无穷区间广义积分的几种计算方法
无穷限的广义积分.
cos
x 0
.
极限不存在
sin xdx
是发散的
若认为积分区间关于原点对称，被积函数为
奇函数，按定积分公式③计算就错了.
例3 计算广义积分 ex sin xdx . 0
解 先计算定积分 Aex sin xdx 0
A
0
e
x
sin
xdx
A 0
sin
xd
ex
ex
sin
x
A 0
A ex cos xdx
a
f xdx
lim Ft Fa F Fa； t
b
f xdx
Fb lim Ft Fb F ； t
f
xdx
lim
t
F
t
lim
t
F
t
F F .
（2）当
f x为奇函数时,
f
x
dx
不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
f
xdx
lim
A
B
A
f
xdx,
B
这里A与B是相互独立的.
3.例题
例1
计算广义积分
0 e
x
dx
.
解
0exdx
ex
0
1.
y
这个广义积分值的几
何意义是,当t
时，图5－7中阴影部
1
y ex
分向左无限延伸，但 其面积却有极限值1 .
t
ox
图5－7
例2 计算广义积分 sin xdx .
解
sin
xdx
0 sin
xdx
0
sin
xdx
积分区间为无穷区间的广义积分
存在，
记作：
，
即：
=
此时也就是说广义积分
收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分
时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。
类似地，设函数 f(x)在区间(-∞，b]上连续，取 a<b.如果极限
. 发散，此
则此极限叫做函数 f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分，
存在，
此时也就是说广义积分
如果广义积分
广义积分
在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的 积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。 一：积分区间为无穷区间的广义积分
设函数 f(x)在区间[a,+∞)上连续，取 b>a.如果极限
则此极限叫做函数 f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积分，
和
(-∞,+∞)上的广义积分，
记作：
，
即：
=
收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分
. 发散。
都收敛，则称上述两广义积分之和为函数 f(x)在无穷区间
记作：
，
即：
=
上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。
例题：计算广义பைடு நூலகம்分 解答：
无穷限的广义积分
b
c
b
f ( x )dx
16
思考题
积分 ∫0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x −1
2010-1-4
广义积分(22)
17
思考题解答 积分 ∫0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x = 0, x −1
x =1
ln x 1 = lim = 1, ∵ lim x →1 x x →1 x − 1
ln x ∵ lim =∞ x →0 x − 1
∴ x = 1 不是瑕点,
是瑕点,
∴ x=0
∴ ∫0
2010-1-4
1
ln x dx x −1
的瑕点是 x = 0.
广义积分(22) 18
2010-1-4 广义积分(22) 12
a −ε
1 例 6 证明广义积分 ∫0 q dx 当q < 1时收敛，当 x q ≥ 1时发散.
1
11 1 dx = ∫0 dx = [ln x ]1 = +∞ , 证 (1) q = 1, ∫0 q 0 x x ⎧+ ∞, q > 1 1− q 1 1 1 ⎡x ⎤ ⎪ ( 2) q ≠ 1, ∫ q dx = ⎢ ⎥ = ⎨ 1 ,q<1 0 x ⎣1 − q ⎦ 0 ⎪ ⎩1 − q 1 因此当q < 1时广义积分收敛，其值为 ； 1− q 当q ≥ 1时广义积分发散.
广义积分(22)
10
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点 c (a < c < b ) 外连 续，而在点 c 的邻域内无界.如果两个广义积分
∫a f ( x )dx 和 ∫c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
无穷限的广义积分
a
F(x)bF(b)F(a). a
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， 则定义 4，5，6 中的广义积分可表示为
例 7 判断
解 故积分收敛.
1 dx
0 1 x
1 dx 收 敛 性.
1 x 1
2 1x 2.
0
0
例 8 讨论广义积分
解 当 p = 1 时，
1 dx
0 xp
的 收 敛 性 .
e xln x
解 故该积分发散.
1
1 x p dx,
dx lnx
1x
1
例 6 证明广义积分 当 p > 1 时，收敛；当 p ≤ 1 时，发散 . 证 p = 1 时，则 所以该广义积分发散.
当 p > 1 时， 综合上述，
该广义积分收敛. 当 p ≤ 1 时，
该广义积分发散. 1 时，则
a
c
都收敛， 则称这两个广义积分之和为函数 f (x) 在区
间 [a, b] 上的广义积分，记作
b
f (x)dx,
即
a
b
c
b
af(x )d xaf(x )d x cf(x )d x .
这时也称广义积分收敛， 否则，称广义积分发散.
F(x) F(b)F(a) b
bcb
af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx
取实数 b
b
lim f(x)dx
b a
存在， 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + )
上的广义积分， 记作
f(x)dx,
即
a
b
f(x)dxlim f(x)dx.
a
b a
这时也称广义积分收敛，
无穷区间上的广义积分.
b
a
f
(
x
)dx
.
或 b f ( x)dx F ( x) b F (b) lim F (a) F(b) F(a)
a
a
xa
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
例1 计算广义积分
例题
41
41
1) 0
x dx , 2) 0 x2 dx
解 1） 因为 lim 1 , 所以 1 在x 0的右邻域无界.
x2
1 x
2
dx
1 3
2
1 x 1
1 x
1
dx
1 3
ln
x
1
ln
x
1 2
1 3
lim
b
ln
b1 b2
ln 4
1 3
ln 4.
