平行线分线段成比例专题培优提高训练

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平行线分线段成比例专题训练

平行线分线段成比例定理及其推论

1. 平行线分线段成比例定理

如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC

DE DF

=

.

2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则

AD AE DE

AB AC BC

==

3. 平行的判定定理：如上图，如果有

BC

DE

AC AE AB AD =

=，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用

【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的

长。

【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：

111c a b

=+.

l 3

l 2l 1F

E D C

B A A

B

C

D

E

E

D

C B

A

E

D C

B

A

F

E D

C

B

A

-2

【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和

BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：

111

AB CD EF

+=

.

【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对

角线交点O 作

EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

O

F

E

D C

B

A

【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，

AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

Q

P

F

E

D C

B

A

专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）

（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14

AE AB =，

连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则

BC

CD

=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相

交于F ，则EF AF

FC FD

+ 的值为（ ） F

E

D

C

B

A

(1)

M

E

D

C B

A

-3

A.52

B.1

C.32

（2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求

AO

AD 的值；

（2）当

11A 34AE C =、时，求

AO

AD

的值； （3）试猜想1A 1AE C n =

+时AO

AD

的值，并证明你的猜想.

【例5】 （2010年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.

（1）如果E 是AD 的中点，求证：

1

2

AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，

12AF AE

FC ED

=⋅

成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.

F E D

C

B

A

【巩固】如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。求证：AF EF =。

F

E

D

C

B

A

E

D C

B

A

O

(2)F

E

D C B A

-4

【例6】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边

的中点，延长AD 至E ，

延长AB 交CE 的延长线于P 。若2AD DE =，求证:3AP AB =。

【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ABC

∆中，BC a =，若11D E ，分

别是AB AC ，的中点，则111

2

D E a =；

若22D E 、分别是11D B E C 、的中点，则2213

224a D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点，则3313724

8

D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；

…………

若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点，则n n D E =_________.

专题三、利用平行线转化比例 【例7】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .

求证：PM PN PR PS ⋅=⋅

【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥， AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =．

【例8】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长

E n D n E 3D 3

E 2D 2E 1

D 1

C

B

A

l

S

R P

N

M

O D

C B

A

G

F

E

C

D

B

A

P

N

M

E D

C

B

A P

E

D

C

B

A