无穷区间上的广义积分

1 b 从 何 度 易 出 数 µ= 几 角 容 看 ， 值 ∫a f (x)dx表示 b−a 上的平均高度， 连续曲线y = f (x) 在[a, b] 上的平均高度，也就是函数 [ f (x)在 a, b]上 平 值 这 有 个 的 均 概 的 的 均 ， 是 限 数 平 值 念 拓 . 广
例 估 定 分 计 积
如果 f (x) 在[ a , b ] 上有 有负 ， ∫ f (x)dx 表示 时 则 正 由 a 线 曲 y = f (x)， 线x = a, x = b 直 及 x 轴所围成的平面图形的 于x 上 面 积位 于 轴 方的 积减 面 去 于x 下方 面积 如右 面积， 位 于 轴 的 ， 图 所示， 所示，即
b
y
Ay = f (x) 1
+
a
A 3
+
A2
− O
b x
∫
b a
f (x)dx = A − A + A . 1 2 3
四、定积分的性质
性质1 函数的代数和可逐项积分， 性质 1 函数的代数和可逐项积分，即
∫ [ f (x) ± g(x)]dx = ∫
a
b
b
a
f (x)dx ± ∫ g(x)dx.
a
a = x1 < x2 < x3 <L< xn−1 < xn= b ,分 a , b ] 为 n 个小区间 分 [ , [ x i −1 , x i ] (i = 1 2,L, n).记
∆xi = xi − xi−1(i =1,2,L, n), λ = max{∆xi },
1≤i≤n
[ 再在每个小区间 xi −1 , x i ] 上任取一点 ξi ，作乘积 f (ξi )∆xi 的和式： 的和式：
b
b
我们补充如下规定： (2)定义中要求积分限 a < b ，我们补充如下规定： 定义中要求积分限 b 当 a = b 时，∫ f (x)dx = 0, 当 a > b 时，∫a f (x)dx = −∫b f (x)dx . 定积分的存在性： (3)定积分的存在性：当f (x) 在 [ a , b ] 上连续或只有有 定积分的存在性 [ 时, 分存在（ 限个第一类间断点 f (x) 在 a , b ] 上的定积 时 分存在（也称 可 积）.
∫e
−1
1
−x2
dx 的 . 值. 值
上的最大值和最小值. 解 先求 f (x) = e 在[-1,1]上的最大值和最小值. 上的最大值和最小值 −x2 因为 f ′(x) = −2xe ,令 f ′(x) = 0 ， 得驻 x=0 ， 点 比较 f (x) 在驻点及区间端点处的函数值 1 0 −1 f (0) = e =1, f (−1) = f (1) = e = , e M = 1, 最小值 m = 1 . 故最大值 e 1 2 −x2 由估值性质得， 由估值性质得， ≤∫−1e dx ≤2 . e
定积分定义的说明： 定积分定义的说明： (1)定积分表示一 定积分表示一 个数 它只 ， 取决于 被积 函数与 积分 、 上 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如： 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
∫ x dx = ∫ t dt
2 2 0 0
1
1
一般地， .一般地， ∫a f (x)dx = ∫a f (t)dt . 一般地
b
质2 面， 性 2 被积 函 的常 因 可提 质 分 数 数 子 到积 号外 ， 分 面 b b k 为常数） 即∫a kf (x)dx = k ∫a f (x)dx（ 为常数）. 性质3 （积分区间的分割性质） 若 a < c < b，则 性质 3 积分区间的分割性质 ） b c b ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx.
O C
B x
曲边梯形面积的确定方法： 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条， 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作 一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积， 一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲 边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小， 边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当 所有的长条宽度趋于零时， 所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就 成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： 成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： y y = f (x)
∫
b
a
f (x)dx = f (ξ )(b − a).
值定理 几何意 ： 边y = f (x)在[a,b]底 的 义： 中 义 曲 上所 围成 的曲边梯形面积， 的曲边梯形面积，等于同一底边而高为f (ξ ) 的一个矩形面 如下图所示. 积，如下图所示.
y f (ξ)
y =f ( ) x
O
a
ξ
b
x
第六章 定积分
第一节 定积分的概念 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的积分方法 第四节 广义积分
第一节 定积分的概念
一、定积分的实际背景 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
第一节 定积分的概念
一、定积分的实际背景
1. 曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段 若图形的三条边是直线段， 曲边梯形 若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线， 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲 边梯形，如左下图所示. 边梯形，如左下图所示 y 推广为 M P A A Q N
∑ f (ξ )∆x ,
n i=1 i i
果 如 λ →0 时,上 极 存 （ ， 个 限 与 [ a , b ] 上 述 限 在 即 这 极 值 的 割 点 i 的 法 无 ） 则 此 限 为 数f (x) 在 分 及 ξ 取 均 关， 称 极 值 函 [ 上的定积分， 区间 a , b ] 上的定积分，记为
性质6 定理） 上连续， 性质 6 （积 分中值 定理） 如果f (x) 在[a,b]上连续 ，
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∫
b
a
f (x)dx = f (ξ )(b − a).
