函数的极值和最值与导数

高二理科数学下学期训练四

函数的极值与最值

姓名学号分数

1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．非充分非必要条件

2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()

A．(2,3) B．(3，＋∞)

C．(2，＋∞) D．(－∞，3)

3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()

4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()

A．1，－3B．1,3

C．－1,3 D．－1，－3

5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是()

A．(－1,2) B．(－3,6)

C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是()

A．12，－8 B．1，－8

C．12，－15 D．5，－16

7．函数y＝ln x

x的最大值为()

A．e－1B．e C．e2D．10

8．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为() A．－10 B．－71

C．－15 D．－22

9．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)

10．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的

取值范围是()

A．(－∞，－1)B．(0，＋∞) C．(0,1) D．(－1,0)

11．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝1

a处有极值，则b的值为________．

12．设函数f(x)＝1

2x

2e x，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值

范围是________．

13．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．

二、解答题

1．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．

(1)求f(x)的表达式；

(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．

2．设函数f(x)＝e x－k

2x

2－x.

(1)若k＝0，求f(x)的最小值；

(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．

3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x ＋1.

(1)求a，b的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．

4、已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

5．已知f (x )＝2ln(x ＋a )－x 2－x 在x ＝0处取得极值． (1)求实数a 的值．

(2)若关于x 的方程f (x )＋b ＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．

6．已知函数f (x )＝ln x ＋a

x .

(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；

(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是3

2，求a 的值．

7．已知函数f (x )＝－1

2

x 2＋2x －a e x .

(1)若a ＝1，求f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)若f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．

1、解析：选B 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.

2、解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2

＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．

/3、解析：选C 由题意可得f ′(－2)＝0，而且当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时xf ′(x )＞0；排除B 、D ，当x ∈(－2，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时若x ∈(－2,0)，xf ′(x )＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf ′(x )＞0，所以函数y ＝xf ′(x )的图象可能是C.

4、解析：选A ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨

⎪⎧

3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，

∴a ＝1，b ＝－3.

/5、解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，

∵f (x )有极大值与极小值，∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6./

6、解析：选A y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．

x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；x ＝1时，y ＝－8. ∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A.

/7、解析：选A 令y ′＝

(ln x )′x －ln x x 2＝1－ln x

x 2

＝0⇒x ＝e.当x ＞e 时，y ′＜0；当0

＜x ＜e 时，y ′＞0，所以y 极大值＝f (e)＝e －

1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －

1.

8、解析：选B f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.

/9、解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3，∴a ≥－3./

10、解析：选D 若a <－1，∵f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，

∴f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增，∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；