Gauss列主元素消去法
Gauss列主元素消去法实验
Lab06．Gauss 列主元素消去法实验【实验目的和要求】1．使学生深入理解并掌握Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤； 2．通过对Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法的程序设计，以提高学生程序设计的能力；3．对具体问题，分别用Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法求解。
通过对结果的分析比较，使学生感受Gauss 列主元素消去法优点。
【实验内容】1．根据Matlab 语言特点，描述Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤。
2．编写用不选主元的直接三角分解法解线性方程组Ax=b 的M 文件。
要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b ，A=LU 分解的L 与U ，det A 及解向量x 。
3．编写用Gauss 列主元素消去法解线性方程组Ax=b 的M 文件。
要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b 、PA=LU 分解的L 与U 、det A 及解向量x ，交换顺序。
4．给定方程组(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x(2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----15900001.582012151********.23107104321x x x x 先用编写的程序计算，再将(1)中的系数3.01改为3.00，0.987改为0.990；将(2)中的系数2.099999改为2.1，5.900001改为9.5,再用Gauss 列主元素消去法解，并将两次计算的结果进行比较。
【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年 月 日Lab06．Gauss 列主元素消去法实验第一题：1、算法描述：Ⅰ、Gauss 消去法由书上定理5可知 设Ax=b ，其中A ∈R^(n(1)如果()0(1,2,....,1)k kka k n ≠=-，则可通过高斯消去法将Ax=b 约化为等价的 角形线性方程组，且计算公式为：① 消元计算（k=1,2，….，n-1）()()(1)()()(1)()()/,1,...,,,,1,...,,,1,...,.k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k iiik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+② 回带公式()()()()()1/,()/,1,...,2,1.n n n n nn ni i i i iii j ii j i x b a x ba x a i n =+==-=-∑（2）如果A 为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法将方程组Ax=b 约化方程组为上三角矩阵以上消元和回代过程总的乘除法次数为332333nn nn +-≈，加减法次数为32353263nnn n+-≈以上过程就叫高斯消去法。
Gauss列主元消去法、QR(MATLAB)
Gauss列主元消去法、QR(MATLAB)Gauss列主元消去法是一种线性方程组的求解方法，也称Gauss消去法。
其基本思想是将方程组转化为上三角矩阵，然后通过反向代入求解。
该方法的优点在于计算精度高，求解速度快，但缺点是需要大量的计算，尤其是在矩阵阶数较高时。
具体来讲，Gauss列主元消去法的步骤如下：步骤一：将系数矩阵A进行LU分解，其中L是下三角矩阵、U是上三角矩阵。
设$A=LU$，则原方程组可以写成$LUx=b$。
步骤二：通过初等矩阵左乘系数矩阵A，将每一列的主元变为该列所有元素中绝对值最大的那个元素。
这个过程称为选主元，可以避免计算中的数值不稳定问题。
步骤三：将选主元后的系数矩阵A进行LU分解，得到$L^{'}$、$U^{'}$。
步骤五：通过反向代入求解$U^{'}x=y$，得到$x$的解。
Gauss列主元消去法的实现通常通过矩阵的变换来实现。
对于$n$阶矩阵$A=[a_{ij}]$，通过一系列的行变换，可以将其变为上三角矩阵。
其中的变换可以表示为：$$ R_{i} \leftrightarrow R_{j} $$其中，$R_{i}$和$R_{j}$分别表示矩阵$A$中的第$i$行和第$j$行，$k$是一个非零常数。
这些变换被称为初等行变换。
在MATLAB中，可以使用已经实现好的{\color{blue}\texttt{gauss}}函数来求解线性方程组。
该函数实现的算法是Gauss列主元消去法。
其调用格式为：x = gauss(A,b)其中，$A$是系数矩阵，$b$是结果向量。
函数返回结果向量$x$。
如果$A$或$b$不合法，则函数会返回一个空向量。
除了Gauss列主元消去法，还有一种常用的求解线性方程组的方法是QR分解法。
步骤二：通过正交矩阵左乘系数矩阵$A$，使其变为一个上三角矩阵。
这个过程称为正交相似变换。
步骤三：将$b$进行正交相似变换，得到$Q^{T}b$。
高斯列主元消去法
高斯列主元消去法2.3高斯列主元消去法解线性方程组一：问题的提出我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。
就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。
实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。
在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。
但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。
1．一旦遇到一些主元等于0，消元过程便无法进行下去。
2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当一些主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。
为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。
其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。
目前计算机上常用的按列选主元的方法。
因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。
二、算法的基本思想大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。
我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。
然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。
高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。
于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。
