天府名校大联考(一)

1天府名校大联考（一）高三数学（理）考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分. 共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}512,R ,1,Z 1S x x x T x x x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则S T 等于( )A. {}03,Z x x x ≤≤∈B. {}13,Z x x x -≤≤∈C. {}14,Z x x x -≤≤∈D. {}1,Z x x x -≤<0∈2.已知复数22i1iz -=+，则z 的共轭复数的虚部等于( ) A.2i B. 2i - C. 2- D. 23.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A. 8B. 10C. 12D. 144．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-的最大值是（ ）A. 0B. 2C. 4D. 65.已知,R ∈a b ，则“4=ab ”是“直线012=-+ay x 与012=++y bx 平行”的( )A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（ ）种. A ．12 B ．24 C.48 D.120 7．某程序框图如图示，该程序运行后输出的S 的值是（ ） A ．2015 B ．2016 C ．3024 D.20258．已知向量1(sin ,)2m A =与向量(3,sin cos )n A A = 共线，其中A 是ABC ∆的内角，则角A 的大小为（ ）A. π6B. π4C. π3D. π29．设0>ω，函数sin()ωφ=+y x (ππ)φ-<<的图象向左平移π3个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）O ππ3π211202sin a xdx π=-⎰ A ．π1,3ωφ==-B ．π2,3ωφ==-C ．2π1,3ωφ==D.2π2,3ωφ==10.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的中点.一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，它飞入几何体F AMCD -内的概率为( )A. 12B.23 C. 13 D. 34 11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右两个焦点分别为B A F F ,,,21为其左、右顶点，以线段21F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30=∠MAB ,则双曲线的离心率为（ ）A.221 B . 321 C. 319 D. 219 12．已知数列{}n a 满足：*111,()2N +==∈+nn n a a a n a ．若*11(2)(1)()N λ+=-+∈ n nb n n a 1,λ=-b ，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．23λ<C ．32λ>D ．32λ< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 共20分则二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为 ．13.已知14．已知向量(a = ，向量()3,b m =．若向量b 在向量a 方向上的投影为3，则实数m ＝ ．15.已知函数()()2(),2,12x f x x ⎧≥⎪=⎨≤<⎪⎩ 若方程()1f x ax =+恰有一个解时，则实数a的3取值范围 . 16．给出下列5种说法： ①标准差越小，样本数据的波动也越小；②在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的； ③回归分析研究的是两个相关事件的独立性；④相关指数2R 是用来刻画回归效果的，2R 的值越大，说明回归模型的拟合效果越好.⑤对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系” 的把握越小． 其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足2sin()6+=+b C a c π．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．18.（本小题满分12分）甲乙两个生物小组分别独立开展对某生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为31，乙组能使生物成活的概率为21，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的数学期望. 19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =2，A 1A =4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点． （Ⅰ）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（Ⅱ）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且长轴长等于4.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）12F F ，是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以21F F 为直径的圆，直线m kx y l +=:与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点,A B ，若23-=⋅→→OB OA ，求k 的值.421．（本小题满分12分）已知函数x a x a x x f )2(ln 221)(2-+-=，R a ∈ （1）当0≤a 时，讨论函数)(x f 的单调性；（2）是否存在实数a ，对于任意),0(,21+∞∈x x ，且21x x <，有a x x x f x f >--2121)()(恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在第22、23题中任选一题做答.答题时请写清题号并将相应信息点涂黑. 22．(本小题满分10分) 选修4-4 ：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x 的定义域为R ．（Ⅰ）求实数m 的范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．5高三下期 数学（理）入学考试参考答案一．选择题：1-5 ＡD ＣＤＡ 6-10 ＢＣC ＤＡ 11-12 ＢB 二．填空题：13．640- 1415．11(0,)22⎛⎤-+ ⎥⎝⎦16. ①②④⑤三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．