例题
例6
证明广义积分
1
1 xp
dx
当
p
1时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
b
f ( x)dx
a
0 a
或
b f ( x)dx F ( x) b lim F ( x) F (a)
a
a xb
3）设 f ( x)在[a,b]上除点c (a c b)外连续，
lim
xc
f
(x)
.则
b
a
f
( x)dx
5-5广义积分
lim 10
01 1
1 x2
d
x
lim
2 0
11 02 x2 d x
1 10
1
1
11
lim( x)
1
lim (
2 0
x)
lim (1
2 0
2
im0(1
1)
lim (1
2 0
2)
由于上面两个极限都不存在,所以
π 2
0
π， 2
所以，广义积分1
1 x2
dx
收敛，且
1
1 x
2
dx
π 2
π 2
π.
例3
证明广义积分
1
1 x p dx
当p 1收敛，当p 1时发散.
证明 当p 1时，则
lim 1 dx
1 xp
b
b 1
1dx x
lim
b
a
f
( x)dx，
若上述等式右端的极限存在,则称广义积分a f (x)dx 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分a f (x)dx
发散.
类似地，无穷区间 (,b]上的广义积分定义为
b
f
(x)dx
lim
a
b
a
f
(x)dx
(a b).
无穷区间 (,) 上的广义积分定义为
此时，如果上式右端两个广义积分 ac f (x)dx和cb f (x)dx
都收敛，则称广义积分ab f (x)dx 收敛，否则称广义积
分
b
a
11-1 广义积分
发散 ,
a
g ( x)dx
a
必定发散.
如果
g ( x)dx 收敛，由(1)知
解：
a
f ( x)dx 也收敛，论积分
e
1
x
x2
dx 的敛散性。
0e
x
2
e ,
x
x 1,
而由例2，积分
e
1
dx 收敛， 故积分
e
则
a
f ( x)dx 与
b a
b
f ( x)dx 有相同敛散性且有
b
a
f ( x)dx f ( x)dx
f ( x)dx.
此外，如同无穷级数一样有如下柯西收敛原理。
柯西收敛原理
无穷积分
0, 正数
A0 a, 只要 A A0 , A A0 , 便有
定义： 若无穷积分
a
f ( x) dx 收敛,则称无穷积分
a
f ( x)dx 绝对收敛。 若无穷积分 a f ( x)dx 收敛，
a
而无穷积分
f ( x) dx 发散,则称无穷积分
a
f ( x)dx 条件收敛。
绝对收敛的广义积分
例：
判别广义积分
e
ax
c
b
c
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim c f ( x )dx
0
否则，就称瑕积分
a f ( x )dx
b
发散。
广义积分
二、无界函数的广义积分
【例7】
二、无界函数的广义积分
【例8】
下列算式是否正确？
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
思考
(1)本节学习了几种不同类型的广义积分？它与定积分有何 区别与联系？
(2)为什么要学习广义积分？什么情况下要用广义积分？
谢谢聆听
广义积分
一、无穷区间的广义积分
定义1
设f(x)在区间［a,+∞)内连续，任取b>a，若极限 limb→+∞ 存在，则称此极限为f(x)在区间［a,+∞)上的广义积 分，记作∫+∞af(x ，即
(5-7) 此时称广义积分∫+∞af(x 存在或收敛；否则称广义积分 ∫+∞af(x 没有意义或发散． 类似地，可定义f(x)在区间(－∞,b］上的广义积分
一、无穷区间的广义积分
注意分
【例3】
这个广义积分的几何意义是：当a→－∞，b→+∞时，虽然 图5-8中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值π．
图 5-8
二、无界函数的广义积分
定义3
此时称广义积分
存在或收敛；否则称广义积分
没有意义或发散．这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点．
类似地，可定义f(x)在区间［a,b)上的广义积分
二、无界函数的广义积分
定义4
否则，称其没有意义或发散．
二、无界函数的广义积分
【例4】
二、无界函数的广义积分
图 5-9
二、无界函数的广义积分
【例5】
注意
该题的结论一般要记住，可作为定理使用．
二、无界函数的广义积分
【例6】
5.6无限区间上的广义积分
f (x)dx F(x) a b
f ( x)d x F(x)
f (x)d x F(x)
F() F(a)
F(b) F() F() F()
其中 F() lim F( x)，F() lim F( x)
x
x
例1 计算广义积分
解
arctan x
π 2
(
π) 2
π
练习 计算广义积分 0 xe x2 dx
常义积分
积分限有限 推广 无限区间的广义积分 被积函数有界 无界函数的广义积分
一.无限区间上的广义积分的定义
引例 求曲线
和直线 及 x 轴所围成的开
口曲边梯形的面积。
y
A
o 1b
A
dx
1
x2
lim b
b dx 1 x2
lim (
1
b
)
lim (1 1)
x
x b 1
b
b
1
定义 设f ( x)在[a , )内连续, 任取b a , 如果
31 2
因为
p
=
1 ，则广义积分发散。
2
小结
无限区间上的广义积分
b
f ( x)dx f ( x)dx
a f ( x)dx
作业 习题5.6 1,2
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无限区间上的广义积分, 记为
这时也称广义积分 则称广义积分
收敛 ; 如果极限不存在， 发散 。
类似可定义 f (x)在(, b]与(-,+)的广义积分
0
b
lim f (x)dx lim f (x)dx
a a
b 0
只要有一个极限不存在 , 就称
无限区间广义积分
∫ f (x)dx和
∫
+∞ a
＋∞ f (x)dx都收敛，则称广义积分−∞
∫
f (x)dx收敛，
＋∞ 否则称广义积分−∞
∫
f (x)dx发散 .
上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.
