《微积分二》广义积分与G函数
《微积分》讲义
《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。
例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。
即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。
§1广义积分的概念与计算
§1广义积分的概念与计算广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数在一个区间上的积分的推广。
在数学中，广义积分是利用极限的概念来计算一些函数在无界区间上的积分。
广义积分的计算方法有多种，下面将详细介绍广义积分的概念以及常用的计算方法。
1.广义积分的定义广义积分的定义是通过极限来定义的。
设函数f(x)在区间[a, +∞)上有界，则称函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分为广义积分，记作∫(a, +∞) f(x)dx，定义如下：∫(a, +∞) f(x)dx = lim R->+∞ ∫(a, R) f(x)dx其中，R是一个无穷大的数。
广义积分存在的条件是收敛，即极限存在时，广义积分收敛，否则称为发散。
2.广义积分的计算方法计算广义积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
2.1.利用分部积分法分部积分法是一种常用的求解广义积分的方法，它是通过对被积函数进行适当的分解和对积分符号的操作来求解广义积分。
基本的分部积分公式为：∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx利用分部积分法，可以将复杂的广义积分转化为简单的广义积分，从而便于求解。
2.2.利用换元法换元法是另一种常用的求解广义积分的方法，它是通过引入一个新的变量并进行适当的代换，将原广义积分转化为一个简单的形式。
换元法的基本思想是利用变量代换来改变被积函数的形式，从而使得积分变得容易求解。
2.3.利用级数展开法级数展开法是一种将被积函数展开成无穷级数的方法，然后分别求解每一项级数的广义积分，最后将所有项的广义积分进行求和得到原广义积分的值。
级数展开法主要适用于一些特殊函数的广义积分求解。
2.4.利用对称性有些函数具有对称性，可以利用对称性来简化广义积分的计算。
例如，假设函数f(x)在区间[-∞, +∞]上是奇函数，则有∫(-∞, +∞) f(x)dx = 0。
利用对称性可以将广义积分化简为求解一个有界区间上的广义积分。
微积分课件 广义积分
1.无穷积分敛散性判别法
定理10 若ƒ(x)≥0, 则
a
f
(x)dx收敛的充要条件是
x
F (x) a f (t)dt 在[a,+∞)上有界.
证 必要性显然成立. 下证充分性. 因 F(x) f (x) 0 知, F(x)在[a, +∞)上单调增加;
而由F(x)在[a, +∞)上的有界性知F(x)必有极限, 即
a
0 a
存在. 6
注4 类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点
c(a<c<b)时,
瑕积分
b
a
f
( x)dx
的敛散性,
即
b
b
(1)若瑕点为b,
则定义 a
f (x)dx lim 0 a
f (x)dx.
(2)若瑕点为c(a<c<b), 则定义
b
f (x)dx lim
c1 f (x)dx lim
9
三.两个重要的广义积分
下面介绍两个在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的
特殊积分—Γ函数和β函数, 这两个函数也称为欧拉积分.
1. Γ函数
定义4 参变量s的函数 (s) xs1exdx 0
(s 0) 称为Γ函数.
注5 当s > 0时, 定义4中的广义积分收敛.(证明略)
注6
(s) xs1exdx 不仅是个无穷积分, 0
f (x)dx
a
不再表示数值了, 无穷积分没有意义.
注1 若 f (x)dx收敛, 则有 f (x)dx lim b f (x)dx存在.