解答：（Ⅰ）12sin (sin cos )sin sin 2B C C A C +⋅=+，sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，sin cos sin sin B C B C C =+，cos 1B B =+，所以2sin()16-=B π，得3=B π． ………6分（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =，由（Ⅰ）知3=B π，,AD AC ∴=∴=，由正弦定理知，4sin x BAC =∠，得sin BAC ∠=. ………12分解法二：由（Ⅰ）知3=B π，又M 为BC 中点，2a BM MC ∴==，在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+- 222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-3,2a c b ∴=∴=，由正弦定理知，sin a BAC =∠sin BAC ∠= 18.解：（1）甲小组做了三次实验，至少两次成功的概率277)31(32)31()(333223=+=C C A P （2）乙小组在4次成功前，共进行了6次实验，其中3次成功，3次失败，且恰好有两次连续失败，其中各种可能情况数为1224=A ，因此所求概率32321)21()21(12)(33=⨯⨯⨯=B P ………6分（3）由题意4,3,2,1,0=ξ91)21()32()31()0(2022003=⋅==C C P ξ631)21()32()21(3231)1(21220220212=⋅+⋅⋅==C C C C P ξ3613)21()32()21(3231)21()31()2(222121222=⋅+⋅⋅+⋅==C C P ξ61)21(3231)21()31()3(2122122=⋅⋅+⋅==C C P ξ 361)21()31()4(22===ξP 故ξ的分布列为：35361461336132311=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 2分19． 解（I ）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y、z 轴建系．………………1分 则BC =AC =2，A 1O ==， 易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，）， B 1（，﹣，），……………2分=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），……………………4分∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1，又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC =O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ；……………………6分 （II ）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x，y ，z ）， 由，得，取z =1，得=（，0，1），…7分设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z =1，得=（0，，1），…8分∴cos ＜，＞===，………10分 又∵该二面角为钝角，7∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．…………… 12分 20.，得2=a ， 得32=b ， 所以椭圆的方程为13422=+y x .…………（4分）（II ）由直线l 与圆O ，即221k m +=，…………（5分）设()()2211,,,y x B y x A ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,13422m kx y y x 消去y ，整理得(),0124843222=-+++m kmx xk由题意可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以2221221124,8m x x km xx -=⋅-=+.…………（7分） （9分） （12分） 21解：（1）xa x x x a x a x a x a x x f ))(2(2)2()2(2)(2+-=--+=-+-=' )0(>x ①当0=a 时，2)(-='x x f ，由0)(>'x f 得2>x ，0)(<'x f 得20<<x②当02<<-a 时，由0)(>'x f 得a x -<<0或2>x ，由0)(<'x f 得2<<-x a ； ③当2-=a 时，0)(≥'x f 恒成立；④当2-<a 时，由0)(>'x f 得20<<x 或a x ->，由0)(<'x f 得a x -<<2；....5分 综上，当0=a 时，)(x f 在)2,0(单调递减；在),2(+∞上单调递增；当02≤<-a 时，)(x f 在),0(a -和),2(+∞上单调递增；在)2,(a -上单调递减； 当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增；当2-<a 时，)(x f 在)2,0(和),(+∞-a 上单调递增；在),2(a -上单调递减 .....6分8（2）∵12x x >，∴)()()(1212x x a x f x f ->-，1122)()(ax x f ax x f ->-令x x a x ax x f x g 2ln 221)()(2--=-= ......8分 xax x a x x x a x x g 21)1(2222)(22---=--=--=' 要使)()(12x g x g >，只要)(x g 在),0(+∞上为增函数，即0)(≥'x g 在),0(+∞上恒成立，因此021≥--a ，即21-≤a故存在实数1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x >，有2121()()f x f x a x x ->-恒成立 ………………12分22．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (， 圆的极坐标方程为θρsin 6=. ………5分（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=， 127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅= ………10分23． 解：（Ⅰ） 函数的定义域为R ，6)4()2(42=--+≥-++x x x x ，6≤∴m .………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知6=n ，由柯西不等式知，47a b +=141(47)()6532a b a b a b ++++1[(5)(32)]6a b a b =+++413()5322a b a b +≥++， 当且仅当15,2626a b ==时取等号，47a b ∴+的最小值为23. ………10分9天府名校大联考（一）参考答案一．选择题：1-5 ＡD ＣＤＡ 6-10 ＢＣC ＤＡ 11-12 ＢB 二．填空题：13．640- 1415．