7 第5章角动量及角动量守恒定律

ω
z
dx
r r x⊥v = x 2ω d m dLz = x（xω d m) ⋅
Lz = 2ω ∫0
l 2
v = xω
x
(kg ⋅ m 2 / s)
x
1 2 x d m = ml ⋅ ω 12
2
角动量为z轴方向
19
r r r 1) 对O点 作用在一个质点上的力矩 M = r × F 一个质点 N ⋅m 力矩的大小： M = rF sin α r Z r r 方向 (r × F ) M 右手螺旋 r
r r r M = r×F
（三）力矩
特点：矢量性 瞬时性 状态量
Mz
θ
mr
r
α 对Z轴的力矩: M
X
F
z
r r = k⋅M
o
Y
M z = Fr sin α ⋅ cos θ
20
2）对O点
r r r r M = ∑ M i= ∑ ri × F外i
i
作用在质点系的力矩
i
3）对O点 作用在连续分布物体的“弥散 力”的力矩 r r r r r M = ∫ dM dM = r × dF
2
势能及其零点的选取
保守力与势能的积分关系 (1) 重力势能:
E
r r F ⋅ dr
a
E Pa = mgh a
势能零点b的位置
(2) 弹性势能： E = 1 kx 2 P 2
弹簧原长处为零势能位置。 弹簧原长处
Mm 选无穷远处为势能零点。 (3) 万有引力势能： P = −G E 无穷远处 r
连续分布物体
r L=
物体
r dL ∫
r v v L = ∫ r × v dm
m
(kg ⋅ m / s)
2
18
例质量为m长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中心轴 旋转 求当直棒旋转角速度为ω时对转轴的角动量? 直棒
r v v dLZ = ( r × vdm ) ⋅ k
解:取Oxz坐标系 转动为z轴方向
m d m = dx l
Pi· r
Fi
o
r r r r = ∑ri × F外i + ∑ri × fij (内)
r ri · · r rj
r fj
·
· j
=
∑
j
r M
j ≠i
外力 j
质点系的内力矩之合恒为零
质点系的角动量定理
r r r dL = ∑ ri × F外i dt i
27
质点/质点系角动量定理在直角坐标系中分量式
dL x Mx = dt dL y My = r dt r dL y r dL Z r d L dL x ＝ k j＋ i + dL z Mz = dt dt dt dt dt r r t2 r L2 r 角动量定理的积分形式： Mdt = ∫ ∫ dL = L2 − L1
11
（一） 质点的角动量
r r r r r kg·m2·s-1 L = r × p = r × mv r r L 大小： L = mvr sin β
方向：满足右手关系
r L
m
定义 质点对定点0点的角动量： 质点
β
r
r r v,p
m d
0
ϕ
特点：矢量性 瞬时性 状态量
质点直线运动时 对定点0的角动量
(SI)
r r r r F 2 解：Q a = = (3t − 4t )i + (2t − 3) j m r r r t r r t 2 3 2 2 v = ∫ (3t − 4t )dti + ∫ (2t − 3)dtj = (t − 2t )i + (t − 3t ) j 0 0
tr r t4 2 3 r t3 3 2 r r = ∫ v dt =( − t )i + ( − t ) j 0 4 3 3 2
物体
21
r r 例：质量为 mr 的质点某时刻的位置如图，速度为 v = 6 j r 受力为 F = 2 j y
求 : 该时刻质点受到的对 0点 的力矩的大小和方向？
解：
（SI）
（4，3）
r r r M = r ×F
r r r r = 4i + 3 j
0
x
r r r r r ∴ M = (4i + 3 j ) × 2 j = 8 k
Aab = −∆EP = Ea − Eb 保守力的功等于势能的减少 r dE F = −∇E p F = − dx 保守力与势能的微分关系
P x
3
动能定理
A(非保守）外力 + A非保守内力 + A保守力 = ∆EK
Q A = −∆EP 保守力
功能原理
A(非保守外力 + A非保守内力= ∆EK + ∆EP = ∆E )
1 2g ω = ( sin θ ) 2 R
O
θ
R N
A B
r
α
小球滑至B点时对O点的角动量
v
G
r r r Q L = R × mv