三、算法的描述1、设有n元线性方程组如下：＝2、第一步：如果a11!=0,令li1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i个方程上,得同解方程组：a(1)11a(1)12...a(1)1nx1b(1)1a(1)21a(1)22...a(1)2nx2b(1)2 .......=.a(1)n-11 a(1)n-12 . .a(1)n-1nxn-1b(1)n-1a(1)n1a(1)n2. . . a(1)nnxnb(1)n简记为：A(2)x=b(2)其中a(2)ij = a(1)ij – li1 a(1)1j ,I ,j = 2,3,..,nb(2)I = b(1)I – li1 b(1)1 ,I = 2,3,...,n第二步：如果a(2)22!=0,令li2= a（2）i2/a（2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11a(1)12...a(1)1nx1b(1)1a(1)22 ...a(1)2nx2b(1)2 .......=.. .a(n-1)n-1nxn-1b(n-1)n-1. . . a(n)nnxnb(n)n简记为：A(n)x=b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：n = b(n) / a(n)nni = ( b(k)k - a(k)kjxj ) / a(k)kk以上为高斯消去法的基本过程。
Guass列选主元消去法和三角分解法
Guass列选主元消去法和三⾓分解法 最近数值计算学了Guass列主消元法和三⾓分解法解线性⽅程组，具体原理如下：1、Guass列选主元消去法对于AX =B1）、消元过程：将（A|B）进⾏变换为，其中是上三⾓矩阵。
即：k从1到n-1a、列选主元选取第k列中绝对值最⼤元素作为主元。
b、换⾏c、归⼀化d、消元2）、回代过程：由解出。
2、三⾓分解法（Doolittle分解）将A分解为如下形式由矩阵乘法原理a、计算U的第⼀⾏，再计算L的第⼀列b、设已求出U的1⾄r-1⾏，L的1⾄r-1列。
先计算U的第r⾏，再计算L的第r列。
a）计算U的r⾏b）计算L的r列C#代码： 代码说明：Guass列主消元法部分将计算出来的根仍然储存在增⼴矩阵的最后⼀列，⽽Doolittle分解，将分解后的结果也储存⾄原来的数组中，这样可以节约空间。
using System;using System.Windows.Forms;namespace Test{public partial class Form1 : Form{public Form1(){InitializeComponent();}private void Cannel_Button_Click(object sender, EventArgs e){this.textBox1.Clear();this.textBox2.Clear();this.textBox3.Clear();boBox1.SelectedIndex = -1;}public double[,] GetNum(string str, int n){string[] strnum = str.Split(' ');double[,] a = new double[n, n + 1];int k = 0;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < strnum.Length / n; j++){a[i, j] = double.Parse((strnum[k]).ToString());k++;}}return a;}public void Gauss(double[,] a, int n){int i, j;SelectColE(a, n);for (i = n - 1; i >= 0; i--){for (j = i + 1; j < n; j++)a[i, n] -= a[i, j] * a[j, n];a[i, n] /= a[i, i];}}//选择列主元并进⾏消元public void SelectColE(double[,] a, int n){int i, j, k, maxRowE;double temp; //⽤于记录消元时的因数for (j = 0; j < n; j++){maxRowE = j;for (i = j; i < n; i++)if (System.Math.Abs(a[i, j]) > System.Math.Abs(a[maxRowE, j]))maxRowE = i;if (maxRowE != j)swapRow(a, j, maxRowE, n); //与最⼤主元所在⾏交换//消元for (i = j + 1; i < n; i++){temp = a[i, j] / a[j, j];for (k = j; k < n + 1; k++)a[i, k] -= a[j, k] * temp;}}return;}public void swapRow(double[,] a, int m, int maxRowE, int n){int k;double temp;for (k = m; k < n + 1; k++){temp = a[m, k];a[m, k] = a[maxRowE, k];a[maxRowE, k] = temp;}}public void Doolittle(double[,] a, int n){for (int i = 0; i < n; i++){if (i == 0){for (int j = i + 1; j < n; j++)a[j, 0] = a[j, 0] / a[0, 0];}else{double temp = 0, s = 0;for (int j = i; j < n; j++){for (int k = 0; k < i; k++){temp = temp + a[i, k] * a[k, j];}a[i, j] = a[i, j] - temp;}for (int j = i + 1; j < n; j++){for (int k = 0; k < i; k++){s = s + a[j, k] * a[k, i];}a[j, i] = (a[j, i] - s) / a[i, i];}}}}private void Exit_Button_Click(object sender, EventArgs e){this.Close();}private void Confirm_Button_Click(object sender, EventArgs e){if (this.textBox2.Text.Trim().ToString().Length == 0){this.textBox2.Text = this.textBox1.Text.Trim();}else{this.textBox2.Text = this.textBox2.Text + "\r\n" + this.textBox1.Text.Trim();}this.textBox1.Clear();}private void Calculate_Button_Click(object sender, EventArgs e){string str = this.textBox2.Text.Trim().ToString();string myString = str.Replace("\n", " ").Replace("\r", string.Empty);double[,] a = new double[this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 2];a = GetNum(myString, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1);if (boBox1.Text == "Guass列主消元法"){Gauss(a, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1);for (int i = 0; i < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; i++){this.textBox3.Text = this.textBox3.Text + "\r\nX" + (i + 1) + "=" + a[i, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1]; }}else if (boBox1.Text == "Doolittle三⾓分解法"){this.textBox3.Enabled = true;Doolittle(a, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1);bel3.Text = "分解后的结果：";this.textBox3.Clear();this.textBox3.Text += "L矩阵：\r\n";for (int i = 0; i < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; i++) {for (int j = 0; j < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; j++) {if (j < i){this.textBox3.Text += a[i, j].ToString() + "\t";}else if (i == j){this.textBox3.Text += "1\t";}else{this.textBox3.Text += "0\t";}}this.textBox3.Text += "\r\n";}this.textBox3.Text += "\r\nU矩阵：\r\n";for (int i = 0; i < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; i++) {for (int j = 0; j < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; j++) {if (j >= i){this.textBox3.Text += a[i, j].ToString() + "\t";}else{this.textBox3.Text += "0\t";}}this.textBox3.Text += "\r\n";}}}private void textBox1_KeyDown(object sender, KeyEventArgs e){if (e.KeyCode == Keys.Enter){if (this.textBox1.Text.Trim().ToString().Length == 0){Calculate_Button_Click(sender, e);}else{Confirm_Button_Click(sender, e);}}}private void button1_Click(object sender, EventArgs e){this.textBox2.Enabled = true;}}} 运⾏截图： ⾄此完毕。
高斯列主元消去法
如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，现选取ri a )(n r i ≤≤中绝对值最大的元素，设为第j 行的元素ji a ，把矩阵的第i 行和第j 行互换，这时ii a 变为ji a ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii ki a a （k 代表行号），依次进行消元。
Gauss 列主元消去法的算法步骤如下：将方程组写成以下的增广矩阵的形式：⎪⎩⎪⎪⎨⎧43212423222114131211............n n n n a a a a a a a a a a a a对k=1，2，3,...,n-1,令∑==nks sk pk a a max ；交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1，k+2，...,n,计算kk jkkm jm jm a a a a a ⋅-=（m=看，k+1，...，n ）kk jkk j j a a b b b ⋅-=算法结束。
三角分解法程序如下：建立相应的M 文件，其函数名为LU,程序如下：function y=LU(A,B);n=length(A);A=[A B];for k=1:n-1;for i=k:n;if (abs(A(i,k))==max(abs(A(k:n,k)))) P(k)=i;temp=A(k,:);A(k,:)=A(i,:);A(i,:)=temp;endendfor j=k+1:n;A(j,k)=A(j,k)/A(k,k);A(j,k+1:n+1)=A(j,k+1:n+1)-A(j,k)*A(k,k+1:n+1);endendP(n)=n;L(1,1)=1;L(2:n,1)=A(2:n,1);L(1,2:n)=0;U(1,1)=A(1,1);U(2:n,1)=0;U(1,2:n)=A(1,2:n);for i=2:n;L(i,1:i-1)=A(i,1:i-1);L(i,i)=1;L(i,i+1:n)=0;U(i,1:i-1)=0;U(i,i:n)=A(i,i:n);endx(n) = A(n,n+1)/U(n,n);for k = n-1:-1:1x(k)=A(k,n+1);for p=n:-1:k+1;x(k) = x(k)-U(k,p)*x(p); endx(k)=x(k)/U(k,k);endxLUPend在程序命令行输入：a=[0.101 2.304 1.5355;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643];b=[1.183,2.137,3.035]';LU(a,b)运行结果为：x =3.1160 -1.1960 2.3305 L =1.0000 0 00.4751 1.0000 0-0.0356 0.7313 1.0000 U =-2.8350 1.0720 5.64300 3.2027 1.94180 0 0.3359 P =3 2 3。
2-2 Gauss列主元消去法
S2 若ann 0,则输出“ A是奇异矩阵”；停机 . S3 置xn an,n1 / ann ;
对i n 1, n 2,...1,
ai,n1 n aij x j
置xi
j i 1
aii
S4 输出x1, x2,..., xn ;停机.
作业：
P50 习题3
k in
aik
;
S12 若aik ,k 0,则输出“ A是奇异矩阵”；停机 .
S13 若ik k,则
akj aik , j j k,...,n 1;
S14 对i k 1,..., n
置aik aik / akk ; 对j k 1,..., n 1
置aij aij aik akj.
§2-2 Gauss列主元消去法
一、Gauss列主元消去法的引入 例1. 用3位浮点数运算，求解线性方程组
0.0001xx11
x2 x2
1 2
解: 本方程组的精度较高的解为
x* (1.00010001 ,0.99989999 )T
用Gauss消去法求解
A ( A,b)
0.000100 1
1 1
21
0.000100
m2110 000
0
回代后得到
1
1
1.00 104 1.00 104
x1 0.00 , x2 1.00
与精确解相比,该结果显然是错误的 究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数
如果在求解时将1,2行交换,即
A ( A,b)
1 0.000100
1 1
a(2) i2
,
交换第2行和第i2行，
2in
然后进行消元，得[ A(3) , b(3) ].
列主元素Gauss消去法Jacobi迭代法原理及计算方法
一、 列主元素Gauss 消去法、Jacobi 迭代法原理及计算方法1. 列主元素Gauss 消去法：1.1 Gauss 消去法基本原理设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。
高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。
1.2 列主元Gauss 消去法计算步骤将方程组用增广矩阵[]()(1)ijn n B A b a ⨯+== 表示。
1). 消元过程对1,2,,1k n =-(1) 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i na a ≤≤= (2) 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行(3)。
(3) 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，,,1j k n =+ 。
(4) 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算.ij ij ik kj a a l a =-2). 回代过程(1) 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行(2)。
