离散数学耿素云第5版51共28页文档
合集下载
高教离散数学修订版耿素云屈婉玲Part数理逻辑部分
高教离散数学修订版耿素云屈婉玲 part数理逻辑部分
目录
• 数理逻辑基本概念 • 谓词逻辑基础 • 形式系统基本概念 • 命题演算系统PCN • 谓词演算系统QCN • 数理逻辑在离散数学中应用
01 数理逻辑基本概念
命题与逻辑联结词
命题
01
一个可以判断真假的陈述句称为命题。
逻辑联结词
02
用来连接命题，形成复合命题的词语，如“且”、“或”、“
其他领域数理逻辑应用
计算机科学中的数理逻辑
数理逻辑在计算机科学中具有广泛的应用，如命题逻辑和谓词逻辑在程序设计和软件测试中的应用，以及数 理逻辑在人工智能和数据库等领域的应用。
物理学中的数理逻辑
数理逻辑在物理学中也有一定的应用，如量子力学中的逻辑结构和推理规则，以及数理逻辑在相对论和统计 力学等领域的应用。
推理规则
在谓词逻辑中，常用的推理规则 有假言推理、拒取式、析取三段 论、双条件推理等。这些规则可 以用于推导新的命题或证明某个 命题的正确性。
量词消去规则
在推理过程中，有时需要消去量 词，以便更方便地处理命题。全 称量词消去规则是将∀xP(x)转化 为P(a)，其中a是个体域中的任意 个体；存在量词消去规则是将 ∃xP(x)转化为P(c)，其中c是个体 域中满足P的某个个体。
PCN中重言式和矛盾式判定方法
01
重言式（Tautology）是指在所 有赋值下都为真的命题公式，如 P∨¬P。
02
矛盾式（Contradiction）是指 在所有赋值下都为假的命题公式， 如P∧¬P。
03
判定重言式和矛盾式的方法包 括真值表法、等价变换法和主 析取范式法等。
PCN中推理规则和证明方法
社会科学中的数理逻辑
目录
• 数理逻辑基本概念 • 谓词逻辑基础 • 形式系统基本概念 • 命题演算系统PCN • 谓词演算系统QCN • 数理逻辑在离散数学中应用
01 数理逻辑基本概念
命题与逻辑联结词
命题
01
一个可以判断真假的陈述句称为命题。
逻辑联结词
02
用来连接命题，形成复合命题的词语，如“且”、“或”、“
其他领域数理逻辑应用
计算机科学中的数理逻辑
数理逻辑在计算机科学中具有广泛的应用，如命题逻辑和谓词逻辑在程序设计和软件测试中的应用，以及数 理逻辑在人工智能和数据库等领域的应用。
物理学中的数理逻辑
数理逻辑在物理学中也有一定的应用，如量子力学中的逻辑结构和推理规则，以及数理逻辑在相对论和统计 力学等领域的应用。
推理规则
在谓词逻辑中，常用的推理规则 有假言推理、拒取式、析取三段 论、双条件推理等。这些规则可 以用于推导新的命题或证明某个 命题的正确性。
量词消去规则
在推理过程中，有时需要消去量 词，以便更方便地处理命题。全 称量词消去规则是将∀xP(x)转化 为P(a)，其中a是个体域中的任意 个体；存在量词消去规则是将 ∃xP(x)转化为P(c)，其中c是个体 域中满足P的某个个体。
PCN中重言式和矛盾式判定方法
01
重言式（Tautology）是指在所 有赋值下都为真的命题公式，如 P∨¬P。
02
矛盾式（Contradiction）是指 在所有赋值下都为假的命题公式， 如P∧¬P。
03
判定重言式和矛盾式的方法包 括真值表法、等价变换法和主 析取范式法等。
PCN中推理规则和证明方法
社会科学中的数理逻辑
离散数学(第5版)耿素云10.4
10.4 图灵机
图灵机的基本模型
图灵机接受的语言
——递归可枚举语言
用图灵机计算函数
——部分可计算函数与可计算函数
1
问题的提出
1900年 D. Hilbert 在巴黎第二届数学家大会上提出 著名的23个问题. 第10个问题:如何判定整系数多项式是否有整数根? 要求使用“有限次运算的过程” 1970 年证明不存在这样的判定算法, 即这个问题是 不可判定的, 或不可计算的.