例2 求 ∫
+∞
+∞ −3x e dx. 0
解 ∫0 e−3xdx = lim ∫0e−3xdx
b b→+∞
1 b −3x = − lim ∫0e d(−3x) 3b→+∞
∫
定义为所求开口图形的 面积，并称定积分的极 A为函 限 为函 A 1 ＋ 1 ∞ [， 数 = 2 在区间1 + ∞)的广义积分，记作∫ y dx，即 2 1 x x ＋ 1 ∞ b 1 ∫1 2dx = blim ∫1 2dx. →+∞ x x
定义1 设函数 (x)在区间a,+∞)上连续，取 > a f [ b
无限区间广义积分
一、无限区间上的广义积分
一、无穷区间的广义积分
1 例1 求曲线 = 2 直线 =1及 轴为边界的开口图 y x x x 形 或称区域 的面积 ( ) .
1 由曲线 = 2 , 直线 =1, x = b(b >1)及 轴所围成 y x Ox x A 计算: 的曲边梯形的面积 ，可以用下面的定积分 1 1 1 b 1 A = ∫1 2 dx = − = −( −1) =1− ， x1 b b x 10 1 1 10 1 当b =10时， = ∫1 2 dx = − A =1− = 0.9 ， x1 10 x
∫
0 −∞
1
2
1+ x
dx
0 1 = lim a dx 2 a→−∞ 1 + x
5.5 广义积分
7
★ 例3. 证明广义 积分
p 1 时发散 .
当 p >1 时收敛 ;
证明: 当 p =1 时 当p≠1时
ln x
1 p
a
1 1 lim p1 1 p x+ x
a 1 p ; 因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 p1 当 p 1 时, 广义积分发散 .
x2 1 例 7 求 dx 1 x 4 1
1
1 x 1 arctan C 2 2x 2 2 1 x 1 1 x 1 1 所以 dx [ arctan ]1 0 4 1 x 1 2 2x 1 x2 1 arctan 2 2 x 在x = 0处不连续 1 x2 1 不是 4 在[1， 上的原函数 不可令 t x 1] 16
f ( x )dx t lim t f ( x )dx
t
例如
xdx，
由于
a
a a
xdx 发散， 故： xdx发散.
但 xdx 0,
a xdx alim 0 0 a
lim
a
注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误.
+
1
+ 1 1 dx dx 发散 2 x1 x
0 ( x 1)2 / 3
2
dx
2 [3( x 1)1 / 3 ]0 3[1 ( 1)] 6
13
例5. 证明广义积分 q 1时发散 . 证明: x = a为瑕点 当q = 1时，
当 q < 1 时收敛 ;
无穷限广义积分
(3) a [ f (x) g(x)]d x a f (x) d x a g(x) d x .
(4)
u(x)v(x) d x
a
u(x)v(x)
a
u(x)v(x) d x .
a
(5) 无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算.
(6) 若在[a, ) 上 f (x) g(x) , 则
d x x1 p
a xp 1 p
,
a
a 1 p , p 1
p 1, p 1.
发散 收敛
例3
计算
cos x d x .
0
解
cos x d x sin x
0
0
lim sin x sin 0 , x
由于 lim sin x 不存在，故原积分
的敛散性.
因为
lim
x
x
1
x3 x2
lim x2 x 1
x x2
,
故无穷积分
1
x3 d x 1 x2
是发散的.
例7
判别无穷积分 d x 的敛散性 . 1 x 1 x2
解 因为
lim x2 1 lim x 1, ( p 2 1) x x 1 x2 x 1 x2
cos x d x
发散 .
x
0
无穷积分的基本运算性质
设以下所有出现的积分均存在，则
a
(1) f (x) d x f (x) d x .
a
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
积分区间有无穷间断点的广义积分
二：积分区间有无穷间断点的广义积分
设函数f(x)在(a,b]上连续，而.取ε>0，如果极限
存在，则极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分，
仍然记作：.
即：=，这时也说广义积分收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分发散。
类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而.取ε>0，如果极限
存在，
则定义=；
否则就说广义积分发散。
又，设f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而.如果两个广义积分和
都收敛，
则定义：=+.
否则就说广义积分发散。
例题：计算广义积分(a>0)
解答：因为，所以x=a为被积函数的无穷间断点，于是我们有上面所学得公式可得：。
无穷限广义积分的几种计算方法
无穷限广义积分的几种计算方法
刘开生;杨钟玄
【期刊名称】《天水师范学院学报》
【年(卷),期】2002(22)2
【摘要】利用数学分析、复变函数、概率统计理论给出计算广义积分的几种方法.在教学中运用这几种方法可开拓学生视野,激发学生学习数学的兴趣.
