VaR计量模型分析案例

ln (ht ) = ω + ∑ α i g (z t −i ) + ∑ β ln (ht − j )， g (z t −i ) = θzt + γ [ zt −i − E z t ]， z t =
q p i =1 j =1
εt
ht
在 TGARCH 模型中，条件方差 ht 表示为：
ht = ω + ∑ βht − j + γε t −1 d t −1 + ∑ α J ε 2 t −i 其中
ORDER 1 2 3 4 5 6 Q 73.8759 118.067 147.268 166.016 171.458 183.292 Prob>Q 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 LM 71.9199 94.3105 103.077 106.446 106.448 109.604 Prob>LM 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 ORDER 7 8 9 10 11 12 Q 189.701 192.070 194.180 200.472 207.641 208.600 Prob>Q 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 LM 110.049 110.074 110.101 112.086 114.006 114.455 Prob>LM 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
N ⎡ ⎛ ε 2 ⎞⎤ 1 ⎛ ⎛ v ⎞⎞ 1 ⎛ ⎛ v +1⎞⎞ ⎜ ( ( ) ) ( ) − − − + + L = ∑ ⎢log⎜ Γ⎜ v h v 1 log 1 log log 2 − Γ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ t ⎜ h (v − 2 ) ⎟ ⎟⎥ 2 t =1 ⎣ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ 2 ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ t ⎝ ⎠⎦
2
j =1 i =1
p
q
d t −1 = 1, ε t −1 < 0; d t −1 = 0, ε t −1 > 0
2
另外，以上模型中
∑ β j + ∑ α i <1，蕴涵 GARCH 过程为宽平稳。如果将此限制放宽
j =1 i =1
p
q
即是积分型 GARCH 模型，即 IGARCH 模型。对于 IGARCH 模型而言，无条件方差并不存 在。 同时， 考虑到股票市场的风险溢价， 在均值方程中加入条件方差的函数， 得到 GARCH-M 模型。一般来说，有效的股票市场上股价与其风险是正向相关的。 GARCH 模型建模程序包括： （1） 用 Augunmented-Dikey Fuller 方法检验序列平稳性。 （2） 用 Q 统计量识别序列自相关或偏自相关的阶数。 （3） 用 Lagrange multiplier 方法检验序列残差项的异方差性以确定条件方差方程数。 （4） 用 Most—Likelihood 方法得到方程中参数的最大似然估计。 （5） 评价模型。 3、VaR 模型检验方法 对 VaR 模型可采用 Kupiec 检验。设 N 为检验样本中损失高于 VaR 的次数，T 为检验样 本总数，P=1-C，C 是即定的置信水平。则检验的假设为：
2
逼近，同样有较好的检验效果。
三、沪市动态 VaR 模型的实证分析
1、数据选取和统计描述 本案例以上海证券市场综合指数为例，说明 VaR 的计算。考虑到中国股市是从 1996 年 12 月 16 日起实行涨跌停板限价交易制度的，采用此后的数据可以减少异常值的干扰，提高 模型的精度。 因此收集的数据为 1996 年 12 月 16 日至 2002 年 10 月 22 日的上证综合指数收 盘价格,共计 1404 个。 数据来源于中国股票市场交易数据库和证券之星 （） 网站。收益率是采用对数一阶差分形式，即设第 t 日的收益率为 rt ，则 rt = ln pt − ln pt −1 ，
pt 是 t 日上证综合指数的收盘价格。以下模型中的参数估计均是用 SAS6.12 统计软件实现
的。 如图 1 所示，上证综合指数收益率集中在（-0.05，0.05）之间，在波动较大的几个时段 上收益率绝对值的峰值达到了 0.1,在到达顶峰后又迅速回落。在样本期间，平均收益率为 0.00284，偏度为-0.256529，峰度为 9.401051，数据分布向左偏移，有一个沉重的尾巴。这 说明从整体上看，收益率低于其均值的时候较多，波动性强，尾部和中间包含了大量的统计 信息。J-B 正态性检验得到的统计量值为 2558.392，也说明收益率序列显著异于正态分布。
H0 :
N =P T
H1 :
N ≠P T
似然比统计量为：
⎡ ⎛ ⎛ N ⎞ N ⎛ N ⎞T −N ⎞ T −N lr = 2⎢log⎜ ⎜ ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎟ − log p N (1 − P) ⎟ ⎜ ⎢ ⎣ ⎝⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠ ⎠
(
)⎤ ⎥
⎥ ⎦
在原假设下， lr 服从于自由度为 1 的 χ 分布。在大样本条件下，也可以用正态分布来
3
0 .1 0 0 .0 5 0 .0 0 - 0 .0 5 - 0 .1 0 - 0 .1 5 2 0 0 4 0 0 6 0 0
