无穷大无穷小,两个重要极限

x 1 1
x 2
x 1 1 2
同理，若分子出现根式，方法一样—根式 有理化
lim x 1 1 x2
lim
lim

x 1 1

x 1 1

x 2
x 2
x 2
1 x 1 1
x 1 1百度文库
1 2

x 2
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令t
1 x
1、 lim
sin 3 x
x 0

3

3
3x
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二、选择题 5、下列关于极限运算正确的是（ A ） A、 lim
sin x x sin x x lim 1 x
x 0
1 ;B、 lim
x 2
2
x
3x 4x
2

lim x 2
2
lim 3 x 4 x
2 x
2
常 见 例 题 解 析
解： 1 2 3 ... n
lim
n n 1 2 n n
2
1 2 3 ... n 3n 4
2
n
lim
n
6n 8
2

1 6
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例6
求 lim
n
2 3
n
4 1
n
常 见 例 题 解 析
x1

0 5
0
由无穷小与无穷大关系知： lim
x1

倒数法，适用范围分母极限为0，分子极限 不为0
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例 2：求 lim
x 2
x x2
2
x 4
2
常 见 例 题 解 析
解： lim
x x2
2
x 2
x 4
2
lim
( x 2 )( x 1) ( x 2 )( x 2 )
1
1
3
x 2x
是无穷大量； x 1 当
时， x
2
x 1
是无穷大量；当 x 2
是无
穷大量。
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一 、 无 穷 大 与 无 穷 小
• 注意 • 1、除了0以外，无穷大与无穷小都是变量 • 2、无穷小，不是指数值越来越小，而是 指数值越来越趋近于0 • 3、无穷大有两种情形，一是正的无限增 大，一是负的无限增大 • 4、任何一个常数，无论多大都不是无穷 大，除了0以外，任何一个常数，无论多 小，都不是无穷小 • 5、指出一个变量是无穷大或者无穷小的 同时，要指出变化趋势。 • 6、0是唯一的一个无穷小常数。
x 0
应 用 举 例
解：原式
3x lim x 0 sin 2 x

3 2
lim lim
2x sin 3 x
2 x
3x sin 2 x 2x
t
x 0
3x sin 2 x 2x
lim
t 0
sin t t
x 0
u
lim
u 0

3 2
sin u u
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例 4： 求 lim
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5、实际解题应用
例 1：求极限 lim
x 1
x4 x 1
常 见 例 题 解 析
解：当 x 1 时，分母的极限为零，所以不能 用 商 的 运 算 法 则 ， 但 分 子 的 极 限
lim x 4 5 0 ，于是， lim
x1
x 1 x4 x4
x 1
lim f ( x ) A 的充要条件是 f ( x ) A a ,其中 a 是
该变化趋势下的无穷小。
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一 、 无 穷 大 与 无 穷 小
4、无穷小的三个性质
⑴ 有限个无穷小量的代数和是无穷小。 ⑵ 有限个无穷小量的乘积是无穷小。 ⑶ 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小。
b0 x b1 x
m
常 见 例 题 解 析
求解方法：分子分母同除以x的最高次幂 一般的有如下结论：
lim a 0 x a1 x
n n 1 m 1
a2 x b2 x
n2 m2
... a n 1 x a n ... b n 1 x b n
n m n m n m
2

1 2
1
2
1 2
lim
x 0
sin t t
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例 5： 求 lim 1 x x
x 0
1
解：原式 lim 1 x x x 0
1
应 用 举 例
1
lim 1 x x 0
x
1
x lim 1 x x 0 t 1 1 x lim 1 x x 0
x x 0
1
2 4、 lim ln 1 x x
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计算极限
解： x 1 x 1
x 1 lim x x 1
x 1 2 x 1
x
1
x
2 x 1
x 1 2 2 1
思 考 题
2 lim 1 2 原 式 lim 1 x x 1 x x 1
1
1
1
e
1
lim(1 t ) t e
t 0
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1 例 6： 求 lim 1 x 2x 1
x
倒数
2 x 1
1 2 1 2
解：原式
应 用 举 例
1 lim 1 x 2x 1
1 2 x 1
x 1 x2
x 2
lim
x 2

3 4
通分法：适用范围，分子分母极限同时 为0的有理分式
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例 3：求 lim
x
a0 x a1 x
n
n 1 m 1
a2 x b2 x
n2 m2
... an1 x an ... bn1 x bn
m
5、 若 m 2, 则 lim 若 m 4, 则 lim 若 m 3, 则 lim 2x
3x 2
3
x m
x 2x 3x 2
3
0
x
x 2x 2x
m

3x 2
3
x
x 2x
2
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例 5 求 lim
n
1 2 3 ... n 3n 4
x 0
1 cos x
解：原式
x 2 sin 2 sin 2 2 lim lim 2 2 x 0 x 0 x x t
2
x
2
2
x
应 用 举 例

