初中数学知识点全面梳理(沪教版)--01数的整除
上海补习班预初数学——数的整除_新王牌教育
（7） 整数 a 除以整数 b（b≠0） ， 若除得的商是整数而余数为零， 就说 a 能被 b 整除， 或者说 b 能被 a 整除。 （
1
新王牌教育李 G 老师秋季班预初年级专用讲义
2. 下列说法中，错误的是 A、没有最大的整数 C、0 能被任何整数整除
（
） B、3.9 能被 3 除尽 D、1,2,3,4,5 都能整除 60
（填“奇数”或“偶数” ） 4. 如果 a b c 是偶数，则 a 1b 2 c 3 一定是______。
5. 一个奇数要变成偶数，下面方法中不可以的是（ （A）加上 1 （B）减去 1 （C）乘以 2
） （D）除以 2
6. 下列说法正确的是（ ） （A）两个偶数之和为奇数 （C）偶数一定能被 2 整除
5. 一个整数的最大因数与最小因数的差是 9，则这个数是__________。
6. 能整除 255 的最小两位数_______________。
7. 三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数？
8. 已知 a 是最大的一位数，b 是小于 30 的两位数且它只有三个因数，求 a 与 b 的积的所有因数。
6. 如果两个整数 a、b 都能被整数 c 整除，那么它们的和、差、积也能被 c 整除吗？为什么？
题型二： 1. 判断题 （ （1） 10 0.8 8 ， 8 是 0.8 的倍数，0.8 是 8 的因数。 （2）5 是因数，20 是倍数。 （ ） ） ）
（3）一个数的因数一定比这个数小，一个数的倍数一定比这个数大。 （ （4）一个数的因数一定小于这个数的倍数。 （ ）
⑶ 要使 4□27 这个四位数能被 3 整除，在□里要填上（ A.0、3、6、9； B.1、4、7； C.2、5、8；
初中数学知识点全面梳理(沪教版)--01数的整除
目录六年级上册 (2)第一章数的整除 (2)第一节整数和整除 (2)1.1整数和整除的意义 (2)1.2因数和倍数 (4)1.3能被2、5整除的数 (4)第二节分解质因数 (6)1.4素数、合数与分解质因数 (6)1.5公因数与最大公因数 (6)1.6公倍数与最小公倍数 (7)六年级上册第一章 数的整除第一节 整数和整除1.1整数和整除的意义零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
重点题型：1. 在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中，正整数有 ，自然数有 ，整数有 。
2.最小的自然数是。
3、提高（非负整数）----小于3的非负整数有。
4、除0以外的数都是自然数。
( )整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
重点题型：(1) 在下列各组数中，如果第一个数能被第二数整除，请在（）内打勾。
72和36； 17和34； 3.5和0.5； 51和17；（）（）（）（）(2) 在上列各组数中，如果第一个数能整除第二数，请在（）内打△。
判断：（1）1能被任何正整数整除. ( )（理由:能整除任何正整数.）（2）因为15÷4=3.75，所以4能被15整除。
( )（理由：商不是整数。
）（3）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。
( )（理由：整除一定能除尽，除尽不一定能整除。
）填空:1、45÷5= 9， ( ) 能被( ) 整除，( )能整除( )；( )是( ) 的因数，( ) 是( ) 的倍数。
2、一个正整数a的因数的个数是( ) ，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( ) 。
3、一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是( )，最小因数是( ) 。
4、有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( ) 。
上海中考数学知识点梳理
上海中考数学知识点梳理第一单元数与运算一、数的整除1．内容要目数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数，公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数；能被2和5整除的正整数的特征。
2．基本要求（1）知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义；知道能被2、5整除的正整数的特征。
（2）会用短除法分解素因数；会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。
3．重点和难点重点是会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点是求两个正整数的最小公倍数。
4．知识结构二、实数1．内容要目实数的概念，实数的运算。
近似计算以及科学记数法。
2．基本要求（1）理解开方及方根的意义，知道无理数的概念，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
（2）理解实数概念，掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法制，会正确进行实数的运算。
（3）会用计算器进行实数的运算，初步掌握估算、近似计算的基本方法和科学记数法。
3．重点和难点重点是理解实数概念，会正确进行实数的运算。
难点是认识实数与数轴上的点的一一对应关系。
4．知识结构第二单元 方程与代数一、整式与分式 1．内容要目 代数式，整式的加减法，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方。
单项式的乘法和除法，单项式与多项式的乘法，多项式除以单项式，多项式的乘法。
乘法公式：22222()();()2a b a b a b a b a ab b +-=-±=±+因式分解：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法。
分式，分式的基本性质，约分，最简分式，通分，分式的乘除法，分式的加减法，整数的指数幂，整数指数幂的运算。
2．基本要求（1）理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。
（2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代”数的数学思想；会求代数式的值。
（3）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式。
最新初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)——01数的整除
初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）导言《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教材《初中数学》的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。
文中带“（★）”部分为市北版的加深内容，练习带“（★）”部分也为市北版内容。
第一章数的整除一、知识结构二、重点和难点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点：求两个正整数的最小公倍数。
第一节整数和整除1.1整数和整除的意义⑴正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数。
⑵负整数：在正整数1，2，3，4，5…之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5…叫做负整数。
⑶ 自然数：零和正整数统称为自然数。
⑷ 整数：正整数、零、负整数统称为整数。
⑸ 整除：设a、b是两个整数，且b≠a，若存在整数q，使a＝bq，则称b整除a，或a被b整除，记作b∣a。
（★）或者说，如果整数a除以整数b(b ≠ 0）所得的商是整数，那么叫做a被b整除，或b能整除a 。
例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？28÷7 10÷3 5÷4解：因为28÷7＝4 ，10÷3＝3……1 ，5÷4＝1.25 ，所以被除数能被除数整除的是28÷7。
例如：a为整数时，2∣a(a+1)6∣a(a+1)(a+2)24∣a(a+1)(a+2)(a+3)……（★）解：由于4个连续的整数中必有1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为2×3×4=24的倍数。
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第一章数的整除知识结构数的整除重点和难点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点：求两个正整数的最小公倍数。
第一节整数和整除（整数］1倍两个 整数 问的最大公因数 公倍数最小公倍数奇数 低数 素数合数 能被2整除的特己 能被5龍除的素 公因数1.1 整数和整除的意义⑴正整数：用来表示物体个数的数 1, 2, 3, 4, 5…叫做正整数。
⑵负整数：在正整数1, 2, 3, 4, 5…之前添上“-”，得到的数-1 , -2, -3 , -4, -5-••叫做负整数。
♦ 零既不是正整数，也不是负整数。
⑶自然数：零和正整数统称为自然数。
⑷整数：正整数、零、负整数统称为整数。
⑸整除：设a 、b 是两个整数，且a ,若存在整数q ,使a = bq ,则称b 整除a , 或a 被b 整除，记作b I a o （^）或者说，如果整数a 除以整数b （b 工0 ）所得的商是整数，那么叫做 a 被b 整除，或b 能整除a 。
整数a 除以整数 整数a 被整数b 』b整除 a- b整数b 整除整数」 a例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除?28- 7 10 - 3 5 - 4解：因为28宁7=4 ,10 - 3= 3……1 ,5-4= 1.25 ,所以被除数能被除数整除的是28 + 7。