图
8 0 0
1 上 证
1 0 0 0
综 合 指
1 2 0 0
数 收 益
1 4 0 0
2、 GARCH 模型族的建立 利用Q检验和LM检验识别序列的异方差性，结果见表1 。 表1 异方差性检验结果
这里的 Γ(• ) 是 GAMMA 函数，v 是自由度。似然函数可通过对偶牛顿算法或信赖域算 法极大化得到。 由于股市收益率的波动回随信息的变化而出现非对称性的特点， 利空消息引 起的波动一般更大，为了刻画波动的非对称性，Nelson 等人提出了非对称性（Asymmetric） GARCH 模型，包括 EGARCH 及 TGARCH 等模型。 在 EGARCH 模型中，条件方差 ht 为延迟扰乱 ε t −i 的反对称函数：
检验说明直到高阶收益率序列仍然存在着强烈的异方差性， 用ENGARCH模型族来拟合 数据是合理的。随后用Augument-Dikey Fuller方法对收益率进行单位根检验，得到的ADF值 拒绝了单位根的假设，序列是平稳的。 对序列 {rt }进行了自相关和偏自相关的检验后，我们选用的均值模型为：
rt = c + ϕrt −12 + ρ rt −15 + δ ht + ε t
1
二、GARCH
模型与 VaR 计算方法简介
1、VaR 计算模型 VaR（Value-at-Risk）是一定时期内，在一定的置信度下，投资组合可能出现的最大损 失，用公式表示为： VaR= − pt −1 e
(
μ +σF −1 ( p )
−1
)
（1）
其中， F (• ) 是收益序列的分布函数， p 为给定的显著性水平，即左尾概率。如果是静 态 VaR 只需利用极大似然法估计出参数 μ 和 σ ，将之代入计算公式即可。 2、基于 GARCH 模型的 VaR 计算方法 VaR 估计的条件方差方法属于动态 VaR 计算的分析方法,由于实际金融市场中收益率的 厚尾性会导致 VaR 对风险的低估,因此可以利用 GARCH 模型类中的条件方差来度量股票市 场 VaR。这样，VaR = pt −1 zα ht ，其中 ht 是由 GARCH 模型估计得到的条件方差， zα 根 据收益率分布决定。GARCH 模型的一般表达式可写成：
沪市动态 VaR 计量模型分析案例
西南财经大学统计学院 马 丹
一、案例背景
金融风险是指由于经济活动的不确定性而导致资金在筹措和运用中遭受损失的可能 性。在 20 世纪 80 年代以前，金融机构所面临的风险还主要是信用风险。然而，近 20 多年 来金融市场发生了重大变化，全球化的证券市场迅猛发展，资产证券化的趋势越来越强，外 汇交易和衍生品交易成了金融市场交易的重要组成部分。 这使得金融机构所面临的主要风险 已从信用风险转向了市场风险。 市场风险度量的方法有多种， VaR（Value-at-Risk）方法是目前金融市场风险测量的主 流方法。VaR 是一定的概率水平下，证券组合在未来特定一端时间内的最大可能损失。其优 点在于将不同的市场因子、 不同市场的风险集成为一个数， 较准确测量由不同风险来源及其 相互作用而产生的潜在损失，适应了金融市场发展的动态性、复杂性和全球整合性的趋势。 应该注意的是，VaR 本身的含义是风险价值，是一个数值，但是它是由一系列统计方法实现 的，因此在许多场合它又被称为风险度量方法。 VaR 方法是由 JP MORGAN 公司率先提出来的，并在实践中得到广泛应用。其在风险 测量合管理中的巨大优点已为国际金融监管当局认可和接受，1990 年以来的许多金融监管 法案和原则都充分强调了基于 VaR 的风险监管方法。巴塞尔委员会的巴塞尔银行业有效监 管核心原则、欧盟的资本充足法令等都要求金融机构用 VaR 技术确定内部风险资本要求、 风险控制等。 VaR 计算方法包括历史模拟法、方差——斜方差法和蒙特卡罗模拟法。历史模拟法和蒙 特卡罗模拟法由于在技术上较为复杂，较难实现，因此，在实践中常用的方法仍然是方差— —斜方差法。 方差——斜方差法中有两个需要注意的问题。 一是如何刻画金融数据的尖峰厚尾、 波动 簇集的时变特征。二是如何寻找金融数据的分布密度函数。 Risk MrtricsTM利用指数平滑技术来反映波动时变现象，并假定金融数据服从正态分布。 然而，大量文献资料证明，金融数据有强烈的ARCH效应，其尾部和中间部位集中了大量的 概率分布，比正态分布拥有“肥尾”特性。金融数据的集群性，异方差性等特征显然违背了 古典假设， 利用传统的基于古典假设的回归模型， OLS建模方法难以刻画出真实的数量规律， 所做出的统计推断也是不精确的。为了对金融数据做出有效的描述，Engle于 1982 提出了 ARCH 模型，模拟出数据的集群性特征，他的学生 Bollerslev 在 1986 年提出了 GARCH （Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasiticity）模型[1]，将高阶的ARCH模型 转化成为简洁的 GARCH 模型 , 描绘出金融数据方差项的某种自相关性。但实际应用中， GARCH模型虽然有助于模拟金融数据分布的宽尾特征，却不能解释金融市场上存在的杠杆 效应。针对这一问题，近年来Nelson等人提出了非对称性（Asymmetric）GARCH模型以刻 画出条件方差对正的价格变化反应弱而对负的价格变化反应强这一现象。这类模型包括 TARCH、EGARCH等，收益率序列残差往往假定为正态分布，但实际上正态GARCH模型不 能充分描述数据的尖峰厚尾性。对此，可以假定残差服从 t 分布、混合正态分布或一般误差 分布。本案例讨论了基于Normol-GARCH、t-GARCH的中国股市动态VaR测度方法，并比较 了两种假定下VaR的估计效果。