13
递归函数
定义 设f 是N上的m元部分函数, 如果图灵机M计算f 的 一进制表示, 即M的输入字母表为{1},x1,…,xmN, 从初始格局 0= q01x1 B1x2 B1xm B 开始, 若f(x1,…,xm) =y, 则M的计算停机, 且停机时带的内容(不计{1}以 外的字符)为1y; 若f(x1,…, xm), 则M永不停机, 那么 称M以一进制方式计算f. 定义 图灵机M以一进制方式计算的N上的m元部分函 数称作部分递归函数, 或部分可计算函数; 部分递归 的全函数称作递归函数, 或可计算函数.
已经证明这些模型都是等价的, 即它们计算 的函数类 (识别的语言类) 是相同的. Church-Turing论题: 直观可计算的函数类 就是图灵机以及任何与图灵机等价的计算模 型可计算 (可定义) 的函数类
4
图灵机的基本模型
控制器
定义 图灵机(TM) M=Q,,,,q0,B,A , 其中 (1) 状态集合Q: 非空有穷集合; (2) 输入字母表: 非空有穷集合; (3) 带字母表: 非空有穷集合且 ; (4) 初始状态 q0Q;
w, 若x w00 例1(续) M计算函数: x{0,1}*, f ( x ) w1, 若x w10 , 否则
图灵机的基本模型
图灵机接受的语言
——递归可枚举语言
用图灵机计算函数
——部分可计算函数与可计算函数
1
问题的提出
1900年 D. Hilbert 在巴黎第二届数学家大会上提出 著名的23个问题. 第10个问题:如何判定整系数多项式是否有整数根? 要求使用“有限次运算的过程” 1970 年证明不存在这样的判定算法, 即这个问题是 不可判定的, 或不可计算的.
13
递归函数
定义 设f 是N上的m元部分函数, 如果图灵机M计算f 的 一进制表示, 即M的输入字母表为{1},x1,…,xmN, 从初始格局 0= q01x1 B1x2 B1xm B 开始, 若f(x1,…,xm) =y, 则M的计算停机, 且停机时带的内容(不计{1}以 外的字符)为1y; 若f(x1,…, xm), 则M永不停机, 那么 称M以一进制方式计算f. 定义 图灵机M以一进制方式计算的N上的m元部分函 数称作部分递归函数, 或部分可计算函数; 部分递归 的全函数称作递归函数, 或可计算函数.
已经证明这些模型都是等价的, 即它们计算 的函数类 (识别的语言类) 是相同的. Church-Turing论题: 直观可计算的函数类 就是图灵机以及任何与图灵机等价的计算模 型可计算 (可定义) 的函数类
4
图灵机的基本模型
控制器
定义 图灵机(TM) M=Q,,,,q0,B,A , 其中 (1) 状态集合Q: 非空有穷集合; (2) 输入字母表: 非空有穷集合; (3) 带字母表: 非空有穷集合且 ; (4) 初始状态 q0Q;
w, 若x w00 例1(续) M计算函数: x{0,1}*, f ( x ) w1, 若x w10 , 否则
离散数学第五版耿素云屈婉玲张立昂编著
7
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
35
9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
24
9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
35
9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
24
9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
上课用课件离散—耿素云
1.2 命题公式及其赋值 p q r 例（ 1 ） (2)r q p q p
定义5.公式A， 1)若A在所有赋值下的取值均为真，则称A为永真式； 2）若A在所有赋值下的取值均为假，则称A为永假式； 3）若至少有一组赋值使A的值为真，则称A为可满足式。
2.1 命题公式的等值式
例：（p q)与p q p (q r ),( p q) r,( p q) r
基本等值式（A，B，C为任意命题公式）
交换律：A B A B, A B B A 结合律：A B C A B C , A B C A B C 分配律：A B C A B A C A B C A B A C
