分量产生的衰 减程度不同，使得频率分量的幅度产生相对变化， 从而产生失真。 2）相位失真：系统对信号中各频率分量产生的相 移与频率不成比例，使各频率分量在时间轴上的 相对位置发生变化，从而引起信号相位失真。
例1 已知一LTI系统的频率响应为 H ( j) 1 j
1 j
(1) 求系统的幅度响应|H(j)|和相位响应()，
并判断系统是否为无失真传输系统。
(2) 当输入为f(t)=sint+sin3t (<t<) 时，求系统的稳态响应。
解：
2
f (t) 1
输入和输出
0
信号的波形
-1 y (t)
-2
0
1. 理想低通滤波器的冲激响应
h(t)
1 2π
H ( j)e
jωt dt
1 2π
c
c
e jωtd e jωtdt
h(t)
wc
h(t)
c
π
Sa[c
(t
td
)]
t
td
td
π c
π td c
三、理想低通滤波器
1. 理想低通滤波器的冲激响应
分析： 1) h(t)的波形是一个取样函数，不同于输入信
号d(t)的波形，有失真。
刻t = 0延迟了一段时间td 。td是理想低通滤波 器相位特性的斜率。
3) h(t)在 t<0 的区间也存在输出，可见理想低通滤 波器是一个非因果系统，因而它是一个物理不 可实现的系统。
三、理想低通滤波器
第18讲 系统的频域分析法
5.线性系统无失真传输条件
无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只 是幅度大小与出现时间先后不同，而无波形上 的变化。
5.线性系统无失真传输条件
如果输入信号为
f (t ) 无失真传输系统的输出信号应为
y(t ) Kf (t t0 )
对上式进行傅里叶变换，并根据时移特性，得到
Y ( j) KF ( j)e jt0
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
实验四 线性系统的频域分析
实验四线性系统的频域分析
线性系统的频域分析是一种利用线性系统的响应特性来提高系统性能的有效手段，它
在系统设计中起着重要的作用。
其主要思想是将系统的响应特性根据其与频率之间的关系
进行分割，从而更好地理解该响应的物理规律。
本文的目的是介绍线性系统的频域分析方法。
线性系统的频域分析分为时域分析和频域分析两种技术。
时域分析是检测一个系统在
其他变量没有变化时，系统输出信号形状及其随时间变化趋势的一种分析方法。
时域分析中，将系统的输入和输出逐样本放入示波器进行分析及测试。
频域分析是通过将系统的输
入和输出信号进行频谱分析，将它们映射到频率轴上进行分析的一种方法。
在频域分析中，我们可以通过频谱分析仪、傅里叶变换、系统增益、阶跃响应等技术来检测系统响应的特性，得出系统的频率响应函数，从而研究系统是否属于线性系统。
线性系统的频域分析一般步骤如下：
1、定义时域函数并将其傅里叶变换，从而得到其频域函数；
2、计算系统的增益及其全频响应曲线，以便了解频率和增益之间的关系；
3、根据阶跃响应的拟合结果，利用积分和微分的技巧，确定系统的阶跃函数；
4、选择优化算法，进行系统参数优化调整，使系统达到所需要的设计目标。
以上就是线性系统的频域分析方法介绍，从分析输入输出信号，到频域拟合分析，再
到进行参数优化调整，这一系列的步骤可以帮助我们更好的理解系统的物理机理，实现系
统的最佳设计性能。
系统的频域分析法
4.系统的频域分析
系统的频域分析不如第4章将要学习的拉普拉斯变换分 析法方便。但是，频域分析法从频谱改变的观点来解释 激励与响应波形的差异，物理概念清楚，反映了系统本 身是一个信号处理器。
Y ( j) H ( j)F( j) H ( j) F( j)ej ()
思考与练习
1 已知系统的微分方程为 y (t) 10y (t) 6y(t) 3y(t) 12 f (t) 8 f (t) ，写出该系统的 频域系统函数 H ( j) 的表达式。 2 已知某系统的频率特性 H ( j) 如图(a)示， f (t) 的波形如图题(b)所示。求响应 y(t) 的 频谱Y ( j) ，并画出Y ( j) 的图形。
5. 无失真传输系统
F( j) 4 () 2[ ( 1) ( 1)] 2[ ( 2) ( 2)]
（2）由给出的频响曲线求系统函数
H
(
j)
(2
)e
j
2
0
2 2
(3)求零状态响应的频谱
Y
(
j)
F(
j)H
(
j)
