电动力学中的数学知识

四、场的微分算符
1、场的概念
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理 量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某 个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理 的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
r 场用一个空间和时间标量场 ( x, y, z, t ) = ( x, t ) r r r 坐标的函数来描述： 矢量场 A( x, y, z, t ) = A( x, t )
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三、电磁理论的发展历史：
1785年发现库仑定律（Coulomb） 1820年发现电流的磁效应（Oersted） 1831年发现电磁感应定律（Faraday） 1865年建立电磁场理论（Maxwell） 1905年建立狭义相对论（Einstein） 进入二十世纪后，建立了量子电动力学
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四、学习电动力学的目的：
定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及 矢量场在区域边界上的法线分量， r r A = ρ (x) V r r r 在 V内 × A = ω ( x) AnS = f ( S ) 在 S 面 上 则该矢量场在区域内是唯一确定的。
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六、常用定理与公式
4、复合函数
r r 3 a b = ∑
i =1
∑ a b e e = ∑ ∑δ a b
j =1 i j i j i =1 j =1 ij i
3
3
3
j
r r 3 a ×b = ∑
i =1
∑ a b e × e = ∑ ∑ε
j =1 i j i j i =1 j =1
3
3
3
ijk i
a b j ek
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10）εijkεijk = 6 9）εijkεijr = 2δ kr
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应用举例： r r 1 a × b = ε ijk ai b j ek = ε ijk ei a j bk ） r r r r r r r r r 2)证明：× (b × c) = (a c)b (a b)c a
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电动力学概述
一、电动力学的研究对象：电磁场 电磁场是电荷和电流激发的场；场 是物质存在的一种重要形式。 研究的具体内容： （1）电磁场的基本属性 （2）电磁场的运动规律 （3）电磁场与物质的相互作用
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二、电动力学的任务：
阐述电磁场及其与物质相互作用的 各个特殊范围内的实验定律﹐并在此基 础上阐明电磁现象的本质和它的一般规 律﹐以及运用这些规律定量地处理各种 电磁问题﹑研究各种电磁过程。
四、场的微分算符（续） 4）旋度
u r u r rot A = × A = lim u r × A ≠ 0 u r × A = 0 u r r ∫ A dl
L s → 0
S
称为矢量场的旋度
表明在区域内有漩涡状态，场线闭合。 表明在区域内无漩涡状态，场线不闭合。
u r r u r u r 斯托克斯公式（定理）： A d l = ∫ ( × A) d S ∫
三、δ符号和ε符号的几个公式（性质） v v 1）e e = δ i j ij 2）δ ii =δ11 +δ 22 +δ 33 =3 3）δijδ jm =δ im 4）δ ij A j = Ai 5）δ A = A ij jm im
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三、δ符号和ε符号的几个公式（续）
δ1i δ1 j δ1k 6）εijk = δ 2i δ 2 j δ 2k δ3i δ3 j δ3k δip δiq δir 7）εijkε pqr = δ jp δ jq δ jr δkp δ kq δ kr δ jq δ jr 8）εijkεiqr = δ jqδ kr δ jrδ kq = δ kq δ kr
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一、矢量代数（续）
ei × e j = ? ei × e j = 0 （当i = j） e1 × e2 = e2 × e1 = e3 e2 × e3 = e3 × e2 = e1 e × e = e × e = e 1 3 2 3 1 引入三阶完全反对称ε 符号,称之为置换符号,也叫做Levi-Civita符号 ε ijk = 0 i, j , k 其中任意两个相等时 ε123 = ε 312 = ε 231 = ε 213 = ε132 = ε 321 = 1 注：ε ijk当i, j , k为1， 3的偶排列时等于 + 1， 2， 当i, j , k为1， 3的奇排列时等于 1。 2， 所以：ei × e j = ∑ ε ijk ek
r r r r r r 即 F 可分解为 F = F1 + F2 [ × F = 0, F2 = 0 ] 。 1 r r F1 又称为 F 的横场部分，可引入标势 ， r F1 = ± r r r F2又称为 F 的纵场部分，可引入矢势 A，