【总页数】2页(P9-10)
【作者】刘开生;杨钟玄
【作者单位】天水师范学院,数学系,甘肃,天水,741001;天水师范学院,数学系,甘肃,天水,741001
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.无穷区间广义积分的几种计算方法 [J], 李志军
2.无穷限广义积分求值的几种方法 [J], 韩建玲
3.无穷限广义积分的计算方法及技巧 [J], 陈朝晖
4.无穷限广义积分的几种有效求解法 [J], 白水周
5.探究无穷限广义积分的计算方法 [J], 陈飞
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无穷限广义积分的计算方法及技巧
积 的 质 ，Ｉ‘ ） ≠” 一” 分 性 １ ” 一 ｄ Ｉ 故 Ｉ － ｘ １ Ｉ Ｌ ｌ
１无穷限广义积分 的直接 积分 法
＿ （
由定积分性质及极限运算 法则得
＋∞
． ．
我们在计算无穷 限广义积分时 ， 如果利用定义求值 ， 比 较繁琐 ， 而直接利用牛顿一莱布 尼兹公式 及无穷 限广义积 分 的基 本性质计算 ， 比较简便 。 则
关键词 ： 穷限广义积分 ； 无 基本性质 ； 奇函数 ； 函数 偶
Ｃａｃ ｌ ｔ ｅｈｏ ｓａ ｄ ｋ ｌ ｏ ｎ ｎｔ ｉ ｔｄ ｅ ａ ａｃ ｌｓ ｌｕ ａｉ ｍ ｔ ｄ ｎ ｓ ｉｌ ｆｉｆ ｉｅｌ ｎｇ ｉ ｍｉｅ ｉ ｇｒｌｃ ｌｕ ｕ ｎｔ Ａｂ ｔａ ｔ ｈｓａｔ ｌ ｉ１ ｔｏ ｕ ｅ ｈ ａｃ ｌｔｎ ｔｏ ｓｏ ｆｎｔ ｍｉ ｄ ｉｔｇａ ａｃ ｌｓ ｉ ｃ ｎｅｒｔｏ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｉ ｒｉ ｅｍａｎｙｉ ｒｄ ｃｓｔｅｃｌｕａｉｇｍｅｈ ｄ ｆｉｉ ｉｅｌ ｔ ｎｅ ｒｌｃｌｕｕ ：ｄｒ ｔｉｔｇａｉｎ，ｃ ａ ｇ ａｔｒ ｃ ｎ ｎ ｉ ｅ ｅ ｈ ｎ ｅｆｃｏ
ｏ ｎ ｅ ｒｔｏ ｆｉ ｔ ｇａ ｉｎ，ｓ ｂ ｅ ｔ ｎ ｉ ｔｇ ａｉ ｎ ｔ ｌｏｉ ｔ ｄ ｃ ｓｔ ｅｆ ｎ ａ ｎ ａ ｈ ｒ ｃｅ ｆｉ ｎ ｔ ｎ ｅ ｒｌｃ ｌ ｕ ｕ ｎ ｅ ｃ ｌ ｕ ａ ｉｎ ｏ ｔ ｎ ｅ ｕ ｓ ｃｉ ｎ ｅ ｒｔｏ ．Ｉ ｓ ｒ ｕ ｅ ｈ ｄ ｍｅ ｔｌｃ ａ ａ ｔｒｏ ｏ ａ ｎｏ ｕ ｉ ｆ ｎ ｉ ｉ ｔｇ ａ ａ ｃ ｌ ｓａ ｄ ｔ ａ ｃ ｌｔ ｆｓｒ ｇ ｅ ｈ ｏ ａ ｕ ｏｉ ｖ ｎ ｆ ｏ ｉ ． ｆ ｎ ｔ ｎａ ｄ ｅ ｅ ｎ ｔ ｎ ｏ ｎ ｕ ｏ
无穷限广义积分的数值计算[文献综述]
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毕业论文文献综述信息与计算科学无穷限广义积分的数值计算一．前言部分定积分的数值近似称为数值求积.[1]它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积．在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分．我们一般使用牛顿-科茨求积公式，梯形公式及其复合公式，辛普森公式及其复合公式，Gauss 求积公式，切比雪夫求积法，三次样条函数求积法，自适应积分法等方法来进行数值求积．在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”．根据函数的变化率，利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量，利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化，为了把握函数在无穷区间上增量的变化，我们还需要引进并讨论无穷限积分[2]．比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢?地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度．第二宇宙速度为11．2公里/秒，是第一宇宙速度的2倍．地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球．我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题．在黎曼积分的定义中，被积函数和积分区间都是有界的．若被积函数或积分区间无界，则称为广义积分．对无界区间，如[)∞，a ，如果对任何有限的b ，f 在区间[]b a ,上可积，并且下列极限存在且为有限数，则广义积分的定义为()()⎰⎰∞∞→=alim bab dx x f dx x f ．对无界的积分区间，可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分，具体方法如下：•用有限的积分区间代替无限的积分区间．选择积分范围时要注意所截掉的部分应是极小的，另外应对这一部分在整个积分中所占的份额作出估计．同时这个有限区间也不应太大，以免在利用自适应求积程序时，陷入无休止的积分函数调用之中．•通过适当的变换将无界区间变成有界区间．典型的变换包括，t x ln -=或者()t tx -=1．但是在变换的时候一定要注意不要引入新的奇异点或产生其它问题． 还有一种方法就是采用专门计算无界区间积分的求积公式，比如说高斯-拉盖尔（Gauss-laguerre ）或者高斯-艾尔米特求积公式．一般采用变量替换，无穷区间的截断，无穷区间上的高斯求积公式，极限过程等方法去解决无穷限广义积分的数值计算．二．主题部分2．1数值积分的一般方法许多定积分都无法用解析方法求出．对于那些并不知道函数()f x 的表达式只能通过实验得到()f x 在一系列点上的值的积分问题也只能用数值方法．[3]2．1．1梯形法则[4]把以曲线()f x 为曲边的曲边梯形分解成小曲边梯形以后，估计小曲边梯形面积的一个方法是用左矩形或右矩形面积代替小曲边梯形面积；但是这时误差会比较大．事实上，这种方法相当于用一系列的水平线逼近曲线()f x ．我们可以把这些水平线看成是函数的零次插值多项式．一个更好的方法就是用一条折线逼近曲线()f x ；事实上，我们让小矩形的上边连续倾斜直到最好地拟合曲线．得到相应的求积公式是()()()2bab af x dx f a f b -≈+⎡⎤⎣⎦⎰, ()2.1.1 对所有1f ∈∏（即次数最多是1次的全体多项式）公式精确成立．此外，它的误差项是()()31''12b a f ξ--, 其中(),a b ξ∈．通过多项式逼近中的误差()()()()()1''x f x p x f x a x b ξ-=--积分，再利用积分中值定理，可以确定梯形法则的误差项． 2．1．2复合梯形法则如果划分区间[],a b 为：01n a x x x b =<<⋅⋅⋅<=.