是自然语言中的“如果 ，则”，“若，则” 的逻辑抽象。
有位父亲对儿子说：“如果我 去书店，就一定给你买电脑 报“。问：在什么情况下，
p F F T T
q F T F T
p q T T F T
父亲算失信呢？
1.1 命题和命题联结词
注意：①“只要p，就q„，’因为p，所以q”，“p仅当q”， ‘只有q，才p“，”除非q才p“，”除非q，否则非p“都可 抽象为p→q。 ②p，q可以没有任何内在联系。 例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
1.2 命题公式及其赋值
定义4.将公式A在其全部赋值下的真值情况列成表， 称为A的真值表。
真值表的构造步骤： （ 1）若公式F 共有（ n n 1)个变元，则真值表第一行的n个 变元，公式写在第n 1列。 （2）写出n个变元的所有可能取值（2n 种）,按从低到高的 顺序写出公式的各层次。 （3）在不同赋值下求出各层次的真值及F的真值。
离散数学(第5版)耿素云9.2
7
积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1S2,∙>,
<x1,y1>, <x2,y2>S1S2 , <x1,y1> ∙ <x2,y2>=<x1ox2, y1y2>
例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), ∙ >, 积代数< ZM2(R),o> <z1,M1>, <z2,M2>ZM2(R) , <z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1∙M2>
实例 N是<Z,+> 和<Z,+,0>的子代数. N{0}是 <Z,+>的子代数，但不是<Z,＋,0>的子代数
说明： 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统 V ，其子代数一定存在.
6
关于子代数的术语
最大的子代数 就是V 本身. 如果V 中所有代数常数 构成集合 B，且 B 对V 中所有运算封闭，则 B 就 构成了V 的最小的子代数. 最大和最小子代数称为V 的平凡的子代数. 若 B 是 S 的真子集，则 B 构成 的子代数称为V 的真子代数 . 例2 设V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然 数，则 nZ 是 V 的子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子 代数.
设 V1=<S1, ∘,∙, ∆>和 V2=<S2,, ◊, ∇>是代数系统， 其中∘ 和 是二元运算. ∆ 和 ∇是一元运算， f: S1S2, 且x,yS1
积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1S2,∙>,
<x1,y1>, <x2,y2>S1S2 , <x1,y1> ∙ <x2,y2>=<x1ox2, y1y2>
例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), ∙ >, 积代数< ZM2(R),o> <z1,M1>, <z2,M2>ZM2(R) , <z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1∙M2>
实例 N是<Z,+> 和<Z,+,0>的子代数. N{0}是 <Z,+>的子代数，但不是<Z,＋,0>的子代数
说明： 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统 V ，其子代数一定存在.
6
关于子代数的术语
最大的子代数 就是V 本身. 如果V 中所有代数常数 构成集合 B，且 B 对V 中所有运算封闭，则 B 就 构成了V 的最小的子代数. 最大和最小子代数称为V 的平凡的子代数. 若 B 是 S 的真子集，则 B 构成 的子代数称为V 的真子代数 . 例2 设V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然 数，则 nZ 是 V 的子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子 代数.