8 ()
2 e
j
2
(
1)
2 e
j 2
(
1)
例3：一线性时不变系统的频率特性曲线如图所示，激
e j t h ( ) e j d H ( j
) e j t
H(j)为h(t)的傅里叶变换，称为频域系统函数或系
统的频率响应。
1.系统的频率响应
在频域，系统激励和响应之间的关系为
Y ( j) H ( j)F( j) H ( j) F( j)ej ()
系统的频率响应改变了激励信号的频谱，根据系统 要 求对输入信号的频率分量进行加权，使某些频率 分量 增强，而使另一些频率分量削弱或不变，且每 个频率 分量在传输过程中都产生各自的相移。
信号与系统的频域分析
信号与系统的频域分析信号与系统是电子、通信、自动控制、计算机等领域的重要基础课程，频域分析是其中的重要内容之一。
频域分析是指将信号在频域上进行分析和处理，通过分析信号的频谱特性和频率分量来了解信号的频率成分和频率响应。
一、频域分析的基本概念和原理频域分析是将时域信号转换为频域信号的过程，可以通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换是一种将非周期信号或有限时长的周期信号分解为一系列基础频率分量的技术，可以将信号在频域上进行表达和处理。
在频域中，信号的频率成分和相对能量分布可以清晰地呈现出来，方便人们对信号进行分析和理解。
二、傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数是用来分解周期信号为一系列余弦和正弦函数的技术，适用于周期信号的频域分析。
傅里叶级数展开后，通过求解各个频率分量的振幅和相位，可以得到该周期信号在频域中的频率成分和能量分布。
傅里叶变换是对非周期信号或有限时长的周期信号进行频域分析的方法。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱特性。
通过傅里叶变换，可以将时域中的信号分解为一系列基础频率分量，同时还可以得到每个频率分量的相位和振幅信息。
三、频域分析的应用频域分析在信号处理和系统分析中广泛应用。
在通信系统中，频域分析可以用于信号调制、解调和信道估计等方面。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频和视频编码、去噪和增强等技术。
在自动控制系统中，频域分析可以用于系统的稳定性和响应特性分析。
四、常见的频域分析方法除了傅里叶变换外，还有一些常见的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、功率谱密度分析（PSD）等。
这些方法在不同的领域和应用中有着各自的优缺点和适用范围。
熟练掌握这些方法的原理和使用技巧，可以更好地进行频域分析和信号处理。
五、总结频域分析是信号与系统领域中重要的理论和实践内容，通过分析信号在频域上的频率成分和能量分布，可以深入理解信号的特性和系统的行为。
傅里叶变换作为频域分析的核心工具，能够将信号在时域和频域之间进行转换，为信号处理和系统分析提供了强有力的工具。
系统频域分析实验报告
系统频域分析实验报告1. 引言系统频域分析是一种用于研究线性时不变系统的方法，通过对系统的输入和输出信号在频域上的分析，可以得到系统的频率响应特性。
本实验旨在通过实际测量和分析，了解系统频域分析的基本原理和方法。
2. 实验设备和原理2.1 实验设备本实验所用设备包括： - 函数发生器 - 数字示波器 - 电阻、电容和电感等被测元件 - 电缆和连接线等连接配件2.2 实验原理系统频域分析是基于傅里叶变换的原理，通过将时域上的信号转换到频域上进行分析。
在本实验中，我们将使用函数发生器产生不同频率和幅度的正弦信号作为输入信号，通过被测系统输出的信号，使用数字示波器进行采集和分析。
3. 实验步骤3.1 连接实验设备将函数发生器的输出端与被测系统的输入端相连，将被测系统的输出端与数字示波器的输入端相连，确保连接正确可靠。
3.2 设置函数发生器调整函数发生器的频率、幅度和波形等参数，以产生不同频率和幅度的正弦信号作为输入信号。
3.3 采集数据使用数字示波器对被测系统的输出信号进行采集和记录。
可以选择适当的采样频率和采样时间，确保得到足够的数据点。
3.4 数据分析使用计算机软件或编程语言，对采集到的数据进行频域分析。