(2) ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2. Jacobi 迭代法2.1 Jacobi 迭代法基本原理Jacobi 迭代法的基本思想是对n 元线性方程组b Ax =，.,n n R b R A ∈∈将其变形为等价方程组f Bx x +=，其中.,,n n n n R x R f R B ∈∈∈⨯B 成为迭代矩阵。
从某一取定的初始向量)0(x 出发,按照一个适当的迭代公式 ,逐次计算出向量f Bx x k k +=+)()1( （ 1,0=k ）,使得向量序列}{)(k x 收敛于方程组的精确解.(1)输入1,,,,)0(=k n xb A ε，. (2) )(1,1)0()1(∑≠=-=n j i i j ij i iii x a b a x )1,0(n i = (3)判断 ε≤--≤≤)0()1(10max i i n i x x ，若是，输出1)1(2)1(1,,n x x x ，若否，置1+=k k ，)1()0(i i x x =，)2,1(n i =。
数值分析1顺序消去法、列主元、列主元Gauss-Jordan消去法
数值分析1顺序消去法、列主元、列主元Gauss-Jordan消去法function x = Gauss (A, b)% 求解方程组的Gauss消去法，调用方法为% x = Gauss (A, b)% 其中% A 为方程组的系数矩阵，b为方程组的右端项% x 为方程组的解[n,m] = size (A); nb = length (b);if n~=merror ('% 系数矩阵必须为方的！');endif m~=nberror ('% b 的维数与方程组的行数不匹配！'); endfor k = 1:n-1% 消元过程for i = k+1:nm = A (i,k)/A(k,k);for j = k+1:nA (i,j) = A (i,j)-m*A (k,j);endb (i) = b (i)-m*b (k);endendx=zeros (size (b));for k = n:-1:1for j = k+1:nb (k) = b (k)-A (k,j)*x (j);endx (k) = b (k)/A(k,k);endendfunction x = Gauss_Elim (A, b)% 求解方程组的列主元Gauss消去法，调用方法为% x = Gauss_Elim (A, b)% 其中% A 为方程组的系数矩阵，b为方程组的右端项% x 为方程组的解[n,m] = size (A); nb = length (b);error ('% 系数矩阵必须为方的！');endif m~=nberror ('% b 的维数与方程组的行数不匹配！');endfor k = 1:n-1% 选主元a_max = 0;for i = k:nif abs (A (i,k))>a_maxa_max = A (i,k); r=i;endendif abs(a_max)<1e-15error ('% 系数矩阵奇异，无法求解方程组！');end% 交换两行if r>kfor j = k:nz=A (k,j); A (k,j)=A (r,j);A (r,j)=z;endz=b (k);b (k)=b (r);b (r)=z;end% 消元过程for i = k+1:nm = A (i,k)/A(k,k);for j = k+1:nA (i,j) = A (i,j)-m*A (k,j);endb (i) = b (i)-m*b (k);endend% 回代过程if abs (A (n,n))<1e-15error ('% 系数矩阵奇异，无法求解方程组！'); endx=zeros (size (b));for k = n:-1:1for j = k+1:nb (k) = b (k)-A (k,j)*x (j);endx (k) = b (k)/A(k,k);endendfunction x = Gauss_Jordan (A, b)% 求解方程组的列主元Gauss-Jordan消去法，调用方法为% x = Gauss_Jordan (A, b)% 其中% A 为方程组的系数矩阵，b为方程组的右端项% x 为方程组的解[n,m] = size (A); nb = length (b);error ('% 系数矩阵必须为方的！');endif m~=nberror ('% b 的维数与方程组的行数不匹配！'); endfor k = 1:n% 选主元a_max = 0;for i = k:nif abs (A (i,k))>a_maxa_max = A (i,k); r=i;endendif abs(a_max)<1e-15error ('% 系数矩阵奇异，无法求解方程组！'); end% 交换两行if r>kfor j = k:nz=A (k,j); A (k,j)=A (r,j);A (r,j)=z;endz=b (k);b (k)=b (r);b (r)=z;end% 消元计算b (k) = b (k)/A(k,k);for j = k+1:nA (k,j) = A (k,j)/A(k,k);endfor i=1:nfor j=k+1:nA (i,j) = A (i,j)-A (i,k)*A (k,j); endb (i)=b (i)-A (i,k)*b (k); endendendx = b; % 输出bend。
列主元素高斯消去法
实验报告题目：列主元素高斯消去法学生姓名陈玉霞学号20111325015学院信息与控制学院专业信息工程（系统工程方向）指导教师殷传洋2013 年11 月18日一、实验目的（1）掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤；（2）培养编程与上机调试能力。
二、实现功能本程序采用GAUSS列主元消去法求解线性方程组。
AX=b.其中A为N阶矩阵，X，b均为N围列向量。
三、算法描述高斯消去法基本思路设有方程组Ax=b，设A是可逆矩阵。
高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵B [A b]，将其中的A变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。
四、实验内容X1-0.5*X2+1.5*X3=0.5X2-0.25*X3=0.5X3=-6五、实验步骤(1) 写出增广矩阵A;(2) 选主元;(3) 判断是否奇异;(4) 交换对应行元素;(5) 消元;(6) 回代,计算出X[1], X[2], X[3].六、代码# include<stdio.h># include<math.h># define delta 1e-6#define N 100void main(){int i,j,t,r,n,u,c=0;float p,L,max,s;float X[N];float a[N][N+1];printf("请输入方程的阶数\n"); scanf("%d",&n);printf("输入的原方程系数,中间用空格隔开\n"); for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n+1;j++)scanf("%f",&a[i][j]);printf("方程系数为\n");for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n+1;j++){printf("%.2f ",a[i][j]);if(j==n) {printf("\n");}}}for(j=0;j<n-1;j++){{max=fabs(a[j][j]);r=j;}for(i=j+1;i<n;i++)if(fabs(a[i][j])>max){max=a[i][j];r=i;}if(fabs(a[i][j])<delta)printf("矩阵奇异");for(t=j;t<n+1;t++){} p=a[j][t]; a[j][t]=a[r][t]; a[r][t]=p; } for(i=j+1;i<N;i++) { L=a[i][j]/a[j][j]; for(t=j;t<n+1;t++) a[i][t]=a[i][t]-L*a[j][t]; }printf("输出原方程的解为：\n");X[n-1]=a[n-1][n]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i>=0;i--){s=a[i][n];for(j=i+1;j<n;j++)s=s-a[i][j]*X[j];X[i]=s/a[i][i];}for(u=0;u<n;u++)for(j=0;j<n+1;j++){printf("%12f",a[u][j]); c++;if(c%(n+1)==0) printf("\n");}for(i=0;i<n;i++){printf("x(%d)=%.4f\n",i+1,X[i]); if(i==n-1)printf("\n");}}七、实验结果八、实验体会从实验中，我学会了很多，首先要弄懂高斯消去法的原理和计算步骤,使我更加了解Gauss列主元素消去法的实质，掌握了新知识的同时,也为以后的学习打下一个好的基础。