1(0,)2⎤⎥⎝⎦16. ①②④⑤三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．解答：（Ⅰ）12sin (sin cos )sin sin 2B C C A C +⋅=+，sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，sin cos sin sin B C B C C =+，cos 1B B =+，所以2sin()16-=B π，得3=B π． ………6分（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =，由（Ⅰ）知3=B π，,AD AC ∴=∴=，由正弦定理知，4sin x BAC =∠，得sin BAC ∠=. ………12分解法二：由（Ⅰ）知3=B π，又M 为BC 中点，2a BM MC ∴==，在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+- 222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-3,2a c b ∴=∴=，由正弦定理知，sin a BAC =∠sin BAC ∠= 18.解：（1）甲小组做了三次实验，至少两次成功的概率277)31(32)31()(333223=+=C C A P （2）乙小组在4次成功前，共进行了6次实验，其中3次成功，3次失败，且恰好有两次连续失败，其中各种可能情况数为1224=A ，因此所求概率32321)21()21(12)(33=⨯⨯⨯=B P ………6分（3）由题意4,3,2,1,0=ξ91)21()32()31()0(2022003=⋅==C C P ξ1031)21()32()21(3231)1(21220220212=⋅+⋅⋅==C C C C P ξ3613)21()32()21(3231)21()31()2(222121222=⋅+⋅⋅+⋅==C C P ξ61)21(3231)21()31()3(2122122=⋅⋅+⋅==C C P ξ 361)21()31()4(22===ξP 故ξ的分布列为：35361461336132311=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 2分19． 解（I ）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y、z 轴建系．………………1分 则BC =AC =2，A 1O ==， 易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，）， B 1（，﹣，），……………2分=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），……………………4分∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1，又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC =O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ；……………………6分 （II ）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x，y ，z ）， 由，得，取z =1，得=（，0，1），…7分设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z =1，得=（0，，1），…8分∴cos ＜，＞===，………10分 又∵该二面角为钝角，11∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．…………… 12分20.，得2=a ，得32=b ， 所以椭圆的方程为13422=+y x .…………（4分） （II ）由直线l 与圆O ，即221k m +=，…………（5分） 设()()2211,,,y x B y x A ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,13422m kx y y x 消去y ，整理得(),0124843222=-+++m kmx x k由题意可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以2221221124,8m x x km xx -=⋅-=+.…………（7分） （9分） （12分） 21解：（1）xa x x x a x a x a x a x x f ))(2(2)2()2(2)(2+-=--+=-+-=' )0(>x ①当0=a 时，2)(-='x x f ，由0)(>'x f 得2>x ，0)(<'x f 得20<<x②当02<<-a 时，由0)(>'x f 得a x -<<0或2>x ，由0)(<'x f 得2<<-x a ； ③当2-=a 时，0)(≥'x f 恒成立；④当2-<a 时，由0)(>'x f 得20<<x 或a x ->，由0)(<'x f 得a x -<<2；....5分 综上，当0=a 时，)(x f 在)2,0(单调递减；在),2(+∞上单调递增；当02≤<-a 时，)(x f 在),0(a -和),2(+∞上单调递增；在)2,(a -上单调递减； 当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增；当2-<a 时，)(x f 在)2,0(和),(+∞-a 上单调递增；在),2(a -上单调递减 .....6分12（2）∵12x x >，∴)()()(1212x x a x f x f ->-，1122)()(ax x f ax x f ->- 令x x a x ax x f x g 2ln 221)()(2--=-= ......8分 xa x x a x x x a x x g 21)1(2222)(22---=--=--=' 要使)()(12x g x g >，只要)(x g 在),0(+∞上为增函数，即0)(≥'x g 在),0(+∞上恒成立，因此021≥--a ，即21-≤a 故存在实数1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x >，有2121()()f x f x a x x ->-恒成立 ………………12分22．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (， 圆的极坐标方程为θρsin 6=. ………5分（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=，127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅= ………10分23． 解：（Ⅰ） 函数的定义域为R ，6)4()2(42=--+≥-++x x x x ，6≤∴m .………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知6=n ，由柯西不等式知，47a b +=141(47)()6532a b a b a b ++++ 1[(5)(32)]6a b a b =+++413()5322a b a b +≥++， 当且仅当15,2626a b ==时取等号， 47a b ∴+的最小值为23. ………10分。