离散数学耿素云第5版
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离散数学-耿素云PPT(第5版)7.1-2
32
用2叉有序树表示算式
每一个分支点放一个运算符. 二元运算符所在的分 支点有2个儿子, 运算对象是以这2个儿子为根的根 子树表示的子表达式, 并规定被减数和被除数放在 左子树上; 一元运算符所在的分支点只有一个儿 子, 运算对象是以这个儿子为根的根子树表示的子 表达式.数字和变量放在树叶上.
33
14
基本割集的性质
连通图中的任一割集都可以表成对应它所含树枝的 基本割集的对称差. 例如 {g,d}=Sd {a,b,e}=SaSb {a,e,c}=SaSc {b,e,f,d}=SbSd
15
无向图与最小生成树
对无向图或有向图的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e 的权. 图连同附加在边上的权称作带权图, 记作G=<V,E,W>. 设T是G的生成树, T所有边的权的和称作T的权, 记作W(T). 最小生成树: 带权图权最小的生成树 避圈法 (Kruskal) ——求最小生成树的算法 设G是n阶无向连通带权图G. (1) 按权从小到大排列边(环除外), 设W(e1)≤W(e2)≤…≤W(em). (2) 令T, i1, k0. (3) 若ei与T中的边不构成回路，则令TT{ei}, kk+1. (4) 若k<n-1, 则令ii+1, 转(3).
12
回路合并
合并回路C1和C2(C1C2): C1C2是C1和C2上的边的 对称差构成的(一条或几条)回路.
13
基本回路的性质
连通图中的任一条回路都可以表成对应它所含弦的 基本回路的合并. 例如, abcf=Cf aef=CeCf aedg=CeCg bcdgfe=CeCfCg
实例
例1 表示((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij))的2叉有序树
用2叉有序树表示算式
每一个分支点放一个运算符. 二元运算符所在的分 支点有2个儿子, 运算对象是以这2个儿子为根的根 子树表示的子表达式, 并规定被减数和被除数放在 左子树上; 一元运算符所在的分支点只有一个儿 子, 运算对象是以这个儿子为根的根子树表示的子 表达式.数字和变量放在树叶上.
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基本割集的性质
连通图中的任一割集都可以表成对应它所含树枝的 基本割集的对称差. 例如 {g,d}=Sd {a,b,e}=SaSb {a,e,c}=SaSc {b,e,f,d}=SbSd
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无向图与最小生成树
对无向图或有向图的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e 的权. 图连同附加在边上的权称作带权图, 记作G=<V,E,W>. 设T是G的生成树, T所有边的权的和称作T的权, 记作W(T). 最小生成树: 带权图权最小的生成树 避圈法 (Kruskal) ——求最小生成树的算法 设G是n阶无向连通带权图G. (1) 按权从小到大排列边(环除外), 设W(e1)≤W(e2)≤…≤W(em). (2) 令T, i1, k0. (3) 若ei与T中的边不构成回路，则令TT{ei}, kk+1. (4) 若k<n-1, 则令ii+1, 转(3).
12
回路合并
合并回路C1和C2(C1C2): C1C2是C1和C2上的边的 对称差构成的(一条或几条)回路.
13
基本回路的性质
连通图中的任一条回路都可以表成对应它所含弦的 基本回路的合并. 例如, abcf=Cf aef=CeCf aedg=CeCg bcdgfe=CeCfCg
实例
例1 表示((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij))的2叉有序树
离散数学耿素云第5版
D[{v1,v2
}]
}]
h
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
h
27
感谢下 载
(vi,vj)E1（<vi,vj>E1）当且仅当
(f(vi),f(vj))E2 （<f(vi),f(vj)>E2），
并且, (vi,vj)（<vi,vj>）与 (f(vi),f(vj))
（<f(vi),f(vj)>）
h
18
同构实例
例1 证明下述2对图是同构的
彼得森图
h
19
同构实例(续)
例2 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图
h
28
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, (G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
h
9
顶点的度数(续)
设D=<V,E>为有向图, vV,
v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和
v的入度d(v): v作为边的终点次数之和
v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
图论
h
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
h
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
离散数学-耿素云PPT(第5版)9.1
11
二元运算的性质
定义 设 ∘ 为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 x, y S 有 x ∘ y = y ∘ x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z ∈S 有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), 则称运算在 S 上满足结合律. (3) 如果对于任意的 x ∈ S 有 x ∘ x = x, 则称运算在 S 上满足幂等律.
an∘an
运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运算 （{a,b}为全集） 的运算表 ∼ 的运算表 {a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a} X ∼X {a} {b} {a} {a} {a.b} {b} {b} {a,b} {a,b} {a,b} {b} {a} {a,b} {a} {a} {b} {b} {a,b}
a ij R , i , j 1,2,..., n
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, .