a
a
b a
注2 类似地可定义
b
f (x)dx lim
《微积分(二)》教学大纲
（4）知道二阶线性非齐次微分方程解的结构；
（5）能根据二阶线性常系数齐次微分方程的特征方程根的不同情况，熟练的写出
方程的通解；
（6）当二阶线性常系数非齐次微分方程右端函数
,根据?是否为特征方程根的根来确定方程
系数线性微分方程。
难点：二阶常系数非齐次线性方程特解求法。
§ 9.1 微分方程的基本概念
内容与要求:
（1）熟知微分方程、阶、解、通解、初始条件、特解的含义；
（2）清楚微分方程的解、通解、特解的异同。
§9.2 一阶微分方程
§7.4 偏导数
内容与要求：
（1）理解并掌握偏导数的定义；
（2）知道偏导数的几何意义；
（3）掌握偏导数的求法；
（4）知道高阶偏导数的含义，知道二阶混合偏导数相等的条件。
§7.5 全微分
内容与要求:
（1）正确理解二元函数全微分的定义。
（2）知道二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系；会求全微分。
§6.2 微积分基本定理
内容与要求:
（1）知道变上限函数
（2）熟知微积分基本定理，理解"区间I上的连续函数存在原函数"；
（3）熟练掌握牛顿--莱布尼兹公式。
§6.3 定积分的换元积分法与分步积分法
Hale Waihona Puke 内容与要求: （1）掌握并正确使用换元积分法；
（2）牢记分步积分公式并会用分步积分公式计算定积分；
（3）会用拉格朗日乘数法解条件极值问题；
（4）会求多元函数最大值、最小值应用问题。
§ 7.8 二重积分
内容与要求:
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
广义积分的定义是对于一类无界函数或者在某些点上发散的函数，通过一种特殊的处理方法来进行求解。
下面将对广义积分的定义和性质进行详细介绍。
我们来看广义积分的定义。
对于一个定义在区间[a, b)上的函数f(x)，如果在[a, b)上存在一个数c，使得对于任意的c < t < b，函数f(x)在区间[a, t]上是可积的，那么我们称函数f(x)在区间[a, b)上是广义可积的。
此时，我们将广义可积函数在区间[a, b)上的积分定义为极限值：∫(a to b) f(x) dx = lim(t→b-) ∫(a to t) f(x) dx其中，积分号∫表示对x的积分，a和b分别是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
广义积分的定义中有两个关键点，一个是上限t趋近于b时的极限，另一个是被积函数在[a, t]上可积。
这两个条件保证了广义积分的存在性。
接下来，我们来讨论广义积分的性质。
首先是线性性质，即对于任意的实数a和b，以及广义可积函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：∫(a to b) [af(x) + bg(x)] dx = a∫(a to b) f(x) dx + b∫(ato b) g(x) dx其次是区间可加性，即对于任意的c，a，b满足a < c < b，以及广义可积函数f(x)，有以下等式成立：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx再次是保号性，即如果在[a, b)上的广义可积函数f(x)非负，那么广义积分的值也是非负的。
最后是比较定理，包括比较判别法、比较审敛法和比较收敛法。
比较判别法用于判断广义积分的敛散性，如果存在一个广义可积函数g(x)，使得在[a, b)上的广义可积函数f(x)满足|f(x)| ≤ g(x)，那么广义积分∫(a to b) f(x) dx一定收敛。
高等数学二全部笔记
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
微积分公式大全
微积分公式大全一、基本公式：1.微分基本公式（导数）：（1）常量函数导数：(k)'=0；（2）幂函数导数：(x^n)'=n·x^(n-1)；（3）指数函数导数：(a^x)'= ln(a)·a^x；（4）对数函数导数：(log_a x)'= 1/(x·ln(a))；（5）三角函数导数：(sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x, (tan x)'=sec^2 x；（6）反三角函数导数：(arcsin x)'=1/√(1-x^2), (arccos x)'=-1/√(1-x^2), (arctan x)'=1/(1+x^2)；（7）复合函数导数：f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)；2.积分基本公式：（1）不定积分：∫(k)dx=kx+C, ∫(x^n)dx= (x^(n+1))/(n+1)+C；（2）定积分：∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 在[a, b] 上的一个原函数；（3）换元积分：∫f(g(x))·g'(x)dx=∫f(u)du, 其中 u = g(x)；（4）分部积分：∫u·dv = u·v - ∫v·du；二、微分学公式：1.高阶导数：如果函数f(x)的n阶导数存在，则记作f^(n)(x)，有以下公式：（1）常函数的n阶导数为0；（2）幂函数的n阶导数为n!(n-1)!·x^(n-m)；（3）指数函数的 n 阶导数为a^x·ln^n(a)；（4）对数函数的n阶导数为(-1)^(n-1)·(n-1)!