∴ L = R 2 mω ( SI ) ⊗
17
（二） 质点系的角动量 r v 对定点O点 质点系 L = ∑ L i =
i
∑
i
r r ri × Pi
r r r v v dL = r × dp = r × vdm r r v dp = d ( mv ) = vdm
z
m d F = µg d m = µg d x l
x dx
x
dF m d M = − x d F= − µg x d x 摩擦力矩沿z轴的负方向 l l 1 M = 2 ∫02 d M = − µ mgl ( N ⋅ m) 4
24
r dL d r r d r r r d r 对某一个质点 = (r × p ) = r × p + r × p dt dt r r dt r r r dt r
上次课主要内容回顾
元功
r r dA = F ⋅ dr
r r b Aab = ∫ F ⋅ dr = ∫ F cosθ ds
b a a
变力的功 总功
A=
∑
n 1
r r ∫ Fi ⋅ d ri
功与过程有关
对于一个系统，总功等于系统中所有（内，外） 对于一个系统，总功 力所做的功的代数和。
1
一对力的功
r r dA = f 2 ⋅ dr21
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例 质点匀速率圆周运动 （对圆心的）角动量：
r r r ⊥v r 大小 L = mvr sin ϕ = mvr
r r r L = mr × v
L
O
方向：
r
m
v
角动量的大小和方向都不变 例 行星匀速率绕太阳公转时的椭圆轨道运动对定 点（太阳）的角动量： r ϕ
L
r r r r r L = r × p = m(r × v )
r r 1 2r r r r r ∴ L = m r × v = m ( b i + 2 gt j ) × gt j = bmgt k (kg ⋅ m / s)
2
M = r ×F
L = r × mv
Q v = gt j
方向垂直于纸面向里
⊗
23
例 质量为m,长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中 心轴旋转,棒与桌面间的摩擦系数为µ.求对中心转 轴的摩擦力矩 r r r 解: dM = r × dF 元段dx所受摩擦力:
答案: 2
R
6
练习
有一半径为R1的1/4凹圆柱面的物体B ,其质量为M,放置在 光滑水平面上.当质量为m的一小球A从静止开始从粗糙的 凹圆柱面顶端沿凹圆柱面滑下过程中以地面为参考系,M与 m间的支持力所做的功 1. 2. 3. 4. =0 >0 <0 无法确定。
m M
答案: 1
R
7
练习
如图的 E P − x 曲线 1. 2. 3. 4. 5. oa; ac; ce; oe; 无法确定 总能量为 E1 的物体的运动范围
1. 2. 3. 4. 5. 6.
a; b; c; d; e; 无法确定
EP
Fab > 0 F cb < 0
E1
a b c d ex
b
0
答案: 2
10
本次课的重点与难点
重 点
角动量 力矩 质点/质点系 角动量定理 质点/质点系 角动量守恒定律及应用
难 点
1.熟练掌握角动量定理及守恒定律的应用 2.正确判断角动量守恒定律的条件
ri
r rj
j
一对作用力、反作用力对定点 （定轴）的合力矩等于零.
对O点
r r r M = M 外力 = ∑ M 外力 j
j
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r r r 质点系角动量： L = ∑ ri × Pi
r dL
r r d = [∑ri × Pi ] dt dt i r d r = ∑ri × Pi dt i
i
i
· i fi ·
r r r L = r × mv = ...
kg·m2·s-1
(Z轴正方向)
16
例：半径为R的光滑圆环铅直放置，质量为m的小球穿在
圆环上，开始小球静止于A点并下滑 求：小球滑至B点时对O点的角动量和角速度 解：机械能守恒 1 1 2 = mv − 0 = mR 2ω 2 mgR sin θ 2 2 小球滑至B点时对O点的角速度
v
ϕ
r 大小： L = mvr sin ϕ 方向：
v
r 0Sun r
角动量的大小变化和方向不变
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r r 例：质量为 m 的质点某时刻的位置如图，速度为 v = 6 j