设 V1=<S1, ∘,∙, ∆>和 V2=<S2,, ◊, ∇>是代数系统， 其中∘ 和 是二元运算. ∆ 和 ∇是一元运算， f: S1S2, 且x,yS1
离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
称+(G)，+(G)，－(G)，－(G)分别为G的最大出度、 最小出度、最大入度和最小入度。
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
离散数学屈婉玲_耿素云_张立昂第5章_高教详解
21Biblioteka 量词消去引入规则4. 存在量词引入消去规则(+) A(y) xA(x) A(c) xA(x) 或 BA(y) BxA(x) BA(c) BxA(x)
或
其中x,y是个体变项符号, c是个体常项符号, 且在A中y和c不在 x和x的辖域内自由出现. A(x)B 3. 存在量词消去规则(-) xA(x)B
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
主要内容 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式 自然推理系统NL 及其推理规则
1
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
定义5.1 设A, B是两个谓词公式, 如果AB是永真式, 则称A 与B等值, 记作AB, 并称AB是等值式 基本等值式 第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 例如，xF(x)xF(x), xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等 第二组 (1) 消去量词等值式 设D ={a1, a2, … , an} ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an)
3
命题逻辑的基本等值式（2）
零律 同一律 排中律 矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式 假言易位 等价否定等值式 归谬论 A11, A00 A0A. A1A AA1 AA0 ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB) A
例如， x(F(x)G(x)) xy(F(x)(G(y)H(x,y))) 是前束范式 而 x(F(x)G(x)) x(F(x)y(G(y)H(x,y))) 不是前束范式
14
前束范式存在定理
定理5.1（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
离散数学(修订版)-耿素云
例如 A = { a, b, c, …, z } Z = { 0, ±1, ±2, … }
谓词表示法: 用谓词来概括集合中元素的属性. 例如:B = { x | x R 且 x2 - 1 = 0 } 集合B表示方程x2 - 1 = 0的实数解集.
图示法:用一个圆来表示, 圆中的点表示集合中的元素. 许多集合可用两种方法来表示, 如: B = { -1, 1 }. 有些集合不能用列元素法表示, 如: 实数集合, 不能列举出
6.2 集合的运算
中山大学计算机科学系
18
集合的基本运算有并(Union), 交(Intersection)和相对
补(Relative Complement).
定义6.7 设A和B为集合, A与B的并集A∪B, 交集A∩B, B对A
的相对补集A-B分别定义如下:
A∪B = { x | x A∨x B }
常用的集合名称:
N: 自然数集合(本课程中认为0也是自然数)
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合
C: 复数集合
6.1 集合的基本概念
中山大学计算机科学系
10
集合有三种表示方法:列元素法、谓词表示法和图示法.
列元素法:列出集合中的所有元素, 各元素之间用逗号隔开, 并 把它们用花括号括起来.
《离散数学》(修订版) 耿素云、屈婉玲, 高等教育出版社, 2004年
教学参考书
《离散数学》
王兵山、王长英、周贤林、何自强编, 国防科技大学出版社, 1985年
《离散数学》
檀凤琴、何自强编著, 科学出版社, 1999年
《离散数学》
孙吉贵、杨凤杰、欧阳丹彤和李占山, 高等教育出版社, 2002年
《离散数学》
谓词表示法: 用谓词来概括集合中元素的属性. 例如:B = { x | x R 且 x2 - 1 = 0 } 集合B表示方程x2 - 1 = 0的实数解集.
图示法:用一个圆来表示, 圆中的点表示集合中的元素. 许多集合可用两种方法来表示, 如: B = { -1, 1 }. 有些集合不能用列元素法表示, 如: 实数集合, 不能列举出
6.2 集合的运算
中山大学计算机科学系
18
集合的基本运算有并(Union), 交(Intersection)和相对
补(Relative Complement).
定义6.7 设A和B为集合, A与B的并集A∪B, 交集A∩B, B对A
的相对补集A-B分别定义如下:
A∪B = { x | x A∨x B }
常用的集合名称:
N: 自然数集合(本课程中认为0也是自然数)
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合
C: 复数集合
6.1 集合的基本概念
中山大学计算机科学系
10
集合有三种表示方法:列元素法、谓词表示法和图示法.
列元素法:列出集合中的所有元素, 各元素之间用逗号隔开, 并 把它们用花括号括起来.
