无穷限广义积分的计算(1)

指导教师：陈一虎

作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班．

无穷限广义积分的计算

陈雪静

（宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013）

摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣.

关键词: 广义积分;收敛;计算方法

广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法.

1 无穷限广义积分的定义

定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限

lim ()d t

a

t f x x →+∞⎰

存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,

记作()d a

f x x +∞

⎰

,即

()d a

f x x +∞

⎰

=lim ()d t

a

t f x x →+∞⎰;

这时也称反常积分()d a f x x +∞⎰

收敛;如果上述极限不存在,函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分()d a

f x x +∞

⎰就没有意义,习惯上称为反常积分()d a

f x x +∞⎰

发

散,这时记号()d a

f x x +∞⎰

不再表示数值了.

类似地,设函数()f x 在区间(,]b -∞上连续,取t b <. 如果极限

lim ()d b

t

t f x x →-∞⎰

存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分,记作()d b f x x -∞

⎰

,即

()d b

f x x -∞

⎰

=lim ()d b

t

t f x x →-∞⎰;

这时也称反常积分()d b f x x -∞

⎰收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分()d b

f x x

-∞

⎰

发散.

设函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内连续,如果广义积分

()d c

f x x -∞

⎰

和()d c

f x x +∞

⎰

（c 为常数）

都收敛,则称上述两个反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内的广义积

分,记作()f x dx +∞

-∞

⎰

,即

()d f x x +∞

-∞

⎰

=()d c

f x x -∞

⎰

+()d c

f x x +∞

⎰

=lim ()d c

t

t f x x →-∞⎰+lim ()d t

c

t f x x →+∞⎰

这时也称广义积分()d f x x +∞

-∞

⎰

收敛;否则就称反常积分()d f x x +∞

-∞

⎰

发散.

上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分.

2 无穷限广义积分的计算方法

2.1利用广义积分的定义求无穷限广义积分

由定义计算可以分两步:

1求定积分()d A

a

f x x ⎰=()F A .需要说明的是原函数()F A 均指有限形式.

2取极限lim ()d A

a

A f x x →+∞⎰

=lim A →+∞

()F A .

例1

［1］

计算

231

21()d 1x x x

+∞

++⎰

解 =23

1

21lim

()d 1b

b x x x →+∞++⎰

231121lim[

d d ]1b

b b x x x x →+∞

=++⎰⎰

211

1l i m [2a r c

t a n ]

2b

b

b x x

→+∞=-

211

lim[2arctan arctan1]22

b b b →+∞=--+

2π11

lim 2arctan lim 222

b b b b →+∞

→+∞=-

-+ π122

=

+ 2.2利用含参量积分的理论求无穷限广义积分

含参量积分:

10

()e d s x s x x +∞

--Γ=⎰

（0s >）

1110

(,)(1)d p q p q x x x --B =-⎰ （0,0p q >>）统称为欧拉积分.

其中()s Γ称为格马函数.(,)p q B 称为贝塔函数.且有递推公式

(1)()s s s Γ+=Γ 及 1

(,)(,1)1

q p q p q p q -B =

B -+-.

因此在计算广义积分时看所给广义积分当,,s p q 为何值时对应的欧拉积分,然后用欧拉积分公式直接算出广义积分的值.

例2［5］ 求2

20

e d n x x x +∞-⎰

（n 为正整数）

解 此广义积分与表达式相似,因此可用Γ函数法求解.

2

20

e d n x x x +∞

-⎰

=lim

A →+∞

2

20

e

d A

n x x x -⎰

2

t x

=21

20

1

lim e d 2A n t A t t --→+∞⎰