1 2
sin lim
x 0
2
x 2
2
x 2
x sin 1 2 lim 2 x 0 x 2
1
12 1
1
1 lim 1 x 2x 1
1
2 1 2 lim 1 x 2x 1 t
1 lim 1 e t t
t
e2
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一、填空题 1、 lim 2、 lim
1
x

1 3
练 习 题
C、 lim
x
x
lim sin x 0 ;D、 lim 1 x x e ;
x
x
三、计算题 1、 lim
1 co s 2 x x
2 x 0
；
2、 lim
tan 2 x sin 3 x
x
x 0
3、 lim 1 2 x ；
第一章
极限与连续
第三节 无穷大与无穷小 第四节 两个重要极限
重 点 难 点
• 知道什么是无穷大什么是无穷小（除 了0以外，两个都是变量） • 理解无穷小的三个性质（此三个性质 是无穷大没有的） • 掌握利用无穷大与无穷小的关系求函 数极限的方法。 • 熟悉求几种不同类型的函数的极限的 方法。 • 掌握两个重要极限的形式，变形形式 • 能熟练的利用两个重要极限的结论求 给的函数的极限
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一 、 无 穷 大 与 无 穷 小
1、定义
定义：若
y f
x 在自变量 x 的某个变化趋势
y f
中的极限为 0，则函数
x 叫做在该变化
过程中的无穷小量，简称无穷小，即
lim f ( x ) 0 。
例如，当 x 0 时，x 3 2 x 是无穷小量；当 x 1 时， x 1 是无穷小量；当 x
x
b0 x
m
b1 x
0 a0 b0
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例4 根据上题的结论填空
常 见 例 题 解 析
1、 lim
x 3x 2
3
x
x 2x
2


2、 lim
x 3x 2
3
0
x
x 2x
2 3
3、 lim
3x 3x 2 2x 2x
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例 1：求 lim
x 0
tan x x
应 用 举 例
解： lim x 0
tan x x
lim
sin x x sin x x
x 0

1 co s x 1 co s x
lim
x 0
lim
x 0
11 1
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例 2：求 lim
x 0
sin Rx x
sin x x sin x x
1
x 0

1
0
练 习 题
x
3、 lim 1 t t
t 0 1 t 0
e

2t 2 1
4、 lim 1 2 t t lim 1 2 t
t 0

e
2
5、 lim
sin 3 x x
x 0
lim
3
3

x
2
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4、 若 m 3
, 则 lim 2x
2x
m
3x 2
3
x m
x 2x 3x 2
3
0
常 见 例 题 解 析
若m 3 若m 3
, 则 lim , 则 lim
x
x 2x 2x
m
2

3x 2
3
x
x 2x 2x
2
时，
1 x
2
是无
穷小量。
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一 、 无 穷 大 与 无 穷 小
定义：若
y f
x 在自变量 x 的某个变化趋势
y f
中的绝对值无限增大， 则函数
x 叫做在
该变化过程中的无穷大量， 简称无穷大， 记作
lim f ( x ) 。
例如， x 0 时， 当 时，
关于两个重要极限的几点说明：
二、 两 个 重 要 极 限
其中 t 可以是自变量也可以是中间变量。
使用这两个公式时一定要注意公式的形式特 征和变量的变化趋势。对于 lim
t 0
sin t t
1 ，要
使 t 0 且分子、分母为同一变量 t 。防止 出现 lim
sin 2 x x
x 0
1 这样的错误。
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2、两者的关系
一 、 无 穷 大 与 无 穷 小
在自变量的同一变化过程中，如果 f x 为无 穷大量， 则
f 1
x
是无穷小； 反之， 如果 f x 为
1 f
无穷小量，且 f x 0 ，则
x
是无穷大量。
3、无穷小与函数极限的关系
x x0 x
2 lim 1 x x 1
e
2
x 1 2
2 lim 1 x x 1
2
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• P29 习题1-3 3. 7） 12） • P40 习题1-5 1. 2） 5）
作 业
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解：
lim
2 3
n
n
4 1
n
2 lim 4
n
n n

3 4 1
n
1
4
00 1 0 0
n
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例7
求 lim
x 2
x2 x 1 1
常 见 例 题 解 析
解：原式 lim2 x
lim
x 2
x 1 1



x 1 1
（ R 0）
解：原式 lim
sin R x Rx
x 0
R
应 用 举 例
t
R lim
R 1
sin R x Rx
x 0
lim
t 0
sin t t
R
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例 3：求 lim
x 0
sin 3 x sin 2 x
sin 3 x
3 x
sin 3 x 3 2 lim
x 0
sin x x
1
x 0 ,t

lim t sin
t
1 t
1
二、 两 个 重 要 极 限

1
2、 1 x x e lim
x 0
1

1
倒数
1 lim 1 e t t
t
令t
1 x
x 0 ,t

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