(7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算∘.
5
f ： S S S S
例题分析
例6 设 ∘ 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, x∘y = x+y+2xy, (1) ∘运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 ∘ 运算的单位元、零元和所有可逆元. 解 (1) ∘ 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x ∘ y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x, 任取x, y, zQ, (x ∘ y) ∘ z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x ∘ (y ∘ z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz 23
二元运算的性质
定义 设 ∘ 为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 x, y S 有 x ∘ y = y ∘ x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z ∈S 有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), 则称运算在 S 上满足结合律. (3) 如果对于任意的 x ∈ S 有 x ∘ x = x, 则称运算在 S 上满足幂等律.
an∘an
运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运算 （{a,b}为全集） 的运算表 ∼ 的运算表 {a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a} X ∼X {a} {b} {a} {a} {a.b} {b} {b} {a,b} {a,b} {a,b} {b} {a} {a,b} {a} {a} {b} {b} {a,b}
a ij R , i , j 1,2,..., n
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, .
(7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算∘.
5
f ： S S S S
例题分析
例6 设 ∘ 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, x∘y = x+y+2xy, (1) ∘运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 ∘ 运算的单位元、零元和所有可逆元. 解 (1) ∘ 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x ∘ y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x, 任取x, y, zQ, (x ∘ y) ∘ z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x ∘ (y ∘ z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz 23
离散数学第五版耿素云屈婉玲张立昂编著
7
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
35
9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
24
9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
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9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
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9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
称+(G)，+(G)，－(G)，－(G)分别为G的最大出度、 最小出度、最大入度和最小入度。
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
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5.1 无向图及有向图
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5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
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5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
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第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
离散数学第五版第四章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (3)A×（BC）= (A×B)(A×C） 证明： 对于任意的<x,y> <x,y>A×（BC） xA yBC xA (yB y C) (xAyB) (xAyC) <x,y>A×B <x,y>A×C <x,y>(A×B)(A×C)
A1×A2×……×An ={<x1,x2,……,xn>|x1A1 x2A2 …… xnAn}
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例2：设A={1,2}，求P(A)×A 解：P(A)={,{1},{2},{1,2}} P(A)×A={<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}
4.1迪卡尔乘积与二元关系
（2）(AB)×(CD)=(A×C)(B×D) 证明：设A=、B={1}、C={2}、D={3} (AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>} (A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>} 所以：等式不成立
（3）(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D) 证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3} (A-B)×(C-D)= (A×C)-(B×D)={<1,2>}
4.1迪卡尔乘积与二元关系
三、二元关系 2. 集合上元素的关系（定义4.6）
设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做 从A到B的二元关系，特别当A=B是则叫做A上的二元关系。 例：A={0,1}、B={1,2,3}，
离散数学 耿素云第5版11 2
00 1
1
0
0
01 1
1
0
0
10 0
0
1
0
11 0
1
0
0
28
例 C= (pq) r 的真值表
pq r
pq
r
000
0
1
001
0
0
010
1
1
011
1
0
100
1
1
101
1
0
110
1
1
111
1
0
(pq)r 1 1 1 0 1 0 1 0
29
公式的类型
定义 设A为一个命题公式 (1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式) (2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式) (3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式
(a) A=B, B是n层公式； (b) A=BC, 其中B,C分别为i层和j层公式，且
n=max(i, j)； (c) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b)； (d) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b)； (e) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b).