《离散数学》(修订版) 耿素云、屈婉玲, 高等教育出版社, 2004年
教学参考书
《离散数学》
王兵山、王长英、周贤林、何自强编, 国防科技大学出版社, 1985年
《离散数学》
檀凤琴、何自强编著, 科学出版社, 1999年
《离散数学》
孙吉贵、杨凤杰、欧阳丹彤和李占山, 高等教育出版社, 2002年
《离散数学》
离散数学(第5版)耿素云9.2省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
5,
1 1
10
2,
2 0
11
3,
2 2
01
第8页8
积代数性质
设 V1 = <S1,o>和 V2 = <S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 积代数是 V=<S1S2,∙> (1) 若 o 和 运算是可交换，那么∙ 运算也是可交换 (2) 若 o 和 运算是可结合，那么∙ 运算也是可结合 (3) 若 o 和 运算是幂等，那么∙ 运算也是幂等 (4) 若 o 和 运算分别含有单位元 e1 和 e2，那么∙ 运算
实例 N是<Z,+> 和<Z,+,0>子代数. N{0}是<Z,+> 子代数，但不是<Z,＋,0>子代数
说明： 子代数和原代数是同种代数系统 对于任何代数系统 V ，其子代数一定存在.
第6页6
关于子代数术语
最大子代数 就是V 本身. 假如V 中全部代数常数组 成集合 B，且 B 对V 中全部运算封闭，则 B 就组 成了V 最小子代数. 最大和最小子代数称为V 平凡 子代数. 若 B 是 S 真子集，则 B 组成子代数称为V 真子代数 . 例2 设V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然 数，则 nZ 是 V 子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 平凡子代数，其它都是 V 非平凡真子代数.
第111页1
例题
例1 V=<R*,>, 判断下面哪些函数是V 自同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1
离散数学第五版第二章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
18 2021/3/10
2.2一阶逻辑合式公式及解释
3. 一阶语言的原子公式（定义2.3）
设R（x1,x2,……,xn）是任意的n元谓词，t1,t2,……,tn 是一阶语言的任意n个项，则称R(t1,t2,……,tn)是一阶 语言的原子公式。
例如：F（x）,G(y),H(x,y),L(x,y)
19 2021/3/10
的指导变项，该成另一个辖域中未曾出现过的个体变项符号，公 式中其余部分不变。
代替规则 对某个自由出现的个体变项用与原公式中所有个体变
项符号不同的变项符号去代替，且处处代替。
23
2021/3/10
2.2一阶逻辑合式公式及解释
三、解释 1. 定义2.7 ℱ 的解释I由下面4部分组成：
（a）非空个体域DI （b）DI中一些特定元素的集合 （c）DI上特定函数集合 （d）DI上特定谓词集合
17 2021/3/10
2.2一阶逻辑合式公式及解释
2. 一阶语言的项（定义2.2）
(1)个体常项和个体变项是项 (2)若（x1,x2,……,xn）是任意的n元函数，t1,t2,……，
tn是任意的n个项，则（t1,t2,……,tn）是项。 (3)所有的项都是有限次使用（1）,（2）得到的。
例如：a,b,x,y,f(x,y)=x+y,g(x,y)=x-y,h(x,y)=x*y， f(a,g(x,y))=a+(x-y) g(h(x,y),f(a,b))=x*y-(a+b)
2021/3/10
假命题
2）∃xG（x） 真命题 12
2.1一阶逻辑的基本概念
（4）说明：本书中，讨论命题符号化时，若没有指
明个体域，就采用全总个体域。
例4：将下列命题符号化，并讨论真值： 1) 凡是偶数均能被2整除。
2.2一阶逻辑合式公式及解释
3. 一阶语言的原子公式（定义2.3）
设R（x1,x2,……,xn）是任意的n元谓词，t1,t2,……,tn 是一阶语言的任意n个项，则称R(t1,t2,……,tn)是一阶 语言的原子公式。
例如：F（x）,G(y),H(x,y),L(x,y)
19 2021/3/10
的指导变项，该成另一个辖域中未曾出现过的个体变项符号，公 式中其余部分不变。
代替规则 对某个自由出现的个体变项用与原公式中所有个体变
项符号不同的变项符号去代替，且处处代替。
23
2021/3/10
2.2一阶逻辑合式公式及解释
三、解释 1. 定义2.7 ℱ 的解释I由下面4部分组成：
（a）非空个体域DI （b）DI中一些特定元素的集合 （c）DI上特定函数集合 （d）DI上特定谓词集合
17 2021/3/10
2.2一阶逻辑合式公式及解释
2. 一阶语言的项（定义2.2）
(1)个体常项和个体变项是项 (2)若（x1,x2,……,xn）是任意的n元函数，t1,t2,……，
tn是任意的n个项，则（t1,t2,……,tn）是项。 (3)所有的项都是有限次使用（1）,（2）得到的。
例如：a,b,x,y,f(x,y)=x+y,g(x,y)=x-y,h(x,y)=x*y， f(a,g(x,y))=a+(x-y) g(h(x,y),f(a,b))=x*y-(a+b)
2021/3/10
假命题
2）∃xG（x） 真命题 12
2.1一阶逻辑的基本概念
（4）说明：本书中，讨论命题符号化时，若没有指
明个体域，就采用全总个体域。
例4：将下列命题符号化，并讨论真值： 1) 凡是偶数均能被2整除。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14
多重图与简单图
定义 (1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关 联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的 条数称为重数.
