《微积分二》广义积分与G函数
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c b a c b b a a
b
c
b
则称广义
《微积分》(第三版) 教学课件
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瑕积分的计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限.
(2) 约定记号:若 F ( x) f ( x) ,则
a为瑕点: f ( x)dx F ( x) |b F ( x) a F (b) lim
1
p 1 p 1
故
1
dx dx lim ln t ln 1 ln x | 1 p 1 t x x
1
1 dx 在 p 1 时收敛;在 p 1 时发散. p x
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Gabriel’s Horn(加百利的号角):
曲边梯形A0bB的面积 当b→+∞时, S1 S
1+x2
B
b
x
S1
即
b
0
1 dx 2 1 x
0
b 1 1 dx lim dx 2 2 b 0 1 x 1 x
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0
b 1 1 dx lim dx 2 2 b 0 1 x 1 x
注: “偶倍奇零”只有当广义积分收敛时适用!
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练 习:判别下列广义积分的敛散性.
(1) e x dx
0 1 1 1 dx, dx, dx 2 1 1 x x x
(2)
1
x (1) 收敛, e dx 1 0
f (x)d x a f (x)d x lim 0 a b 这时我们说广义积分 f (x)d x 存在或收敛 a
如果上述极限不存在 就说广义积分不存在或发散
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定义63(无界函数的广义积分)
(2) 上限 b 为瑕点
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设函数f(x)在[a, b)上连续 当xb时 f(x) 如果
▲ 已知边际成本 C ( x ) ,求总成本 C(x):
C ( x) C (0) C(t )dt
0
x
▲ 已知边际收益 R( x ) ,求总收益 R(x):
R( x) R(t )dt
0
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x
§6.8 广义积分与 函数
一、广义积分
a
例5. 下列积分属于瑕积分的是_____ C
sin x A. dx 0 x
1
x3 1 B. dx 0 x 1
1
x3 2 x 1 C. dx 2 0 x 1
1
D. e
0
1
1 x 1
dx
注:一个积分是不是瑕积分,就是看在积分区间上有
没有无穷间断点.
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a b
lim F ( x) F (a)
x x
F (b) lim F ( x)
c
f ( x)dx
f ( x)dx
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例 1 求广义积分 x e
0
x2
dx
1 x2 1 x2 2 解 原式= e d ( x ) e |0 2 0 2 1 1 1 x2 0 ( lim e e ) (0 1) 2 x 2 2
二、 函数
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一、广义积分
(一)问题的提出
引入定积分概念时,有两个基本要求: 1、积分区间[a,b]是有限的;
2、被积函数f(x)在[a,b]上是有界的.
这种通常意义下的积分称为常义积分. 破坏这两个条件中的一条,就称为广义积分. 对应上面的两个条件, 若[a,b]变为无限区间,则称 f ( x )dx 为无穷限积分; 若 f(x) 为无界函数,则称 f ( x )dx 为瑕积分.
=
=
( ) 2 2
=2( lim arctan x arctan 0)
=2(
x
=
2 xdx 0 思考: ? 2 1 x
2
0)
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0 2 xdx 2 xdx 2 xdx 1 x 2 1 x 2 0 1 x 2
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
(3)
f ( x)dx
设函数f(x)在区间(, )上连续 则f(x)在(, )上的 广义积分定义为
f (x)d x f (x)d x c f (x)d x (c) 若 f ( x)d x 与 f (x)d x 都收敛 则称广义积分 f (x)d x 收敛 否则称广义积分 f (x)d x 发散
(2)
b
f ( x)dx
设函数f(x)在区间(, b]上连续 如果极限
a a
lim
b
b
f (x)d x (ba)
b
存在 则称此极限值为f(x)在(, b]上的广义积分 记作
f (x)d x f (x)d x alim a
此时称广义积分存在或收敛;否则称广义积分不存在或发散.
