2018届四川省天府教育大联考高三高考热身卷(三)理科数学试题及答案

四川省高中2018届毕业班高考热身卷（三）数学（理工类）考试范围：数学高考内容 考试时间：120分钟题号 I 卷 II 卷 总分 得分注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。

第一卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上作答无效．．．．．．．．。

时间珍贵，请考生合理安排！ 第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i 是虚数单位，复数iiz -=12,则=z A.21B.1C.2D.2-2. 集合{}042＜-=x x A ,{}x y y B 2==,则=⋂)(B C A RA.]0,2(-B.)2,2(-C.)2,0(D.)4,2(3. 已知向量)4,3(-=a ,则与向量a 垂直的单位向量是A.)54,53(±B.)53,54(±C.)53,54(- D.)53,54(4. 下列命题中,真命题的是A.R a ∈∀,函数)(2)(2R x ax x x f ∈+=是偶函数B.R a ∈∀,函数)(2)(2R x ax x x f ∈+=是奇函数C.R a ∈∃,函数)(2)(23R x ax x x f ∈+=是偶函数D.R a ∈∃,函数)(2)(23R x ax x x f ∈+=是奇函数 5. 72)11)(2(-+xx 的展开式的常数项是A.-2B.-8C.-10D.-126. 将函数)(x f y =图像上各点的横坐标缩小为原来的21倍，纵坐标不变;再将所得图像向左平移6π个单位,得到函数x y sin =的图像,则函数)(x f 的解析式是 A.)621sin()(π-=x x f B.)1221sin()(π-=x x fC.)62sin()(π-=x x f D.)32sin()(π-=x x f7. 在下图所示的程序框图中,若程序运行结果输出S 的值为720,则判断框中应填入关于k 的条件是A.?6=kB.?5≤kC.？＜5kD.？＞5k8. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个腰长为2的 等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是A.36πB.9πC.π89D.π8279. 过双曲线1222=-b y x Ω：的左顶点A 作倾斜角为4π的直线l ,若直线l与双曲线Ω的两条渐进线分别相交于B 、C ,且AB BC =,则双曲线Ω的离心率是 A.10 B.5 C.310D.2510.定义⎩⎨⎧≤=),()(),(),()(),()](),(min[x g x f x g x g x f x f x g x f ＞若函数s tx x x f ++=2)(的图像经过两点)0,(),0,(21x x ,且存在整数m ,使得121+m x x m ＜＜＜成立,则 A.41)]1(),(min[=+m f m f B.41)]1(),(min[≥+m f m fC.41)]1(),(min[＜+m f m fD.41)]1(),(min[＞+m f m f第II 卷（非选择题，共100分）注意事项：1.请用0.5mm 的黑色签字笔在第II 卷答题卡作答，不能答在此试卷上.2.试卷中横线及框内标有“▲”的地方，是需要你在第II 卷答题卡上作答的内容或问题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若32)sin(=-πα,)0,2(πα-∈,则=αtan ▲ .12. 6名学生站成一排拍毕业照,其中学生甲、乙之间恰好有一人的概率是 ▲ .13. 抛物线x y 42=上的动点P 与圆015822=+-+x y x 上的动点Q 距离的最小值为▲ .14. 已知函数x x x f sin 2)(+-=,实数b a ,满足不等式0)2()2(22≤-+-b b f a a f ,点)2,1(M ,),(b a N ,O 为坐标原点,当40≤≤a 时,ON OM ∙的取值范围是 ▲ .15. 已知定义在[)+∞,1上的函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=，＞2),2(21,21,1284)(x xf x x x f 给出以下几个结论：①函数)(x f 的值域为[]4,0； ②函数)(1)(2*∈-=N n x f y x 有42+n 个零点；③当[])(2,21*-∈∈N n x n n 时,)(x f 的图像与x 轴围成的面积薇2； ④),1[0+∞∈∃x ,06)(00＞-x f x . 其中正确结论的序号是 ▲ .三、解答题（本大题共6小题满分75分） 16.（本小题满分12分）已知向量)cos ,(cos ),1,sin 3(2x x n x m =-=,函数21)(+∙=n m x f .（I ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ,33)(=x f ,求x 2cos 的值； （II ）在△ABC 中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足a c Ab 32cos 2-≤,求)(B f 的取值范围.17.（本小题满分12分）甲、乙两名同学参加“成语大赛”的选拔测试,在相同测试条件下,两人6次测试的成绩（单位：分）如下表：学生 第1次第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 甲 56 57 69 76 91 92 乙668170888693（I ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图,你认为选派谁参赛更好？请说明理由；（II ）若从甲、乙两人6次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,在抽到的两个成绩中,设90分以上的个数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望)(X E . 18.（本小题满分12分）在数列{}n a 中,前n 项和为n S ,0＞n a ,n n n a a S +=22. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设n nn a b 2=,数列{}n b 前n 项和为n T ,求n T 的取值范围. 19.（本小题满分12分）如图,在三棱柱111C B A ABC -中,1AA CA BC AB ===,且⊥1AA 平面ABC,D 是AB 的中点.（I ）求证：//1BC 平面CD A 1；（II ）试在棱1AA 上确定一点E ,使平面⊥E C B 11CD A 1,并在此条件下,求直线E B 1与平面E BC 1所成角的正弦值.20.（本小题满分13分）如图,已知圆8)1(:22=++y x E ,点)0,1(F ,P 是圆E 上任意一点,线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .（I ）求动点Q 的轨迹ℑ的方程；（II ）若直线m kx y l +=:与圆1:22=+y x O 相切,并与（I ） 中的轨迹ℑ交于不同的两点B A ,.当λ=∙OB OA ,且满足4332≤≤λ时,求△AOB 面积S 的取值范围.21.（本小题满分14分）函数)(,1ln )(R a ax x x f ∈+-=.（I ）当2=a 时,求函数)(x f 在1=x 处的切线方程; （II ）讨论函数)(x f 的单调性;（III ）若函数)(x f 有两个零点)(,2121x x x x ＜,求a 的取值范围,并证明111＜＜x e,且221＞x x +（其中e 是自然对数的底数）.四川省高中2018届毕业班高考热身卷（三）5数学(理工类)答案及评分参考评分说明：1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时,如果后部部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分50分.（1）C （2）A （3）B （4）D （5）D（6）A （7）B （8）C （9）A （10）C二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分25分. （11）552- （12）154 （13）132- （14）[]12,0 （15）①③三、解答题：共6小题75分.16.本小题主要考查三角函数的图像与性质、同三角函数的关系、两角和的正（余弦）公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想.解：（I ）)62sin(21cos cos sin 3)(2π-=+-=x x x x x f .......2分由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 得3626πππ≤-≤-x . 由033)62sin()(＞=-=πx x f 得36)62cos(=-πx 则6322)62sin(sin 21)62cos(23)662cos(2cos -=---=+-=ππππx x x x ....6分 （II ）由ac A bc 32cos 2-≤得ac bca cb b 3222222-≤-+∙即ac b c a 3222≥-+所以232222≥-+ac b a c ，即23cos ≥B 从而得60π≤B ＜即6426πππ≤--B ＜ 故(]5.0,5.0)62sin()(-∈-=πB B f ..........12分17..本小题主要考查相互独立事件、茎叶图、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.解：（I ）茎叶图如下图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此要选择乙参赛是极好的。

