电动力学数学全
电动力学常用数学公式
垐,,AA AAA A A A===（单位矢量）在坐标系中 31i ii A Ae ==∑ 直角系 z yz A A i Aj A k =++方向余弦：cos ,cos cos cos cos x y z Ax Ay Az Ae e e A Aβγαβγ===++321(A A =+二．矢量运算加法： A B B A +=+ 交换律 ()()A B C A B C ++=++ 结合律 31()iiii A B A B e =+=+∑ 满足平行四边形法则标量积：31cos i ii A B A BAB θ=⋅==∑A B B A ⋅=⋅ 交换律()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅ 分配律123123123sin n e e e A B AB e A A A B B B θ⨯== ()A B C A B A C ⨯+=⨯+⨯ 分配律A B B A ⨯=-⨯ 不满足交换律 123123123()()()A A A A B C B C A C A B B B B C C C ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯=3乘2，点2乘3）()()A B C A B C ⨯⨯≠⨯⨯三．矢量微分ˆˆdA dA dAA A dt dt dt=+ ()A B dB dAA B dt dt dt ⋅=⋅+⋅ ()A B dB dAA B dt dt dt⨯=⨯+⨯ 四．并矢与张量并矢： AB (一般 AB BA ≠)，有九个分量。
若某个量有九个分量，它被称为张量33,1,i i ijij i ji j i jT AB A B e e T e e====∑∑ i j e e 为单位并矢，矢量与张量的矩阵表示：123,i iA A Ae A A A ⎛ == ⎝∑1211223(,B AB A A A B A B A B ⎛⎫==++T AB = T T T T ⎛ = ⎝单位张量：31i j i e e ==∑0100 = ⎝,i j()()()()AB C A B C A C B AC BC B A C BAB C A B CA⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅()()()C AB C A B B C A B A C BA C ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅与矢量叉乘：()()AB C A B C C AB C A B ⎧⨯=⨯⎪⎨⨯=⨯⎪⎩并矢并矢两并矢点乘：()()()AB CD A B C D A B C AD CD AB ⋅=⋅=⋅≠⋅ (并矢) 两并矢二次点乘： ()():AB CD B C A D =⋅⋅ 标量与单位张量点乘：C C C ⋅=⋅=AB AB AB ⋅=⋅=:AB A B =⋅15-20分钟）)()A B A B +⨯- ()()2B A =⨯ ()()M b a c a b c =⋅-⋅与矢量C 垂直。
(完整word)论动体的电动力学(中文版)
论动体的电动力学大家知道，麦克斯韦电动力学-—象现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称,而这种不对称似乎不是现象所固有的。
比如设想一个磁体同一个导体之间的电动力的相互作用。
在这里，可观察到的现象只同导休和磁体的相对运动有关,可是按照通常的看法，这两个物体之中,究竟是这个在运动，还是那个在运动，却是截然不同的两回事。
如果是磁体在运动，导体静止着,那么在磁体附近就会出现一个具有一定能量的电场，它在导体各部分所在的地方产生一股电流。
但是如果磁体是静止的，而导体在运动，那么磁体附近就没有电场，可是在导体中却有一电动势，这种电动势本身虽然并不相当于能量，但是它——假定这里所考虑的两种情况中的相对运动是相等的--却会引起电流,这种电流的大小和路线都同前一情况中由电力所产生的一样。
