江苏专转本高等数学模拟试题与解析(三)

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（三）

高等数学

注意事项：

1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。

2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。

3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内）

1、设函数)(x f 二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''>，则0x 为)(x f 的( ) A 、极大值点 B 、极小值点

C 、极小值

D 、拐点横坐标

2、设)2

sin(x y +=π

，则0

)

100(=x y 等于( )

A 、1

B 、－1

C 、0

D 、

2

1 3、连续曲线)(x f y =和直线a x =，b x =)(b a <与x 轴所围成的图形的面积是( ) A 、dx x f b

a ⎰

)( B 、⎰

b

a dx x f )(

C 、

⎰

b

a dx x f )(

D 、

⎰

a

b

dx x f )(

4、与三坐标夹角均相等的一个单位向量为( ) A 、（1，1，1）

B 、（

31，31，3

1

）

C 、（

3

1，

3

1，

3

1）

D 、（31-

，31-，3

1-） 5、设区域2

2

:14D x y ≤+≤，则D

dxdy =⎰⎰( )

A 、π

B 、2π

C 、3π

D 、4π

6、下列级数收敛的是( ) A 、

∑

∞

=1

1n n

B 、

∑∞

=-1

)1

cos 1(n n n

C 、11

(1)

n n n ∞

=+∑

D 、

∑∞

=+1

2

)11

(n n

n

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、极限423lim(

)2x

x x x

+→∞

+=+ 8、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0

,20

,tan 2sin )(x a x x x x x f 若)(x f 在0=x 处连续，则=a

9、积分

()3

b

a

x

f dx '=⎰

10、设向量1=→

a ，2=→

b ，3=+→

→

b a ，则=⋅→

→b a

11、微分方程30y y '''+=的通解是

12、幂级数

n n x n ∑

∞

=+1

1

1的收敛域为

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限)214(lim 2

x x x x -+-+∞

→。

14、已知()y y x =由方程(1)2x

xy

x y e xe

e -+=确定，求(0)y '。

15、求不定积分3

⎰

。

16、设⎩⎨⎧≤>+=1

,1

,12)(x x x x x f ，求⎰-+12

)1(dx x f 。

17、设区域D 为圆周ax y x 22

2=+与x 轴在第一象限所围部分，求⎰⎰D

xydxdy 。

18、已知函数),(xy y x f z +=，其中),(v u f 具有二阶连续偏导数，求y

x z x z ∂∂∂∂∂2,。

19、将函数()()()

2

213x f x x x =-+展开为x 的幂级数，并指出收敛区间。

20、求经过点)3,2,1(-A ，且垂直于直线6

54:z

y x L ==，

又与平面010987:=+++z y x π平行的直线方程。

21、设曲线x y ln =,

（1）求该曲线过原点的切线；

（2）求由上述切线与曲线及x 轴所围平面图形的面积；

（3）求（2）中平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积。

22、设函数)(x f 可导，且满足方程0

()()()x

f x x x t f t dt '=+

-⎰

，求)(x f 。

23、设[]b a x f ,)(在上连续，求证：⎰⎰

-+=b

a

b

a

dx x b a f dx x f )()(，并利用上述结果计算积

分⎰

-+=11

6)1ln(dx e x I x 。

24、设函数)(x f 在],[b a 上二阶可导，且0)(≠''x f ，0)()(==b f a f 。

证明：（1）任意),(b a x ∈，0)(≠x f ；（2）存在),(b a ∈ξ，使得)()(ξξf f '=。