♦注意整除的条件：① 除数、被除数都是整数；② 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结一.数的分类第一种分法:树状图韦恩图整数正整数零负整数整数自然数负整数零正整数正奇数正偶数第二种分法整数奇数偶数整数奇数偶数第三种分法：正整数素数合数整数素数合数一些关于数的结论:1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义（概念）：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a相当于被除数，b相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a能被b整除,则a一定能被b除尽，反之则不一定（即a能被b除尽，则a不一定能被b整除）。
如4÷2=2,4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8,4能被5除尽，却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数）。
注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。
如：6÷3=2，不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。
2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷0.2=20，一般是不说4是0.2的倍数，0.2是4的因数。
2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。
3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
如16=1×16=2×8=4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结一。
数的分类数可以根据不同的属性进行分类。
第一种分类方法是使用树状图或韦恩图，将整数分为自然数、正整数、负整数、零、正奇数和正偶数等。
第二种分类方法是将整数分为奇数和偶数。
第三种分类方法是将整数分为正整数、素数和合数。
需要注意的是，0是最小的自然数，-1是最大的负整数，1是最小的正整数。
同时，没有最大的整数、没有最小的负整数、没有最大的正整数，正整数、负整数和整数的个数都是无限的。
二。
整除整除是指一个整数a被另一个整数b整除，商是整数而余数为零的情况。
因此，b可以整除a，也可以说a能被b整除。
需要注意的是，要区分整除和除尽。
整除是特殊的除尽，即a能被b整除，则a一定能被b除尽，反之则不一定。
例如，4÷2=2，4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8，4能被5除尽，但不能说4能被5整除。
三。
因数与倍数因数是指一个整数a能被另一个整数b整除，b就是a的因数。
而倍数是指一个整数a能够整除另一个整数b，a就是b的倍数。
因数和倍数是相互依存的，不能简单地说某个数是因数或倍数。
一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，可以一一列举出来，而倍数的个数是无限的。
求一个数的因数可以利用积与因数的关系，一对一对找出哪两个数的乘积等于这个数，然后按照一定的顺序列举出所有的因数。
求一个数的倍数可以将这个数本身分别乘以1、2、3、4、5等正整数，得到的积就是这个数的倍数。
四。
能被2、5、3整除的数的特点一个数能被2整除，当且仅当这个数的个位数是0、2、4、6、8.一个数能被5整除，当且仅当这个数的个位数是0或5.一个数能被3整除，当且仅当这个数的各位数字之和能够被3整除。
因此，一个数能被2、5、3整除的特点可以通过它的各位数字来判断。
1.能被2整除的数的个位数字是2、4、6、8，反之，个位数字是2、4、6、8的数也能被2整除。
沪教版预初六年级上册第一节：整除的意义、因数和倍数
整数和整除的意义、因数和倍数一、知识点精知识点1：整数的意义和分类自然数：零和正整数统称为自然数（natural number）；整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。
整数负整数知识点2：整除（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.（2）整除的条件（两个必须同时满足）：①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
知识点3：除尽与整除的异同点相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。
知识点4：因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。
注：（1）在整除的条件下才有因数和倍数的概念；（2）说法：例如，6 3=2，只能说6是3的倍数，3是6的因数，不能单独说6是倍数，3是因数（3）如果a是b的倍数，那么b一定是a的因数；反之，如果b是a的因数，那么a一定是b的倍数知识点5：求一个数的因数的方法（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数例：6=1×6，6=2×3，所以1、2、3、6都是6的因数（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数例：8÷1=8，8÷2=4，所以1，2，4，8都是8的因数规律总结：一个数的因数个数是有限的。
一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
1的因数只有1，最大的因数和最小的因数都是1，除1以外的整数，至少有两个因数知识点6：求一个数的倍数的方法求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数例：2×1=2，2×2=4，2×3=6，2×4=8……，则2，4，6，8都是2的倍数规律总结：一个数的倍数是无限的，一个数的最小倍数是它本省，没有最大倍数知识点7：因数和倍数的性质（规律总结）（1）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；（2）0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数（3）一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数二、自主练习1、把下列各数放入相应的圈内-1，-0.2，0，0.7,13，0.2323……自然数整数2、最小的自然数是，最小的正整数是,最大的负整数是3、下列各组数中，哪个数能整除另一个数？①8和36 ②26和52 ③17和3④35和0.5 ⑤50和25 ⑥1.9和384、、判断题（对的打“√”，错的打“×”）：（1）负整数中有最大的数。
综合整除知识点总结
综合整除知识点总结一、整除的定义整除是指当一个整数a能被另一个整数b整除时，记为b|a，即a能被b整除。
这意味着存在一个整数c，使得a=bc，这时a称为b的倍数，b称为a的约数。
例如，6能被2整除，因为6=2*3，此时6是2的倍数，2是6的约数。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
2. 自反性：任何整数都能被1和它自身整除。
3. 0的整除性：0能整除任何不等于0的整数。
4. 整除与乘法的关系：如果a能被b整除，那么对于任何整数c，ac都能被bc整除。
5. 整除与加法的关系：如果a能被b整除，c能被d整除，那么a+c能被b+d整除。
三、整除定理1. 常用整除定理：当a、b、c是整数，且a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
2. 辗转相除法：对两个整数a和b，找到它们的最大公约数的常用方法是辗转相除法。
辗转相除法可以用递归的方法实现，即将b作为a，a除以b的余数作为b，直到余数为0，此时b即为最大公约数。
3. 整数除法算法：对于任意正整数a和b，整数除法算法可以通过连续减法或连续加法来实现，直到a小于b为止，此时a即为a除以b的商。
四、最大公约数与最小公倍数1. 最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）：两个整数a和b的最大公约数，是两个数的公约数中最大的那个数。
最大公约数可以通过辗转相除法、质因数分解法、更相减损术等方法求得。
2. 最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）：两个整数a和b的最小公倍数，是两个数的公倍数中最小的那个数。
最小公倍数可以通过最大公约数来求得，即两个数的乘积除以它们的最大公约数。
五、整数分解1. 质因数分解：对于任意正整数n，可以将它写成几个质因数的乘积的形式，这种表示方式称为质因数分解。
质因数分解是唯一的，即一个正整数的质因数分解结果是唯一的，可以通过确定性的算法得到。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结一。
数的分类数可以根据不同的属性进行分类。
第一种分类方法是使用树状图或韦恩图，将整数分为自然数、正整数、负整数、零、正奇数和正偶数等。
第二种分类方法是将整数分为奇数和偶数。
第三种分类方法是将整数分为正整数、素数和合数。
需要注意的是，0是最小的自然数，-1是最大的负整数，1是最小的正整数。
同时，没有最大的整数、没有最小的负整数、没有最大的正整数，正整数、负整数和整数的个数都是无限的。
二。
整除整除是指一个整数a被另一个整数b整除，商是整数而余数为零的情况。
因此，b可以整除a，也可以说a能被b整除。
需要注意的是，要区分整除和除尽。
整除是特殊的除尽，即a能被b整除，则a一定能被b除尽，反之则不一定。
例如，4÷2=2，4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8，4能被5除尽，但不能说4能被5整除。
三。
因数与倍数因数是指一个整数a能被另一个整数b整除，b就是a的因数。
而倍数是指一个整数a能够整除另一个整数b，a就是b的倍数。
因数和倍数是相互依存的，不能简单地说某个数是因数或倍数。
一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，可以一一列举出来，而倍数的个数是无限的。
求一个数的因数可以利用积与因数的关系，一对一对找出哪两个数的乘积等于这个数，然后按照一定的顺序列举出所有的因数。
求一个数的倍数可以将这个数本身分别乘以1、2、3、4、5等正整数，得到的积就是这个数的倍数。
四。
能被2、5、3整除的数的特点一个数能被2整除，当且仅当这个数的个位数是0、2、4、6、8.一个数能被5整除，当且仅当这个数的个位数是0或5.一个数能被3整除，当且仅当这个数的各位数字之和能够被3整除。
因此，一个数能被2、5、3整除的特点可以通过它的各位数字来判断。
1.能被2整除的数的个位数字是2、4、6、8，反之，个位数字是2、4、6、8的数也能被2整除。
专题01 数的整除(重点)(解析版)