堵如此类的例子，以及企图证实地球相对于“光煤质"运动的实验的失败，引起了这样一种猜想:绝对静止这概念,不仅在力学中,而且在电动力学中也不符合现象的特性，倒是应当认为，凡是对力学方程适用的一切坐标系，对于上述电动力学和光学的定律也一样适用，对于第一级微量来说，这是已经证明了的。
我们要把这个猜想（它的内容以后就称之为“相对性原理”）提升为公设，并且还要引进另一条在表面上看来同它不相容的公设：光在空虚空间里总是以一确定的速度 C 传播着，这速度同发射体的运动状态无关。
由这两条公设，根据静体的麦克斯韦理论,就足以得到一个简单而又不自相矛盾的动体电动力学。
“光以太”的引用将被证明是多余的,因为按照这里所要阐明的见解，既不需要引进一个共有特殊性质的“绝对静止的空间"，也不需要给发生电磁过程的空虚实间中的每个点规定一个速度矢量。
这里所要闸明的理论——象其他各种电动力学一样—-是以刚体的运动学为根据的，因为任何这种理论所讲的，都是关于刚体（坐标系）、时钟和电磁过程之间的关系.对这种情况考虑不足，就是动体电动力学目前所必须克服的那些困难的根源。
电动力学知识的总结
第一章 电磁现象的普遍规律§1.1 电荷与电场1、库仑定律（1）库仑定律如图1-1-1所示，真空中静止电荷'Q 对另一个静止电荷Q 的作用力F 为()'3''041r r rr Q Q F --=πε （1.1.1）式中0ε是真空介电常数。
（2）电场强度E静止的点电荷'Q 在真空中所产生的电场强度E为()'3''41r r r r Q E --=πε （1.1.2）（3）电场的叠加原理N 个分立的点电荷在r 处产生的场强为()'13'0'4iNi i i r r r r Q E --=∑=πε （1.1.3）体积V 内的体电荷分布()'rρ所产生的场强为()()'3'''041r r r r dV r E V--=⎰ρπε （1.1.4）式中'r 为源点的坐标，r为场点的坐标。
2、高斯定理和电场的散度高斯定理：电场强度E穿出封闭曲面S 的总电通量等于S 内的电荷的代数和)(∑ii Q 除以0ε。
用公式表示为∑⎰=⋅iiSQS d E 01ε （分离电荷情形） （1.1.5）或⎰⎰=⋅VSdV S d E ρε01（电荷连续分布情形） （1.1.6）其中V 为S 所包住的体积，S d为S 上的面元，其方向是外法线方向。
应用积分变换的高斯公式⎰⎰⋅∇=⋅VSdV E S d E（1.1.7）由（1.1.6）式可得静电场的散度为ρε01=⋅∇E 3. 静电场的旋度由库仑定律可推得静电场E的环量为0=⋅⎰Ll d E（1.1.8）应用积分变换的斯托克斯公式⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLS d E l d E从（1.1.8）式得出静电场的旋度为0=⨯∇E（1.1.9）§1.2 电流和磁场1、电荷守恒定律不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。
对于体积为V ，边界面为S 的有限区域内，有⎰⎰-=⋅V S dV dtdS d J ρ （1.2.1） 或0=∂∂+⋅∇tJ ρ（1.2.2）这就是电荷守恒定律的数学表达式。
电动力学复习
电动⼒学复习第⼀章电磁现象的基本规律1、描写静电场的基本⽅程（积分与微分），各⾃反映静电场的什么性质，以及微分⽅程反映场的局域性质的意义。
2、描写静磁场的基本⽅程（积分与微分），各⾃反映静磁场的什么性质，以及微分⽅程反映场的局域性质的意义。
3、电荷守恒定律的微分形式；欧姆定律的微分形式4、电荷系统单位体积所受电磁场作⽤的⼒密度（即洛伦兹⼒公式）5、1）电介质极化，极化体束缚电荷密度与极化强度的关系，极化⾯电荷密度与极化强度的关系；引⼊辅助量，电位移⽮量，电位移⽮量的定义式；对各向同性线性介质，电位移⽮量的表达式；如：均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体⾃由电荷密度f ρ的)1(0εε--倍。
2）磁介质磁化，引⼊辅助量，磁场强度，磁场强度的定义式；对各向同性⾮铁磁质，磁场强度的表达式6、电磁场边值关系如：1）介电常数分别为ε1和ε2两种绝缘介质的分界⾯上不带⾃由电荷时，分界⾯上电场线的曲折满⾜什么关系2）⽤边值关系证明:在绝缘介质与导体的分界⾯上,在静电情况下,导体外的电场线总是垂直于导体表⾯，在恒定电流的情况下,导体内电场线总是平⾏于导体表⾯。