/x^n；（5）三角函数的n阶导数：sin(x)：n 为奇数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为cos(x+ nπ/2)；cos(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 -cos(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；tan(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 (-1)^(n-1)·2^(n-1)·B_n·(2n)!·x^(2n-1)，其中 B_n 为 Bernoulli 数；n为偶数时，n阶导数为0；2.泰勒展开：函数f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)·(x-a)+f''(a)·(x-a)^2/2!+......+f^(n)(a)·(x-a)^n/n!+......；当x接近a时，可以使用前n阶导数来估算函数的值；三、积分学公式：1.牛顿-莱布尼茨公式：设函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则有∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)；2.反常积分：（1）瑕积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域内发散；（2）收敛式积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域外收敛为 ln，x；（3）点收敛、条件收敛和绝对收敛；3.广义积分：（1）广义积分存在：∫(a~+∞)f(x)d x= A 表示对于任意定义域上的f(x)，在 a 之后的任意区间上都是收敛的；（2）比较判别法：若存在p>0和M>0，使得，f(x)，<=M·g(x)，那么当f(x)的积分是收敛的，那么g(x)的积分也是收敛的；（3）绝对收敛：如果，f(x)，在定义域上是收敛的，那么f(x)的积分是绝对收敛的；（4）积分判别法：如果积分是收敛的，但是f(x)的绝对值不是；或者f(x)的绝对值是收敛的，但是积分是发散的，那么f(x)的积分是条件收敛的；以上仅是微积分常用公式的集合，只能作为参考，实际应用仍需根据具体问题进行判断和运用。
微积分Ⅱ教学大纲
《微积分Ⅱ》课程教学大纲制定（修订）单位：山东财经大学数学与数量经济学院制定（修订）时间： 2013年7月课程中文名称：微积分Ⅱ课程英文名称：Calculus课程代码：16200021学时数：68学分数：4先修课程：《微积分Ⅰ》适用专业：金融学、会计学、经济学、财政学、保险学、国际经济与贸易、工商金融学、会计学、经济学、财政学、保险学、国际经济与贸易、工商管理、管理科学、公共事业管理等。
一、课程的性质和任务1.课程性质《微积分Ⅱ》课程是全校经济类和管理类专业的学科基础课。
2.课程任务通过本课程的学习，使学生获得多元函数微分学、积分学、级数、常微分方程等的基本知识和基本方法，为学习后继课程奠定必要的数学基础，培养学生初步具有抽象思维能力、逻辑推理能力和自学能力，培养学生熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
二、本课程与其他课程的联系与分工本课程是《概率论与数理统计》、《微观经济学》、《计量经济学》等课程的先修课程。
三、课程教学内容第五章定积分教学目的与要求：1．理解定积分的概念与基本性质，掌握积分中值定理。
2．掌握牛顿-莱布尼兹公式，会求变限积分的导数。
3．掌握计算定积分的换元法与分部积分法。
4．掌握用定积分计算平面图形的面积、平行截面面积已知的立体体积和旋转体体积的方法，会用定积分求解一些简单的经济应用问题。
5．了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算收敛广义积分的方法，知道广义积分⎰+∞1p x dx ，⎰10p xdx 的敛散条件，了解Γ函数的概念、基本性质。
教学重点与难点：重点：微积分基本定理，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用。
难点：平行截面面积已知的立体体积的求法，广义积分的计算。
第一节 定积分的概念和性质一、 定积分问题举例曲边梯形的面积，变速直线运动的路程。
二、定积分的概念 1.定积分的概念 2.定积分的几何意义 三、定积分的基本性质线性性质，可加性，估值定理，积分中值定理。
微积分发展简史(二)
多元函数的微积分学，是微积分学的一个重要组成部分。多元微积分是在一元微积分的基本思想的发展和应用中自然而然地形成的。其基本概念都是在描述和分析物理现象和规律中，与一元微积分的基本概念合为一体而产生的。将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。
1828年，俄国数学家奥斯特洛格拉茨基在研究热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式，现在称为奥斯特洛格茨基-高斯公式（高斯也曾独立地证明过这个公式）。同一年，英国数学家格林(G. Green,1793~1841)在研究位势方程时得到了著名的格林公式。1833年以后，德国数学家雅可比建立了多重积分变量替换的雅可比行列式。与此同时，奥斯特洛格拉茨基不仅得到了二重积分和三重积分的变换公式，而且还把奥-高公式推广到维的情形。变量替换中涉及到的曲线积分与曲面积分也是在这一时期得到明确的概念和系统的研究。1854年，英国数学物理学家斯托克斯(G.G. Stokes, 1819~1903)把格林公式推广到三维空间，建立了著名的斯托克斯定理。多元微积分和一元微积分同时随着其理论分析的发展在数学物理的许多领域获得广泛的应用。