可以使用离散傅里叶变换（DFT）等方法，将时域上的信号转换到频域上，得到信号的频谱图。
3.5 分析结果根据得到的频谱图，可以分析出被测系统的频率响应特性。
可以通过找到频率响应曲线的极值点、截止频率等特征，来判断系统的性能和特点。
4. 实验结果和讨论4.1 频谱图展示根据采集到的数据和进行频域分析的结果，绘制出被测系统的频谱图。
4.2 频率响应特性分析根据频谱图的分析结果，可以得到被测系统的频率响应特性。
比如，可以观察到系统在不同频率下的增益特性、相位特性等。
4.3 讨论实验误差在实际实验中，可能存在各种误差的影响。
可以对实验误差进行分析和讨论，比如测量误差、系统本身的非线性特性等。
5. 结论通过本实验，我们了解了系统频域分析的基本原理和方法。
系统传递函数与频域
系统传递函数与频域在信号与系统领域中，系统的传递函数与频域特性扮演着至关重要的角色。
通过分析系统的传递函数，我们能够获得系统在频域中的响应，并进一步理解信号的传输和处理过程。
本文将深入探讨系统传递函数与频域的相关概念和应用。
一、系统传递函数的定义与性质系统传递函数是描述输入与输出之间关系的数学表达式，通常用H(s)表示，其中s是复频域变量。
传递函数可以是连续时间系统的拉普拉斯变换形式，也可以是离散时间系统的Z变换形式。
通过传递函数，我们能够揭示系统对不同频率分量的响应情况。
传递函数具有以下重要性质：1. 线性性质：若输入信号x(t)对应的输出为y(t)，输入信号ax(t)对应的输出为ay(t)，其中a是任意标量。
这表明系统对输入信号具有线性响应。
2. 时不变性：若输入信号x(t)对应的输出为y(t)，经过时移得到输入信号x(t-T)对应的输出为y(t-T)，其中T是任意常数。
这表示系统对输入信号具有时不变性质。
3. 乘性性质：若输入信号为x1(t)，对应的输出为y1(t)；输入信号为x2(t)，对应的输出为y2(t)，则输入信号为x1(t)x2(t)的输出为y1(t)y2(t)。
这意味着系统对输入信号具有乘性性质。
二、传递函数与频域特性的关系频域特性是系统在不同频率下的响应情况，通常通过系统的频率响应函数H(jω)来描述。
其中，H(jω)是传递函数H(s)在s=jω处的取值，其实部表示系统的增益，虚部表示系统的相位延迟。
在频域中，我们可以利用传递函数来分析系统的频率响应。
常见的频域分析方法包括幅度谱和相位谱。
1. 幅度谱幅度谱是描述系统增益随频率变化的函数，通常用|H(jω)|表示。
幅度谱能够直观地展示系统对不同频率信号的响应情况。
在Bode图中，我们可以通过绘制|H(jω)|随频率ω的变化曲线来观察系统的频率选择性及衰减特性。
2. 相位谱相位谱是描述系统相位随频率变化的函数，通常用arg[H(jω)]表示。
信号分析7-系统频域分析
结论：正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输 出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。 输出信号的幅度y(t)由系统的幅度响应|H(jw0)|确定 输出信号的相位相对于输入信号偏移了(w
26
例2 已知一连续时间系统的频响特性如图所示，输入信 号3cos2t+cos4t时，试求该系统的稳态响应y(t)。
由定义可求得
1 H ( jw ) F ( jw ) ( jw ) 2 3( jw ) 2
10
Y f ( jw )
例2
已知某LTI系统的冲激响应为 h(t)=(e-t - e-2t)u(t)，求系统 的频率响应H(jω )。
解： 利用H(jω)与h(t)的关系
- jwt -t - 2t H ( jw ) F [h(t )] e (e - e )u(t )dt -
低通滤波器
0
0
1/RC
2/RC
3/RC
4/RC
w
频率增加，系统的幅度响应|H(jw)|减小，说明信 号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。
由于|H(j(1/RC))|=0.707，20log(0.707)≈-3, 所以把
wc=1/RC称为该系统的3db截频。
15
二、连续信号通过系统响应的频域分析
R
+
f (t) C
+
y(t)
t
-
i (t )dt
i(t ) I ( jw )
解：RC电路的频 域模型如图
R
-
+
F(jw) 1/jwC
+
Y(jw)