7、麦克斯韦⽅程组，两个基本假设：感⽣电场和位移电流。
其中位移电流如何产⽣，位移电流与传导电流的共同点与不同点。
8、1）电磁场和电荷系统的能量转化和守恒定律的微分形式；2）电磁场的能量密度和能流密度表达式9、结合场的微分⽅程的数学上的散度、旋度的计算（如P34 习题3）如：已知电位移⽮量z y x e z e y e x D323++=，求电荷密度；已知电极化强度，求极化电荷密度；x e y e B y x+=是否为能表⽰磁感应强度的⽮量函数；若给出磁感强度为，求m 的值；⽮量是否可能是静电场的解第⼆章静电场1、在静电场中，电场强度 E和电位 ? 之间的关系；如：已知电势222z y x -=?，求电场强度；已知电势，求电场强度等2、静电势的微分⽅程和边值关系（注意导体的静电条件）3、⽤电荷密度和电势表⽰的静电场能量（注意只对总能量计算有意义，不能当做能量密度看待），如计算带电量Ｑ﹑半径为a 的导体球的静电场总能量； 4、唯⼀性定理是解静电学问题的理论基础5、分离变量法解拉普拉斯⽅程（球坐标系下通解的形式，以及问题具有轴对称性以及球对)()23(3mzy e z y e x e B z y x +--+=(2)xyzE yz x e xze xye=-++称性下的简化形式）如：P49-51 例题 2 与例题3补充习题：1）真空中半径为R 的带电球⾯，其电荷⾯密度为σ =σ0cos θ（σ0为常数），试⽤分离变量法求球⾯内外的电势分布。
电动力学——精选推荐
电动⼒学电动⼒学第⼀章静电场⼀、考核知识点1、真空与介质中静电场场⽅程，场的性质、物理特征。
2、电场的边值关系、在两种介质分界⾯上电场的跃变性质。
3、由场⽅程、边值关系，通过电荷分布确定场分布及极化电荷的分布。
4、静电场的势描述。
由势分布确定场分布、荷分布；通过静电势的定解问题，确定静电势的分布、场分布及介质极化性质的讨论。
⼆、考核要求（⼀）、场⽅程、场的确定1、场⽅程，场的边值关系，体、⾯极化电荷密度的确定式等规律的推导。
2、识记：（1）、真空与介质静电场⽅程。
（2）、电场的边值关系。
（3）、体、⾯极化电荷密度的确定式。
3、领会与理解：（1）、静电场的物理特征。
12（2）、P D E ,,与电荷的关系，⼒线分布的区别与联系。
（3）、在介质分界⾯上场的跃变性质。
4、应⽤：通过对称性分析，运⽤静电场的⾼斯定理确定场，讨论介质的极化，正确地由电荷分布画出场的⼒线分布。
（⼆）、静电势1、静电势⽅程、边值关系的推导。
2、识记：静电势的积分表述、势⽅程、势的边值关系、势的边界条件、唯⼀性定理。
3、领会与理解：势的边值关系与边界条件，荷、势与场的关系，解的维数的确定，电像法的指导思想与像电荷的确定。
4、应⽤：求解静电势定解问题的⽅法（分离变量法、电像法）的掌握及应⽤，求解的准确性，场的特征分析及由势对介质极化问题的讨论。
第⼆章稳恒磁场⼀、考核知识点1、电荷守恒定律。
2、稳恒磁场场⽅程，场的性质特点。
3、由场⽅程，通过流分布确定场分布与磁化流。
4、磁场的边值关系。
5、稳恒磁场的⽮势。
6、由磁标势法确定场。
3⼆、考试要求1、规律的推导：真空、介质中稳恒磁场场⽅程，电荷守恒定律的微分表述，体、⾯磁化电流密度的确定式，磁场的边值关系，⽮势⽅程及其积分解，磁标势⽅程和边值关系等。
2、识记：电荷守恒定律，稳恒磁场场⽅程，体、⾯磁化电流密度的确定式，⽮势引⼊的定义式，磁标势引⼊条件，磁场的边值关系，0=f α情况磁标势的边值关系。
电动力学公式总结
电动力学公式总结电动力学是物理学中研究电荷间相互作用及其相关现象的分支学科。
电动力学公式是描述电场、电势、电流、电荷等电动力学量之间关系的数学表达式。
本文将总结常见的电动力学公式，并进行简要解释。
1. 库仑定律（Coulomb's Law）库仑定律用于描述两个电荷之间的相互作用力。
假设两个电荷分别为q1和q2，它们之间的作用力F由以下公式给出：F = k * (q1 * q2) / r^2其中，k为库仑常数，r为两个电荷间的距离。
2. 电场强度（Electric Field Strength）电场强度描述在给定点附近单位正电荷所受到的力的大小和方向。