，
其系数由
， （）
， （）
确定，这就是我们通常所称的傅立叶级数。
不过傅立叶从没有对"任意"函数可以展成傅立叶级数这一断言给出过任何完全的证明，也没有指明一个函数可以展成三角级数必须满足的条件。狄里克莱第一个给出函数的傅立叶级数收敛于它自身的充分条件。黎曼也对傅立叶级数的研究做出了贡献，他建立了重要的局部性定理，并证明了傅立叶级数的一些性质。德国数学家海涅(E. Heine, 1821~1881)、G·康托(G. Cantor,1845~1918)以及匈牙利数学家费耶尔(E. Fischer, 1875~1959)等等，许多数学家都为傅立叶级数理论的发展做了大量的工作。
广义积分的求解
广义积分的求解广义积分是高等数学中的一个重要分支，它经常被用于求解一些非解析函数的积分问题。
广义积分也可以被视为普通积分在定义域上的一种扩展，但是它与普通积分最大的不同之处在于其定义域是一个无穷区间。
因此，求解广义积分需要特别谨慎和精确定义积分区间和函数的性质。
本篇文章将探讨广义积分的定义、性质以及求解方法，旨在为广大数学学习者提供一些有益的参考。
一、广义积分的定义广义积分的定义非常简单，它可以被定义为当积分区间为无限区间时，积分的下限和上限中至少有一个为无穷时所得到的积分。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b)上有定义，其中b可以为无穷大，则该函数的广义积分为：∫a^b f(x)dx = lim(t→b)∫a^t f(x)dx其中，当a为负无穷时，广义积分的定义也可以写成：∫-∞^b f(x)dx = lim(t→-∞)∫t^b f(x)dx二、广义积分的性质广义积分和普通积分一样也具有一些非常重要的性质。
下面是一些常见的性质：1. 线性性质：即广义积分满足线性代数的规律，即对于任意常数a和b，有：∫a^b (af(x) + bg(x))dx = a ∫a^b f(x)dx + b ∫a^b g(x)dx2. 保序性质：即对于函数值的大小关系，广义积分也具有类似开区间的保序性质。
也就是说对于a<b<c，若在[a,b)上f(x)≤g(x)，在[b,c)上f(x)≥g(x)，则有：∫a^b f(x)dx ≤ ∫a^b g(x)dx∫b^c f(x)dx ≥ ∫b^c g(x)dx3. 比较定理：广义积分的比较定理是求解广义积分的一个非常重要的工具，它可以将复杂的广义积分问题简化为更为容易求解的问题。
具体而言，比较定理包括下列两个定理：若在积分区间[a, b)上，有f(x) ≤ g(x)，则当广义积分∫a^b g(x)dx 收敛时，广义积分∫a^b f(x)dx 一定也收敛；当广义积分∫a^b f(x)dx 发散时，广义积分∫a^b g(x)dx 一定也发散；若在积分区间[a, b)上，有f(x) ≤ Kg(x)（0<K<1），则当广义积分∫a^b g(x)dx 发散时，广义积分∫a^b f(x)dx 一定也发散。
微积分2(多元微积分)实验：积分与多元函数
名字序列
• 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几 类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛 沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人 都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 • 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数 学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工 作，虽然这只是十分初步的工作。 • 在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布· 贝努利 和他的兄弟约翰· 贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西…… • 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手 无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威 力。 成功的造就了近代工业文明和列强。
[例6-5]求变上限积分的极限 lim
x 0
举例x
0
cos t 2 dt x
【求解】编写myint05.m文件，内容如下： clear clc syms x t %定义变量 f=cos(t^2); %定义函数 I=limit(int(f,0,x)/x) %先求积分，再求极限
注意事项
• • • • 被积函数表达式 积分上下限的确定 不定积分的常数项 功能函数的嵌套调用格式
f cos(3x t ) ，分别对变量
x ，t
[例6-2]计算广义积分
dx 2 1 x
举例
【求解】编写myint02.m文件，内容如下： clear clc f='1/(1+x^2)';%定义字符串表达式 I=int(f,-inf,inf)%代入字串表达式，求广义定积分
举例
[例6-3]计算
广义积分的概念与计算
广义积分的概念与计算概念：广义积分是微积分中的基本概念之一，也可以被称为不定积分。
它是定积分的一种推广，用于求解一些函数在一些区间上的累积效应。
与定积分不同的是，在计算广义积分时，被积函数可以在一些点上不连续、无界或不遵循一些积分性质。
在实际应用中，广义积分可以用来求解函数的面积、弧长、质心等问题，或者作为微分方程的解。