-
12
R
由电路的基本原理有
连续时间系统的频域分析
第三章.连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法（§）信号分解的目的：● 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。
●简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。
1．正交函数集任意信号)(t f 可表示为n 维正交函数之和：原函数()()()t g t g t g r Λ21,相互正交：⎩⎨⎧=≠=⋅⎰nm K nm dt t g t g m t t n m ,,0)()(21()t g r 称为完备正交函数集的基底。
一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。
2．能量信号和功率和信号（§一）设()t i 为流过电阻R 的电流，瞬时功率为R t i t P )()(2=一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。
令R = 1Ω，则在整时间域内，实信号()t f 的能量，平均功率为： 讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： ✍∞<<W 0(有限值) 0=P✍∞<<P 0(有限值)∞=W满足✍式的称为能量信号，满足✍式称功率信号。
3．帕斯瓦尔定理设{})(t g r 为完备的正交函数集，即信号的能量 基底信号的能量 各分量此式称为帕斯瓦尔定理 P331 式（6-81） (P93, P350) 左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。
物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。
二、周期信号的频谱分析——傅里叶级数(1) 周期信号傅里叶级数有两种形式三角形式： ()∑∞=++=1110sin cos )(n n nt n b t n aa t f ωω=∑∞=++110)cos(n n nt n cc ϕω指数形式：t jn n e n F t f 1)()(1ωω∑∞-∞==(2) 周期信号的频谱是离散谱，三个性质收敛性()↓↑)(,1ωn F n谐波性：(离散性)谱线只出现在1ωn 处，唯一性：)(t f 的谱线唯一(3)两种频谱图的关系● 三角形式：ω~n c ，ωφ~n 单边频谱● 指数形式：ωω~)(1n F , ωφ~n 双边频谱两者幅度关系 )(1ωn F =()021≠n c n000a c F ==● 指数形式的幅度谱为偶函数 ●指数形式的相位谱为奇函数(4) 引入负频率对于双边频谱，负频率)(1ωn ，只有数学意义，而无物理意义。
第5章线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念1.频率特性的
·145·第5章 线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念 1. 频率特性的定义设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比)(ωA 称为幅频特性，其相位与输入正弦信号的相位之差)(ωϕ称为相频特性。
系统频率特性与传递函数之间有着以下重要关系：ωωj s s G j G ==|)()(2. 频率特性的几何表示用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法：（1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist ）曲线或极坐标图。
它是以ω为参变量，以复平面上的矢量表示)(ωj G 的一种方法。
（2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode ）图。
这种方法用两条曲线分别表示幅频特性和相频特性。
横坐标为ω，按常用对数lg ω分度。
对数相频特性的纵坐标表示)(ωϕ，单位为“°”（度）。
而对数幅频特性的纵坐标为)(lg 20)(ωωA L =，单位为dB 。