................................4分（II ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. 故3620)0(16161514===C C C C X P ，3614)1(1616141512=+==C C C C C X P ，362)2(161612===C C C X P .随机变量X 的分布列是：X 0 1 2P 20361436 236则随机变量X的数学期望2136223614136200)(=⨯+⨯+⨯=X E ...................12分 18.本小题考查等差数列、等比数列及常见数列模型等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合等思想.解：（I ）当1=n 时，1212222=⇒+=a a a S . 由nn n a a S +=22，知2≥n 时，12112---+=n n n a a S ............3分两式相减得12121)(2-----+=-n n n n n n a a a a S S 则01212=-----n n n n a a a a ...4分所以0))(1(11=+----n n n n a a a a ，又0＞n a ，∴11=--n n a a故数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，其通项公式是n a n =..6分（II ）由（I ）得nn nT 2 (232221)32++++=，则14322...23222121+++++=n n n T . 两式子相减得nn n T 222+-=.............................................................................8分∴nn n T 222+-= 由于02111＞+++=-n n n n T T 则n T 单调递增，故211=≥T T n ，又2212＜n n n T +-=∴nT 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,21 ................................12分19.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力.解：（I ）方法一：连接1AC 于1CA 交于点F ，则F 为1AC 中点.∵D 为AB 中点，∴1//BC F . 又⊂DF 平面CD A 1,⊄1BC 平面CD A 1. ∴//1BC 平面CD A 1.方法二：棱11B A 的中点1D ，连结1BD ，11D C .如图，四边形11D BDA 是平行四边形，则11//DA BD . 又⊥CD 平面11A ABB ，⊥11D C 平面11A ABB . 则CD D C //11，所以平面//11D BC 平面CD A 1. 又⊂1BC 平面11D BC . 所以//1BC 平面CD A 1.......................................................................................6分（II ）方法一：当E 是棱1AA 的中点时，平面⊥E C B 11平面CD A 1. 由E A AD 1=,111B A AA =,111B EA DAA ∠=∠,得△1DAA 全等于△11B EA . 所以111A EB A DA ∠=∠，则︒=∠+∠=∠+∠901111111A EB EB A A DA EB A 所以D A E B 11⊥.又⊥CD 平面11A ABB ，则CD E B ⊥1,故⊥E B 1平面CD A 1 则平面⊥E C B 11平面CD A 1. .............8分不妨设2=AB ，解得511===E C BD BE ,221=BC . 设点1B 到平面E BC 1的距离为d ，由111131331D C S S C BE E BC ∙=∙△△.得3222131)2()5(22213122⨯⨯⨯⨯=∙-⨯⨯⨯d ，解得2=d .........10分设直线E B 1与平面E BC 1所成的角为α，则51052sin ==α，即直线E B 1与平面E BC 1所成角的正弦值为510...12分 方法二：连接1DD 可知DC DD DA ,,1两两垂直，分别以DC DD DA ,,1为z y x ,,轴建立空间直角坐标系xyz D -。