24
合式公式的层次 (
1层
pq
2层
(pq)r
3层
((pq) r)(rs)
4层
25
公式的赋值
定义 给公式A中的命题变项 p1, p2, … , pn指定 一组真值称为对A的一个赋值或解释
成真赋值: 使公式为真的赋值
成假赋值: 使公式为假的赋值
说明：
赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1. A中仅出现 p1, p2, …, pn，给A赋值12…n是 指 p1=1, p2=2, …, pn=n A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1,q=2 , r=3 …
离散数学第五版第二章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
7
2.1一阶逻辑的基本概念
（2）谓词常项是指表示具体性质或关系的谓词称为谓词
常项，通常用F，G，H，……表示。
例如：x大于y。
（3）谓词变项是表示抽象G，H，……表示。
（4）n元谓词P（x1，x2，……，xn）表示含有n（n>0）
个命题变项：当n=1时，P（x1）表示x1具有性质 P；当n>1时，表示x1，x2……xn具有关系P。
9
2.1一阶逻辑的基本概念
3. 量词
（1）量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
（2）全称量词是表示日常用语中“一切的”、“所有
的”、“每一个”、“任意的”、“凡是”、 “都”等词，可符号化为∀，并用∀x，∀y等表示 个体域中的所有个体，用∀xF(x)，∀yG(y)表示
个体域中的所有个体都有性质F和都有性质G。
式公式。
20
2.2一阶逻辑合式公式及解释
二、与合式公式相关的概念 1. 指导变元、辖域、约束出现、自由出现（定义2.5）
在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的 辖域。在x和x的辖域中，x的所有出现均为约束出 现，A中不是约束出现的其它变项均称为自由出现。
21
2.2一阶逻辑合式公式及解释
17
2.2一阶逻辑合式公式及解释
2. 一阶语言的项（定义2.2）
(1)个体常项和个体变项是项 (2)若（x1,x2,……,xn）是任意的n元函数，t1,t2,……，
tn是任意的n个项，则（t1,t2,……,tn）是项。 (3)所有的项都是有限次使用（1）,（2）得到的。
例如：a,b,x,y,f(x,y)=x+y,g(x,y)=x-y,h(x,y)=x*y， f(a,g(x,y))=a+(x-y) g(h(x,y),f(a,b))=x*y-(a+b)
离散数学-耿素云(第5版)5
5.4 最短路径,关键路径与着色
带权图 最短路径与Dijkstra标号法 项目网络图与关键路径 着色问题
1
最短路径
带权图G=<V,E,w>, 其中w:E R. e E, w(e)称作e的权.e=(vi,vj), 记w(e)=wij .若 vi,vj不
相邻, 记wij = . 通路L的权: L的所有边的权之和, 记作w(L). u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路.
10
例(续)
活动 A B C D E F G H I J K L ES 0 0 0 1 1 2 2 2 4 6 8 9 EF 1 2 3 5 4 6 6 4 8 12 9 10 LS 1 0 3 2 7 2 7 4 6 6 10 11 LF 2 2 6 6 10 6 11 6 10 12 11 12 SL 1 0 3 1 6 0 5 2 2 0 2 2
1. 令 l1 0, p1 , lj + , pj , j=2,3, ,n,
P={v1}, T=V-{v1}, k 1, t 1.
/ 表示空
2. 对所有的vj T且(vk,vj) E
令l min{lj, lk+wkj},
若l=lk+wkj, 则令lj l, pj vk.
3. 求li=min{lj| vj Tt}.
15
SL(i,j)= LS(i,j)-ES(i,j)=LF(i,j)-EF(i,j) 显然, ES(i,j)= ES(i), EF(i,j)= ES(i)+wij,
LF(i,j)=LF(j), LS(i,j)=LF(j)-wij,
8
例(续)
事项的最早开始时间 TE(1)=0 TE(2)=max{0+1}=1 TE(3)=max{0+2,1+0}=2 TE(4)=max{0+3,2+2}=4 TE(5)=max{1+3,4+4}=8 TE(6)=max{2+4,8+1}=9 TE(7)=max{1+4,2+4}=6 TE(8)=max{9+1,6+6}=12
带权图 最短路径与Dijkstra标号法 项目网络图与关键路径 着色问题
1
最短路径
带权图G=<V,E,w>, 其中w:E R. e E, w(e)称作e的权.e=(vi,vj), 记w(e)=wij .若 vi,vj不
相邻, 记wij = . 通路L的权: L的所有边的权之和, 记作w(L). u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路.
10
例(续)
活动 A B C D E F G H I J K L ES 0 0 0 1 1 2 2 2 4 6 8 9 EF 1 2 3 5 4 6 6 4 8 12 9 10 LS 1 0 3 2 7 2 7 4 6 6 10 11 LF 2 2 6 6 10 6 11 6 10 12 11 12 SL 1 0 3 1 6 0 5 2 2 0 2 2
1. 令 l1 0, p1 , lj + , pj , j=2,3, ,n,
P={v1}, T=V-{v1}, k 1, t 1.