（3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。
该方法以ω为参变量，)(ωϕ为横坐标，)(ωL 为纵坐标。
3. 典型环节的频率特性及最小相位系统 （1）惯性环节：惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G 其频率特性 11)()(+===j T s G j G j s ωωω·146·对数幅频特性 2211lg20)(ωωT L +=(5.1)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1 )lg(2010)(ωωωωT T T L a (5.2) 在ωT =1处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为3dB 。
对数相频特性)(arctg )(ωωϕT -= (5.3)其渐近线为⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤+<=10 90101.0 )lg(1.0 0)(ωωωωωϕT T T b a T a (5.4)当ωT =0.1时，有b a b a -=+=1.0lg 0 (5.5)当ωT =10时，有b a b a +=+=︒-10lg 90 (5.6)由式（5.5）、式（5.6）得︒=︒-=45 45b a因此：⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤︒-<=10 90101.0 )10lg(451.0 0)(ωωωωωϕT T T T a (5.7)（2）振荡环节：振荡环节的传递函数为10 121)(22<<++=ξξTs S T s G·147·其频率特性)1(21|)()(22ωωξωωT j Ts s G j G j s -+=== 对数幅频特性2222224)1(lg 20)(ωξωωT T L +--= (5.8)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1)lg(4010)(ωωωωT T T L a (5.9) 当707.0<ξ时，在221ξω-=T 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为2121lg20ξξ-。
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第26卷 第5期2007年10月理 工 高 教 研 究Journal of Technology College Education Vol.26 No.5 Octember 2007引导学生理解信号频谱的概念和意义国防科学技术大学 刘芸 李宗伯 刘芳摘要: 针对教学难点,就如何引导学生有效理解信号频谱的概念和频域分析的意义,提出信号频域分析的教学思路和方法。
即先用单个正弦信号说明频谱的定义,从信号分解的角度理解频谱与信号的关系,再分析周期信号频谱的特点,进而引导出求非周期信号频谱的傅里叶变换,说明其意义,通过傅里叶变换的性质强调频域分析的实际应用。
在 信号与系统 课程中,连续时间信号与系统的频域分析这部分内容是本课程的重点学习内容,涉及傅里叶级数、傅里叶变换、系统的频域分析和抽样定理等。
从这一章节起,学生开始学习信号与系统的变换域分析方法,为后续复频域分析、离散时间信号与系统的频域分析和复频域分析等内容的学习打好基础。
在学习这部分内容时,学生往往容易陷入到繁琐的数学推导和计算中,而忽视了对概念、公式和结论所含物理意义的理解。
信号频谱是本章节中最重要的概念之一,也是教学的难点。
如何有效地引导学生理解信号频谱的概念和频域分析的意义,以下谈谈我们在实践中总结的教学思路和方法。
一、用单个正弦信号来说明频谱的定义信号的频谱就是信号的频域表示,是关于频率的幅度函数和相位函数,这两个函数分别称为幅度谱和相位谱,它们完全反映了信号的特性。
学生比较容易理解信号的时域表示方式,即用时间函数或波形来描述信号的特性,为了让学生建立起频谱的初步概念,可以用单一正弦信号与其频谱来说明。
例如考虑用余弦函数表示的正弦信号x (t )x (t )=A cos( 1t + 1)=A cos(2 f 1t + 1)(1)x (t )可以用三个参数表示其特征:振幅A 、初相位 1和频率f 1(或角频率 1=2 f 1)。