电场强度E由以下公式给出：E =F / q其中，F为单位正电荷所受的力，q为正电荷的大小。
3. 电势差（Electric Potential Difference）电势差描述电场对电荷进行的功所引起的状态变化。
电势差V由以下公式给出：V = W / q其中，W为电场对电荷进行的功，q为电荷的大小。
4. 高斯定理（Gauss's Law）高斯定理是一个描写电场线分布和电荷分布之间关系的重要定理。
它表示电场的流出和流入电荷的总和等于电荷总量除以真空介电常数ε0。
该定理由以下公式给出：∮E · dA = (1 / ε0) * Q_enclosed其中，E为电场强度，dA为微元的面积矢量，Q_enclosed为电荷的总量。
5. 法拉第电磁感应定律（Faraday's Law of Electromagnetic Induction）法拉第电磁感应定律描述通过磁场的变化引起的电场变化。
它由以下公式给出：ε = -dΦ/dt其中，ε代表感应电动势，dΦ/dt为磁通量的变化率。
6. 奥姆定律（Ohm's Law）奥姆定律描述了电流、电压和电阻之间的关系。
根据奥姆定律，电流I等于电压V与电阻R的比值，即：I = V / R其中，I为电流，V为电压，R为电阻。
电动力学电动力学二五(格林函数)
a RdR
0
2 0
d1
3 2
R2
2RRcos
R2 z2
15 8
R2
2RRcos
R2 z2 2
2
V0a2 2
R2
z z2
32
1
3 4
a2 R2
z2
15R 2a 2 8 R2 z2
2
21
17
例 在无穷大导体平面上有半径为a 的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘 环绝缘。设圆内电势为V0，导体板 其余部分电势为0，求上半空间的电 势。
18
解
以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板 垂直，R为空间点到z轴的距离。上 半空间的格林函数用柱坐标表出为
G
x,
x
1
1
4 0 R2 z2 R2 z2 2zz 2RRcos -
R2 R2 2RRcos
1
RR R0 2 R02 2RRcos
13
三、格林公式和边值问题的解
先考虑第一类边值问题 ，设V内有电荷分 布ρ，边界S上给定电势|s ，求V内的电势 (x)。
设区域内有两个函数(x) 和 (x) ，有格林公式
2 2 dV dS
x
dS
对第二类边值问题，由于 G(x,x’)是点上单位点电荷 所产生的电势，其电场通 量在边界面S上应等于1/0 ，即
S
n
G x ,
x dS
1
0
满足上式的最简单的 边界条件是
Gx, x 1
n
xS
0S
第二类边值问题的解
x
V
G
x,
x
x
dV
0
S
G
x,
x
电动力学(数学基础)
散的度强的弱重程要 度性 ，在 当于div，A可 用0 表，征表空示间该各点点有矢散量发场通发量散
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的
负源；当div
A
0
，表示该点为无源场。
在直角坐标系中：
divA A Ax Ay Az x y z
例：设u是空间坐 标A(xu,)y,z的u函数dA，(u证) 明
Operator
设有一标量函数 r x, y, z
d dx dy dz
x y z
x
i
y
j
z
k
dxi dyj dzk
Gx,
y,
z dl
G
n dl
p
n
dn θ
p dl
p
l
0
方向导数：
l
G n el
G
c
os
n
e
G cos
G
l max
n
引进梯度(Gradient)概念：
６ 0, A 0
证明:
( )
(
)
ex
x
(
)
ey
y
(
)
ez
z
(
)
ex (
x
x
)
ey (
y
y
)
ez (
z
z
)
(ex
x
ey
y
ez
)
z
(ex x
ey y
ez
) z
§0-5 二阶微分算符
Second-order Differentiation Operator
电动力学第四章电磁波的传播
第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。
