2018年北京卷(理科数学)含答案

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=【A】

（A）{0，1}（B）{–1，0，1}

（C）{–2，0，1，2}（D）{–1，0，1，2}

（2）在复平面内，复数

1

1i

的共轭复数对应的点位于【D】

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为【B】

（A）1

2

（B）

5

6

（C）7

6

（D）

7

12

（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个

单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为【D】

（A（B

（C）（D）

（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为【C】

（A ）1 （B ）2 （C ）3

（D ）4

（6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的【C 】

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变

化时，d 的最大值为【C 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3

（D ）4

（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则【D 】

（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈

（B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ∉

（D ）当且仅当3

2

a ≤

时，（2，1）A ∉ 第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

（9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为 63n a n =- . （10）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =

（11）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π

()()4

f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小

值为

23

. （12）若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y−x 的最小值是 3 .

（13）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函

数”为假命题的一个函数是 ()f x =sinx （答案不唯一） .

（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22

221x y N m n

-=：．若双曲线N 的两条渐近线与

椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率

N 的离心率为 2 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–1

7

．

（Ⅰ）求∠A ；

（Ⅰ）求AC 边上的高．

解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B ．

由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π

3

．

（Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．

如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7，

∴AC ．

（16）（本小题14分）

如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，

1BB 的中点，AB=BC ，AC =1AA =2．

（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEF ； （Ⅰ）求二面角B−CD −C 1的余弦值； （Ⅰ）证明：直线FG 与平面BCD 相交． 解：（Ⅰ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， ∵CC 1⊥平面ABC ， ∴四边形A 1ACC 1为矩形． 又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点， ∴AC ⊥EF ． ∵AB =BC ． ∴AC ⊥BE ， ∴AC ⊥平面BEF ．

（Ⅱ）由（I ）知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1． 又CC 1⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ． ∵BE ⊂平面ABC ，∴EF ⊥BE ． 如图建立空间直角坐标系E -xyz ．