那么在每个子区间上可应用梯形法则．这时结点未必是等距的．这样，我们得到复合梯形法则()()()()()1111112ii nnbx i i i i ax i i f x dx f x dx x x f x f x ---==-=≈-+⎡⎤⎣⎦∑∑⎰⎰.()2.1.2 对等间距()h b a n =-及结点i x a ih =+，复合梯形法则具有形式()()0''nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰， ()2.1.3其中求和符号上的两撇表示求和式中的第一项和最后一项都被减半.复合梯形法则的误差项是()()21''12b a h f ξ--, 其中(),a b ξ∈．对于每个子区间上的误差项求和并利用以下事实：在[],a b 内存在一点ξ使得()()()1''1''nii f n f ξξ==∑，其中()1,i i i xx ξ-∈以及()1n b a h =-，即平均值，这样便得到总误差项． 2．1．3辛普森法则[5]对任意区间[],a b 的类似计算可得到熟悉的辛普森法则：()()()462bab a a b f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰. ()2.1.4 从它的推导过程可知，对于所有次数2≤的多项式辛普森法则是精确成立的．出乎意料的是， 对于所有次数3≤的多项式它也精确成立．与辛普森法则联系在一起的误差项是： ()()()541290b a f ξ--⎡⎤⎣⎦, 其中(),a b ξ∈． 2．1．4 Gauss 公式[6]设有计算()()baI f f x dx =⎰ ()2.1.5的求积公式()()0nn kkk I f A f x ==∑， ()2.1.6其中求积节点()0,1,k x k n =L ，求积系数()0,1,k A k n =L .如果其代数精度为()21n +，则称为求积公式为Gauss-Legendre 公式（简称Gauss 公式），称相应的求积节点为Gauss 点．由代数精度的定义知，式()2.1.6为Gauss 公式的充分必要条件是求积节点{}0nk k x =和求积系数{}0nk k A =满足下列方程组：022212101n b k a k n b k k a k nb k k ak nbn n k k ak A dx x A xdxx A x dx x A x dx===++=⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰M . ()2.1.7 Gauss 积分不但具有高精度，而且是稳定的，其原因是由于它的求积系数具有非负性．Gauss 公式()()0nbkkak f x dx A f x =≈∑⎰的求积系数()0,1,kA k n =L 全是正的．高斯求积公式,[7]它不但具有最高的代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证．因此是高精度的求积公式，高斯公式的主要缺点是节点和系数无规律，所以不便编程实现，在实际应用中，可以把低阶高斯公式进行复化． 2．2 无穷积分的敛散性判别[8]无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题，是求解无穷积分近似值的一个先决条件．由定义知道，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛与否，取决于函数()()uaF u f x dx=⎰在u →+∞时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分的柯西准则．无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的充要条件是：任给0ε>，存在G a ≥，只要1u 、2u G >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．()2.2.1 我们知道，[9]无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的．在数项级数里面，当数项级数收敛时，其通项是收敛于零的．那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢．首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何意义：()af x dx +∞⎰收敛时的几何意义：若()f x 是[),a +∞上的非负连续函数，则()af x dx +∞⎰是介于曲线()y f x =，直线x a =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积J ．从而可知：()af x dx +∞⎰实际上是表示曲线()y f x =与坐标轴所围成的面积的代数和．而当()af x dx +∞⎰收敛时，是否()f x 在无穷远处的极限一定为零时，图形的面积才可以计算呢?如果回答否定，那么在哪些情况下，被积函数在无穷远处的极限才等于零呢?经过对若干例子的研究，我们得出结论：上述第一个问题的回答是否定的，并且有这样的事实：()af x dx +∞⎰收敛时()f x 在无穷远处的极限并不一定为零．被积函数在无穷远处极限为零的充分条件： 当()af x dx +∞⎰收敛时，在无穷远处的极限为零．以下就是经过对()f x 作某些限制而得出的几个结论，而这些结论就是对引言中的问题的回答．定理1． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()lim x f x →+∞存在，则有()lim 0x f x →+∞=；定理2． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()f x 单调，则()lim 0x f x →+∞=；定理3． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()f x 一致连续，则有()lim 0x f x →+∞=；定理4． 若()af x dx +∞⎰收敛且导函数()f x 有界，()lim 0x f x →+∞=．2．3无穷区间上的积分的计算方法考虑无穷区间上的积分 ()()aI f f x dx ∞=⎰, ()2.3.1其中a 为有限值或-∞．常用的无穷区间上的积分的求解方法:[10]2．3．1变量替换对于式()2.3.1，作变量替换xt e -=，可将区间[)0,+∞变为区间()0,1．因此有()()()110001ln g t f x dx f t dt dt t t∞=-=⎰⎰⎰. ()2.3.2这样就把无穷区间上的一个积分化成为了有限区间上的积分．