Vx (y上2 y下2)dx
a
b
绕y轴旋转的空心旋转体
Vy (x右 x左 )dy
2 2 a
b
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2. 积分在经济上的应用
(1)已知总量的变化率求总量的改变量
Q Q '(t )dt
t0
t1
(2)已知边际函数求总量函数
y A
y=
1
1+x2
lim arctan x
b
b
b 0
0
lim [arctan b arctan 0]
x
2
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
(1)
a
f ( x)dx
设函数f(x)在区间[a, )上连续 如果极限
1. 旋转体的体积(实心) 绕x轴旋转的旋转体
b
y
y=f (x)
Vx [ f ( x)]2 dx
a
0
a
b
x
y
d
绕y轴旋转的旋转体
x ( y)
c
o
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Vy [ ( y)] dy
2 c
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d
x
旋转体的体积(空心) 绕x轴旋转的空心旋转体
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例 3 计算广义积分
dx 1 x 2
原式=arctan x |
x
= lim arctan x lim arctan x
x
1 原式 =2 dx 0 1+x 2 =2arctan x |0
0
2 xdx 1 d (1 x 2 ) 1 2 ln(1 x ) |0 2 2 2 0 1 x 1 x 2
0
2 xdx 2 xdx 所以 2 发散,从而 2 也发散. 1 x 1 x 2 xdx 0 思考: 2 1 x
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3、计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限. (2) 约定记号:若 F ( x) f ( x) ,则 书写太繁
a b
f ( x)dx F ( x) f ( x)dx F ( x)
f ( x)dx
c
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b a
b a
(二)无穷限的广义积分
1、引例
1 ( x 0) 与坐标轴 求由曲线 y 2 1 x
y A
y=
1
所“围成”的开口曲边梯形的面积. 解:由定积分的几何意义 0 1 S dx ? 2 0 1 x 在(0,+∞)内任取一点b,过b作x轴的垂线x=b,则
c c
c
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3、计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限.
例 1 求广义积分 x e
0 x2
dx
解
原式= lim
b 0
b
xe
x2
dx
b 1 x2 = lim e d ( x 2 ) 2 b 0 1 x2 b lim e |0 2 b 1 b2 ( lim e e0 ) 2 b 1 1 (0 1) 2 2
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定义63(无界函数的广义积分)
(3) [a, b] 间存在瑕点 c
设函数f(x)在区间[a, b]上除点c(acb)外连续 而当xc 时 f(x) 则f(x)在[a, b]上的广义积分定义为
a f (x) d x a f (x) d x c f (x) d x 如果两个广义积分 f (x)d x 与 f (x)d x 都收敛 积分 f (x)d x 收敛 否则称广义积分 f (x)d x 发散
b a
lim f (x)d x (ba)
b
存在 则称此极限值为f(x)在[a, )上的广义积分 记作
a
f (x)d x lim
b a
b
f (x)d x
此时称广义积分存在或收敛;否则称广义积分不存在或发散.
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
0 a
lim
b
b
f (x) d x
b
存在 则称此极限为无界函数f(x)在[a, b]上的广义积分 记作
f (x) d x a f (x) d x lim 0 a b 这时我们说广义积分 f (x)dx 存在或收敛 a
如果上述极限不存在 就说广义积分不存在或发散
bb
bb
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定义63(无界函数的广义积分)
(1) 下限 a 为瑕点
设函数f(x)在(a, b]上连续 当xa时 f(x) 如果
0 a
lim
b
b
f ( x) d x
b
存在 则称此极限为无界函数f(x)在[a, b]上的广义积分 记作
例2 求广义积分1 ln xdx.
1
1 解:原式=x ln x x dx 1 x lim x ln x ln1 x |1
x x x
lim x ln x lim x 1
x
lim x(ln x 1) 1 该广义积分发散.
(2) 发散,发散,收敛
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例4.讨论
1
1 dx 的敛散性. p x
1
解:当 p 1时,
当 p 1 时,
1 x 1 p 1 lim x 1 p 1 p
1 p
p 1 x 1 dx p 1 p x
a x a
b
b为瑕点: f ( x)dx F ( x) |b F ( x ) F (a ) a lim
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无穷限广义积分的处理手法:
a
f ( x)dx lim f ( x)dx
b a
b
无界函数的广义积分如何处理? (1) 下限 a 为瑕点 设函数f(x)在(a, b]上连续 当xa时 f(x)
)dx x lim lim ff((x x )d )dx x aa ff((xx)d 00 aa
1 曲 线 y ( x [1, )) 绕 x 轴 旋 转 一 x
周,得 Gabriel 喇叭. 请问:它的体积是有限值吗?