如果以频率(角频率)作为变量,可以画出作为频率函数的幅度和初相位的波形,如图1所示,它们就是x (t )的幅度谱A (f )和相位谱 (f ),即频谱。
已知信号频谱(图1(b)),可以画出信号的时域波形(图1(a)),或写出信号的时间函数,因此可以说频谱是信号的一种表示方式,称为频域表示。
这里要提醒或强调:频率和频谱是与正弦波对应的。
图1 信号x (t )=4cos[2 (5)t - 3]的波形和图1(b )所表示的是单边谱,它是和余弦函数相对应的。
为了引出双边谱的概念,将式(2)表示为x (t )=A cos( 1t + 1)=A 2e j 1e j 2 f 1t +A 2e -j 1e j (-2f 1)t (2)式(2)说明余弦函数可以表示成两个复指数函数的和,其中复数A 2e j 1与频率f 1有关,A 2e -j 1与频率-f 1有关,即它们是频率的函数。
这些复数的模和辐角分别称为余弦信号的双边幅度谱和相位谱,如图2所示。
余弦函数的幅度值是双边幅度谱在正频率的值的两倍,余弦函数的相位值是双边相位谱在正频率的值,因此,正弦信号的幅度和相位很容易从双边谱确定。
这里要强调:双边谱中的负频率项,并不意味着存在负频率,而是为了用复指数函数表示正弦信号而引入的。
二、从信号分解的角度来理解频谱与信号的关系在以单一正弦信号建立起频谱概念的基础上,我们可以用由多个正弦信号叠加组成的信号波形和其频谱举例,进一步说图2 图1所示信号的双边谱明信号频谱表示的意义。
例如x 1(t )=5cos[2 (5)t ]+cos 2 (10)t - 4+3cos 2 (15)t + 3(3)式(3)表示x 1(t )可以分解为三个不同频率的余弦函数之和,它的波形和频谱如图3所示。
单从x 1(t )的时域波形,看不出信号是由哪些余弦函数叠加而成。
如果已知信号的频谱,则可以很清楚地了解信号所含各频率余弦函数分量的大小和相位,同时,也可以根据频谱写出x 1(t )的时域表达式。
可见,信号的频谱表示与信号的时域函数或波形表示是完全相当的,而且信号频谱所反映的某些特性,如包含不同频率分量的幅度和相位特性,要比时域表示更加清晰有效。
图3 x 1(t )的波形和频谱三、由傅里叶级数分解来分析周期信号频谱的特点周期为T 1、基频为 1=2 f 1=2 T 1的周期函数f (t ),满足狄义赫利条件,可分解为傅里叶级数f (t )=c 0+n =1c n cos(n 1+ n )(4)式(4)为三角形式傅里叶级数,其中c 0相当于频率为0的余弦函数分量。
因此,完全可以在以频率为变量的轴上分别画出每个余弦函数分量(也称为谐波分量)的幅度和相位,即频谱。
通过把余弦函数表示成共轭复指数函数之和,可将f (t )分解为复指数形式的傅里叶级数,即f (t )=n =- F n e j n 1t (5)F n 一般为复数,以频率为变量,可画出F n 的模和辐角的图,当n 取值为负时,相当于负频率项,所得的波形即为f (t )的双边谱。
以上要强调:傅里叶级数是时域周期信号的一种分解方式,不同的信号其傅里叶级数表示形式一样,只是各项系数不同。
这些系数即是信号的频谱,它可以反映信号各谐波分量的幅度和相位特性,已知信号的频谱,则可以按照式(4)或式(5)写出周期信号的时域表示式。
而周期信号频谱的特点,可以用周期矩形脉冲信号为例进行说明。
设该信号的脉宽为 ,周期为T 1,按照傅里叶级数的求解公式求出各项系数c n 或F n ,然后做出频谱图。
通过分析让学生理解以下一些重要结论:(1)幅度谱和相位谱是离散谱线,仅在离散点角频率n 1(或频率nf 1)上有值。
这是因为展开式中的每个谐波分量的频率都是基频 1的整数倍;(2)离散间隔就是基频 1=2 T 1,与周期有关,周期越大,间隔越小,谱线越密;(3)谱线包络为Sa 函数的主要特点,由此引出频带宽度的概念。
四、随傅里叶变换的引出来理解非周期信号频谱的意义傅里叶变换是分析非周期信号频谱的数学工具。
傅里叶变换的引出,许多典型的教科书都是按照这样的思路:将非周期120 刘芸 李宗伯 刘芳:引导学生理解信号频谱的概念和意义信号做周期延拓,求其傅里叶级数,然后令周期为无穷大取极限,从而引出非周期信号的频谱密度函数,即傅里叶变换。
学生在理解了周期信号频谱的特点后,容易理解当周期趋于无穷大时,谱线间隔趋于无穷小,即离散谱变为连续谱。