若()g t t在0t =的邻域内有界，那么式()2.3.2的右边是一个正常积分，反之，积分是一个反常积分，上述变换只是把一种困难装换成另一个困难．变量替换还有很多不同类型． 例 计算积分22111sin dx x x∞⎰． 解 令1y x=，那么有12221011sin sin dx y dy x x∞=⎰⎰， 对2sin y 泰勒级数展开，有122210111111sin sin 342132075600dx y dy x x ∞==-+-+⎰⎰L 0.310268≈． 2．3．2无穷区间的截断将被积函数的“尾巴”略去，可使无穷区间化为一个有限区间，此方法要求事先用某种简单的解析方法估算出尾部的量值．选取R a >，使()0f x dx ε∞<⎰, ()2.3.3其中ε为允许误差，那么无穷区间上的积分()2.3.3可以用()Raf x dx ⎰来近似．例 计算2x e dx ∞-⎰．解：当x R ≥时有2x Rx ≥，所以有估计式221x Rx R RRedx e dx e R∞∞---≤=⎰⎰． 对于4R =，则28110R e R--≈．因此对于允许误差为710-来说，只要计算240x e dx -⎰就可以了．2．3．3无穷区间上的高斯求积公式无穷区间上的积分．高斯-拉盖尔求积公式和高斯-艾尔米特求积公式是最广泛实用的．下面作些补充．将插值型求积公式()()()()()()00,,nbk k a k n bi k a i k i i k x f x dx A f x x x A x dx x x ρρ==≠⎧≈⎪⎪⎨-⎪=∏⎪-⎩∑⎰⎰ ()2.3.4 中的[],a b 换为半无穷区间[)0,+∞，权函数()xx e ρ-=，并取节点()0,1,,k x k n =L 为1n +次拉盖尔多项式()()1111n xn xn n d L x e x e dx ++-++=的零点，称这样的高斯求积公式为高斯-拉盖尔求积公式，其表示形式为()()0,nxk k k e f x dx A f x +∞-=≈∑⎰()2.3.5系数k A 为()()122'1!n k k k n A x L x ++⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦()0,1,2,,k n =L ， ()2.3.6 截断误差为[]()()()()2221!22!n n R f f n ζ++⎡⎤⎣⎦=+， ()0,ζ∈+∞. ()2.3.7 高斯-艾尔米特求积公式是全无穷区间上的高斯型求积公式()()2nx k k k ef x dx A f x +∞--∞=≈∑⎰， ()2.3.8其中节点()0,1,,k x k n =L 为(),-∞+∞上带权()x x e ρ-=正交的1n +次艾尔米特多项式()()()2211111n n x x n n d H x e e dx++-++=-的零点，系数k A 为 ()()22'121n k n k n A Hx +++=⎡⎤⎣⎦， ()2.3.9截断误差为[]()()()()2211222!n n n R f f n ζ+++=+，(),ζ∈-∞+∞. ()2.3.10 在实际应用中有时希望一个或几个节点预先固定，然后确定其他节点和系数以使求积公式具有尽可能高的代数精度，这种固定部分节点的高斯型求积公式理论上总是可以按代数精度的等价定义[11]．2．3．4极限过程()()0lim r f x dx f x dx ∞∞→∞=⎰⎰,提供了极限过程．令010r r <<<L 是趋向于∞的数列．记()()()()0121r r r r r f x dx f x dx f x dx f x dx ∞=+++⎰⎰⎰⎰L ,右端每个积分都是正常积分，当()1n nr r f x dx ε+<⎰时，计算终止．2．4无穷限广义积分的新方法最近提出了一种基于进化策略算法的广义积分计算新方法，[12-15]该方法根据被积函数的变量区间任意选取分割点，作为进化策略的初始的群体，通过进化策略算法来优化这些分割点，最终可得到一些最优的分割点，然后再求和，再根据和函数定义适应度函数，在给定的终止条件下，可获得精度较高的积分值．最后，以广义积分(无穷限广义积分)为例，仿真结果表明，该算法相比传统的一些方法，具有计算精度高，自适应性强等特点．三、总结部分定积分的积分区间是有限的，但在实际问题中，往往需要突破这个限制，把积分区间从有限的推广到无限区间，形成了无穷限广义积分，因此，无穷限广义积分的基本性质、计算方法与定积分相类似[16]．在工程计算中也会遇到广义积分的数值计算问题，尤其是在近代物理等领域中会经常遇到广义积分(无穷限广义积分)的数值计算问题，不同的理论和方法的难易程度不同，我们应该注意观察总结，举一反三、巧妙地应用这些方法．同时也应该积极探索更新更有效的理论和方法去解决这些问题．四、参考文献[1]Michael T．Health．Scientific Computing: An Introductory Survey[M]．第2版影印版．北京 :清华大学出版社,2001．10:297-311．[2]李国莹,姜诗章,杨平,王国清．应用数学基础[M]．第2版．上海:复旦大学出版社,2003．2:97-97．[3]Leader J．J．Numerical Analysis and Scientific Computation[M]．影印版．北京:清华大学出版社,2008．5:314-314．[4]Curtis F．Gerald Partrick O．Wheatley著,吕淑娟译．应用数值分析[M]．第7版．北京:机械工业出版社,2006．9:22-223．[5]David Kincaid,Ward Cheneny著,王国荣,俞耀明,徐兆亮译．数值分析[M]．第3版．北京:机械工业出版社,2005．9:385-386．[6]孙志忠,袁慰平,闻震初．数值分析[M]．第2版．南京:东南大学出版社,2002．1:203-211．[7]李桂成．计算方法[M]．北京:电子工业出版社,2005．10:186-186．[8]华东师范大学数学系．数学分析上册[M]．第3版．北京:高等教育出版社,2001．6:264-270．[9]戴培亮．无穷限积分的被积函数在无穷远处的极限[J]．常熟理工学院学报．2006．11,20(6) :1-4．[10]《代应用数学手册》编委会．现代应用数学手册-计算与数值分析卷[M]．北京:清华大学出版社,2005．1:227-230．[11]封建湖,车刚明,聂玉峰．数值分析原理[M]．北京:科学出版社,2001．9:118-118．[12]郭德龙,周永权．基于进化策略的广义积分计算方法研究[J]．计算机工程与设计． 2008．10,29(19):5026-5028．[13]张艳红．一种工程实用的数值积分方法[J]．工程力学报．2005．6,22(3):39-45．[14]陈泽文,朱玉灿．高阶奇异积分的小波逼近及数值计算[J]．数学物理学报．2002．6,22(2):281-288．[15]张新育,杨松华．矩形域上非正常积分的一种数值算法[J]．郑州工业大学报． 1999．3,12(4):101-102．[16]李承家,胡晓敏．数学分析导教．导学．导考[M]．第3版．陕西:西北工业大学出版社,2003．6:234-234．。
