《微积分二》广义积分与G函数

c b a c b b a a
b
c
b
则称广义
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瑕积分的计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限.
(2) 约定记号:若 F ( x) f ( x) ，则
a为瑕点： f ( x)dx F ( x) |b F ( x) a F (b) lim
1
p 1 p 1

故

1
dx dx lim ln t ln 1 ln x | 1 p 1 t x x


1
1 dx 在 p 1 时收敛；在 p 1 时发散. p x
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Gabriel’s Horn(加百利的号角)：
曲边梯形A0bB的面积 当b→+∞时， S1 S
1+x2
B
b
x
S1
即
b
0
1 dx 2 1 x


0
b 1 1 dx lim dx 2 2 b 0 1 x 1 x
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0
b 1 1 dx lim dx 2 2 b 0 1 x 1 x
注: “偶倍奇零”只有当广义积分收敛时适用！
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练 习：判别下列广义积分的敛散性.
(1) e x dx
0 1 1 1 dx， dx， dx 2 1 1 x x x
(2)

1
x (1) 收敛， e dx 1 0
f (x)d x a f (x)d x lim 0 a b 这时我们说广义积分 f (x)d x 存在或收敛 a

如果上述极限不存在 就说广义积分不存在或发散
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定义63(无界函数的广义积分)
(2) 上限 b 为瑕点
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设函数f(x)在[a, b)上连续 当xb时 f(x) 如果
▲ 已知边际成本 C ( x ) ，求总成本 C(x):
C ( x) C (0) C(t )dt
0
x
▲ 已知边际收益 R( x ) ，求总收益 R(x):
R( x) R(t )dt
0
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x
§6.8 广义积分与 函数
一、广义积分
a
例5. 下列积分属于瑕积分的是_____ C
sin x A. dx 0 x
1
x3 1 B. dx 0 x 1
1
x3 2 x 1 C. dx 2 0 x 1
1
D. e
0
1
1 x 1
dx
注：一个积分是不是瑕积分，就是看在积分区间上有
没有无穷间断点.
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a b
lim F ( x) F (a)
x x


F (b) lim F ( x)
c

f ( x)dx
f ( x)dx
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例 1 求广义积分 x e
0

x2
dx
1 x2 1 x2 2 解 原式= e d ( x ) e |0 2 0 2 1 1 1 x2 0 ( lim e e ) (0 1) 2 x 2 2
二、 函数
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一、广义积分
（一）问题的提出
引入定积分概念时，有两个基本要求： 1、积分区间[a,b]是有限的；
2、被积函数f(x)在[a,b]上是有界的.
这种通常意义下的积分称为常义积分. 破坏这两个条件中的一条，就称为广义积分. 对应上面的两个条件， 若[a,b]变为无限区间，则称 f ( x )dx 为无穷限积分； 若 f(x) 为无界函数，则称 f ( x )dx 为瑕积分.

=

=
( ) 2 2

=2( lim arctan x arctan 0)
=2(

x
=
2 xdx 0 思考： ？ 2 1 x

2
0)
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0 2 xdx 2 xdx 2 xdx 1 x 2 1 x 2 0 1 x 2
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
(3)



f ( x)dx
设函数f(x)在区间(, )上连续 则f(x)在(, )上的 广义积分定义为
f (x)d x f (x)d x c f (x)d x (c) 若 f ( x)d x 与 f (x)d x 都收敛 则称广义积分 f (x)d x 收敛 否则称广义积分 f (x)d x 发散
(2)

b

f ( x)dx
设函数f(x)在区间(, b]上连续 如果极限
a a
lim
b

b
f (x)d x (ba)
b
存在 则称此极限值为f(x)在(, b]上的广义积分 记作
f (x)d x f (x)d x alim a
此时称广义积分存在或收敛；否则称广义积分不存在或发散.
Vx （y上2 y下2）dx
a
b
绕y轴旋转的空心旋转体
Vy （x右 x左 ）dy
2 2 a
b
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2. 积分在经济上的应用
（1）已知总量的变化率求总量的改变量
Q Q '(t )dt
t0
t1
（2）已知边际函数求总量函数
y A
y=
1
1+x2
lim arctan x
b
b
b 0
0
lim [arctan b arctan 0]

x

2
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
(1)


a
f ( x)dx
设函数f(x)在区间[a, )上连续 如果极限
1. 旋转体的体积(实心) 绕x轴旋转的旋转体
b
y
y=f (x)
Vx [ f ( x)]2 dx
a
0
a
b
x
y
d
绕y轴旋转的旋转体
x ( y)
c
o
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Vy [ ( y)] dy
2 c
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d
x
旋转体的体积（空心） 绕x轴旋转的空心旋转体
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例 3 计算广义积分
dx 1 x 2