分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。
学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。
一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。
2024年度最新电动力学郭硕鸿版课件
磁介质中磁场分布
1 2
磁介质的分类
根据磁化率的大小和符号，可将磁介质分为抗磁 性物质、顺磁性物质和铁磁性物质。
磁化强度
描述磁介质磁化程度的物理量，其大小与磁介质 的性质、外磁场强度及温度等因素有关。
磁场强度
3
描述磁场和磁介质相互作用的物理量，其大小等 于磁感应强度B与磁化强度M之差与真空磁导率 μ0的比值。
2024/3/24
31
THANKS
感谢观看
2024/3/24
32
9
静电场中的导体和电介质
01
导体
在静电场中，导体内部电场为零，电荷分布在导体的外表面。导体能够
传导电流，具有导电性。
2024/3/24
02 03
电介质
在静电场中，电介质内部可以存在电场，且电介质中的正负电荷中心不 重合，形成电偶极子。电介质具有极化现象，即在外电场作用下产生感 应电荷的现象。
电容
描述导体或电介质储存电荷能力的物理量。在给定电位差下的电荷储藏 量，记为C，国际单位是法拉（F）。
质能关系
质量和能量之间存在等效 性，可以通过爱因斯坦质 能方程进行相互转换。
23
四维时空观与洛伦兹变换
四维时空观
时间和空间构成了一个统 一的四维时空，物质和能 量在其中传播和相互作用 。
2024/3/24
洛伦兹变换
描述不同惯性参照系之间 物理量变换的基本规律， 包括时间膨胀、长度收缩 和质量增加等效应。
电磁波接收原理
接收天线接收到空间中的电磁波 ，将其转换为电路中的电流或电 压信号。接收过程需要满足一定 的频率、极化等条件。
21
05 相对论性电动力 学基础
2024/3/24
学习电动力学的数学准备
学习电动力学的数学准备2012-05-31 11:57:04| 分类：默认分类|举报|字号订阅知识前提1.普通物理（主要是电磁学），初等微积分，矢量代数—应很熟悉2.矢量分析，场论基础—作为本课程的第0章3.数理方法（程），特殊函数—提到时应该能理解第0章数学准备第一节矢量分析与场论基础在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。
因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.一、矢量代数1.两个矢量的点乘、叉乘若则, 的点乘(也称标量积)(),的叉乘(也称矢量积)，为, 的夹角方向：既垂直于，又垂直于,与满足右手螺旋关系。
叉乘的不可交换性2.三个矢量的混合积=几何解释:以为棱的平行六面体的体积性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。
(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。
3.三个矢量的叉乘令则同理故而二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。
两者取和。
("远正近负，再取和")二、场的概念在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。
这是需要引入场的概念。
如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。
1.数学上，场是空间时间的函数时间坐标空间坐标，构成右手系。
标量场空间的每一个点对应一个标量矢量场空间的每一个点对应一个矢量张量场空间的每一个点对应一个张量2.物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量3.记号标量场矢量场张量场4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。
电动力学 郭硕鸿 第三版
27
（3）无旋场必可表示为标量场的梯度
f 0
f
（4）无源场必可表示为另一矢量的旋度
f 0
f A
28
4.