将性质5 证 将性质 中不等式除以 b− a ，得 1 b m≤ ∫a f (x)dx ≤M. b−a 1 b [ 设 即 由于 ∫a f (x)dx = µ ,即m ≤ µ ≤ M .由于f (x) 为a,b] b−a 区间上的连续函数,所以 所以,它能取到介于其最小值与最大 区间上的连续函数 所以 它能取到介于其最小值与最大 值 间 任 一 数 （ 就 连 函 的 值 理 . 之 的 何 个 值 这 是 续 数 介 定 ） [ 因此在 a,b] 上至少有一点 ξ ，使得 f (ξ ) = µ，即 1 b ∫a f (x)dx = f (ξ), b−a
如果 f (x)≤0， ∫ f (x)dx ≤ 0，此时 f (x)dx ， 则 ∫
a
b
b
a
x 表示 由曲 y = f (x)， = a, x = b 及 x 轴所 线 围成 的曲
边梯形的面积A 负值， 边梯形的面积 的负值，即∫a f (x)dx = −A .
y a O b x
b
-A
y=f (x)
O
x0 x1 x 2 x0 = a xn =b
xn
x
曲边梯形面积的确定步骤： 曲边梯形面积的确定步骤： (1)分割 (1)分割 任取分点a = x0 < x1 < x2 <L< xn−1 < xn = b 把底边[ , ]分成n 个小区间[ 把底边[a,b]分成 个小区间[x1 , x2 ](i =1,2,L, n) . 小区间长度记为 ∆xi = xi − xi−1(i =1,2,L, n); ξ 在每个小区间[ (2) 取近似 在每个小区间[xi−1, xi ] 上任取一点 i ∆ 竖起高线 f (ξi ) ,则得小长条面积 Ai 的近似值为 ∆A ≈ f (ξi )∆xi (i =1,2,L, n ); i 个小矩形面积相加(即阶梯形面积) (3) 求和 把 n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积) 就得到曲边梯形面积A 就得到曲边梯形面积 的近似值
f (ξ1 )∆x1 + f (ξ2 )∆x2 + L+ f (ξn )∆xn = ∑ f (ξi )∆xi ;
ax (4) 取极限 令小区间长度的最大值λ = m≤n {∆xi } 1≤i
i =1
n
趋于零, 趋于零,则和式 的精确值， 的精确值，即
∑ f (ξ )∆x 的极限就是曲边梯形面积 A
i=1 i i
−x2
思考题
1.如何表述定积分的几何意义 根据定积分的几何 如何表述定积分的几何意义？ 如何表述定积分的几何意义？ 意义推证下列积分的值： 意义推证下列积分的值：
(1) (3)
∫ ∫
1
−1 2π
xdx; cos xdx;
a a c
三点的任何其他相对位置 上述性 ， 注： 对于 a, b, c 三点的任何其他相对位置， 质仍成立， 譬如： 质仍成立，譬如：a < b < c ，则
∫
c
a
f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx,
a b a c
b
c
b
b
∫
b
a
f (x)dx = lim∑ f (ξi )∆xi ,
λ→0
i=1
n
其 称f (x)为被 函 , f (x)dx 为 积 ， 为 分 量 中 式， 量， 积 数 被 式 x 积 变 ， [ a , b ] 为积分区间 a,b 分别称为积分下限和上限 为积分区间， 分别称为积分下限和上限. ， .
n
A = lim∑ f (ξi )∆xi .
λ→0
i=1
n
2．变速直线运动的路程 ． 运动， 设 某物 作 体 直线 运动 已知 度 = v(t) 是 ， 速 v 时间 间 0， 上 的 续 数 且 隔 T1 ,T2 ]上 连 函 ， v(t) ≥ ， 计 这 时 内 [ 要 算 段 间 所 的 程 解 这 问 的 路 步 与 例 似 走 路 . 决 个 题 思 和 骤 上 类 ： (1)分割 任取分点T =t0 <t1 <t2 <L<tn−1 <tn =T2，把 分割 1 [T ,T2 ]分成 n个小段，每小段长为 分成 个小段， 1 i ∆ti = ti − ti−1 （ =1,2,L, n ）; 上的运动视为匀速， (2)取近似 把每小段 ti−1, ti ]上的运动视为匀速 取近似 把每小段[ 上的运动视为匀速， ξ v 任取时刻 i ∈ [ti −1 , ti ] ， 作乘积 (ξi )∆ti ， 显然这小段时 间 i 所走路程 ∆si 可近似表示为 v(ξi )∆ti （ =1,2,L, n ）; (3)求和 把 n 个 求和 小段时间 上的路 相加 就 程 ， 得到总 路程s 的近似值， 路程 的近似值，即
a b
M 题设） 由性质4 ，由性质 证 因为 m ≤ f (x) ≤ （题设） 由性质 得 ，
再将常数因子提出， 再将常数因子提出 并利 ， ∫ mdx≤∫ f (x)dx ≤∫ Mdx ， 即可得证. 用 ∫ dx = b − a， 即可得证.
a a a b a
b
b
b
ξ 则至少存在一点 ∈[a, b]，使得
仍有
∫
b
a
f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx.
a c
b b
c
b
性质4 积分的比较性质） 性质 4 （积分的比较性质） 在[ a, b] 上若 f (x)≥ g(x)，则∫ f (x)dx ≥∫ g(x)dx.
a a
性质5 积分估值性质） 性质 5 （积分估值性质）设 M 与 m 分别是 f (x)在 上的最大值与最小值， [ a,b]上的最大值与最小值，则 m(b − a)≤∫ f (x)dx≤M(b − a).
a b a
三、定积分的几何意义
如果 f (x) > 0 ，则∫ f (x)dx ≥ 0 , 此时∫ f (x)dx
a a b b
x 表示由曲线y = f (x)， = a, x = b及 x 轴所围成的 曲边
梯形的面积A， 梯形的面积 ，即∫a f (x)dx = A .
y
b
y=f (x)
A
O a b x
s ≈ ∑v(ξi )∆ti ;
i=1 n
ax (4)取极限 当 λ = m {∆ti } →0 时， 述总和 取极限 上 的极 限
的精确值， 就是s 的精确值，即s = lim∑v(ξi )∆ti .
λ→0
1≤i≤n n
二、定积分的概念
i=1
定义 设函数 y = f (x) 在[ a, b ]上有定义，任取分点 上有定义， 上有定义