/ 表示空
2. 对所有的vj T且(vk,vj) E
令l min{lj, lk+wkj},
若l=lk+wkj, 则令lj l, pj vk.
3. 求li=min{lj| vj Tt}.
15
SL(i,j)= LS(i,j)-ES(i,j)=LF(i,j)-EF(i,j) 显然, ES(i,j)= ES(i), EF(i,j)= ES(i)+wij,
LF(i,j)=LF(j), LS(i,j)=LF(j)-wij,
8
例(续)
事项的最早开始时间 TE(1)=0 TE(2)=max{0+1}=1 TE(3)=max{0+2,1+0}=2 TE(4)=max{0+3,2+2}=4 TE(5)=max{1+3,4+4}=8 TE(6)=max{2+4,8+1}=9 TE(7)=max{1+4,2+4}=6 TE(8)=max{9+1,6+6}=12
离散数学(第5版)耿素云9.2省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
5,
1 1
10
2,
2 0
11
3,
2 2
01
第8页8
积代数性质
设 V1 = <S1,o>和 V2 = <S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 积代数是 V=<S1S2,∙> (1) 若 o 和 运算是可交换，那么∙ 运算也是可交换 (2) 若 o 和 运算是可结合，那么∙ 运算也是可结合 (3) 若 o 和 运算是幂等，那么∙ 运算也是幂等 (4) 若 o 和 运算分别含有单位元 e1 和 e2，那么∙ 运算
实例 N是<Z,+> 和<Z,+,0>子代数. N{0}是<Z,+> 子代数，但不是<Z,＋,0>子代数
说明： 子代数和原代数是同种代数系统 对于任何代数系统 V ，其子代数一定存在.
第6页6
关于子代数术语
最大子代数 就是V 本身. 假如V 中全部代数常数组 成集合 B，且 B 对V 中全部运算封闭，则 B 就组 成了V 最小子代数. 最大和最小子代数称为V 平凡 子代数. 若 B 是 S 真子集，则 B 组成子代数称为V 真子代数 . 例2 设V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然 数，则 nZ 是 V 子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 平凡子代数，其它都是 V 非平凡真子代数.
第111页1
例题
例1 V=<R*,>, 判断下面哪些函数是V 自同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1
离散数学(第5版)耿素云9.3
11
群的性质---消去律
定理3 G 为群，则G适合消去律，即a,b,c∈G 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (2) 若 ba = ca，则 b = c.
设 G = {a1, a2, …, an} 是 n 阶群，令 aiG = { ai aj | j =1,2, … , n } 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG|<n. 必有aj, ak∈G使得 ai aj = ai ak （j≠k） 由消去律得 aj = ak, 与 |G| = n 矛盾. 例
12
群的性质---运算表排列规则
定理4 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列 都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列） 的置换都不相同. 注意：是必要条件，用于判断一个运算表不是群.
a b c d
a b b c d
b c a d b
c d c b a
d a d a c
a b c d
a a c b d
2 3 4 5 1 , 3 2 1 4 5
分别是 4 阶和 2 阶轮换σ=(1 2 3 4),τ=(1 3), 其中 τ 也叫做对换
8
群的术语（续）
设G是群，x∈G，使得等式 xk = e 成立的最小正 整数 k 称为 x 的阶（或周期），记作 |x| = k，称
x为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 x 为
无限阶元. 在<Z6,>中，2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和 5 是 6 阶元，0 是 1 阶元 在<Z,+>中，0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在.
20
群的性质---消去律
定理3 G 为群，则G适合消去律，即a,b,c∈G 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (2) 若 ba = ca，则 b = c.
设 G = {a1, a2, …, an} 是 n 阶群，令 aiG = { ai aj | j =1,2, … , n } 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG|<n. 必有aj, ak∈G使得 ai aj = ai ak （j≠k） 由消去律得 aj = ak, 与 |G| = n 矛盾. 例
12
群的性质---运算表排列规则
定理4 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列 都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列） 的置换都不相同. 注意：是必要条件，用于判断一个运算表不是群.
a b c d
a b b c d
b c a d b
c d c b a
d a d a c
a b c d
a a c b d
2 3 4 5 1 , 3 2 1 4 5
分别是 4 阶和 2 阶轮换σ=(1 2 3 4),τ=(1 3), 其中 τ 也叫做对换
8
群的术语（续）
设G是群，x∈G，使得等式 xk = e 成立的最小正 整数 k 称为 x 的阶（或周期），记作 |x| = k，称
x为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 x 为
无限阶元. 在<Z6,>中，2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和 5 是 6 阶元，0 是 1 阶元 在<Z,+>中，0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在.