算符运算公式
f f f f f f f g f g f g
7
3. 学生必修课程
物理学专业所有学生都 必须修读 《电动力学》。
8
4. 本课程主要内容
静电场、静磁场
（1）麦克斯韦方程 及其应用 平面电磁波的传播 电磁波的辐射 带电粒子和电磁 场相互作用
9
（2）狭义相对论
4. 本课程特点
(1) 数学运算形式相对较复杂， 尤其是矢量运算多，同时运用数 学物理方程
f
ex
x
ey
y
ez
z
fx
fy
fz
f dL ( f ) dS
S
24
3.关于散度和旋度的一些定理
（1）标量场的梯度必为无旋场
0
25
令
f
x
f z f y f x y z y 0 y z z
ab平行四边形面积 c a b cd平行四边形面积
a b d , d a, b c a b f , f c , d
x分量
c2 a1b2 a 2 b1 c3 a 3 b1 a1b3 f1 c2d 3 c3 d 2
电动力学数学全
t
) ˆj
Az (
t
)kˆ
r
dA( t ) dAx ( t ) iˆ dAy ( t ) ˆj dAz ( t ) kˆ
dt
dt
dt
dt
d
r (A
r B)
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
r d(A
r B)
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
导矢在几何上为一 切向矢量。
导矢在该处的切线 上，其方向指向 t 增 大的方向。
L,s
nˆ M r A( x , y ,z )
25
设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为
界的面积 逐渐缩S小，
也将LA逐 d渐l 减小，一般说来，这两者
的比值有一极限值，记作
A dl
lim L
——单位面积平均环流的极限
s0 s
rr
积法旋它线度与方的闭向大合小，曲且线通的( 常n形ˆlisL状 m 的无0正Ñ 关方，l向但A与显s 然d规l依定赖)要m于构a以xn成ˆ 闭右合手曲螺线旋为法界则的，面
(ar
r b
)ar
a
(b
c)
(a
c)b
(a
b)c
14
【证明】
ar
r (b
cr
)
r b
(cr
ar )
cr
(ar
r b
)
0
双重矢量积
a
(b
c)
(a
c)b
(a
b)c
Q
(ar
cr
r )b
电动力学的数学方法
电动力学的数学方法电动力学是物理学中研究电荷和电场、电流和磁场以及它们之间相互作用的学科。
为了解决电动力学问题，数学方法在分析和计算中起到了重要的作用。
本文将介绍在电动力学研究中常用的数学方法，包括微积分、向量分析和偏微分方程。
一、微积分微积分是研究函数的变化和求解导数、积分的数学工具。
在电动力学中，我们常常需要描述电场强度和电势的变化，利用微积分可以对这些物理量进行精确的建模和计算。
1.1 导数导数可以描述函数在某一点的变化率。
在电动力学中，电场强度的梯度就是电场的导数，表示了电场在空间中的变化情况。
导数的计算可以通过微分运算来实现，比如对电场分量各向量分量进行偏导数运算。
1.2 积分积分可以用来计算函数的面积、体积等量。
在电动力学中，通过对电场的积分可以求得电势差，从而得到电势能的变化情况。
积分在求解电场和电势分布时起到了重要的作用。
二、向量分析向量分析是研究向量场的数学工具，主要包括梯度、散度和旋度等运算。
在电动力学中，电场和磁场通常用向量场来描述，因此向量分析在电动力学的数学方法中具有重要的地位。
2.1 梯度梯度用来描述向量场的变化率和方向。
在电动力学中，电场强度是一个向量场，通过计算电场的梯度可以得到电场强度的空间分布和变化情况。
梯度运算可以通过向量微积分的方法来计算。
2.2 散度散度用来描述向量场的源和汇，表示了向量场中的量的流入和流出情况。
在电动力学中，电场的散度可以告诉我们电荷源的分布情况，通过计算电场的散度可以得到电荷的电场分布。
2.3 旋度旋度用来描述向量场的旋转程度和流动情况。
在电动力学中，磁场可以用向量场来表示，通过计算磁场的旋度可以知道磁场中涡旋的存在和分布情况。