(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同 的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称 平行边, 平行边的条数称为重数.
(3) 含平行边的图称为多重图. (4) 既无平行边也无环的图称为简单图.
注意:简单图是极其重要的概念
15
实例
e5和e6 是平行边 重数为2
不是简单图
e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7 不是平行边 不是简单图
16
图的同构
证 G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计 算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m度. 有向图的每条边提供一个入度 和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等 于边数.
推论 任意无向图和有向图的奇度顶点个数必为偶数.
11
图的度数列
设无向图G的顶点集V={v1, v2, …, vn} G的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:4,4,2,1,3
3
无向图
多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: AB={(x,y) | xAyB} 定义 无向图G=<V,E>, 其中 (1) 顶点集V是非空有穷集合,
其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集， 其元素称为无向边，简称边. 例如, G=<V,E>, 其中
V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
9
例
例 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,
+(D)=4, +(D)=0, (D)=3, (D)=1, (D)=5, (D)=3.
10
图论基本定理——握手定理
定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等 于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等 于出度之和等于边数.
定义 设无向图G=<V,E>, u,vV, e,eE, 若(u,v) E, 则称u,v 相邻; 若e,e至少有一个公共端点, 则称e,e相邻. 对有向图有类似定义. 设e=u,v是有向图的一条边,又称u是e 的始点, v是e的终点, u邻接到v, v邻接于u.
7
顶点的度数
设G=<V,E>为无向图, vV, v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
1
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
2
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
设有向图D的顶点集V={v1, v2, …, vn} D的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D的出度列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D的入度列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:5,3,3,3
出度列:4,0,2,1 入度列:1,3,1,2
握手定理的应用(续)
例3 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数 条棱的多面体.
证 用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G=<V,E>, 其中V={v | v为多面体的面},
E={(u,v) | u,vV u与v有公共的棱 uv}. 根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握 手定理的推论矛盾.
G的最大度(G)=max{d(v)| vV} G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
8
顶点的度数(续)
设D=<V,E>为有向图, vV, v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和 v的入度d(v): v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
4
有向图
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1)顶点集V是非空有穷集合,
其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集，其
元素称为有向边，简称边. D的基图:用无向边代替有向边
如D=<V,E>, 其中 V={a,b,c,d} E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<c,b>,<d,c>,<c,d>} 图的数学定义与图形表示,在同构意义下一一对应
5
无向图与有向图(续)
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图. V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集. n 阶图: n个顶点的图 零图: E= 平凡图: 1 阶零图 空图: V=
6
顶点和边的关联与相邻
定义 设e=(u,v)是无向图G=<V,E>的一条边, 称u,v为e的端点, e与u ( v)关联. 若u v, 则称e与u ( v)的关联次数为1;若u=v, 则 称e为环, 此时称e与u 的关联次数为2; 若w不是e端点, 则称e与 w 的关联次数为0. 无边关联的顶点称作孤立点.
d(v)= d+(v)+ d-(v)
D的最大出度+(D) =max{d+(v)|vV} 最小出度+(D) =min{d+(v)|vV} 最大入度(D) =max{d(v)|vV} 最小入度(D) =min{d(v)|vV} 最大度(D) =max{d(v)|vV} 最小度(D) =min{d(v)|vV}
12
握手定理的应用
例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数列吗? 解 不可能. 它们都有奇数个奇数.