课件：5.2(b) Gauss列主元消去法
L L11L21 Ln11为单位下三角矩阵 U A(n)为上三角矩阵
即 且
1
1,1 ln,1
ln1,2 ln,2
ln1,2 ln,3
1 ln,n1
1
a(1) 11
U A(n)
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
a(n) nn
1 2 3
解: 这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有 小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免
108
A (A,b) 1
2
2
3 1
3.712 4.623 2
1.072
5.64
3
3
108 很小,绝对值最大
的列元素为a13 2, 因此1,3行交换
r1 r3
2 1
例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行 避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法
二、Gauss消元过程与系数矩阵的分解 1.Gauss消去法消元过程的矩阵描述
( A(1) ,b(1) )
a(1) 11
a(1) 21
a(1) 12
a(1) 22
a(1) 1n
a(1) 2n
主元
A (A,b)
0.000100 1
1 1
1 2
l21 10000
0.000100 0
1 1.00 104
1 1.00 104
回代后得到
x1 0.00 , x2 1.00
与精确解相比,该结果相当糟糕 究其原因,在求乘数时用了很小的数0.0001作除数
如果在求解时将1,2行交换,即
A (A,b)
det Ak 0 k 1,2,, n
高斯列主元消去法例题
高斯列主元消去法例题高斯列主元消去法是解线性方程组的一种方法，也称为高斯-约旦（Gauss-Jordan）消去法。
它的基本思想是通过矩阵的初等行变换，将矩阵化为简化行阶梯形矩阵，然后根据系数矩阵的行列式是否等于0来求得唯一或无穷多解。
下面以一个例题来讲解高斯列主元消去法的步骤。
例题：解下列线性方程组x1 + 2x2 + 3x3 = 94x1 + 5x2 + 6x3 = 247x1 + 8x2 + 10x3 =40首先，将方程组表示为增广矩阵的形式：1 2 3 | 94 5 6 | 247 8 10| 40接下来，要使用高斯列主元消去法，将增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵。
具体步骤如下：1.将第一列中的绝对值最大的元素移到第一行。
7 8 10| 404 5 6 | 241 2 3 | 92.用第一行的首元素消元。
7 8 10| 400 1 -2| 60 -6 -21| -273.将第二列中的绝对值最大的元素移到第二行。
7 8 10| 400 -6 -21| -270 1 -2| 64.用第二行的次元素消元。
7 8 10| 400 1 -2| 60 0 -9| 95.将第三列中的绝对值最大的元素移到第三行。
7 8 10| 400 1 -2| 60 0 -9| 96.用第三行的末元素消元。
7 8 10| 400 1 -2| 60 0 1 | -1现在，我们得到了一个简化行阶梯形矩阵，可以根据系数矩阵的行列式是否等于0来求得唯一或无穷多解。
我们发现，最后一行只有一个非零元素，因此，对应的未知数x3的系数不为0，可以直接利用倒推法求得方程组的解。
7.用第二行解出x2x2 - 2x3 = 6x2 = 2x3 + 68.用第一行解出x1x1 + 8x2 + 10x3 = 40x1 + 8(2x3 + 6) + 10x3 = 40x1 + 26x3 = 8综上所述，该线性方程组的解为：x1 = -26t + 8x2 = 2t + 6x3 = t其中，t为任意常数。
gauss列主元素消去法matlab
高斯列主元素消去法是一种解线性方程组的常用方法，特别在数值分析和线性代数中应用广泛。
在Matlab中，我们可以使用该方法来解决大规模的线性方程组，包括矩阵的求解和矩阵的反转。
一、高斯列主元素消去法的基本原理高斯列主元素消去法是一种基于矩阵消元的方法，它通过一系列的矩阵变换将原始的线性方程组转化为上三角形式，然后再进行回代求解。
这个方法的核心就是通过矩阵的变换来简化原始的线性方程组，使得求解过程更加简单高效。
在Matlab中，我们可以利用矩阵运算和函数来实现高斯列主元素消去法，如`lu`分解函数和`\"`运算符等。
通过这些工具，我们能够快速地求解各种规模的线性方程组并得到准确的结果。
二、高斯列主元素消去法在Matlab中的实现在Matlab中，我们可以通过调用`lu`函数来实现高斯列主元素消去法。
该函数返回一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P，使得PA=LU。
通过对U进行回代求解，我们可以得到线性方程组的解。
除了`lu`函数之外，Matlab还提供了一些其他的函数和工具来帮助我们实现高斯列主元素消去法，比如`\"`运算符和`inv`函数等。
通过这些工具的组合使用，我们能够更加灵活地进行线性方程组的求解，并且可以方便地处理特殊情况和边界条件。
三、高斯列主元素消去法的应用与局限性高斯列主元素消去法在实际应用中具有广泛的适用性，特别是对于大规模的线性方程组或者稀疏矩阵的求解。
通过Matlab中的工具和函数，我们可以快速地求解各种规模的线性方程组，并得到高精度的数值解。
然而，高斯列主元素消去法也存在一些局限性，比如对于奇异矩阵或者接近奇异矩阵的情况时，该方法的求解精度可能会下降。
在实际应用中，我们需要结合具体的问题和矩阵特性来选择合适的求解方法，以确保得到准确的结果。
四、个人观点和总结作为一种经典的线性方程组求解方法，高斯列主元素消去法在Matlab 中具有较好的实现和应用效果。
通过对其原理和实现细节的深入理解，我们能够更加灵活地应用该方法，并且能够更好地理解其适用性和局限性。
实验二：Gauss列主元消去法
实验二：Gauss列主元消去法程序1：Gauss列主元消去法A=input('请输入线性方程组的增广矩阵A=');n=length(A)-1;x=zeros(n,1);aa=zeros(n,1);for j=1:nfor i=1:(n+1)AA(j,i)=abs(A(j,i));endendfor k=1:(n-1)for i=k:naa(i-(k-1))=AA(i,k);endfor i=k:nif AA(i,k)==max(aa)breakendendif AA(i,k)==0breakfprintf('方程组系数矩阵奇异\n');elsefor j=k:(n+1)jh=A(i,j);A(i,j)=A(k,j);A(k,j)=jh;endendfenzi=A(k,k);for j=k:(n+1)A(k,j)=A(k,j)/fenzi;endfor p=(k+1):njj=A(p,k);for j=k:(n+1)A(p,j)=A(p,j)-jj*A(k,j);endendendif k==(n-1)x(n)=A(n,(n+1))/A(n,n);for i=(n-1):(-1):1he=0;for j=(i+1):nhe=he+A(i,j)*x(j);endx(i)=A(i,(n+1))-he;endendx用Gauss列主元消去法解方程组：1．请输入线性方程组的增广矩阵A=[1e-008,2,3,1;-1,3.172,4.623,2;-2,1.072,5. 643,3]x =-0.4653-0.07000.38002．