旋度运算可以用向量微积分的方法进行计算。
三、偏微分方程偏微分方程是描述物理和工程问题中的连续变化的数学工具。
在电动力学中，麦克斯韦方程组是描述电磁场变化情况的偏微分方程组。
通过求解麦克斯韦方程组，可以得到电荷和电流的分布情况，从而研究电场和磁场的相互作用。
电动力学(数学基础)
细 论 ∇：原则上来说，有了Eq.(3.30)以及前面张量分析的基矢运算法则，便可以计算正交曲线坐 标系下任何形式的微分运算，但是这个过程中会涉及到联络的概念，比较难以计算，所以下面 来介绍一种较为简单的算法。 1 ∂ (3.34) ∇=e ˆi gi ∂µi 很明显，∇既是矢量又是线性算符，所以计算时可以分为两步： 1)忽略∇的矢量特征，仅把其当做算符作用于函数或矢量，但要保持等式的运算顺序； 2)再考虑∇是矢量，运用矢量公式进行计算，但要保证求导顺序的正确。 下面来看两个例子： ∇(A · B ) = ∇A (A · B ) + ∇B (A · B ) = B × (∇A × A) + (B · ∇A )A + A × (∇B × B ) + (A · ∇B )B = B × (∇ × A) + (B · ∇)A + A × (∇ × B ) + (A · ∇)B Eq.(3.35)利用了∇的算符特征，Eq.(3.36)利用了∇的矢量特性。 ∇ × (∇ × A) = ∇∇ × (∇ × A) + ∇A × (∇ × A) = ∇(∇A · A) − (∇ · ∇A )A = ∇(∇ · A) − (∇ · ∇)A ≡ ∇(∇ · A) − ∇2 A (3.40) Eq.(3.38)利用了∇的算符特征，Eq.(3.39)利用了∇的矢量特性。 一般我们用Eq.(3.40)来定义矢量的Laplacian。 因为电动力学经常碰到这类运算，所以应该熟悉这种计算方法，作为练习，大家可以尝试推导 书后附录一中的公式。 (3.38) (3.39) (3.35) (3.36) (3.37)
0
(2.5)
(2.6)
(2.7)
∂2ϕ ρ =− 2 ∂t 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（5）ar
r (b
ar
),
（4）(kˆ iˆ) ˆj
2、证明
ar
r (b
cr
)
r b
(cr
ar )
cr
(ar
r b
)
0
13
【计算】
混合积
a
(b
c)
b
(c
a)
c
(a
b)
（1）
rr A B
rr A B
=
（
Ar +Br）
Ar-
（
Ar +Br）
r B
=
r A
rr A+B
Ar-
r A
uv B
ddtuAvguBv
(6)
dt d（uAv
uv B)
dt
uv A
d
uv B
dt d
uv A
uv B
dt
dt dt
uv uv (7)若A A(u),而u u(t),则有 d A d A du
dt du dt
12
1、计算
补充练习题
（1 ）
r A
Br
r A
r B
（2）ar
(ar
r b
)
（3）( ˆj iˆ) kˆ,
a1( b1c1 c2b2 b3c3 ) b1( c1a1 c2a2 c3a3 )
a1( c • b ) b1( c • a )
7
所以
r rr r rr
f cd d ab
f1 c2d3 c3d2
a1(
c•
b)
b1(
c•
a)
同理
f2 a2 (c • b ) b2 (c • a )
（2）基矢的标积 （3）偏导数
eˆi eˆ j ij
xi x j
ij
9
小结
矢量代数中的两个重要公式
混合积
a
(b
c)
b
(c
a)
c
(a
b)
双重矢量积
a
(b
c)
(a
c)b
(a b)c
符号
ij
1 0
i=j i j
10
3、矢量微分
uv A( t
)
Ax (
t
)iˆ
Ay (
[abc]
(a
b)
c
ax bx
ay by
az bz
cx cy cz
混合积的坐标表达式
4
关于混合积的说明：
（1）向量混合积的几何意义：
[abc向]量(a的混b)合 c积是这样
a
b
c
的 表示 一以 个向 数量 ，它 a、的b绝、对c值 为
a
b
棱的平行六面体的体积.