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离散数学 耿素云第5版31 3
(1) 若 XS3=, 则 X = S2 (2) 若 XS4, XS2=, 则 X = S5 (3) 若 XS1，X S3, 则 X = S1, S2, S4 (4) 若 XS3=, 则 X = S3, S5 (5) 若 XS3，X S1, 则 X 与 S1, ... , S5 都不等
例8 证明 A(AB)=A （吸收律） 证 任取x,
xA(AB) xA xAB xA (xA xB) xA
25
等式替换证明X=Y
不断进行代入化简，最终得到两边相等
例9 证明A(AB)=A （吸收律）
证 (假设交换律、分配律、同一律、零律成立)
A(AB)
20
包含传递法证 XY
找到集合T 满足 XT 且 TY，从而有XY
例4 AB AB 证 AB A
A AB
所以 AB AB
21
利用包含的等价条件证 XY
A B A B B A B A A-B
例5 ACBC ABC 证 AC AC=C
A(AB)=A A(AB)=A
与 A(BC)=(AB)(AC)
吸收律的前提：、可交换
17
集合运算的算律（续）
D.M 律 双重否定
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
定理 空集是任何集合的子集 A x (xxA) T
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此1=2
全集 E 相对性 在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
9
幂集
定义 P(A) = { x | xA } 实例
P() = {}， P({}) = {,{}} P({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
例8 证明 A(AB)=A （吸收律） 证 任取x,
xA(AB) xA xAB xA (xA xB) xA
25
等式替换证明X=Y
不断进行代入化简，最终得到两边相等
例9 证明A(AB)=A （吸收律）
证 (假设交换律、分配律、同一律、零律成立)
A(AB)
20
包含传递法证 XY
找到集合T 满足 XT 且 TY，从而有XY
例4 AB AB 证 AB A
A AB
所以 AB AB
21
利用包含的等价条件证 XY
A B A B B A B A A-B
例5 ACBC ABC 证 AC AC=C
A(AB)=A A(AB)=A
与 A(BC)=(AB)(AC)
吸收律的前提：、可交换
17
集合运算的算律（续）
D.M 律 双重否定
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
定理 空集是任何集合的子集 A x (xxA) T
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此1=2
全集 E 相对性 在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
9
幂集
定义 P(A) = { x | xA } 实例
P() = {}， P({}) = {,{}} P({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
离散数学(第5版)耿素云10.4
10.4 图灵机
图灵机的基本模型
图灵机接受的语言
——递归可枚举语言
用图灵机计算函数
——部分可计算函数与可计算函数
1
问题的提出
1900年 D. Hilbert 在巴黎第二届数学家大会上提出 著名的23个问题. 第10个问题:如何判定整系数多项式是否有整数根? 要求使用“有限次运算的过程” 1970 年证明不存在这样的判定算法, 即这个问题是 不可判定的, 或不可计算的.
13
递归函数
定义 设f 是N上的m元部分函数, 如果图灵机M计算f 的 一进制表示, 即M的输入字母表为{1},x1,…,xmN, 从初始格局 0= q01x1 B1x2 B1xm B 开始, 若f(x1,…,xm) =y, 则M的计算停机, 且停机时带的内容(不计{1}以 外的字符)为1y; 若f(x1,…, xm), 则M永不停机, 那么 称M以一进制方式计算f. 定义 图灵机M以一进制方式计算的N上的m元部分函 数称作部分递归函数, 或部分可计算函数; 部分递归 的全函数称作递归函数, 或可计算函数.
已经证明这些模型都是等价的, 即它们计算 的函数类 (识别的语言类) 是相同的. Church-Turing论题: 直观可计算的函数类 就是图灵机以及任何与图灵机等价的计算模 型可计算 (可定义) 的函数类
4
图灵机的基本模型
控制器
定义 图灵机(TM) M=Q,,,,q0,B,A , 其中 (1) 状态集合Q: 非空有穷集合; (2) 输入字母表: 非空有穷集合; (3) 带字母表: 非空有穷集合且 ; (4) 初始状态 q0Q;
w, 若x w00 例1(续) M计算函数: x{0,1}*, f ( x ) w1, 若x w10 , 否则
图灵机的基本模型
图灵机接受的语言
——递归可枚举语言
用图灵机计算函数
——部分可计算函数与可计算函数
1
问题的提出
1900年 D. Hilbert 在巴黎第二届数学家大会上提出 著名的23个问题. 第10个问题:如何判定整系数多项式是否有整数根? 要求使用“有限次运算的过程” 1970 年证明不存在这样的判定算法, 即这个问题是 不可判定的, 或不可计算的.