原式=arctan x |
x

= lim arctan x lim arctan x
x
1 原式 =2 dx 0 1+x 2 =2arctan x |0


0
2 xdx 1 d (1 x 2 ) 1 2 ln(1 x ) |0 2 2 2 0 1 x 1 x 2
0
2 xdx 2 xdx 所以 2 发散，从而 2 也发散. 1 x 1 x 2 xdx 0 思考： 2 1 x
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3、计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限. (2) 约定记号:若 F ( x) f ( x) ，则 书写太繁



a b
f ( x)dx F ( x) f ( x)dx F ( x)
f ( x)dx
c
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b a
b a
（二）无穷限的广义积分
1、引例
1 ( x 0) 与坐标轴 求由曲线 y 2 1 x
y A
y=
1
所“围成”的开口曲边梯形的面积. 解：由定积分的几何意义 0 1 S dx ? 2 0 1 x 在(0,+∞)内任取一点b，过b作x轴的垂线x=b，则
c c

c

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3、计算 (1) 计算步骤: 先求定积分,再取极限.
例 1 求广义积分 x e
0 x2
dx
解
原式= lim
b 0

b
xe
x2
dx
b 1 x2 = lim e d ( x 2 ) 2 b 0 1 x2 b lim e |0 2 b 1 b2 ( lim e e0 ) 2 b 1 1 (0 1) 2 2
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定义63(无界函数的广义积分)
(3) [a, b] 间存在瑕点 c
设函数f(x)在区间[a, b]上除点c(acb)外连续 而当xc 时 f(x) 则f(x)在[a, b]上的广义积分定义为
a f (x) d x a f (x) d x c f (x) d x 如果两个广义积分 f (x)d x 与 f (x)d x 都收敛 积分 f (x)d x 收敛 否则称广义积分 f (x)d x 发散
b a
lim f (x)d x (ba)

b
存在 则称此极限值为f(x)在[a, )上的广义积分 记作
a
f (x)d x lim
b a

b
f (x)d x
此时称广义积分存在或收敛；否则称广义积分不存在或发散.
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2、概念 定义62(无穷限广义积分)
0 a
lim
b
b
f (x) d x
b
存在 则称此极限为无界函数f(x)在[a, b]上的广义积分 记作
f (x) d x a f (x) d x lim 0 a b 这时我们说广义积分 f (x)dx 存在或收敛 a

如果上述极限不存在 就说广义积分不存在或发散

bb
bb
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定义63(无界函数的广义积分)
(1) 下限 a 为瑕点
设函数f(x)在(a, b]上连续 当xa时 f(x) 如果
0 a
lim
b
b
f ( x) d x
b
存在 则称此极限为无界函数f(x)在[a, b]上的广义积分 记作
例2 求广义积分1 ln xdx.
1

1 解：原式=x ln x x dx 1 x lim x ln x ln1 x |1
x x x
lim x ln x lim x 1
x
lim x(ln x 1) 1 该广义积分发散.

(2) 发散，发散，收敛
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例4.讨论


1
1 dx 的敛散性. p x
1
解:当 p 1时，
当 p 1 时，
1 x 1 p 1 lim x 1 p 1 p
1 p
p 1 x 1 dx p 1 p x
a x a
b
b为瑕点： f ( x)dx F ( x) |b F ( x ) F (a ) a lim
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无穷限广义积分的处理手法：


a
f ( x)dx lim f ( x)dx
b a
b
无界函数的广义积分如何处理？ (1) 下限 a 为瑕点 设函数f(x)在(a, b]上连续 当xa时 f(x)
)dx x lim lim ff((x x )d )dx x aa ff((xx)d 00 aa
1 曲 线 y ( x [1, )) 绕 x 轴 旋 转 一 x
周，得 Gabriel 喇叭． 请问：它的体积是有限值吗？
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（三）无界函数的反常积分
瑕积分
如果 f(x)在区间[a,b]上某点无穷间断，则称该点为
f(x)的瑕点，并称积分 b f ( x )dx 为瑕积分.