但由于此时频谱值也趋于无穷小,所以转而用单位频带内的频谱值,即频谱密度函数作为非周期信号的频谱。
频谱密度的概念是模糊的,学生难以理解。
在这个问题的讲解上,我们觉得要强调它作为信号频谱的意义,而淡化对密度的理解。
设f (t )为一非周期信号,f T 1p (t )= n =- f (t -nT 1)为其做周期延拓得到的周期信号,则有f (t )=lim T 1 f T1p (t )(6)将f T 1p 展开成傅里叶级数,其系数为F T1n =1T 1 T 1f T 1p (t )e -j n 1t d t (7)f n =lim T 1F T 1n =lim T 11T 1 T 1f T 1p (t )e -j n 1t d t T 1 0(8)可以这样理解F n :信号必然含有一定的能量,其总能量不会因信号的分解方式而发生改变。
周期增大,谱线增多,即分解的谐波分量增多,相应的幅度值减小,所含的能量减小以保证总能量不变。
当周期增至无穷大时,f (t )将分解为无穷多频率分量之和,此时每一分量的幅度值趋于无穷小,但信号的频谱分布依然存在。
从数学上解释:在极限情况下,无穷多个无穷小量之和,可能等于一个有限值,它取决于信号的能量。
而频谱密度函数为f ( )=lim T 1 F T 1n T 1=lim T 1 2 F T 1n (n 1) 1=lim 102 F T 1n ( ) 1(9)F ( )可以收敛到确定的值。
从式(9)可以看出F ( )仍然反映了F n 的特性,与F n 不同的是它的单位不再是数值的大小,而是密度单位。
用F ( )作为f (t )分解成频率分量的系数,可以得到傅里叶变换式f (t )=12- F ( )e j t d F ( )=- f (t )e -j t d t(10)式(10)可以和傅里叶级数表示式联系起来理解:f (t )分解为无穷多个幅度为F ( )d 2 的复指数函数之和,其幅度大小取决于F ( ),即信号频谱,这就是傅里叶变换的物理意义。
由于频率的间隔为无穷小,所以频率变成连续变量,求和式变成积分式。
离散谱变成了连续谱。
从数学意义上理解:傅里叶变换可以看作是函数的一种变量变换,将以t 为变量的函数变换为以 为变量的函数,而t 为时间变量, 为频率变量,所以傅里叶变换是一种时频变换,它们之间具有一一对应的关系,简记为f (t ) F ( )(11)由这种变换的一一对应关系,可进一步阐明信号的频谱和信号的时间函数表示所包含的信息量是完全相当的,它们可以相互转换。
另外,我们还可以用傅里叶变换对周期信号进行频谱分析,因而将任何信号的频谱分析统一在傅里叶变换的框架之下。
用傅里叶变换和用傅里叶级数求解周期信号的频谱,要注意强调其结果的异同,异:傅里叶变换频谱是离散的冲激函数序列,而傅里叶级数频谱是离散的幅度值。
同:它们都是离散谱,离散间隔相同,频谱包络相同,即所反映的特性一致。
进而还可以得出结论:时域周期 频域离散。
五、通过傅里叶变换的性质来说明频谱分析的实用意义傅里叶变换作为一种数学运算,有许多性质。
在这部分内容的教学中,我们认为要注意数学与物理意义相结合,加强性质的应用举例,强调由性质所揭示出的时域和频域对应关系,挖掘性质在实际中的应用事例。
例如利用性质计算复杂信号的频谱;傅里叶变换可以将时域中的微分运算变换成频域中的乘法运算,这个微分性质为我们分析LT I 系统带来了极大的方便;可以用以不同的速度重放录制好的磁带,听到声音会变化,这一日常生活中大家熟悉的现象为例帮助理解尺度变换性质;频移性质最现实的应用就是通信系统中的调制与解调,等。
通过这些事例的形象说明,使学生进一步加深对信号频谱的认识,学会运用。
总之,信号频谱是建立在用三角函数分解信号基础上的,先用简单的信号分解建立起频谱的概念,再用傅里叶级数分析周期信号的频谱,进而引出傅里叶变换,按此思路开展教学,学生比较容易理解傅里叶变换的意义所在。
另外,信号的频谱分析作为提取信号特征的重要手段,在信号处理领域有着广泛的实际应用,也有不少分析工具,如频谱分析仪、计算机上的软件分析工具等。
我们在教学中,应加强实践性教学环节,例如介绍频谱分析仪的基本原理和使用方法,利用M AT L AB 分析语音信号的频谱特征等,使学生能真正体会信号频谱分析的实用意义,同时也能进一步提高学生的学习兴趣,激发他们不断探索的好奇心和钻研精神。