例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度 数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点? 解 设G有n个顶点. 由握手定理,
43+2(n-4)210 解Fra bibliotek n813
多重图与简单图
定义 (1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关 联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的 条数称为重数.
(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同 的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称 平行边, 平行边的条数称为重数.
(3) 含平行边的图称为多重图. (4) 既无平行边也无环的图称为简单图.
注意:简单图是极其重要的概念
15
实例
e5和e6 是平行边 重数为2
不是简单图
e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7 不是平行边 不是简单图
16
图的同构
证 G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计 算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m度. 有向图的每条边提供一个入度 和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等 于边数.
推论 任意无向图和有向图的奇度顶点个数必为偶数.
11
图的度数列
设无向图G的顶点集V={v1, v2, …, vn} G的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:4,4,2,1,3
3
无向图
多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: AB={(x,y) | xAyB} 定义 无向图G=<V,E>, 其中 (1) 顶点集V是非空有穷集合,
其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集， 其元素称为无向边，简称边. 例如, G=<V,E>, 其中
V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
9
例
例 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,
+(D)=4, +(D)=0, (D)=3, (D)=1, (D)=5, (D)=3.
10
图论基本定理——握手定理
定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等 于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等 于出度之和等于边数.
定义 设无向图G=<V,E>, u,vV, e,eE, 若(u,v) E, 则称u,v 相邻; 若e,e至少有一个公共端点, 则称e,e相邻. 对有向图有类似定义. 设e=u,v是有向图的一条边,又称u是e 的始点, v是e的终点, u邻接到v, v邻接于u.
7
顶点的度数
设G=<V,E>为无向图, vV, v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
1
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
2
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
设有向图D的顶点集V={v1, v2, …, vn} D的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D的出度列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D的入度列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:5,3,3,3
出度列:4,0,2,1 入度列:1,3,1,2
握手定理的应用(续)
例3 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数 条棱的多面体.
证 用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G=<V,E>, 其中V={v | v为多面体的面},
E={(u,v) | u,vV u与v有公共的棱 uv}. 根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握 手定理的推论矛盾.
G的最大度(G)=max{d(v)| vV} G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
8
顶点的度数(续)
设D=<V,E>为有向图, vV, v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和 v的入度d(v): v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
4
有向图
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1)顶点集V是非空有穷集合,
其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集，其
元素称为有向边，简称边. D的基图:用无向边代替有向边
如D=<V,E>, 其中 V={a,b,c,d} E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<c,b>,<d,c>,<c,d>} 图的数学定义与图形表示,在同构意义下一一对应
5
无向图与有向图(续)
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图. V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集. n 阶图: n个顶点的图 零图: E= 平凡图: 1 阶零图 空图: V=
6
顶点和边的关联与相邻
定义 设e=(u,v)是无向图G=<V,E>的一条边, 称u,v为e的端点, e与u ( v)关联. 若u v, 则称e与u ( v)的关联次数为1;若u=v, 则 称e为环, 此时称e与u 的关联次数为2; 若w不是e端点, 则称e与 w 的关联次数为0. 无边关联的顶点称作孤立点.
d(v)= d+(v)+ d-(v)
D的最大出度+(D) =max{d+(v)|vV} 最小出度+(D) =min{d+(v)|vV} 最大入度(D) =max{d(v)|vV} 最小入度(D) =min{d(v)|vV} 最大度(D) =max{d(v)|vV} 最小度(D) =min{d(v)|vV}
12
握手定理的应用
例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数列吗? 解 不可能. 它们都有奇数个奇数.
例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度 数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点? 解 设G有n个顶点. 由握手定理,
43+2(n-4)210 解Fra bibliotek n813