专题01 数的整除（重点）一、单选题¸=，商不是整数，∴第一个数不能被第二个数整除；C．∵208 2.5D．∵20102¸=，∴第一个数能被第二个数整除．故选D．【点睛】此题主要考查了整除的定义，如果甲数和除乙数都是整数，甲数除以乙数所得的商也是整数，我们就说甲数能被乙数整除，或者说乙数能整除甲数．4．（2022秋·上海青浦·六年级校考期中）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是（）A．9B．15C．20D．45【答案】B【分析】根据倍数和因数的定义解答即可．【解析】解：A、9是3的倍数，但不是60的因数，故本选项不符合题意；B、15是3的倍数，也是60的因数，故本选项符合题意；C、20不是3的倍数，是60的因数，故本选项不符合题意；D、45是3的倍数，但不是60的因数，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了因数和倍数，解题的关键是掌握因数和倍数的定义．一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数．5．（2023·上海·六年级假期作业）下列说法中正确的是（）①能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除②最小的素数是2③合数一定是偶数④没有最大的素数A．①、②B．②、③C．②、④D．③、④【答案】C【分析】利用整除的定义、素数定义及合数定义判断即可【解析】解：能够除尽的算式，商为整数，叫做被除数能被除数整除，故①错误；最小的素数是2，故②正确；合数不一定是偶数，例如：15是合数但是15不是偶数，故③错误；没有最大的素数，故④正确，故选：C故答案为：1，2，3，4，6，8，12，24．【点睛】本题考查了因数，解题的关键是掌握因数的定义．14．（2022秋·上海·六年级专题练习）a÷b＝5（a，b都是非0自然数），a是b的（），b是a的（）．①倍数②因数③积A．①②B．②①C．③①【答案】A【分析】a÷b＝5，a、b、5三个数字都是非0自然数，所以被除数a是除数b的倍数，除数b是被除数a的因数，由此求解．【解析】解：因为a÷b＝5，所以：a是b的倍数，b是a的因数．故选A【点睛】一个整数能够被另一整数整除，被除数就是除数的倍数，除数就是被除数的因数．15．（2022秋·上海·六年级专题练习）如果M能被15整除，那么M是（）A．15B．30C．15的倍数D．15的因数【答案】C【分析】根据整除的概念即可解答．【解析】解：如果M能被15整除，则M是15的倍数，故选：C．【点睛】本题考查了整除的概念，熟练掌握整除的概念是解题的关键．16．（2019秋·上海静安·六年级校联考期中）下列说法中正确的是（）A．1是自然数，并且是最小的自然数B．1是任何正整数的因数C．一个正整数至少有2个因数D．整数可以分为正整数和负整数两类【答案】B【解析】解：A.1是自然数，但最小的自然数是0，而不是1，故不正确；B.1是任何正整数的因数，正确；C.1有一个因数，故一个正整数至少有2个因数不正确；D.整数可以分为正整数，0和负整数，不不正确；故选B．【点睛】本题考查了自然数，因数的定义，以及整数的分类，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．17．（2022秋·六年级单元测试）对18、4和6这三个数，下列说法中正确的是（）24和28的最大公因数是；24和28的最小公倍数是．【答案】见解析，4，168【分析】首先将24和36分解成几个因数相乘，进而分析即可．【解析】解：如图所示：=´´∵242223=´´´，28227∴24 和28 的最大公因数：4；24 和28 的最小公倍数：168．【点睛】本题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，注意互质数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1；倍数关系的最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数．40．（2023·上海·六年级假期作业）一列快车全长250米，每秒行15米；一列慢车全长263米，每秒行12米．(1)两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？(2)两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？【答案】(1)两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要19秒(2)从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要171秒【分析】（1）这是一个相遇错车的过程，两列车共走的路程是两车车长之和，据此根据相遇时间=路程和¸速度和即可求解；（2）这是一个超车的过程，路程差是两车车长之和，根据追及时间=路程差¸速度差即可求解．【解析】（1）解：()()2502631512+¸+51327=¸19=（秒）答：两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要19秒；（2）解：()()2502631512+¸-5133=¸171=（秒）答：从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要171秒．【点睛】本题主要考查相遇、追及公式解火车行程问题，掌握公式：相遇时间=路程和¸速度和与追及时间=路程差¸速度差是解题的关键．41．（2023·上海·六年级假期作业）最小公倍数(1)18和42(2)27和135(3)12、18和90【答案】(1)最大公约数是6，最小公倍数是126(2)最大公约数是27，最小公倍数是135(3)最大公约数是6，最小公倍数是180【分析】（1）先分解因数，再根据最大公约数和最小公倍数的概念解答即可；（2）先分解因数，再根据最大公约数和最小公倍数的概念解答即可；（3）先分解因数，再根据最大公约数和最小公倍数的概念解答即可．【解析】（1）解∶18233=´´，42237=´´，最大公约数是236´=最小公倍数是2337126´´´=；（2）27333=´´，1353335=´´´，最大公约数是33327´´=最小公倍数是3335135´´´=；（3）12223=´´，18233=´´，902335=´´´，最大公约数是236´=最小公倍数是22335180´´´´=．【点睛】本题考查了最小公倍数，解题的关键是掌握最大公约数和最小公倍数的求法．42．（2023·上海·六年级假期作业）下列各组数的最大公因数和最小公倍数．(1)72和108(2)65和39(3)12、96和36(4)8、12和30【答案】(1)最大公因数为36，最小公倍数为216；(2)最大公因数为13，最小公倍数为195；(3)最大公因数为12，最小公倍数为288；(4)最大公因数为2，最小公倍数为120【分析】利用短除法求解即可．(1)这个三位数是偶数；(2)这个三位数能被5整除；(3)这个三位数能被3整除．【答案】(1)230,232,234,236,238(2)230,235(3)231,234,237【分析】（1）三位数如果是偶数，则是2的倍数，只要该三位数个位是偶数即可确定答案；（2）三位数如果能被5整除，只要该三位数个位是0或5即可确定答案；（3）三位数如果能被3整除，只要该三位数各位上的数字之和为3的倍数即可确定答案．【解析】（1）解：Q当三位数个位是偶数时，这个三位数个位数字必是偶数，\所有满足条件的三位数是230,232,234,236,238；（2）解：Q当这个三位数能被5整除时，这个三位数个位数字必是0或5，\所有满足条件的三位数是230,235；（3）解：Q当这个三位数能被3整除时，这个三位数各位上的数字之和为3的倍数，\所有满足条件的三位数是231,234,237．【点睛】本题考查整除概念，涉及偶数特征、3的倍数的特征、5的倍数的特征等知识，熟练掌握相关数的特征是解决问题的关键．45．（2022秋·上海·六年级开学考试）小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校.已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？【答案】770米【分析】先求出小明提前3分钟所走的路程，用总路程－小明前3分钟所走的路程＝两人合走的路程；再根据时间＝路程÷速度和求出合走路程所需要的时间，进而得出小明到学校所用的总时间；最后根据路程＝时间×速度，求出小明家到学校的距离即可．【解析】70×3＝210（米）两家之间的所剩路程是：1410－210＝1200（米）两人的速度和是：70＋80＝150（米）所剩路程需：1200÷（70＋80）＝1200÷150＝8（分钟）小明家距离学校：70×（8＋3）＝70×11＝770（米）答：小明家距离学校有多远770米．【点睛】本题考查学生对速度＝路程\时间这一公式的运用，解答时需要结合题目实际进行灵活运用．46．（2023·上海·六年级假期作业）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”．例如：426是“好数”．因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除．(1)判断312，875是否是“好数”？并说明理由；(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．【答案】(1)312，875均是“好数”，理由见解析(2)611，617，721，723，729，831，941，理由见解析【分析】（1）根据“好数”的意义，判断即可得出结论；（2）设十位数数字为a ，则百位数字为5(04a a +<…的整数），得出百位数字和十位数字的和为25a +，再分别取1a =，2，3，4，计算判断即可得出结论．【解析】（1）解：312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且314+=，4能被2整除；875是“好数”，因为8，7，5都不为0，且8715+=，15能被5整除；（2）解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字为a ，则百位数字为5(04a a +<…的整数），525a a a \++=+，当1a =时，257+=a ，7\能被1，7整除，\满足条件的三位数有611，617，当2a =时，259+=a ，9\能被1，3，9整除，\满足条件的三位数有721，723，729，当3a =时，2511+=a ，11\能被1整除，\满足条件的三位数有831，当4a =时，2513+=a ，13\能被1整除，\满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．【点睛】本题主要考查了数的整除问题和新定义问题，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．。