请输入线性方程组的增广矩阵A=[4,-2,4,10;-2,17,10,3;-4,10,9,-7];x =2.94640.6071-0.14293．请输入线性方程组的增广矩阵A=[0.3e-020,1,0.7;1,1,0.9]x =0.20000.7000程序2：不选主元的高斯消去法A=input('请输入线性方程组的增广矩阵A=');n=length(A)-1;x=zeros(n,1);for k=1:(n-1)if A(k,k)==0breakfprintf('方程组不能用普通的高斯消去法解\n');elsefenzi=A(k,k);for j=k:(n+1)A(k,j)=A(k,j)/fenzi;endfor p=(k+1):njj=A(p,k);for j=k:(n+1)A(p,j)=A(p,j)-jj*A(k,j);endendx(n)=A(n,(n+1))/A(n,n);for i=(n-1):(-1):1he=0;for j=(i+1):nhe=he+A(i,j)*x(j);endx(i)=A(i,(n+1))-he;endendendx用不选主元的Gauss消去法解方程组：1．请输入线性方程组的增广矩阵A=[4,-2,4,10;-2,17,10,3;-4,10,9,-7];x =2.94640.6071-0.14292．请输入线性方程组的增广矩阵A=[1e-008,2,3,1;-1,3.172,4.623,2;-2,1.072,5. 643,3];x =-0.4653-0.07000.38003．请输入线性方程组的增广矩阵A=[0.3e-020,1,0.7;1,1,0.9]x =0.7000。
解线性方程组的列主元素高斯消去法和lu分解法
数值试验报告分析一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU 分解法二、实验目的及要求：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU 分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。
三、算法描述：本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU 分解法求解线性方程组的解。
其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A 可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。
优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss 消去法相同的计算量。
列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。
注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
矩阵的三角分解法是A=LU,L 是下三角阵，U 是上三角阵,Doolittle 分解:L 是单位下三角阵，U 是上三角阵；Crout 分解:L 是下三角阵，U 是单位上三角阵。
矩阵三角分解的条件 是矩阵A 有唯一的Doolittle 分解的充要条件是A 的前n-1顺序主子式非零；矩阵A 有唯一的Crout 分解的充要条件是A 的前n-1顺序主子式非零。
三角分解的实现是通过(1)Doolittle 分解的实现； (2)Doolittle 分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。
（3）用Doolittle 分解求解方程组: AX=b LUX=b LY=bA=LU UX=Y ；四、实验内容：解下列两个线性方程组（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x （2） ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----15900001.582012151526099999.23107104321x x x x a 、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU 分解求解上述两个方程组，输出Ax=b 中矩阵A 及向量b, A=LU 分解的L 及U ，detA 及解向量x.b 、将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x及detA，并与（1）中结果比较。
Matlab程序Gauss列主元消去法
Matlab程序Gauss列主元消去法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（Matlab程序Gauss列主元消去法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为Matlab程序Gauss列主元消去法的全部内容。
．Gauss 列主元消去法求解线性方程组迭代法计算停止的条件为：．采用用用Gauss 列主元消去法时，Matlab 计算程序为： clearclcA=［2 2 1 2;4 1 3 —1;—4 —2 0 1;2 3 2 3］;B=［1；2；1；0];n=length(B);X=zeros （n,1)；c=zeros(1，n)；d1=0；for i=1：n —1max=abs(A(i ，i ））;m=i;for j=i+1:nif max<abs （A （j,i ））max=abs （A （j,i))；m=j;endendif （m ～=i)for k=i ：nc(k)=A(i ，k);A （i,k)=A(m ，k);A （m,k)=c （k ）;endd1=B(i)；12346212425027,2085113270x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6)()1(3110max -+≤≤<-k j k j j x xB（i)=B（m);B(m）=d1；endfor k=i+1:nfor j=i+1：nA(k，j）=A(k，j)—A（i，j)*A（k,i）/A（i,i);endB（k）=B(k）—B（i)*A（k，i)/A(i，i）;A（k,i)=0;endendX(n)=B（n）/A(n，n)；for i=n-1：—1:1sum=0；for j=i+1：nsum=sum+A（i，j）*X(j）;endX(i）=（B(i)-sum)/A（i,i);endX计算结果为：X =（1。
解线性方程组的列主元素高斯消去法和lu分解法
数值试验报告分析一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU 分解法二、实验目的及要求：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU 分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。
三、算法描述：本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU 分解法求解线性方程组的解。
其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A 可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。
优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss 消去法相同的计算量。
列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。
注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
矩阵的三角分解法是A=LU,L 是下三角阵，U 是上三角阵,Doolittle 分解:L 是单位下三角阵，U 是上三角阵；Crout 分解:L 是下三角阵，U 是单位上三角阵。
矩阵三角分解的条件 是矩阵A 有唯一的Doolittle 分解的充要条件是A 的前n-1顺序主子式非零；矩阵A 有唯一的Crout 分解的充要条件是A 的前n-1顺序主子式非零。