计算：1.无穷积分：如果被积函数在一些区间内无界，即在无穷远点处取极限值不存在，那么该积分称为无穷积分。
计算无穷积分时常用的方法有换元法和分部积分法。
例如，计算函数f(x) = 1 / x在区间[1, ∞)上的无穷积分。
首先可以进行换元，令u = ln(x)，则du = dx / x，原积分可以转化为1 / u 在[0, ∞)上的积分。
然后根据换元后的积分边界，等于求lim┬(b→∞)〖∫_0^b 1/u du〗。
对此积分进行计算，得到ln(u)在[0, ∞)上的积分为ln(b)。
将换元结果代回，原积分等于ln(ln(x))，即所求的无穷积分。
2.瑕积分：如果被积函数在一些点不连续，那么该积分称为瑕积分。
通过以瑕点为积分边界，将瑕积分拆分成多个有界积分来计算。
例如，计算函数f(x) = 1 / x在区间[0, 1]上的瑕积分。
由于f(x)在x = 0处不连续，可以将积分分成两部分，即∫_0^1 1/x dx =∫_0^ε 1/x dx + ∫_ε^1 1/x dx，其中ε是一个趋于0的正数。
第一部分的积分结果等于ln(ε)，第二部分的积分结果为ln(1) - ln(ε) = -ln(ε)。
当ε趋于0时，两部分的积分结果都趋于无穷大，因此该瑕积分是发散的。
3.绝对收敛积分：如果被积函数在积分区间内的绝对值函数是可积的，即广义积分的绝对值存在且有限，那么该积分称为绝对收敛积分。
对于绝对收敛积分，可以应用定积分的计算方法来求解。
例如，计算函数f(x) = 1 / (x^2 + 1)在区间(-∞, ∞)上的广义积分。
有关微分与积分章节知识点的总结2
有关微分与积分章节常识点的总结姜维谦PB08207063一元函数的积分一．求不定积分1. 积分根本公式2. 换元积分法凑微分法∫f(u(x))u ’(x)dx =∫f(u(x))du(x)=F(u(x))+C第二换元法∫f(x)dx=∫f(u(t))u ’(t)dt=F(u-1(x))+C注意：x=u(t)应单调〔可以反解〕—不单调时应分类讨论(e:g 开方去绝对值时)3. 分部积分法∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫v(x)du(x)适用于解异名函数“反对幂三指〞〔与dx 结合性递增〕应用：解二元方程，递推式e.g:①In=∫(lnx)n(次方)dx,n>=1②In=∫dx/(x2+a2)^n(次方)，n>=14. 模式函数：有理函数类⑴整形分式—局部分式法〔通解〕∫P(x)/Q(x)dx ——别离常数得既约真分式与多项式——Q(x)因式分解化为局部分式和 ——待定系数后比拟系数〔还可以结合赋值，求导数，取极限等〕——化为Ik=∫dx/(x-a)^k(次方)类与Jk=∫(Bx+C)/(x2+bx+c)^k(次方)dx 类积分 ⑵三角有理式㈠万能代换〔通解〕㈡特殊代换 R(cosx,sinx)=-R(cosx,-sinx)R(cosx,sinx)=-R(-cosx,sinx)R(cosx,sinx)=R(-cosx,-sinx)⑶可有理化的无理式㈠三角换元㈡代数换元 ∫R(x,(ax+b)/(cx+d)^1/m(次方))∫R(x,(ax2+bx+c)^1/2(次方))——Euler 代换消除平方项注：三角有理式，可有理化的无理式均可以通过代换转化为尺度有理函数形式后积分， 但通解过程均较繁琐。
故而在求解有理函数类积分时应适当考虑凑配，变形等技巧并 操纵上述1.2.3.常用方法简化运算 详见书P103一．求定积分1.N-L 公式〔形式直接易求〕∫在[a,b]上持续，x 在[a,b]上)(积分形式的微积分根本定理)~微分形式：F(x)=是f(t)的一个原函数 2.Riemann 积分步调：分割——求和近似——取极限~求极限〔T (注意x 对应的上下限)3.换元法 ’(t)dt注：①只需注意上下限的变化〔不同积分变元〕②变量代换思路：被积函数，积分上下限，无穷积分与常义积分的转化③不雅察操纵被积函数在积分区间上的对称关系4e.g:Im=次方)dx5.∫ f=lim ∫ ∫ f=lim(∫广义积分也可以用上述注：求定积分时应结合分项积分与分段积分二．积分的性质运用1.单调性2.有界性3.积分绝对值三角不等式〔Riemann 和理解〕——用于放缩为“易积分形式〞如常值积分——有关积分不等式的证明结合微分中值定理结合Rolle 定理7．线性 8.对称性F ＇(x)=( 〕’=f(Ψ(x))φ’(x)-f(φ(x))φ’(x) ---~1.研究函数极值、拐点、单调性2.结合R ’H 法那么求极限3．Rolle 定理五．定积分的应用举例〔详见书〕一元函数的微分一．导数的求解1. 按照 导数的定义F’(x 0)=lim(f(x )-f(x 0))/(x-x 0)(x ->x 0)~间断点可导性判断：比拟limf ’(x 0)〔x ->x 0〕与lim(f(x )-f(x 0))/(x-x 0)(x->x 0)2. 复合函数〔f-1(y 0)〕’=1/f ’(x 0)(f(x)=f-1(y))3.高阶导数㈠Leibniz 定理 〔uv 〕^(n)(n 阶导数)=Σ㈡化积商形式为和差形式e.g:y=Pn(x)y=㏑(ax+b)&(c/(ax+b))^(n)sinx^(n)=sin(x+nπ/2)~求递推关系三．重要定理的运用Rolle——证明ε存在性的等式〔微分式的转化〕注意①辅助函数的构造②f(a)=f(b)形式Lagrange中值——证明不等式求不决式极限求函数导数~研究函数性质——单调性—不等式证明求极小〔大〕值、最值凹凸性判断㈠定义㈡f’’(x)渐近线求法①垂直渐近线②非垂直渐近线Cauchy中值——证明不等式求不决式极限L’H法那么注：①l可以无穷大，x0任意②适用于0/0、∞/∞型，其他形式不决式应做适当转化Taylor公式——等价无穷小量有关ε的恒等式证明四．求不决式极限㈠R’H法那么〔仅适用于不决式〕㈡中值定理㈢重要极限~幂指函数的转化㈣等价无穷小量〔因子替换〕㈤Taylor展开---统一形式注：各种极限求法各有其使用范围，在具体求解过程中还应考虑比拟优化、综合运用结语：由于个人对常识的理解有限，所以只能在常识点方面作出一点总结，而无法就某个方面作深入的探讨。