5.4无限区间上的广义积分
第四节 无限区间上的广义积分 教学目的：使学生熟练掌握无穷区间上的广义积分及无界函数的广义积分 教学重点：无穷区间上的广义积分 教学过程：一、无穷区间上的广义积分定义1 设函数f (x )在区间[a , +∞)上连续, 取b >a . 如果极限dx x f ba b )(lim ⎰+∞→存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的广义积分, 记作dx x f a )(⎰+∞, 即dx x f dx x f ba b a)(lim )(⎰⎰+∞→+∞=.这时也称广义积分dx x f a )(⎰+∞收敛.如果上述极限不存在, 函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的广义积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义, 此时称广义积分dx x f a )(⎰+∞发散.类似地, 设函数f (x )在区间(-∞, b ]上连续, 如果极限dx x f ba a )(lim ⎰-∞→(a <b )存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间(-∞, b ]上的广义积分, 记作dx x f b)(⎰∞-, 即dx x f dx x f ba ab )(lim )(⎰⎰-∞→∞-=.这时也称广义积分dx x f b )(⎰∞-收敛. 如果上述极限不存在, 则称广义积分dx x f b)(⎰∞-发散. 设函数f (x )在区间(-∞, +∞)上连续, 如果广义积分dx x f )(0⎰∞-和dx x f )(0⎰+∞都收敛, 则称上述两个广义积分的和为函数f (x )在无穷区间(-∞, +∞)上的广义积分, 记作dx x f )(⎰+∞∞-, 即dx x f dx x f dx x f )()()(00⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=dx x f dx x f bb a a )(lim )(lim 00⎰⎰+∞→-∞→+=.这时也称广义积分dx x f )(⎰+∞∞-收敛.如果上式右端有一个广义积分发散, 则称广义积分dx x f )(⎰+∞∞-发散. 定义1' 连续函数f (x )在区间[a , +∞)上的广义积分定义为dx x f dx x f ba b a)(lim )(⎰⎰+∞→+∞=.在广义积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此广义积分收敛; 否则称此广义积分发散.类似地, 连续函数f (x )在区间(-∞, b ]上和在区间(-∞, +∞)上的广义积分定义为dx x f dx x f ba ab )(lim )(⎰⎰-∞→∞-=.dx x f dx x f dx x f bb a a )(lim )(lim )(00⎰⎰⎰+∞→-∞→+∞∞-+=.广义积分的计算: 如果F (x )是f (x )的原函数, 则 b a b ba b a x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(+∞→+∞→+∞==⎰⎰ )()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→.可采用如下简记形式:)()(l i m )]([)(a F x F x F dx x f x a a -==+∞→∞++∞⎰. 类似地 )(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x b b-∞→∞-∞--==⎰, )(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰. 例1 计算广义积分dx x211+⎰+∞∞-.解 ∞+∞-+∞∞-=+⎰][arctan 112x dx xx x x x a r c t a nlim arctan lim -∞→+∞→-= πππ=--=)2(2.例2 计算广义积分⎰+∞-0dt te pt (p 是常数, 且p >0).解 ∞+-∞+-+∞-⎰⎰⎰-==000]1[][pt pt pt tde pdt te dt te ∞+--⎰+-=0]11[dt e pte p pt pt ∞+----=0]11[pt pt e pte p 22211]11[lim pp e p te p pt pt t =+--=--+∞→.提示: 01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→pt t pt t pt t peet te .例3 讨论广义积分dx xp a 1⎰+∞(a >0)的敛散性.解 当p =1时, dx xp a 1⎰+∞dx x a 1⎰+∞=+∞==∞+ ][ln a x . 当p <1时, dx xp a 1⎰+∞+∞=-=∞+- 1]11[a p x p . 当p >1时, 1]11[11 1-=-=-∞+-+∞⎰p a x p dx xpa p p a . 因此, 当p >1时, 此广义积分收敛, 其值为11--p a p; 当p ≤1时, 此广义积分发散.二、无界函数的广义积分定义2 设函数f (x )在区间(a , b ]上连续, 而在点a 的右邻域内无界. 取ε>0, 如果极限dx x f btat )(lim ⎰+→ 存在, 则称此极限为函数f (x )在(a , b ]上的广义积分, 仍然记作dx x f ba )(⎰, 即dx x f dx x f btat ba )(lim )(⎰⎰+→=. 这时也称广义积分dx x f ba )(⎰收敛.如果上述极限不存在, 就称广义积分dx x f ba )(⎰发散.类似地, 设函数f (x )在区间[a , b )上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取ε>0, 如果极限dx x f tabt )(lim ⎰-→ 存在, 则称此极限为函数f (x )在[a , b )上的广义积分, 仍然记作dx x f ba )(⎰, 即dx x f dx x f tab t b a )(lim )(⎰⎰-→=.这时也称广义积分dx x f ba )(⎰收敛. 如果上述极限不存在, 就称广义积分dx x f ba )(⎰发散. 