三角分解的实现是通过(1)Doolittle 分解的实现； (2)Doolittle 分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。
（3）用Doolittle 分解求解方程组: AX=b LUX=b LY=bA=LU UX=Y ；四、实验内容：解下列两个线性方程组（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x （2） ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----15900001.582012151526099999.23107104321x x x x a 、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU 分解求解上述两个方程组，输出Ax=b 中矩阵A 及向量b, A=LU 分解的L 及U ，detA 及解向量x.b 、将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x及detA，并与（1）中结果比较。
§7.3 Gauss主元素消去法
1 1 2 0 1 1
109 9 10
9 9 1 10 10 例： 2 1 1
1 0
109 109
注意：这两个方程组 在数学上严格等价。
x2 1 , x1 0
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Gauss主元素消去法
1 2 1
1 2 0 1 1 1
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Gauss主元素消去法
1515
第七章 解线性方程组的直接方法
1 0 0 . 8 0. 4 1 0 .5 0 .5 0 .5 0 1 0.6 0.2 0 2.5 1.5 0.5 1.2 0 0 0. 4 0 1 .5 0 .5 1 .5
用顺序Gauss消去法计算：
8个 a 22 1 l 21 1 0.0 ...01 10 9 10 9 10 9
l21 a21 / a11 109
10 9 1
b2 2 l21 1 109
1 1
1 1 1 10 9 9 9 2 0 10 10 小主元 可能导致计 算失败。 x2 1, x1 0
1919
4 4
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Gauss主元素消去法
第七章 解线性方程组的直接方法
7.3.1 列主元消去法
第一步：从第一列中选出绝对值最大的元素作为
主元素：
a11 max ai 1
高斯列主元消去法
问题提出：采用高斯列主元消去法解线性方程组。
算法（公式）推导：高斯顺序消去法有一个最大的缺点就是一旦对角元素为0，就进行不下去了，为了解决这个问题就有了高斯主元消去法。
如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，先选取a ri ()n r i ≤≤中（即第i 列）绝对值最大的元素，设为第j 行的元素aji ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii kj a a （k 代表行号），依次进行消元，这样得到的算法叫高斯按列主元消去法。
高斯按列主元消去法的算法步骤介绍如下:1. 将方程组写成以下的增广矩阵的形式： 432144434241343332312423222114131211b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a 2. 对k=1，2，3，…..，n-1,令∑==nk s sk pk a a max ，交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1,K+2,……..,n,计算*km jkjm jm kk a a a a a =-（m=k,k+1,....n)kk jk k j j a a b b b *-=算法结束。
3. 在MATLABE 中编程实现的高斯按列主元消去法函数为：GaussXQLineMain功能：高斯按列主元消去法求线性方程组Ax=b 的解调用格式：[x,XA]=GaussXQLineMain(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；B：线性方程组中的常数向量；x：线性方程组的解：XA：消元后的系数矩阵（可选的输出参数）。
高斯列主元消去法用MATLAB实现如下所示：4.其中用到上三角矩阵求解函数：在MATLABE中编程实现的上三角系数矩阵求解函数为：SolveUPTriangle 功能：求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解调用格式：x=SolveUpTriangel(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；b ：线性方程组中的常数向量； X ：线性方程组的解；上三角系数矩阵求解函数用MATLAB 实现如下所示：高斯按列主元消去法解线性方程组应用实例：用高斯按列主元消去法求解下列线性方程组的解。
高斯列主元素消去法解多元一次方程组
⾼斯列主元素消去法解多元⼀次⽅程组1、Gauss消去法及列主元素消去法算法介绍2、c#源码1/********************************2⾼斯列主元素消去法解多元⼀次⽅程组3 *4 * 例如⽅程组5 * x+y+z=76 * 2x+y-z=67 * x-y-2z=48 *9 * 矩阵阶数N=310 * a[N,N]为1 1 111 * 2 1 -112 * 1 -1 -213 * b[N]为 714 * 615 * 416 *********************************/17using System;18using System.Collections.Generic;19using System.Linq;20using System.Text;21using System.Threading.Tasks;2223namespace Gauss24 {25class Program26 {27const int MaxN = 20;28private float[,] a = new float[MaxN, MaxN];29private float[] b = new float[MaxN];30private float[] x = new float[MaxN];3132private int N;//所要计算的矩阵的阶数33private float center;//中间变量34static void Main(string[] args)35 {36 Program p = new Program();37 p.ReadMatrix();38 p.ShowMatrix();39 p.Calculate();40 p.ShowResult();41 Console.ReadLine();42 }4344//输⼊线性⽅程组对应的矩阵45private void ReadMatrix()46 {47 Console.Write("请输⼊矩阵的阶数：");48while (!int.TryParse(Console.ReadLine(),out N))49 {50 Console.WriteLine("请输⼊正确的阶数！");51 }5253 Console.WriteLine("请输⼊矩阵a[{0}][{0}]：",N);54for (int i = 0; i < N; i++)55 {56for (int j = 0; j < N; j++)57 {58while (!float.TryParse(Console.ReadLine(), out a[i,j]))59 Console.WriteLine("请正确输⼊！");6061 }62 }6364for (int i = 0; i < N; i++)65 {66 Console.Write("请输⼊矩阵b[{0}]：", i);67while (!float.TryParse(Console.ReadLine(), out b[i]))68 Console.WriteLine("请正确输⼊！");69 }70 Console.WriteLine("\n==========================================");71 }7273//显⽰矩阵对应的⽅程组74private void ShowMatrix()75 {76 Console.WriteLine("要求的⽅程组为：");77for (int i = 0; i < N; i++)78 {79for (int j = 0; j < N; j++)80 {81if (j == 0)82 {83string s;84 s = a[i, j] + "x" + (j + 1);85 Console.Write(s);86 }8788else89 {90string s = a[i, j] > 0 ? "+" + a[i, j] + "x" + (j+1) : a[i, j] + "x" + (j+1);91 Console.Write(s);92 }93 }94 Console.WriteLine(" = "+b[i]);95 }96 Console.WriteLine("\n==========================================");97 }9899private void Calculate()100 {101float sum;102int i, k, p;103for (k = 0; k < N-1; k++)104 {105 center = Math.Abs(a[k,k]);//对⾓线上106for (i = k + 1, p = k; i < N; i++)107 {108//选取主元109if (center < Math.Abs(a[i, k]))110 {111 center = Math.Abs(a[i, k]);112 p = i;113 }114 }115116if (i > k)117 {118//移动主元119for (int m = k; m < N; m++)120 {121 center = a[k, m];122 a[k, m] = a[p, m];123 a[p, m] = center;124 }125 center = b[k];126 b[k] = b[p];127 b[p] = center;128 }129130//消元131for (int m = k + 1; m < N; m++)132 {133 center = a[m, k];134for (int n = k; n < N; n++)135 {136 a[m, n] -= center * a[k, n] / a[k, k];137 }138 b[m] -= center * b[k] / a[k, k];139 }140141142 }143//x[N]的值144 x[N - 1] = b[N - 1] / a[N - 1, N - 1];145for (int m = N - 2; m >= 0; m--)146 {147 sum = b[m];148for (int j = N - 1; j > m; j--)149 {150 sum -= a[m, j] * x[j];151 x[m] = sum / a[m, m];152 }153 }154 }155156157private void ShowResult()158 {159 Console.WriteLine("结果为：");160for (int i = 0; i < N; i++)161 {162 Console.Write("x{0}={1}\n",i+1,x[i]); 163 }164165 }166 }167 }3、运⾏结果。
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数学与计算机学院数值计算实验报告
年级 2011 学号 2011434061 姓名张硕硕成绩
专业信息与计算科学实验地点主楼402 指导教师高少芹
实验项目 Gauss列主元素消去法实验日期 2013.11 一、实验题目
Gauss列主元素消去法
二、需求分析
(1) 本实验使用的相关开发工具为MATLAB
(2) 输入的形式和输入值的范围以及输出的形式
输入的形式:A=[1 -1 2 -1;2 -2 3 -3;1 1 1 0;1 -1 4 3];
b=[-8 -20 -2 4];
输出的形式：
b =
-7.0000 3.0000 2.0000 2.0000
(3) 程序所能达到的功能
通过输入矩阵的形式，实现计算机计算计算线性方程组的解。
(4) 测试数据：
在实验结果中给出
三、程序流程图
四、数据结构及算法描述
1.输入矩阵A，右端向量b
2.对于k=1:n-1,
（1）|A(u,k)|=max|A(i,k)| (k<=i<=n); %选主元
（2）如果|A(u,k)|=0则停止; %控制最小主元
（3）如果u=k则转（4），否则
A(k,k:n+1)A(u,k:n+1); %换行
（4）A(k+1:n,k):=A(k+1:n,k)/A(k,k),
A(k+1:n,k+1:n):=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n), %消元按行进行
b(k+1:n)’:=b(k+1:n)’-A(k+1:n,k)*b(k)
3.如果A(n,n)=0则停止 %无解
4.b(n):=b(n)/A(n,n),
对于i=n-1:-1:1,
b(i):=[b(i)-A(i,i+1:n)*b(i+1:n)’]/A(i,i) %回代求解
5.输出b
五、调试分析
内容包括：
(1)在调试过程中，会出现精度问题以及数字的显示格式带来的误差，通过百度学习修改这
些问题。
(2)根据算法中的（4），消元过程中，第k步运算做乘法(n-k)(n-k+1)次,做除法n-k次，完成
n-1步消元共需做乘除法的总次数为：n3/3+n2/2-5n/6,
由算法的第4步知，回代过程的乘除法运算次数为：n2/2+n/2，
故算法运算的总次数为：MD=n3/3+n2-n/3，
当n很大时，约为n3/3。
(3)通过上机计算使我学会了程序的录入和Matlab的使用操作；通过计算结果的比较，使我
了解求线性方程组的精度不但与方法有关，而且与问题的性态有关，也让我更进一步了解Gauss列主元素消去法。
六、使用说明
在主界面中输入矩阵A,右端向量b，运行m文件即可输出结果。
七、测试结果
课后题解答：
（a）题结果 x=[-7 3 2 2]’
（a）题截图
（b）题结果 x=[25.1613 -16.6129 -22.1290 10.3871]’
（3）题结果 x=[33.3285 -29.0204 -27.0464 6.1324]’
（3）题截图
(4)在主界面输入
format rat %用分数形式表示
hilb(n) %表示生成n*n的希尔伯特矩阵，使n=10,20,30
>> n=10;%让n 分别等于10,20,30，下面以10 为例 >> for j=1:n b(j)=j; end >> b
八．附录
源程序
%输入矩阵A，右端向量b
[n,cl]=size(A);
for k=1:n
p(k)=k;
end
%选列主元
for k=1:n-1
[temp,maxk]=max(abs(A(k:n,k)));
maxk=maxk+k-1;
if(maxk~=k)
temp1=A(k,1:n);
A(k,1:n)=A(maxk,1:n);
A(maxk,1:n)=temp1;
temp2=p(k);
p(k)=p(maxk);
p(maxk)=temp2;
end
%计算PA=LU
if(A(k,k)~=0)
A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);
A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);
end
end
clear temp temp1 temp2
%b=[]形成右端向量
b=b(p);
%求解Ly=B
for k=2:n
b(k)=b(k)-A(k,1:k-1)*b(1:k-1)';
end
%求解Ux=y
b(n)=b(n)/A(n,n);
for k=n-1:-1:1
b(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*b(k+1:n)')/A(k,k);
end
b。