微积分学广义积分敛散性判别
其中P 为任意常数.
解 当 P 1 时:
d x ln | x |
ax
a
lim ln | x | ln a , x
故 p 1 时，P 积分发散.
当 P 1 时:
d x x1 p
a x 1 p
,
a
a 1 p
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
b
b
(1) f (x) d x lim f (x) d x (B b) .
B B
c
(2) f (x) d x f (x) d x f (x) d x
f (x), g(x) R( [a, A] ) , 且满足 g(x) f (x) 0，
则 (1) 当 g(x) d x 收敛时，积分 f (x) d x 也收敛.
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散.
a
a
证
c
c
A
lim f (x) d x lim f (x) d x .
B B
A c
若
c
f (x)d x 与
f (x) d x 同时收敛，则称
f
(x)d x
收敛 .
c
若 c f (x) d x 与 f (x) d x 至少有一个发散, 则 f (x) d x 发散 .
实际上, 我们可以将无穷积分的定义式写成下面的形式:
A-level数学词汇分类整理——微积分篇(二)
A-level数学词汇分类整理——微积分篇（二）接上期，今天索引留学小编整理的是A-level数学微积分词汇整理~【微积分篇】analytic expression解析表达式analytic geometry解析几何antiderivative原函数asymptote渐进average value平均值boundary边界boundary integral边界积分bounded有界的calculus微积分chain rule链式法则change of variable变量替换closed set闭集complement补集complete完全的conditionally convergent条件收敛continuity连续性continuous everywhere处处连续continuously differentiable连续可微convergence收敛convolution卷积covering覆盖critical point临界点cross product向量积cross section截面decay衰变definite integral定积分derivative导数differentiable everywhere处处可微differentiation微分divergence发散dot product点积double integral二重积分elementary function初等函数empty set空集even function偶函数first derivative一阶导数Fourier series傅里叶级数Fourier transform傅里叶变换function series函数级数fundamental theorem基本定理generalised integral广义积分gradient梯度higher order derivative高阶导数identity function恒等函数implicit differentiation隐式求导implicit function隐函数improper integral反常积分increment增量indefinite integral不定积分infinitesimal无穷小infinity无穷大inflection point拐点integrable可积的integral, integration积分integral sign积分号integrand被积函数integration by parts分部积分法integration by substitution换元积分法integration constant积分常数intermediate value theorem介值定理intersection交集inverse mapping逆映射isolated point孤立点least value最小值limit极限L’Hospital’s rule洛必达法则Maclaurin series麦克劳林级数maximal value极大值mean value theorem中值定理minimum极小monotone function单调函数multiple integral多重积分multivariable function多元函数multivariate多变量natural exponential function自然指数函数natural logarithm自然对数neighbourhood邻域numerable可数的open set开集ordinal number序数parameter参数parametric equation参数方程partial derivatives偏导数partial differential偏微分partial fraction部分分式power series幂级数product rule乘积法则proper subset真子集properly include真包含quantity量quotient rule商法则rate of change变化率remainder