数值分析实验

实验三 函数逼近与快速傅里叶变换 P95专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：07 一、实验目的1、熟悉matlab 编程。

2、学习最小二乘法及程序设计算法。

二、实验题目 1、对于给函数()21125f x x=+在区间[]1,1-上取()10.20,1,10i x i i =-+=，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行对比。

x y 图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。

3. 给定数据点(),i i x y 如表所示i x 0 1iy1用最小二乘法求拟合数据的二次多项式，并求平方误差。

三、实验原理与理论基础1．最小二乘原理与线性拟合：在函数的最佳平方逼近中],[)(b a C x f ∈，如果)(x f 只在一组离散点集}...,1,0,{m i x i =上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据｛}...1,0),,{(m i y x i i =｝的曲线拟合，这里)...1,0)((m i x f y i i ==，要求一个函数)(*x S y =与所给数据}...1,0),,{(m i y x i i =拟合，若记误差T m ),...(10δδδδ=，设)(),...(),(10x x x n ϕϕϕ是C[a,b]上线性无关函数族，在)}(),...(),({10x x x span n ϕϕϕϕ=中找一函数)(*x S 使误差平方和220222])([min ])(*[∑∑∑===-=-==mi i i m i i m i i y x S y x S δδ，这里 )(...)()()(1000x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++= （m n <）。

这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。

数据拟合是根据测定的数据间的相互关系，确定曲线),...,,;(10n a a a x s y =的类型，然后再根据在给定点上误差的平方和达到最小的原则，即求解无约束问题：∑=-=mi i n i n y a a a x s a a a F 121010,)),...,,;((),...,,(m in确定出最优参数：),...,1,0(*n k a k=，从而得到拟合曲线).(*x s y =2、多项式拟合。

3、定义1：设有数据},...,,{21m x x x X =和权系数),,...,2,1(m i i =ω称：∑==mi i i ix g x f g f 1)()(),(ω为函数为权的内积。

上以在和ω},...,,{21m x x x X g f =4、用正交函数最佳平方逼近：为避免出现正规方程组的系数矩阵是病态矩阵的情况，在选择多项式时需要考虑正交的多项式n n b a C span φφφφφφ,...,,],,[},...,,{.1010⊂=Φ设是正交基，即：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=k i ki k k i ,,0),(22φφφ 于是正规方程组可以简化为：,,...,1,0),,(22n k f a k k k ==φφ （1）解方程得到：.,...,1,0,/),(22*n k f a a k k k k ===φφ这里避免了求解病态方程组，提高了计算系数的精确度。

对任意的],,[)(b a C x f ⊂其最佳平方逼近函数为：)(/),()()(22**x f x a x s k knk nk k k kφφφφ∑∑===由式（1）以及∑=-=-+-=-=nk k k f a fs f s f s fsf 0*22***22*22),(),(),(φδ，导出平方误差为：∑=-=nk k ka f22*2222,)(φδ其平方根称为均方误差。

5、由题意决定,....),,1(2x x span ,即决定拟合多项式，分别计算1(,)(,)ni j ijm k k k k ==∑，1(,)(,)n i i j m k y k y -==∑，用(,)i j k k 组成方阵A,用(,)i k y -组成矩阵B ，利用A/B 求出该多项式的系数，再利用1(())^2niii f x y =-∑求出平方误差。

四、实验内容解：1、 >> i = 0:10; >> x = -1+*i;>> y = 1./(1+25*x.^2); >> p=polyfit(x,y,3); >> s=vpa(poly2sym(p)) s =- *x^3 - *x^2 + *x + >> f=polyval(p,x); >> plot(x,f,x,y,'o ')2、>> x=[0 1];>> y=[1 ];>> p1=polyfit(x,y,3)%三次多项式拟合p1 =>> p2=polyfit(x,y,4)%四次多项式拟合p2 =>> y1=polyval(p1,x);>> y2=polyval(p2,x);%多项式求值>> plot(x,y,'c--',x,y1,'r:',x,y2,'y-.')>> p3=polyfit(x,y,2)%观察图像，类似抛物线，故用二次多项式拟合。

p3 =>> y3=polyval(p3,x);>> plot(x,y,'c--',x,y1,'r:',x,y2,'y-.',x,y3,'k--')%画出四种拟合曲线3、M文件：function []=zuixiaoercinihe2(x,y)n=length(x);k00=0;for i=1:nk00=k00+1;endk01=0;for i=1:nk01=k01+x(i);endk02=0;for i=1:nk02=k02+x(i)*x(i);endk11=0;for i=1:nk11=k11+x(i)*x(i);endk12=0;for i=1:nk12=k12+x(i)*x(i)*x(i);endk22=0;for i=1:nk22=k22+x(i)*x(i)*x(i)*x(i);endk0y=0;for i=1:nk0y=k0y+y(i);endk1y=0;for i=1:nk1y=k1y+x(i)*y(i);endk2y=0;for i=1:nk2y=k2y+x(i)*x(i)*y(i);endA=[k00 k01 k02;k01 k11 k12;k02 k12 k22];B=[k0y;k1y;k2y];C=A\B;p=C(1);q=C(2);r=C(3);syms m;'拟合的二次函数为'f=p+q*m+r*m*ml=0;for i=1:nl=l+((p+q*x(i)+r*x(i)*x(i))-y(i))*((p+q*x(i)+r*x(i)*x(i))-y(i)); end'该拟合函数的平方误差为'end五、实验结果1、>> i = 0:10;>> x = -1+*i;>> y = 1./(1+25*x.^2);>> p=polyfit(x,y,3);>> s=vpa(poly2sym(p))s =- *x^3 - *x^2 + *x +>> f=polyval(p,x);>> plot(x,f,x,y,'o ')2、>> x=[0 1];>> y=[1 ];>> p1=polyfit(x,y,3)%三次多项式拟合p1 =>> p2=polyfit(x,y,4)%四次多项式拟合p2 =>> y1=polyval(p1,x);>> y2=polyval(p2,x);%多项式求值>> plot(x,y,'c--',x,y1,'r:',x,y2,'y-.')>> p3=polyfit(x,y,2)%观察图像，类似抛物线，故用二次多项式拟合。

p3 =>> y3=polyval(p3,x);>> plot(x,y,'c--',x,y1,'r:',x,y2,'y-.',x,y3,'k--')%画出四种拟合曲线3、>> x=[0 ]x =>> y=[1 ]y =>> zuixiaoercinihe2(x,y)ans =拟合的二次函数为f =m^2 + m + 1ans =该拟合函数的平方误差为l =六、实验结果分析与小结1、通过这次实习，我学会了如何使用matlab根据已知点或者函数进行线性拟合，并慢慢熟悉编写函数后如何进行改错，有些过程作了简单的注释，也明白了课本中最小二乘法算法如何逼近、如何运算，对第三章的理论内容有了更深的了解。

只有真正操作了才能将理论转为实践，有新的发现。

2、不足的地方仍然是matlab的使用。

虽然很简单的最基础的会了一点，可是使用matlab 仍有困难，有些函数编写不太对，结果出不来。

专业术语、函数程序编写、修改错误、运行函数这几个环节每次实习都会有很多问题，都会被卡壳，需要去找资料来查这些东西是如何编写的。

在不断地实习中要不断地改进，不断地学会更多关于matlab的操作内容，熟悉编程语言，不断积累经验。