(2)
[abc]
(a
b)
c
(b
(ar
r b
)ar
a
(b
c)
(a
c)b
(a
b)c
14
【证明】
ar
r (b
cr
)
r b
(cr
ar )
cr
(ar
r b
)
0
双重矢量积
a
(b
c)
(a
c)b
(a
b)c
Q
(ar
cr
r )b
(ar
r b
)cr
r (b
ar )cr
r (b
cr )ar
(cr
r b
)ar
(cr
ar
r )b
Br-
r B
r B
2
rr B A
（2）ar
(ar
r b
)
r =b
(ar
ar
)
0
（3）( ˆj iˆ) kˆ = (iˆ ˆj) kˆ = kˆ kˆ 1
（4）(kˆ iˆ) ˆj = ˆj ˆj 1
（5）ar
r (b
ar ),
双重矢量积
(ar
ar
r )b
(ar
r b
)ar
r a2b
c)
a
(c
a)
b.
混合积 a (b c) b (c a) （3）三向量a、b 、c 共面
[cab(ca]b)0.
5
三矢量的矢量积
c(
a
b)
c (ab ) c d (d ab )
d
a
d b
令f
c
d
且f必
在a,b构
成
的
平
面
内
则f d
所
以f (
c
d )可
ar
r (b
cr
)
r b
(cr
ar )
cr
(ar
r b
)
0
15
4、场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）
场的概念 ( The Concept of Field )
2
一、矢量代数和场论基础 1、矢量代数 2、 符号 3、矢量微分 4、场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）
5、积分变换公式
3
1、矢量代数
矢量的混合积
定义称为这设三已个知向三量个的向混量合a积 、，b记、为c[，ab数c量].(a
b)
c
设
cacaxxiicay
yj azk, j czk,
b bxi by j bzk,
t
) ˆj
Az (
t
)kˆ
r
dA( t ) dAx ( t ) iˆ dAy ( t ) ˆj dAz ( t ) kˆ
dt
dt
dt
dt
d
r (A
r B)
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
r d(A
r B)
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
导矢在几何上为一 切向矢量。
导矢在该处的切线 上，其方向指向 t 增 大的方向。
注意顺序 不能颠倒
11
➢矢性函数的导数公式
(1)
d
uv C
0,
(Cuv为常矢量)
dt
(2)
d（uAv
uv B)
d
uv A
d
uv B
dt
dt dt
(3)
d（kuAv)
k
d
uv A, (k为常量)
dt
dt
(4)
d（u
uv A)
du
uv A
u
uv dA
(5)
dt d（uAvguBv)
dt uAvgd
可 见c点 乘 远 的 是 正 的; c点 乘 近 的 是 负 的;
8
2、 符号
克罗内克符号的定义
ij
1 0
i = j 式中i , j 为所有正整数。
i j
（1）符号的挑选性
j
Aj ij A0 i0 A1 i1 L Ai ii L Ai
j0
—— 符号挑选出和式中作和变量j = i 的那一项。
以用
的a,b线
性组
合
表示
f ?
6
i j k f c d c1 c2 c3
d1 d2 d3
i j k d a b a1 a2 a3
b1 b2 b3
f1 c2d3 c3d2
c2( a1b2 a2b1 ) c3( a3b1 a1b3 ) a1(c2b2 b3c3 ) b1(c2a2 c3a3 ) (a1b1c1 a1b1c1 Preliminary Knowledge in mathematics
第一讲 绪论 第二讲 数学准备知识 第三讲 习题课
1
第二讲 数学准备知识
Preliminary Knowledge in mathematics
矢量场论复习、提高
一、矢量代数和场论基础 二、算符（）运算 三、并矢和张量 矢量场的Helmholtz定理
f3 a3 (c • b) b3 (c • a)
f
f1eˆ1
f2eˆ2
f3eˆ3
a(c • b) b(c • a)
c
(
a
b
)
a(
c
b
)
b(
c
a
)
可 见c点 乘 远 的 是 正 的; c点 乘 近 的 是 负 的;
(a
b)
c
?
( a b ) c [ c ( a b )] b( c a ) a( c b )