term余项second derivative二阶导数sequence序列set theory集合论singular point奇异点smooth function光滑函数solid of revolution旋转体space curve空间曲线subscript下标subset子集superscript上标surface integral面积分surface of revolution旋转曲面Taylor’s expansion泰勒展开式Taylor’s series泰勒级数total differential全微分triple integral三重积分unbounded function无界函数unbounded set无界集uncountable set不可数集uniformly bounded一致有界uniformly continuous一致连续uniformly convergent一致收敛union并集upper (lower) limit上（下）极限variation变差精彩待续~~。
广义积分判别法
广义积分判别法广义积分判别法是微积分中一个重要的概念和方法，用于判断广义积分的收敛性和发散性。
本文将介绍广义积分判别法的基本原理和应用，并通过实例详细说明其具体操作方法。
一、广义积分的定义在微积分中，广义积分是对某些函数进行积分运算的一种扩展形式。
对于连续函数，我们可以直接使用定积分进行求解，但对于一些特殊的函数情况，定积分无法直接求解。
此时，我们需要引入广义积分的概念。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的广义积分，可以表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁺) ∫┬(a)f(x)dx其中，a为积分下限，b为积分上限，t为一个逼近b的数列。
如果该极限存在且有限，则称广义积分收敛；如果该极限不存在或为无穷大，则称广义积分发散。
二、收敛性的判别方法1. 基本性质判别法若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，其中g(x)在[a,b]上连续，且∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫g(x)dx发散，则∫f(x)dx发散。
2. 比较判别法设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，若∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫f(x)dx发散，则∫g(x)dx 发散。
3. 极限判别法设函数f(x)在区间[a,b)上连续，若存在正数M>0和正数p>1，使得当x→b-时，|f(x)|≤M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx收敛；若对于任意正数M>0和正数p>1，当x→b-时，|f(x)|>M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx发散。
4. 绝对收敛和条件收敛若∫|f(x)|dx收敛，则称广义积分∫f(x)dx绝对收敛；若∫|f(x)|dx发散，但∫f(x)dx收敛，则称广义积分∫f(x)d x条件收敛。
三、实例分析下面通过几个实例来说明广义积分判别法的具体应用。
实例1：判断广义积分的收敛性考虑广义积分∫┬(1)(x⁻²-1)dx，我们可以使用比较判别法来判断其收敛性。
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y A
y=
1
1+x2
lim arctan x
b
b
b 0
0
lim [arctan b arctan 0]
x
2
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
(1)
a
f ( x)dx
设函数f(x)在区间[a, )上连续 如果极限
(2)
b
f ( x)dx
设函数f(x)在区间(, b]上连续 如果极限
a a
lim
b
b
f (x)d x (ba)
b
存在 则称此极限值为f(x)在(, b]上的广义积分 记作
f (x)d x f (x)d x alim a
此时称广义积分存在或收敛；否则称广义积分不存在或发散.
1. 旋转体的体积(实心) 绕x轴旋转的旋转体
b
y
y=f (x)
Vx [ f ( x)]2 dx
a
0
a
b
x
y
d
绕y轴旋转的旋转体
x ( y)
c
o
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Vy [ ( y)] dy
2 c
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d
x
旋转体的体积（空心） 绕x轴旋转的空心旋转体
c b a c b b a a
b
c
b
则称广义
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瑕积分的计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限.
(2) 约定记号:若 F ( x) f ( x) ，则
a为瑕点： f ( x)dx F ( x) |b F ( x) a F (b) lim
c c
c
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3、计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限.
