4.4.1积分区间无限的广义积分
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b b
f ( x )dx lim
a a
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
4.4 广义积分(41) 4
一般地，设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续 , 若广义积分 f ( x )dx 和 0 f ( x )dx 都收敛， 则称 上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
0
( , )上的广义积分（无穷积分） ，记作
f ( x )dx
0
f ( x )dx
0
f ( x )dx
b
lim f ( x )dx lim f ( x )dx
a a
b 0
0
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
4.4 广义积分(41) 5
1 dx 当 p 1时收敛， p x
证 (1) p 1,1
, p 1 1 x ( 2) p 1, dx 1 p 1 x , p1 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
4.4 广义积分(41) 10
定理 2（比较审敛原理）设函数 f ( x ), g( x ) 在区 间 [a, ) 上连续， 且 0 f ( x) g( x) ，(a x ) ， 则当无穷积分 a g( x )dx 收敛时，a f ( x )dx 也收 敛；当无穷积分 a f ( x )dx 发散时， a g( x )dx 也 发散.
[a, ),(a 0) 上连续，且 f ( x ) 0 .若存在常数
M M 0 及 p 1 ,使得 f ( x ) p (a x ) ，则 x
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数 N 0 ,使得
N x
f ( x)
证
设 a b ， 由 0 f ( x) g( x) 及 a g( x )dx
b b
的收敛性，得 a f ( x )dx a g( x )dx a g( x )dx ，
4.4 广义积分(41) 11
即
F (b) f ( x )dx 在 [a, ) 也上有上界. 由 a
b
定理 1 可知，积分 a f ( x )dx 收敛.
当积分 a f ( x )dx 发散时， 显然 a g( x )dx
发散. 否则，由上面的结果得 a f ( x )dx 收敛 的矛盾.
4.4 广义积分(41)
12
定理 3（比较审敛法 1）
设函数 f ( x ) 在区间
1 1 1 cos lim 2 sin d blim b π x x x
b
b
2 π
1 π lim cos cos 1. b b 2
4.4 广义积分(41) 7
例 3 证明广义积分 1 当 p 1时发散.
例1 计算广义积分 解
dx . 2 1 x
0 dx dx dx 2 2 1 x 0 1 x 1 x2
lim
a
0
a来自百度文库
b dx dx 2 lim b 0 1 x 2 1 x
0 b
lim arctan x a lim arctan x 0
pa pb
b
px
e dx blim p a
px
b
e ap e e , p0 lim p b p p p0 ,
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
4.4 广义积分(41) 9
无穷积分的审敛法
定理１ 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,) 上连续， 且 f ( x ) 0．若函数 F ( x ) f ( t )dt
a x
在 [a ,) 上有界，则广义积分 f ( x )dx 收敛．
a
证略.
定理1，对于非负函数的无穷积分有下
面的比较收敛原理．
1 p
4.4 广义积分(41) 8
1 1 d x , d x ln x p 1 1 x x
例4
证明广义积分
a
e px dx 当 p 0 时收敛，
当 p 0 时发散.
证 当p=0时,积分显然发散. 否则
a
e
px
e dx blim a
b a
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
4.4 广义积分(41) 3
类似地，设函数 f ( x ) 在区间 ( , b]上连续，取
f ( x )dx 存在，则称此极限为 a b . 若极限 alim a
b
函数 f ( x ) 在无穷区间 ( , b]上的广义积分（无 穷积分） ，记作
4.4.1 积分区间无限的广义积分
设函数 f ( x ) 在区间[a , ) 上连续，取 b a . 若
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x ) 极限 blim a
b
在无穷区间[a , ) 上的广义积分（无穷积分） ， 记作
a
f ( x )dx lim f ( x )dx .