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除数的整除是初中数学竞赛中常见的考点之一，在解题过程中需要掌握一些基本的概念和操作方法。
本文将介绍数的整除的基本概念和性质，并附上一些练习题供大家练习。
一、整除的定义对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=c*b，那么我们就说a能够被b整除，b是a的一个因数，同时也说b是a的一个除数，记作b，a。
例如，2能够被4整除，就表示4是2的一个因数。
二、整除性质1.若a能够被c整除，而c能够被b整除，则a能够被b整除。
2.若a能够被b整除，且b能够被c整除，则a能够被c整除。
3.0除以任何非零整数都为0。
4.任何整数除以1都为本身。
5.任何整数除以0是没有意义的，应避免这样的操作。
三、整除的判定方法1.因数的概念：如果a能够被b整除，那么a一定是b的倍数，b一定是a的因数。
2.除数的性质：如果一个数a的除数是b，那么b的倍数一定是a的倍数。
3.余数的性质：如果一个数a除以b的余数为0，那么a一定能够被b整除。
四、整除的应用整除的概念和性质在解决一些实际问题时经常用到。
例如，求一个数的因数或倍数，判断一个数是否是另一个数的因数等等。
在这些问题中，我们可以应用整除性质和判定方法，进行推理和计算。
五、练习题1.一个数能够同时被3和5整除，它最小是多少？2.一个两位数，可以被3整除，这个两位数的十位数字加上个位数字等于6，这个两位数最大是多少？3.一个数同时是4和5的倍数，它最大是多少？解答：1.因为一个数能够同时被3和5整除，那么这个数一定是3和5的公倍数，即这个数是3和5的最小公倍数。
最小公倍数是两个数的乘积除以它们的最大公因数。
由于3和5没有公因数，所以它们的最大公因数是1，最小公倍数是3*5=15、所以这个数最小是152.设这个两位数为10a+b，其中a为十位数字，b为个位数字。
根据题意，有10a+b可以被3整除，且a+b=6、根据整除的判定方法，可以得到10a+b的各个位数之和能够被3整除。
数学整除知识点总结
数学整除知识点总结一、整除的基本概念1.1 整数的定义首先，我们需要了解一下整数的概念。
在数学中，整数是指包括正整数、负整数和零在内的所有整数，用…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…来表示。
整数是一个非常宽泛的概念，其中包含了无穷尽的实数，因此整数之间的关系也有着非常复杂的性质。
1.2 整除的定义在整数之间，如果存在一个整数a，使得另一个整数b能够被a整除，那么我们就说a能够整除b，记作a|b。
即如果存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b。
此时，a称为除数，b称为被除数，c称为商。
另外，如果a不等于0，且存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b；如果a等于0，那么b等于0时，我们也说a能够整除b。
1.3 整数除法整数除法是整除概念的具体实现。
在整数除法中，我们需要用到除数、被除数、商以及余数等概念。
具体来说，对于整数a、b（a≠0）、r，如果整数b能够被整数a整除，即a|b，那么一定存在整数q使得b=aq；此时q称为商，r称为余数，并且0≤r<|a|。
1.4 整数的倍数我们知道，整数之间是存在整数除法的，一个整数能够整除另一个整数，那么它们之间是具有一定倍数关系的。
在数学中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，也就是a|b，那么我们就说b是a的倍数，a是b的因数。
1.5 整除的运算规律在整数之间的整除运算中，有一些规律是需要引起我们的注意的。
首先，对于任意整数a，0能够整除a；其次，任意整数a，a都能够整除自己，即a能够整除a，且a|a。
以上就是整除的基本概念及其相关内容。
从这些内容中我们可以看到，整除是一个非常基础的概念，但是它对于数学的发展和应用有着非常重要的作用。
下面我们就来具体讨论一下整除的性质。
二、整除的性质整除的性质是整数之间的一种特殊关系，它具有一些特殊的性质。
下面我们将介绍一下整除的性质。
2.1 整数的连通性一个整数a能够整除另一个整数b，那么我们可以得到一个推论：对于任意整数a、b、c （a、b、c≠0），如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
数的整除知识点总结集锦
数的整除知识点总结集锦数的整除知识点总结11、把一个合数分解质因数，通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2、求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。
3、求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除，一直除到互质(或两两互质)为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4、成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ; 相邻的两个自然数互质; 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质; 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
总结：小升初数学：数的整除知识点就为大家介绍到这儿了，希望小编的整理可以帮助到大家，祝大家学习进步。
数的整除知识点总结2数的整除整除的意义整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）除尽的意义甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。
因数和倍数1、如果整数a乘整数b整除等于整数C，a和 b就是C的因数，C就是a和b的倍数。
（a.b.c都为非0整数）2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。
奇数和偶数1、能被2整除的数叫偶数。
例如：0、2、4、6、8、10……注：0也是偶数2、不能被2整除的数叫奇数。
例如：1、3、5、7、9……整除的特征1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。
2、能被5整除的数的特征：个位上是0或5。
3、能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3 整除。
上海初中数学知识点汇总(全面) (1)
第一章数的整除1.整数和整除的意义零既不是正整数，也不是负整数. 零和正整数统称为自然数. 正整数、零、负整数统称为整数.整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整数. 或者说b 能整除a .整除的条件：① 除数、被除数都是整数. ② 被除数除以除数，商是整数，余数为零.2.因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或者约数）.一个整数的因数中最小的因数是 1，最大的因数是它本身.一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身.3.能被2、5 整除的数个位上是0 、2 、4 、6 、8 的整数都能被2 整除.能被2 整除的整数叫做偶数，不能被2 整除的整数叫做奇数（这里所说的奇数和偶数是指正奇数和正偶数，当研究的数从正整数范围扩大至整数范围时，… 4 、 2 、0 等也是偶数，…5、3、1等也是奇数）.个位上是0 或者5 的整数都能被5 整除.4.素数、合数与分解素因数一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数. 如果除了1 和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数.1 既不是素数，也不是合数.这样，正整数又可以分为 1、素数、合数三类.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数，把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数.在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做短除法.用短除法分解素因数的步骤如下：① 先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除.② 得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止.③ 然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式.5.公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数. 其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数. 如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素.求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数. 两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数，如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是 1.6.公倍数和最小公倍数几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数. 求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数.如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数，如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数.q 等，即 （ ） 第二章 分数1. 分数与除法两个正整数 p 、qp 相除，可以用分数 q表示，即p qp ，其中 p 为分子， q 为分母. p读作q 分之 p ，特别地，当q1 时，p p .qq2. 