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(三)无界函数的反常积分
瑕积分
如果 f(x)在区间[a,b]上某点无穷间断,则称该点为
f(x)的瑕点,并称积分 b f ( x )dx 为瑕积分.
b
c
b
则称广义
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瑕积分的计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限.
(2) 约定记号:若 F ( x) f ( x) ,则
a为瑕点: f ( x)dx F ( x) |b F ( x) a F (b) lim
1
p 1 p 1
故
1
dx dx lim ln t ln 1 ln x | 1 p 1 t x x
1
1 dx 在 p 1 时收敛;在 p 1 时发散. p x
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Gabriel’s Horn(加百利的号角):
曲边梯形A0bB的面积 当b→+∞时, S1 S
1+x2
B
b
x
S1
即
b
0
1 dx 2 1 x
0
b 1 1 dx lim dx 2 2 b 0 1 x 1 x
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0
b 1 1 dx lim dx 2 2 b 0 1 x 1 x
注: “偶倍奇零”只有当广义积分收敛时适用!
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练 习:判别下列广义积分的敛散性.
(1) e x dx
0 1 1 1 dx, dx, dx 2 1 1 x x x
(2)
1
x (1) 收敛, e dx 1 0
f (x)d x a f (x)d x lim 0 a b 这时我们说广义积分 f (x)d x 存在或收敛 a
如果上述极限不存在 就说广义积分不存在或发散
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定义63(无界函数的广义积分)
(2) 上限 b 为瑕点
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设函数f(x)在[a, b)上连续 当xb时 f(x) 如果
▲ 已知边际成本 C ( x ) ,求总成本 C(x):
C ( x) C (0) C(t )dt
0
x
▲ 已知边际收益 R( x ) ,求总收益 R(x):
R( x) R(t )dt
0
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x
§6.8 广义积分与 函数
一、广义积分
a
例5. 下列积分属于瑕积分的是_____ C
sin x A. dx 0 x
1
x3 1 B. dx 0 x 1
1
x3 2 x 1 C. dx 2 0 x 1
1
D. e
0
1
1 x 1
dx
注:一个积分是不是瑕积分,就是看在积分区间上有
没有无穷间断点.
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a b
lim F ( x) F (a)
x x
F (b) lim F ( x)
c
f ( x)dx
f ( x)dx
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例 1 求广义积分 x e
0
x2
dx
1 x2 1 x2 2 解 原式= e d ( x ) e |0 2 0 2 1 1 1 x2 0 ( lim e e ) (0 1) 2 x 2 2
二、 函数
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一、广义积分
(一)问题的提出
引入定积分概念时,有两个基本要求: 1、积分区间[a,b]是有限的;
2、被积函数f(x)在[a,b]上是有界的.
这种通常意义下的积分称为常义积分. 破坏这两个条件中的一条,就称为广义积分. 对应上面的两个条件, 若[a,b]变为无限区间,则称 f ( x )dx 为无穷限积分; 若 f(x) 为无界函数,则称 f ( x )dx 为瑕积分.
=
=
( ) 2 2
=2( lim arctan x arctan 0)
=2(
x
=
2 xdx 0 思考: ? 2 1 x
2
0)
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0 2 xdx 2 xdx 2 xdx 1 x 2 1 x 2 0 1 x 2
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
(3)
f ( x)dx
设函数f(x)在区间(, )上连续 则f(x)在(, )上的 广义积分定义为
f (x)d x f (x)d x c f (x)d x (c) 若 f ( x)d x 与 f (x)d x 都收敛 则称广义积分 f (x)d x 收敛 否则称广义积分 f (x)d x 发散
(2)
b
f ( x)dx
设函数f(x)在区间(, b]上连续 如果极限
a a
lim
b
b
f (x)d x (ba)
b
存在 则称此极限值为f(x)在(, b]上的广义积分 记作
f (x)d x f (x)d x alim a
此时称广义积分存在或收敛;否则称广义积分不存在或发散.