a b
π π lim arctan a lim arctan b π. a b 2 2
4.4 广义积分(41) 6
例2 计算广义积分 解
2 π
1 1 sin dx . 2 x x
2 π
1 1 1 1 sin dx 2 sin d 2 x x π x x
f ( x )dx lim
a a
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
4.4 广义积分(41) 4
一般地，设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续 , 若广义积分 f ( x )dx 和 0 f ( x )dx 都收敛， 则称 上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
0
( , )上的广义积分（无穷积分） ，记作
f ( x )dx
0
f ( x )dx
0
f ( x )dx
b
lim f ( x )dx lim f ( x )dx
a a
b 0
0
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
4.4 广义积分(41) 5
1 dx 当 p 1时收敛， p x
证 (1) p 1,1
, p 1 1 x ( 2) p 1, dx 1 p 1 x , p1 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
4.4 广义积分(41) 10
定理 2（比较审敛原理）设函数 f ( x ), g( x ) 在区 间 [a, ) 上连续， 且 0 f ( x) g( x) ，(a x ) ， 则当无穷积分 a g( x )dx 收敛时，a f ( x )dx 也收 敛；当无穷积分 a f ( x )dx 发散时， a g( x )dx 也 发散.
[a, ),(a 0) 上连续，且 f ( x ) 0 .若存在常数
M M 0 及 p 1 ,使得 f ( x ) p (a x ) ，则 x
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数 N 0 ,使得
N x
f ( x)
证
设 a b ， 由 0 f ( x) g( x) 及 a g( x )dx
b b
的收敛性，得 a f ( x )dx a g( x )dx a g( x )dx ，
4.4 广义积分(41) 11
即
F (b) f ( x )dx 在 [a, ) 也上有上界. 由 a
b
定理 1 可知，积分 a f ( x )dx 收敛.
当积分 a f ( x )dx 发散时， 显然 a g( x )dx
发散. 否则，由上面的结果得 a f ( x )dx 收敛 的矛盾.
4.4 广义积分(41)
12
定理 3（比较审敛法 1）
设函数 f ( x ) 在区间
1 1 1 cos lim 2 sin d blim b π x x x
b
b
2 π
1 π lim cos cos 1. b b 2
4.4 广义积分(41) 7
例 3 证明广义积分 1 当 p 1时发散.
例1 计算广义积分 解
dx . 2 1 x
0 dx dx dx 2 2 1 x 0 1 x 1 x2
lim
a
0
a来自百度文库
b dx dx 2 lim b 0 1 x 2 1 x
0 b
lim arctan x a lim arctan x 0
pa pb
b
px
e dx blim p a
px
b
e ap e e , p0 lim p b p p p0 ,
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
4.4 广义积分(41) 9
无穷积分的审敛法
定理１ 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,) 上连续， 且 f ( x ) 0．若函数 F ( x ) f ( t )dt
a x
在 [a ,) 上有界，则广义积分 f ( x )dx 收敛．
a
证略.
定理1，对于非负函数的无穷积分有下
面的比较收敛原理．
1 p
4.4 广义积分(41) 8
1 1 d x , d x ln x p 1 1 x x
例4
证明广义积分
a
e px dx 当 p 0 时收敛，
当 p 0 时发散.
证 当p=0时,积分显然发散. 否则
a
e
px
e dx blim a
b a
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
4.4 广义积分(41) 3
类似地，设函数 f ( x ) 在区间 ( , b]上连续，取
f ( x )dx 存在，则称此极限为 a b . 若极限 alim a
b
函数 f ( x ) 在无穷区间 ( , b]上的广义积分（无 穷积分） ，记作
4.4.1 积分区间无限的广义积分
设函数 f ( x ) 在区间[a , ) 上连续，取 b a . 若
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x ) 极限 blim a
b
在无穷区间[a , ) 上的广义积分（无穷积分） ， 记作
a
f ( x )dx lim f ( x )dx .
a b
π π lim arctan a lim arctan b π. a b 2 2
4.4 广义积分(41) 6
例2 计算广义积分 解
2 π
1 1 sin dx . 2 x x
2 π
1 1 1 1 sin dx 2 sin d 2 x x π x x