分数的基本性质分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相aa k a kb 0, k 0 . b b k b k分子与分母互素的分数，叫做最简分数.把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分.将分数化成最简分数，可以将分子，分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断地约分，直到分子、分母互素为止.3. 分数的大小比较分数大小的比较反映在数轴上，左面的点所表示的数小于右面的点所表示的数. 将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫通分.4. 分数的加减法同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减.异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算.n q n pp分子比分母小的分数叫做真分数，分子大于或者等于分母的分数叫做假分数，一个正整数与一个真分数相加所成的数叫做带分数.分数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算的顺序相同. 分数加法遵循与整数加法一样的运算律：交换律和结合律. 分数运算的结果如果是假分数，一般用带分数表示.带分数的加减运算，可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减，再将所得的结果合并起来. 或者将带分数化为假分数再进行加减运算.5. 分数的乘除法p一般地，由于分数 q 的意义是将一个总体等分为q 份而取其中 p 份，于是我们把两个 分数相乘p mp pn 份而取其中q n的意义规定为：在分数 q 的基础上，以 q为总体，再等分为m 份，其结果是 p m ，即 p m p m（ q 0, n 0 ）.q n q n q n两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母. 整数与分数相乘，整数与分数的分子的积作积的分子，分母不变.1 除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数. a 的倒数是 1（ a 0pa）， q的倒数是 q （ p 0 ， q 0 ）. 互为倒数的两个数的乘积是 1.分数除法的运算法则：甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘以乙数的倒数，用字母表 示就是m p m q（ n 0 ， p 0 ， q 0 ）.6. 分数与小数的互化一个最简分数，如果分母中只含有素因数 2 和 5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数. 否则就不能化成有限小数.一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个小数叫做循环小数. 一个循环小数的小数部分中依次不断重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节.为了书写简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点，例如： 0.3 、8.136 .对于一个分数来说，它总可以化成有限小数或循环小数. 反之，有限小数和循环小数也总可以化成分数.7.分数、小数的四则混合运算分数的四则混合运算顺序与整数的四则混合运算顺序相同.分数和小数的加减法混合运算，要将数同时化成小数或分数后再运算，但当分数不能化成有限小数时，则应同时化成分数后运算.8.分数运算的运用② 如果k 0 ，那么a : b : c ak : b k : c k .b db d第三章 比和比例1. 比的意义a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作a : b a，或写成 b，其中 b 0 ，读作a 比b ，或a 与b 的比.a 叫做比的前项，b 叫做比的后项，前项a 除以后项b 所得的商叫做比值.比、分数和除法三者之间的关系是：比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数. 比的后项相当于分数的分母和除式中的除数. 比值相当于分数的分值和除式中的商.求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位.2. 比的基本性质比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0 除外），比值不变. 三项连比的性质是：① 如果a : b m : n ， b : c n : k ，那么a : b : cm : n : k .a b c: : k k k3. 比例a ,b ,c ,d 四个量中，如果a : b c : d ，那么就说a , b , c , d 成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例. 其中a , b , c , d 分别叫做第一、二、三、四比例项. 第一比例项a 和第四比例项d 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项，如果两个比例内项相同，即a : bb :c ，那么把b 叫做a 和 c 的比例中项.比例的基本性质：如果a : b c : d 或 a c，那么ad bc ，反之，如果a , b , c , d 都不为零，且ad bc ，那么a : b c : d 或 a c.总人数产品总数原来的产量 应该出勤人数 成本 成本 成本 成本 消费支出总额4. 百分比的意义把两个数量的比值写成n的形式，称为百分数，也叫做百分比或百分率，记作n % ，100读作百分之n ，符号% 叫做百分号.小数化成百分数，将小数点向右移两位，同时在右面添上百分号. 百分数化成小数，将% 号前数字的小数点向左移两位，同时去掉后面的百分号.将分数化成百分数，通常先把分数化成小数，再把小数化成百分数（本章中遇到除法除不尽时，如果没有注明，一般商保留三位小数）.5. 百分比的应用及格率 及格人数100%合格率合格产品数100%增产率 增加的产量100%出勤率 实际出勤人数100%得票数总投票数100% 增长的数原来的基数100%恩格尔系数食品消费支出总额100%盈利率 盈利100% 售价 成本 100%亏损率 亏损100% 成本 售价 100%利息 本金利率期数6. 等可能事件P发生的结果数所有等可能的结果数得票率 增长率第四章 圆和扇形1. 圆的周长圆的周长 直径圆周率3.14 （本章中，无特殊说明，取 3.14，将计算结果精确到 0.01）圆的周长公式 C d 或 C 2 r ，其中C 表示周长， d 表示直径， r 表示半径.2. 弧长1 圆心角所对弧长1 2 r 1r 360 180 n 圆心角所对弧长 n 2 r n r ，即弧长公式l nr3. 圆的面积360 180 180圆所占平面的大小叫做圆的面积. 圆的面积公式 Sr 2 .4. 扇形的面积由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形.1°扇形面积 1 360r 2 ， n °扇形面积 n 360r 2 .扇形面积公式 Sn r 21 lr . 360 2分数:正分数、负分数第五章 有理数1. 有理数的意义零既不是正数也不是负数，零和正数又可以称为非负数. 整数和分数统称为有理数.有理数整数:正整数、零、负整数如果我们把整数看成是分子为 1 的分数，那么在这个意义下，所有有理数都是分数.2. 数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零.在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点距离相等.3. 绝对值一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值. 用符号| a | 表示数a 的绝对值.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大，一个数所表示的点离开原点的距离越远，绝对值越大.距离越近，绝对值越小.两个负数，绝对值大的那个数反而小.4.有理数的加减法有理数的加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加.异号两数相加，绝对值相等时和为零.绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号.一个数同零相加，仍得这个数.有理数加法的运算律：交换律：a b b a结合律：(a b) c a (b c)三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中几个数相加.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，a b a (b)5.有理数的乘除法两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与零相乘都得零.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负. 当负因数有偶数个时，积为正. 几个数相乘，有因数为零，积为零.乘法交换律ab ba乘法结合律(ab)c a(bc)乘法分配律a(b c) ab ac有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.零除以任何一个不为零的数，都得零.a的倒数是1（a0），p的倒数是q（p0,q0）.a q p甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数.6.有理数的乘方求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方. 乘方的结果叫做幂，在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作a 的n 次方. a n 看作是a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂. 特别地，1n1，0n0（n 为正整数）.正数的任何次幂都是正数. 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数.7.有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：先乘方、后乘除、再加减. 同级运算从左到右. 如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号.