无穷区间上的广义积分.

例题
例１ 计算 e t dt 0
解
e tdx lim b e tdt
0
b 0
lim [e t
b
]0b
lim (eb 1) b
1.
例题
类似定义
2）
3）
f ( x)dx 0
f ( x)dx
0
f ( x)dx
0
b
lim a a
f
(
x)dx
lim
b
0
f ( x)dx
广义积分
•无穷区间上的广义积分 •无界函数上的广义积分
例题
广义积分
无穷区间
无界函数
无穷区间广义积分
定义 1） 设函数 f ( x)在区间[a,)上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷区间[a,) 上的广义积
分，记作 a
f
( x)dx.
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
41 x 4 3 2
dx , 2)
4 4
1 x2
dx
解 1） 1 在[4, 4]上除了x 0外连续,且 lim 1 .
3 x2
x x0 3 2
4 1 dx 0 1 dx 4 1 dx
x 4 3 2
x 4 3 2
0 3 x2
0
4
3 3
x
4
3 3
x 0
0
33
4
3
3
4
0
6
3
4
例题
2)
b
a
f
(
x
)dx
.
或 b f ( x)dx F ( x) b F (b) lim F (a) F(b) F(a)
a
a
xa
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
例1 计算广义积分
例题
41
41
1) 0
x dx , 2) 0 x2 dx
解 1） 因为 lim 1 , 所以 1 在x 0的右邻域无界.
和
b
c
f
( x)dx都
b
收敛时，广义积分 a f ( x)dx 收敛。
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
例题
a dx
例2 计算广义积分 0
a2 x2
解
lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点.
a
0
dx a2 x2
arcsin
x a
a
x
a
因此
例题
例5
计算
1
2 x2 x 2 dx.
解
2
x2
1 x
2
dx
？
1 3
1 dx 2 x1
2
x
1
1
dx
1 3
ln x 1 2 ln x 1 2
lim ln x 1 不存在 1 dx发散.
x
2 x2 x 2
例题
例5
计算
2
x2
1 x
2
dx.
解
2
1
dx x
2
.
解
dx
0 dx
dx
1 x2 1 x2 0 1 x2
lim a
0
a1
1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2 dx
lim arctan
a
x0a
lim arctan
b
x
b
0
lim arctana a
lim arctanb b
2
2
.
例题
记 F lim F x , F x F F a
x x0
x
4 1 dx lim 4 1 dx
0x
x 0
4
lim
0
2
x
lim
0
4
2
4
2)
41 0 x2 dx
1 x
4
0
lim
0
1 4
1
所以
4 0
1 x2
dx发散
例题
类似定义
2）设 f ( x)在[a,b)上连续，
lim f ( x) ，
xb
b f ( x)dx
lim
x2
1 x
2
dx
1 3
2
1 x 1
1 x
1
dx
1 3
ln
x
1
ln
x
1 2
1 3
lim
b
ln
b1 b2
ln 4
1 3
ln 4.
例题
例6
证明广义积分
1
1 xp
dx
当
p
1时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
0
arcsin a arcsin 0 .
a
a2
例题
例3
计算广义积分
ห้องสมุดไป่ตู้
2 dx . 1 x ln x
解
2 dx
1 x ln x
2 d(ln x) 1 ln x
ln(ln x)2 1
lim ln(ln 2) ln(ln( x)) x1
.
故原广义积分发散.
例4 计算广义积分
例题
1)
b
f ( x)dx
a
0 a
或
b f ( x)dx F ( x) b lim F ( x) F (a)
a
a xb
3）设 f ( x)在[a,b]上除点c (a c b)外连续，
lim
xc
f
(x)
.则
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
当且仅当两个广义积分
c
a
f
(
x
)dx
2、广义积分 1 dx 当_______时收敛；当_______时发 0 xq 散；
3、广义积分 dx 在______时收敛；在_______
2 x(ln x)k 时发散；
4、广义积分 x dx =____；
1 x2
例题
5、广义积分 1 xdx ________；
0 1 x2
0
b
注定义3）中 lim f ( x)dx 和 lim f ( x)dx
a a
b 0
只要有一个不存在，则有
发散
例题
例2 计算0 sin xdx.
解 a0sin xdx cosa
lim
a
a0sin
xdx
lim cos
a
a
不存在
0
sin
xdx
发散.
sin xdx
发散
例题
例3
计算广义积分
b p
p
e
ap
p
,
,
p0 p0
即当 p 0时收敛，当p 0 时发散.
无界函数的广义积分
定义 2
设
f
( x)在(a,b]上连续，
lim
xa0
f
(x)
（即在点a的右邻域内无界）．取 0，如果极
限 lim b 0 a
f ( x)dx存在，则称此极限为
f (x)在
(a,
b]上的广义积分，记作
,
p
1
1
,
p1 p1
因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 1 ； p1
当 p 1时广义积分发散.
例题
例 7 证明广义积分 e pxdx当 p 0时收敛， a
当 p 0时发散.
证
e pxdx a
lim
b
b
e
px
dx
a
e px b blim p a
lim e pa e pb
4 0
1 x2
dx
1 x
4
0
lim
0
1 4
1
所以
4 4
1 x2
dx发散
例题
3
例4 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
解
3 dx
0
2
( x 1)3
3(
x
1
1) 3
3
0
3 3 2,
例题
练习题
一、填空题：
1、广义积分 dx 当_______时收敛；当______ 时
1 xp 发散；