Vx (y上2 y下2)dx
a
b
绕y轴旋转的空心旋转体
Vy (x右 x左 )dy
2 2 a
b
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2. 积分在经济上的应用
(1)已知总量的变化率求总量的改变量
Q Q '(t )dt
t0
t1
(2)已知边际函数求总量函数
y A
y=
1
1+x2
lim arctan x
b
b
b 0
0
lim [arctan b arctan 0]
x
2
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
(1)
a
f ( x)dx
设函数f(x)在区间[a, )上连续 如果极限
1. 旋转体的体积(实心) 绕x轴旋转的旋转体
b
y
y=f (x)
Vx [ f ( x)]2 dx
a
0
a
b
x
y
d
绕y轴旋转的旋转体
x ( y)
c
o
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d
x
旋转体的体积(空心) 绕x轴旋转的空心旋转体
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例 3 计算广义积分
dx 1 x 2
原式=arctan x |
x
= lim arctan x lim arctan x
x
1 原式 =2 dx 0 1+x 2 =2arctan x |0
0
2 xdx 1 d (1 x 2 ) 1 2 ln(1 x ) |0 2 2 2 0 1 x 1 x 2
0
2 xdx 2 xdx 所以 2 发散,从而 2 也发散. 1 x 1 x 2 xdx 0 思考: 2 1 x
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3、计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限. (2) 约定记号:若 F ( x) f ( x) ,则 书写太繁
a b
f ( x)dx F ( x) f ( x)dx F ( x)
f ( x)dx
c
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b a
b a
(二)无穷限的广义积分
1、引例
1 ( x 0) 与坐标轴 求由曲线 y 2 1 x
y A
y=
1
所“围成”的开口曲边梯形的面积. 解:由定积分的几何意义 0 1 S dx ? 2 0 1 x 在(0,+∞)内任取一点b,过b作x轴的垂线x=b,则
c c
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3、计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限.
例 1 求广义积分 x e
0 x2
dx
解
原式= lim
b 0
b
xe
x2
dx
b 1 x2 = lim e d ( x 2 ) 2 b 0 1 x2 b lim e |0 2 b 1 b2 ( lim e e0 ) 2 b 1 1 (0 1) 2 2
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定义63(无界函数的广义积分)
(3) [a, b] 间存在瑕点 c
设函数f(x)在区间[a, b]上除点c(acb)外连续 而当xc 时 f(x) 则f(x)在[a, b]上的广义积分定义为
a f (x) d x a f (x) d x c f (x) d x 如果两个广义积分 f (x)d x 与 f (x)d x 都收敛 积分 f (x)d x 收敛 否则称广义积分 f (x)d x 发散
b a
lim f (x)d x (ba)
b
存在 则称此极限值为f(x)在[a, )上的广义积分 记作
a
f (x)d x lim
b a
b
f (x)d x
此时称广义积分存在或收敛;否则称广义积分不存在或发散.
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
0 a
lim
b
b
f (x) d x
b
存在 则称此极限为无界函数f(x)在[a, b]上的广义积分 记作
f (x) d x a f (x) d x lim 0 a b 这时我们说广义积分 f (x)dx 存在或收敛 a
如果上述极限不存在 就说广义积分不存在或发散
bb
bb
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定义63(无界函数的广义积分)
(1) 下限 a 为瑕点
设函数f(x)在(a, b]上连续 当xa时 f(x) 如果
0 a
lim
b
b
f ( x) d x
b
存在 则称此极限为无界函数f(x)在[a, b]上的广义积分 记作
例2 求广义积分1 ln xdx.
1
1 解:原式=x ln x x dx 1 x lim x ln x ln1 x |1
x x x
lim x ln x lim x 1
x
lim x(ln x 1) 1 该广义积分发散.
(2) 发散,发散,收敛
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例4.讨论
1
1 dx 的敛散性. p x
1
解:当 p 1时,
当 p 1 时,
1 x 1 p 1 lim x 1 p 1 p
1 p
p 1 x 1 dx p 1 p x
a x a
b
b为瑕点: f ( x)dx F ( x) |b F ( x ) F (a ) a lim
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无穷限广义积分的处理手法:
a
f ( x)dx lim f ( x)dx
b a
b
无界函数的广义积分如何处理? (1) 下限 a 为瑕点 设函数f(x)在(a, b]上连续 当xa时 f(x)
)dx x lim lim ff((x x )d )dx x aa ff((xx)d 00 aa
1 曲 线 y ( x [1, )) 绕 x 轴 旋 转 一 x
周,得 Gabriel 喇叭. 请问:它的体积是有限值吗?
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(三)无界函数的反常积分
瑕积分
如果 f(x)在区间[a,b]上某点无穷间断,则称该点为
f(x)的瑕点,并称积分 b f ( x )dx 为瑕积分.