设函数f (x )在区间[a ,b ]上除点c (a <c <b )外连续, 而在点c 的邻域内无界. 如果两个广义积分dx x f c a )(⎰与dx x f bc )(⎰都收敛, 则定义dx x f dx x f dx x f bc c a b a )()()(⎰⎰⎰+=.否则, 就称广义积分dx x f ba )(⎰发散.瑕点: 如果函数f (x )在点a 的任一邻域内都无界, 那么点a 称为函数f (x )的瑕点, 也称为无界定义2' 设函数f (x )在区间(a , b ]上连续, 点a 为f (x )的瑕点. 函数f (x )在(a , b ]上的广义积分定义为dx x f dx x f btat ba )(lim )(⎰⎰+→=. 在广义积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此广义积分收敛; 否则称此广义积分发散.类似地,函数f (x )在[a , b )(b 为瑕点)上的广义积分定义为dx x f dx x f tabt ba )(lim )(⎰⎰-→=. 函数f (x )在[a , c )⋃(c ,b ] (c 为瑕点)上的广义积分定义为dx x f dx x f dx x f btc t ta c t ba )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+=. 广义积分的计算:如果F (x )为f (x )的原函数, 则有bt at bt a t ba x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰ )(l i m )()(l i m )(x Fb F t F b F ax at ++→→-=-=. 可采用如下简记形式:)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f a x b a ba +→-==⎰. 类似地, 有)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a ba -==-→⎰, 当a 为瑕点时,)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax b a ba +→-==⎰; 当b 为瑕点时,)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f bx b a ba -==-→⎰. 当c (a <c <b )为瑕点时,)](lim )([)]()(lim[)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f c x c x bc ca ba +-→→-+-=+=⎰⎰⎰. 例4 计算广义积分⎰-adx xa 0221. 解 因为+∞=--→221lim xa ax , 所以点a 为被积函数的瑕点. a aa x dx x a 022][arcsin 1=-⎰20a r c s i n lim π=-=-→a x a x .例5 讨论广义积分⎰-1121dx x的收敛性.解 函数21x在区间[-1, 1]上除x =0外连续, 且∞=→201lim xx .由于+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[101012xxdx x x , 即广义积分⎰-0121dx x发散, 所以广义积分⎰-1121dx x发散.例6 讨论广义积分⎰-ba qa x dx)(的敛散性.解 当q =1时, +∞=-=-=-⎰⎰b a ba ba q a x a x dx a x dx )][ln()(. 当q >1时, +∞=--=--⎰b a q ba q a x qa x dx 1])(11[)(. 当q <1时, qb a q ba q ab q a x qa x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)(. 因此, 当q <1时, 此广义积分收敛, 其值为q ab q---1)(11; 当q ≥1时, 此广义积分发散.。
无穷限广义积分的计算方法及技巧
无穷限广义积分的计算方法及技巧
陈朝晖
【期刊名称】《成都师范学院学报》
【年(卷),期】2007(023)001
【摘要】主要介绍无穷限广义积分的计算方法:直接积分法、换元积分法、分部积分法,无穷限议积分的基本性质及奇函数、偶函数在(-∞,+∞)上的无穷限议积分的计算.
【总页数】3页(P105-107)
【作者】陈朝晖
【作者单位】成都农业科技职业学院,成都,611130
【正文语种】中文
【中图分类】O17
【相关文献】
1.无穷区间广义积分的几种计算方法 [J], 李志军
2.收敛无穷限广义积分被积函数在无穷远处性质 [J], 张立柱
3.无穷限广义积分求值的几种方法 [J], 韩建玲
4.无穷限广义积分的几种计算方法 [J], 刘开生;杨钟玄
5.探究无穷限广义积分的计算方法 [J], 陈飞
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广义积分在平常 的应用 中涉及面比较 广，但对其的 计算往往成为 个难点。在计算无穷区间的广义 积分的时候 ，我们发现有时候从定 义出发有一定的困难 。本文从基本积分方法 引入 ，结合 了分部积分和 换元积分法 ， 出了其他的几种积分方法 ，以供大家参考 。 给 方法一 ： 换元积分法 在解决 被积函数 中含有无理式 的定积分 的计算时 ，我们通常会用 到换 元法 ， 通过换元达到简化 被积 函数而求 出积分结果的 目的。而正 常积分的这种换元法对广义积分也适用 ，我们在进行求解时可以考虑
方法五 ： 利用级数理论计算广 义 积分
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作者简介
究。
李 坚 （１７ 一），讲 师 。研 究方 向 ：体 育教 育训 练 与研 ９１
（ 收稿 日期 ：２ １ － ７ ２ ） ００ ０－ ０
璺，
基 璺 Ｊ ０ 年第 期
高 校 论 坛
无 穷 区 间广 义 积 分 的 几 种计 算 方 法
李 志 军
（ 疆 轻 工 职 业 技 术 学 院 新 疆 师 范 大学 数理 信 息 学 院 ） 新
摘 要 利用概率统计、数学分析理论给 出无 穷限广义积分 的几种计算方 法，在教 学 中运用这几种方法开拓学生视 野。激发 学生 的学习兴趣 。 关键词 无穷限广义积分 正态分布 计算方法
（ ９ ） 接６ 页 合体 育文化实现培养全面发展 大学生的教育新 目标 ，才能 保证高校大学 生在新时期更具有竞争力 。
参考文献
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