例 1 求广义积分 x e
0 x2
dx
解
原式= lim
b 0
b
xe
x2
dx
b 1 x2 = lim e d ( x 2 ) 2 b 0 1 x2 b lim e |0 2 b 1 b2 ( lim e e0 ) 2 b 1 1 (0 1) 2 2
1
p 1 p 1
故
1
dx dx lim ln t ln 1 ln x | 1 p 1 t x x
1
1 dx 在 p 1 时收敛；在 p 1 时发散. p x
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Gabriel’s Horn(加百利的号角)：
Vx （y上2 y下2）dx
a
b
绕y轴旋转的空心旋转体
Vy （x右 x左 ）dy
2 2 a
b
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2. 积分在经济上的应用
（1）已知总量的变化率求总量的改变量
Q Q '(t )dt
t0
t1
（2）已知边际函数求总量函数
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无穷限广义积分的处理手法：
a
f ( x)dx lim f ( x)dx
b a
b
无界函数的广义积分如何处理？ (1) 下限 a 为瑕点 设函数f(x)在(a, b]上连续 当xa时 f(x)
)dx x lim lim ff((x x )d )dx x aa ff((xx)d 00 aa
bb
bb
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定义63(无界函数的广义积分)
(1) 下限 a 为瑕点
设函数f(x)在(a, b]上连续 当xa时 f(x) 如果
0 a
lim
b
b
f ( x) d x
b
存在 则称此极限为无界函数f(x)在[a, b]上的广义积分 记作
a x a
b
b为瑕点： f ( x)dx F ( x) |b F ( x ) F (a ) a lim
▲ 已知边际成本 C ( x ) ，求总成本 C(x):
C ( x) C (0) C(t )dt
0
x
▲ 已知边际收益 R( x ) ，求总收益 R(x):
R( x) R(t )dt
0
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x
§6.8 广义积分与 函数
一、广义积分
二、 函数
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一、广义积分
（一）问题的提出
引入定积分概念时，有两个基本要求： 1、积分区间[a,b]是有限的；
2、被积函数f(x)在[a,b]上是有界的.
这种通常意义下的积分称为常义积分. 破坏这两个条件中的一条，就称为广义积分. 对应上面的两个条件， 若[a,b]变为无限区间，则称 f ( x )dx 为无穷限积分； 若 f(x) 为无界函数，则称 f ( x )dx 为瑕积分.
(2) 发散，发散，收敛
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例4.讨论
1
1 dx 的敛散性. p x
1
解:当 p 1时，
当 p 1 时，
1 x 1 p 1 lim x 1 p 1 p
1 p
p 1 x 1 dx p 1 p x
曲边梯形A0bB的面积 当b→+∞时， S1 S
1+x2
B
b
x
S1
即
b
0
1 dx 2 1 x
0
b 1 1 dx lim dx 2 2 b 0 1 x 1 x
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0
b 1 1 dx lim dx 2 2 b 0 1 x 1 x
b a
lim f (x)d x (ba)
b
存在 则称此极限值为f(x)在[a, )上的广义积分 记作
a
f (x)d x lim
b a
b
f (x)d x
此时称广义积分存在或收敛；否则称广义积分不存在或发散.
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
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b a
b a
（二）无穷限的广义积分
1、引例
1 ( x 0) 与坐标轴 求由曲线 y 2 1 x
y A
y=
1
所“围成”的开口曲边梯形的面积. 解：由定积分的几何意义 0 1 S dx ? 2 0 1 x 在(0,+∞)内任取一点b，过b作x轴的垂线x=b，则
例2 求广义积分1 ln xdx.
1
1 解：原式=x ln x x dx 1 x lim x ln x ln1 x |1
x x x
lim x ln x lim x 1
x
lim x(ln x 1) 1 该广义积分发散.
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3、计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限. (2) 约定记号:若 F ( x) f ( x) ，则 书写太繁
a b
f ( x)dx F ( x) f ( x)dx F ( x)
f ( x)dx
c
a
例5. 下列积分属于瑕积分的是_____ C
sin x A. dx 0 x
1
x3 1 B. dx 0 x 1
1
x3 2 x 1 C. dx 2 0 x 1
1D. e01来自1 x 1dx
注：一个积分是不是瑕积分，就是看在积分区间上有
没有无穷间断点.
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0
2 xdx 1 d (1 x 2 ) 1 2 ln(1 x ) |0 2 2 2 0 1 x 1 x 2
0
2 xdx 2 xdx 所以 2 发散，从而 2 也发散. 1 x 1 x 2 xdx 0 思考： 2 1 x
a b
lim F ( x) F (a)
x x
F (b) lim F ( x)
c
f ( x)dx
f ( x)dx
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例 1 求广义积分 x e
0
x2
dx
1 x2 1 x2 2 解 原式= e d ( x ) e |0 2 0 2 1 1 1 x2 0 ( lim e e ) (0 1) 2 x 2 2