13
递归函数
定义 设f 是N上的m元部分函数, 如果图灵机M计算f 的 一进制表示, 即M的输入字母表为{1},x1,…,xmN, 从初始格局 0= q01x1 B1x2 B1xm B 开始, 若f(x1,…,xm) =y, 则M的计算停机, 且停机时带的内容(不计{1}以 外的字符)为1y; 若f(x1,…, xm), 则M永不停机, 那么 称M以一进制方式计算f. 定义 图灵机M以一进制方式计算的N上的m元部分函 数称作部分递归函数, 或部分可计算函数; 部分递归 的全函数称作递归函数, 或可计算函数.
已经证明这些模型都是等价的, 即它们计算 的函数类 (识别的语言类) 是相同的. Church-Turing论题: 直观可计算的函数类 就是图灵机以及任何与图灵机等价的计算模 型可计算 (可定义) 的函数类
4
图灵机的基本模型
控制器
定义 图灵机(TM) M=Q,,,,q0,B,A , 其中 (1) 状态集合Q: 非空有穷集合; (2) 输入字母表: 非空有穷集合; (3) 带字母表: 非空有穷集合且 ; (4) 初始状态 q0Q;
w, 若x w00 例1(续) M计算函数: x{0,1}*, f ( x ) w1, 若x w10 , 否则
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G的最大度(G)=max{d(v)| vV} G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
8
顶点的度数(续)
设D=<V,E>为有向图, vV, v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和 v的入度d(v): v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
证 G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计 算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m度. 有向图的每条边提供一个入度 和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等 于边数.
推论 任意无向图和有向图的奇度顶点个数必为偶数.
11
图的度数列
设无向图G的顶点集V={v1, v2, …, vn} G的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:4,4,2,1,3
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
1
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
2ห้องสมุดไป่ตู้
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
3
无向图
多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: AB={(x,y) | xAyB} 定义 无向图G=<V,E>, 其中 (1) 顶点集V是非空有穷集合,
其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集， 其元素称为无向边，简称边. 例如, G=<V,E>, 其中
V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
4
有向图
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1)顶点集V是非空有穷集合,
其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集，其
元素称为有向边，简称边. D的基图:用无向边代替有向边
如D=<V,E>, 其中 V={a,b,c,d} E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<c,b>,<d,c>,<c,d>} 图的数学定义与图形表示,在同构意义下一一对应
设有向图D的顶点集V={v1, v2, …, vn} D的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D的出度列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D的入度列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:5,3,3,3
出度列:4,0,2,1 入度列:1,3,1,2
9
例
例 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,
+(D)=4, +(D)=0, (D)=3, (D)=1, (D)=5, (D)=3.
10
图论基本定理——握手定理
定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等 于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等 于出度之和等于边数.
定义 设无向图G=<V,E>, u,vV, e,eE, 若(u,v) E, 则称u,v 相邻; 若e,e至少有一个公共端点, 则称e,e相邻. 对有向图有类似定义. 设e=u,v是有向图的一条边,又称u是e 的始点, v是e的终点, u邻接到v, v邻接于u.
7
顶点的度数
设G=<V,E>为无向图, vV, v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
d(v)= d+(v)+ d-(v)
D的最大出度+(D) =max{d+(v)|vV} 最小出度+(D) =min{d+(v)|vV} 最大入度(D) =max{d(v)|vV} 最小入度(D) =min{d(v)|vV} 最大度(D) =max{d(v)|vV} 最小度(D) =min{d(v)|vV}
注意:简单图是极其重要的概念
15
实例
e5和e6 是平行边 重数为2
不是简单图
e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7 不是平行边 不是简单图
16
图的同构
14
多重图与简单图
定义 (1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关 联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的 条数称为重数.
(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同 的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称 平行边, 平行边的条数称为重数.
(3) 含平行边的图称为多重图. (4) 既无平行边也无环的图称为简单图.
握手定理的应用(续)
例3 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数 条棱的多面体.