括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即：(a b) a b ，(a b) a b .8.科学记数法把一个数写成a10n（其中1|a|10，n 是正整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法.第六章一次方程与不等式1.方程与方程的解用字母x 、y …等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数，含有未知数的等式叫做方程. 在方程中，所含的未知数又称为元.为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程.在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数. 所含有的未知数的指数和称为这一项的次数，不含未知数的项，称为常数项.如果未知数所取的某个值能使方程左右两边值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解.2.一元一次方程只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程.等式性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得的结果仍是等式.等式性质 2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得的结果仍是等式.求方程的解的过程叫做解方程.解一元一次方程的一般步骤是：① 去分母. ② 去括号. ③ 移项. ④ 化成ax b （a 0 ）的形式. ⑤ 两边同时除以未知数的系数，求解.3.一元一次方程的应用列方程解应用题的一般步骤是：① 设未知数. ② 列方程. ③ 解方程. ④ 检验并作答.储蓄存款中的等量关系有：利息＝本金×利率×期数本利和＝本金＋利息税后本利和＝本金＋税后利息税后利息＝利息－利息税4.不等式及其性质用不等号“ ”、“”、“”、“”表示的关系式，叫做不等式.不等式性质 1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等式的方向不变. 即：如果a b ，那么a m b m . 如果a b ，那么a m b m .不等式性质 2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变. 即：如果a b ，且m 0 ，那么am bm . 如果a b ，且m 0 ，那么am bm .不等式性质 3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，即：如果a b ，且m 0 ，那么am bm . 如果a b ，且m 0 ，那么am bm .5.一元一次不等式在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解的全体叫做不等式的解集. 求不等式解集的过程叫做解不等式.只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，可概括为：①去分母. ②去括号. ③移项. ④化成ax b（或ax b）的形式（其中a0）.⑤ 两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.6.一元一次不等式组由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.解一元一次不等式组的一般步骤：① 求出不等式组中各个不等式的解集.② 在数轴上表示各个不等式的解集.③ 确定各个不等式解集的公共部分，就得到解集.7.二元一次方程组含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集.由几个方程组成的一组方程叫做方程组，如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组.在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解.通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法.通过将两个方程相加减消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法，简称加减法.8.三元一次方程组如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的思想方法是：三元一次方程组→二元一次方程组→一元一次方程.9.一次方程组的应用有 2 个未知数，列二元一次方程组. 有 3 个未知数，列三元一次方程组.第七章线段与角的画法1.线段的大小比较线段的表示：用两个大写英文字母表示线段端点，或用一个小写英文字母表示线段.通常，把比较两条线段的长短称作两条线段的大小的比较.连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离.两点之间，线段最短.2.画线段的和、差、倍两条线段可以相加减，它们的和或差也是一条线段，长度等于两条线段长度的和或差.我们把线段a 乘以一个大于 1 的正整数n 写成na ，na 就是求n 条线段a 相加所得和的意义，当然也可以将na 理解为线段a 的“ n ”倍.将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点.作图过程中，画图工具只用了直尺（可以无刻度）和圆规，称作“尺规作图”.3.角的概念与表示角是具有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做边.角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.本书中所说的角，除了周角外，未加说明的角是指小于平角的角.角一般用三个大写英文字母表示，其中表示顶点的字母必须放在三个字母的中间.4.角的大小比较类似线段叠合的比较方法，移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边叠合，另一条边都落在叠合边的同侧，再观察两个角另一条边的位置情况.5.画角的和、差、倍两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和（或差）.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.6.余角、补角如果两个角的度数的和是90°，那么这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角称为另一个角的余角.如果两个角的度数的和是 180°，那么这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角称为另一个角的补角.角的度量单位度分秒的关系：160，160.同角（或等角）的余角相等.同角（或等角）的补角相等.第八章长方体的再认识1.长方体的元素长方体有六个面、八个顶点、十二条棱.长方体的每个面都是长方形.长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱长度相等.长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小都相同.正方体是特殊的长方体.2.长方体直观图的画法在数学中，平面是平的，无边无沿，但我们可以画一个平行四边形来表示它，特别地，把水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线所成的角为45°的平行四边形.用斜二测画法画长方体的基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD ，使AB 等于长方体的长，AD 等于长方体宽的二分之一，DAB45°.第二步：过A 、B 分别画AB 的垂线AE 、BF ，过C 、D 分别画CD 的垂线CG 、DH ，长度都等于高.第三步：顺次连接E 、F 、G 、H .第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示.3.长方体中棱与棱的位置关系直线AB 与直线CD 在同一平面内具有唯一公共点，那么称直线AB 与直线CD 相交. 直线AB 与直线CD 在同一平面内，但没有公共点，那么称直线AB 与直线CD 平行. 直线AB 与直线CD 既不平行，也不相交，那么称直线AB 与直线CD 异面.4.长方体中棱与平面的位置关系直线EF 垂直于平面，记作直线EF ⊥平面，读作直线EF 垂直于平面.检验直线与平面垂直：“铅垂线”检验. “三角尺”检验. “合页型折纸”检验. 直线EF 平行于平面，记作直线EF ∥平面，读作直线EF 平行于平面.检验直线与平面平行：“铅垂线”检验. “长方形纸片”检验.5.长方体中平面与平面的位置关系平面垂直于平面，记作平面⊥平面，读作平面垂直于平面.平面平行于平面，记作平面∥平面，读作平面平行于平面.第九章整式1.整式的概念字母可以表示任意数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之，字母可以简明地将数量关系表示出来.用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.用数值代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数就是这个多项式的次数.单项式、多项式统称为整式.为了计算需要，可以将多项式各项的位置根据加法交换律按照其中某一个字母的指数大小顺序来排列，按字母的指数从大到小排列，叫做把多项式按字母降幂排列，按字母的指数从小到大排列，叫做把多项式按字母升幂排列.2.整式的加减所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式.合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.去括号法则：括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里各项不变号. 括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里各项都变号.整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法则和合并同类项来完成整式的加减运算.3.整式的乘法a a a…a，即n 个a相乘，可以写成a n（读作a的n 次方），其中a表示底数，正整数n 表示指数，a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂.同底数幂相乘有如下法则：底数不变，指数相加，即：a m a n a m n （m 、n 都是正整数）幂的乘方：底数不变，指数相乘，即(a m )n a mn （m 、n 都是正整数）积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)n a n b n （n 为正整数）整式的乘法：1. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.2. 单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.3. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4.乘法公式两个数和与这两个数差的乘积等于这两个数的平方差，即(a b)(a b)a2 b2 . 个公式叫做平方差公式.这。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结一。