r r F2 = × A
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六、常用定理与公式
3、唯一性定理
L S S
> 格林公式：第一公式： (ψ + ψ )dV = ∫
2 V
第二公式： (ψ ψ )dV = ∫
2 2 V
∫
S
r (ψ ψ ) dS
∫
S
r ψ dS
> 积分变换的一般规则： r ∫ dV ←→ ∫ dS
V S
∫
S
r dS × ←→
∫
L
r dl
体积分变面积分 r ∫V dV = ∫S dS r r r ∫V dV × A = ∫S dS × A r t t ∫ dV T = ∫ dS T
引言
一、什么是物理学？ 物理学主要研究物质的基本结构、 相互作用和物质最基本、最普遍的运动 形式（机械运动、热运动、电磁运动、 微观粒子运动等）及其相互转化的规律 的科学。
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二、研究物理问题的方法
1、通过观察、实验、计算机模拟得到事实和 数据 2、用已知的可用的原理分析事实和数据 3、形成假说和理论解释事实 4、预言新的事实和结果 5、修正更新旧的理论，形成新的理论 物理学已经形成实验物理、理论物理、计 算物理三足鼎立的科学
L s
它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为 该闭合曲线的任意曲面的积分，反之亦然。
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五、矢量微分算子
r r r = ex + ey + ez → 既具有矢量性质，又具有微分性质。 x y z r r r = ex + ey + ez x y z 它可以作用在矢量上，可以作点积、叉积。 r r r r r r r A x A y A z A = ex + ey + ez ex A x + ey A y + ez A z = + + y z x y z x 3 Aj δ ij or = ∑ xi i =1, j =1 r r r ex ey ez r r Az Ay r Ax Az r Ay Ax + ey + ez = × A = ex x y x y z z z y x Ax Ay Az
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三、物理学习中应该注意的几 点
1、除学习物理规律和解题技巧外，还必须从整体上掌 握物理学，了解各分支间的联系，从整体上逻辑的、 协调的把握物理学。 2、对于基本物理定律的优美、简洁、和谐以及辉煌应 有所体会，了解其普适程度和适用范围。 3、学会区别理论和应用、物理思想和数学工具、一般 规律和特殊事实、主要和次要矛盾、传统和现代的推 理方式等。 4、物理学是辨证唯物主义的坚实的自然科学基础，学 习物理必须以辨证唯物主义为指导，同时也有助于树 立辨证唯物主义的世界观。
（1）掌握电磁场的基本规律，加深探索 对电磁场性质和时空概念的理解。 （2）学习分析和处理一些基本问题的初 步能力。 （3）通过电磁场运动规律，更深刻的领 会电磁场的性质，帮助我们加深辩证唯 物主义的世界观。
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电动力学中的数学知识
一、矢量代数 二、任意矢量的点积和叉积 三、δ符号和ε符号的几个公式 四、场的微分算符 五、矢量微分算子 六、常用定理与公式
解 Q ：
(ψ ) ψ ψ = + x x x
(ψ ) ψ = + ψ z z z
(ψ ) ψ = + ψ y y y
r ψ r ψ r ψ r r r (ψ) = ex +ey +ez +ex +ey + ez ψ =ψ +ψ y z x y z x
(ψ ) = ψ +ψ
(
)
or = ε ijk
Aj xi
ek
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五、矢量微分算子（续）
例1、r = ? 例2、(ψ ) = ? r 例3、 r = ? r r 例4、 3 = ? r
r r r 例5、证明： A = A + A
( )
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例1：r =？
1 r 2 2 2 2 r = r = ( x x′) + ( y y′) + ( z z′)
k =1 3
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一、矢量代数（续）
ei e j = δij ei × e j = ∑εijk ek
k =1 3
表达了坐标基矢ei (i = 1,2,3)的基本性质
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二、任意矢量的点积和叉积
3 r a = a1e1 + a2 e2 + a3e3 = ∑ ai ei i =1 3 r b = b1e1 + b2e2 + b3e3 = ∑ bi ei i =1
稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关 变化场（时变场）：场函数与时间有关
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四、场的微分算符（续） 2）梯度
在空间某点的任意方向上，导数有无穷多个，其中一 个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。
$ n n 梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率，描 述了标量场的空间分布特征。 grad = =