证 用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G=<V,E>, 其中V={v | v为多面体的面},
E={(u,v) | u,vV u与v有公共的棱 uv}. 根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握 手定理的推论矛盾.
5
无向图与有向图(续)
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图. V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集. n 阶图: n个顶点的图 零图: E= 平凡图: 1 阶零图 空图: V=
6
顶点和边的关联与相邻
定义 设e=(u,v)是无向图G=<V,E>的一条边, 称u,v为e的端点, e与u ( v)关联. 若u v, 则称e与u ( v)的关联次数为1;若u=v, 则 称e为环, 此时称e与u 的关联次数为2; 若w不是e端点, 则称e与 w 的关联次数为0. 无边关联的顶点称作孤立点.
12
握手定理的应用
例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数列吗? 解 不可能. 它们都有奇数个奇数.
例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度 数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点? 解 设G有n个顶点. 由握手定理,
43+2(n-4)210 解得 n8
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例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
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顶点的度数(续)
设D=<V,E>为有向图, vV, v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和 v的入度d(v): v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
证 G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计 算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m度. 有向图的每条边提供一个入度 和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等 于边数.
推论 任意无向图和有向图的奇度顶点个数必为偶数.
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图的度数列
设无向图G的顶点集V={v1, v2, …, vn} G的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:4,4,2,1,3
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
1
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
2ห้องสมุดไป่ตู้
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
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无向图
多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: AB={(x,y) | xAyB} 定义 无向图G=<V,E>, 其中 (1) 顶点集V是非空有穷集合,
其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集， 其元素称为无向边，简称边. 例如, G=<V,E>, 其中
V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
4
有向图
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1)顶点集V是非空有穷集合,
其元素称为顶点 (2) 边集E为VV的多重子集，其
元素称为有向边，简称边. D的基图:用无向边代替有向边
如D=<V,E>, 其中 V={a,b,c,d} E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<c,b>,<d,c>,<c,d>} 图的数学定义与图形表示,在同构意义下一一对应
设有向图D的顶点集V={v1, v2, …, vn} D的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D的出度列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D的入度列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:5,3,3,3
出度列:4,0,2,1 入度列:1,3,1,2
9
例
例 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,
+(D)=4, +(D)=0, (D)=3, (D)=1, (D)=5, (D)=3.
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图论基本定理——握手定理
定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等 于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等 于出度之和等于边数.
定义 设无向图G=<V,E>, u,vV, e,eE, 若(u,v) E, 则称u,v 相邻; 若e,e至少有一个公共端点, 则称e,e相邻. 对有向图有类似定义. 设e=u,v是有向图的一条边,又称u是e 的始点, v是e的终点, u邻接到v, v邻接于u.
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顶点的度数
设G=<V,E>为无向图, vV, v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
d(v)= d+(v)+ d-(v)
D的最大出度+(D) =max{d+(v)|vV} 最小出度+(D) =min{d+(v)|vV} 最大入度(D) =max{d(v)|vV} 最小入度(D) =min{d(v)|vV} 最大度(D) =max{d(v)|vV} 最小度(D) =min{d(v)|vV}
注意:简单图是极其重要的概念
15
实例
e5和e6 是平行边 重数为2
不是简单图
e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7 不是平行边 不是简单图
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图的同构
14
多重图与简单图
定义 (1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关 联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的 条数称为重数.
(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同 的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称 平行边, 平行边的条数称为重数.
(3) 含平行边的图称为多重图. (4) 既无平行边也无环的图称为简单图.
握手定理的应用(续)
例3 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数 条棱的多面体.
证 用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G=<V,E>, 其中V={v | v为多面体的面},
E={(u,v) | u,vV u与v有公共的棱 uv}. 根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握 手定理的推论矛盾.
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无向图与有向图(续)
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图. V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集. n 阶图: n个顶点的图 零图: E= 平凡图: 1 阶零图 空图: V=
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顶点和边的关联与相邻
定义 设e=(u,v)是无向图G=<V,E>的一条边, 称u,v为e的端点, e与u ( v)关联. 若u v, 则称e与u ( v)的关联次数为1;若u=v, 则 称e为环, 此时称e与u 的关联次数为2; 若w不是e端点, 则称e与 w 的关联次数为0. 无边关联的顶点称作孤立点.
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握手定理的应用
例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数列吗? 解 不可能. 它们都有奇数个奇数.
例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度 数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点? 解 设G有n个顶点. 由握手定理,
43+2(n-4)210 解得 n8
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