数的分类数可以根据不同的属性进行分类。
第一种分类方法是使用树状图或韦恩图，将整数分为自然数、正整数、负整数、零、正奇数和正偶数等。
第二种分类方法是将整数分为奇数和偶数。
第三种分类方法是将整数分为正整数、素数和合数。
需要注意的是，0是最小的自然数，-1是最大的负整数，1是最小的正整数。
同时，没有最大的整数、没有最小的负整数、没有最大的正整数，正整数、负整数和整数的个数都是无限的。
二。
整除整除是指一个整数a被另一个整数b整除，商是整数而余数为零的情况。
因此，b可以整除a，也可以说a能被b整除。
需要注意的是，要区分整除和除尽。
整除是特殊的除尽，即a能被b整除，则a一定能被b除尽，反之则不一定。
例如，4÷2=2，4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8，4能被5除尽，但不能说4能被5整除。
三。
因数与倍数因数是指一个整数a能被另一个整数b整除，b就是a的因数。
而倍数是指一个整数a能够整除另一个整数b，a就是b的倍数。
因数和倍数是相互依存的，不能简单地说某个数是因数或倍数。
一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，可以一一列举出来，而倍数的个数是无限的。
求一个数的因数可以利用积与因数的关系，一对一对找出哪两个数的乘积等于这个数，然后按照一定的顺序列举出所有的因数。
求一个数的倍数可以将这个数本身分别乘以1、2、3、4、5等正整数，得到的积就是这个数的倍数。
四。
能被2、5、3整除的数的特点一个数能被2整除，当且仅当这个数的个位数是0、2、4、6、8.一个数能被5整除，当且仅当这个数的个位数是0或5.一个数能被3整除，当且仅当这个数的各位数字之和能够被3整除。
因此，一个数能被2、5、3整除的特点可以通过它的各位数字来判断。
1.能被2整除的数的个位数字是2、4、6、8，反之，个位数字是2、4、6、8的数也能被2整除。
沪教版初中数学知识点整理
沪教版初中数学知识点整理第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3. 零和正整数统称为自然数4．正整数、负整数和零统称为整数5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
1.2 因数和倍数1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数2．倍数和因数是相互依存的3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3能被2,5整除的数1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2．整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5．个位数字是0,5的数都能被5整除6. 0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3. 1既不是素数也不是合数4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。
7．通常用什么方法分解素因数: 树枝分解法,短除法1.5 公因数与最大公因数1．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3．把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4．如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5．如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6公倍数与最小公倍数1．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2．几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3．求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4．如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数5．如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是；两个数的乘积第二章分数1．一般地，两个正整数相除的商可用分数表示，即被除数÷除数= 被除数除数（p、q为正整数）用字母表示为p÷q= pq2．会用数轴上的点表示分数2.2 分数的基本性质1．分数的分子和分母同时乘以一个不为零的整数，分数的值不变2．分子分母只有公因数1的分数叫做最简分数3．把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分2.3 分数的比较大小1．同分母分数的大小只需要比较分子的大小，分子大的比较大，分子小的比较小2．通分的一般步骤是：（1）求公分母——求分母的最小公倍数；（2）根据分数的基本性质，将每个分数化成分母相同的分数。
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初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）导言《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教材《初中数学》的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。
文中带“（★）”部分为市北版的加深内容，练习带“（★）”部分也为市北版内容。
第一章数的整除一、知识结构二、重点和难点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点：求两个正整数的最小公倍数。
第一节整数和整除1.1整数和整除的意义⑴正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数。
⑵负整数：在正整数1，2，3，4，5…之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5…叫做负整数。
⑷ 整数：正整数、零、负整数统称为整数。
⑸ 整除：设a、b是两个整数，且b≠a，若存在整数q，使a＝bq，则称b整除a，或a被b整除，记作b∣a。
（★）或者说，如果整数a除以整数b(b ≠ 0）所得的商是整数，那么叫做a被b整例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？28÷7 10÷3 5÷4解：因为28÷7＝4 ，10÷3＝3……1 ，5÷4＝1.25 ，所以被除数能被除数整除的是28÷7。
③若m∣a、m∣b，则m∣（a－b）;④若m∣a，则m∣ab（b为自然－数）;⑤n个连续正整数的积能被n！整除。
（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）（★）例如：a为整数时，2∣a(a+1)6∣a(a+1)(a+2)24∣a(a+1)(a+2)(a+3)……（★）解：由于4个连续的整数中必有 1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为2×3×4=24的倍数。
上海初中知识点总结[宝典]
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初中数学知识点汇总第一单元 数与运算一、数的整除1、整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a .（1） 下列算式中表示整除的算式是………………………………………………………（ ） （A ）0.8÷0.4＝2；（B ）16÷3＝5……1；（C ）2÷1＝2；（D ）8÷16＝0.5. （2） 在3和27中， 能整除 ， 能被 整除. 2、整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）. （1）一个整数m 的因数中最小的因数是 ，最大的因数是 .（2）下列说法中正确的是…………………………………………………………………（ ） （A ）任何正整数的因数至少有两个 （B ）1是所有正整数的因数（C ）一个数的倍数总比它的因数大 （D ）3的因数只有它本身3、一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数.（1）正整数中， 既不是素数，也不是合数. 是最小的素数， 是最小的合数. （2）把48分解素因数，可写成48= .4、几个整数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数. 几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.（1）有一筐苹果，从中两个两个的拿，或三个三个的拿，或五个五个拿，都正好拿完，这筐苹果最少有 个.（2） 现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？ 第二单元 方程与代数 一、实数1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限循环小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不循环小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)． 有理数和无理数统称为实数．2、绝对值：a ≥0丨a 丨＝a ；a ≤0丨a 丨＝－a ．3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．4、把一个数写成±a ×10n 的形式(其中1≤a ＜10，n 是整数)，这种记数法叫做科学记数法． （1）在实数271,27,64,12,0,23,43--中，共有___ ____个无理数. （2）实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（ ）①0>+c b ②c a b a +>+ ③ac bc > ④ac ab >A.1个B.2个C.3个D.4个（3）若0.00000314=3.14⨯10n,则n = .∙-2-1 a 图2∙∙b c二、整式与分式1、同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
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目录六年级上册 (1)第一章数的整除 (1)第一节整数和整除 (1)1.1整数和整除的意义 (1)1.2因数和倍数 (3)1.3能被2、5整除的数 (4)第二节分解质因数 (5)1.4素数、合数与分解质因数 (5)1.5公因数与最大公因数 (5)1.6公倍数与最小公倍数 (6)六年级上册第一章数的整除第一节整数和整除1.1整数和整除的意义零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
重点题型：1. 在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中，正整数有 ，自然数有 ，整数有 。
2.最小的自然数是 。
3、提高（非负整数）----小于3的非负整数有 。
4、除0以外的数都是自然数。
( )整数a 除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
a 、b 、c 都是整数a ÷b = ca 能 被b 整除 b 能整除 a a 是 b 的倍数 b 是 a 的因数 重点题型：(1) 在下列各组数中，如果第一个数能被第二数整除，请在（ ）内打勾。
72和36； 17和34； 3.5和0.5； 51和17；（ ） （ ） （ ） （ ）(2) 在上列各组数中，如果第一个数能整除第二数，请在（ ）内打△。
判断：（1）1能被任何正整数整除. ( )（理由 :能整除任何正整数.）（2）因为15÷4=3.75，所以4能被15整除。
( )（理由：商不是整数。
）（3）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。
( )（理由：整除一定能除尽，除尽不一定能整除。
）填空:1、45÷5= 9， ( ) 能被( ) 整除，( )能整除( )；( )是( ) 的因数，( ) 是( ) 的倍数。
2、一个正整数a的因数的个数是( ) ，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( ) 。
3、一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是( )，最小因数是( ) 。
4、有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( ) 。
1.2因数和倍数如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数(mutiple)，b就叫做a的因数(factor)（或a的约数）。
倍数和因数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
重点题型：1. 一个整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（）A <0B =0C >0D 不等于02. 会求一个数的因数：如求105的因数3. 会求一个数的倍数：如求7的倍数（写出5个）4. 任何一个正整数至少有两个因数。
( )5. 如果一个数既是12的因数,又是12的倍数,那么这个数一定是。
6、因为15 ÷ 5＝ 3，所以15是倍数，5是因数（）（理由：因数和倍数是相互依存的，不能单独说。
）7、因为4.6 ÷ 2＝ 2.3，所以4.6是2的倍数，2是4.6的因数（）（理由：倍数和因数必须是两个自然数之间的关系。
）8、3 x 6 = 18 （说出关于倍数，因数的关系来。
）答：18是3和6的倍数，3和6是18的因数。
1.3能被2、5整除的数2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
3的倍数特征：一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
8的倍数特征：一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
9的倍数特征：一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
4或25的倍数特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
能同时被2,5整除的数的特征:个位是0能同时被2,3，5整除的数的特征:个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除.注意:有一些数能被7,9,11,13整除,但是不容易看出来,这是大家在约分中容易忽略的.奇数和偶数：能被2整除的数叫做偶数(even number)。
不能被2整除的数叫做奇数(odd number)。
0也是偶数。
自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
重点题型：1. 如果连续三个偶数之和是42，那么这三个数是（）2. 三个连续的偶数中,最大的是a，最小的是 ( )3、填空:在12，15，18，24，25，30，45，90，34，21中，2的倍数有（），3的倍数有（），5的倍数有（），有因数2，3的数有（），有因数2，3，5的数有（）。
4、在15，27，38，62，90，135，430这七个数中能被2整除的数是（），能被5整除的数是（），能被3整除的数是（），能同时被2，5整除的数是（），能同时被2，3，5整除的数是（）。
5、在下列数的□内填上适当的数字，使这个数能同时被2，3，5整除。
63□ 7 □4 □第二节分解质因数1.4素数、合数与分解质因数一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(prime number)（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
熟记20以内的全部素数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数(composite number)，例如 4、6、8、9、12都是合数1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。
如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
把一个合数分解质因数，通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
例如把28分解质因数：28=2×2×7.1.5公因数与最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。
其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。
公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：a、1和任何自然数互质。
b、相邻的两个自然数互质。
c、两个不同的质数互质。
d、相邻的两个奇数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。
1.6公倍数与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… 3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数。
求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
本章最重点的内容几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做最大公因数。
几个整数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做最大公因数。
求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数求两个整数的最小公倍数,只要取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的素因数,将这些数连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么它们的最大公因数是1。
两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数；如果这两个数互素，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。
两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
以及和最大公因数及最小公倍数有关的应用问题如：1、重阳节,欣欣中学的师生到敬老院看望老人,他们共准备了320个苹果,240个橘子,200个梨,来慰问老人。
问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物(水果必须全部分完)？在每份礼物中,苹果、橘子、梨各多少个？2、某车站,每隔8分钟开出一辆电车,每隔10分钟开出一辆汽车。
上午9时,有一辆电车与一辆汽车同时开出,求9时以后再过多久电车与汽车第一次同时发车？重点题型：1. 求30和42的最大公因数和最小公倍数2. 求30、42和21的最大公因数和最小公倍数3. 一筐苹果,2个一拿,3个一拿,4个一拿,5个一拿都正好拿完而没有余数,这筐苹果最少应有( )(A)120个 (B)90个 (C)60个 (D)30个4. （重点）已知甲数＝2×3×5×7，乙数＝2×2×5×5×7，甲数和乙数的最小公倍数是最大公因数是5. （重点）在2，5，8，15中，共有对互素，它们是单元练习（1）填空。
①6和12，（）能被（）整除，6是12的（），12是6的（）。
②12和15的公约数有（，），最大公约数是（）。