九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教案新版北师大版

5 一元二次方程的根与系数的关系

1．理解和掌握根与系数的关系，会利用根与系数的关系解决有关问题．

2．在探究一元二次方程的根与系数的关系的过程中，培养学生的观察、思考、归纳概括能力．

3．通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．

重点

理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系． 难点

一元二次方程的根与系数关系的理解及应用．

一、复习导入

1．请说出解一元二次方程的四种解法(直接开方法、配方法、公式法、因式分解法)． 2．解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，你发现每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？

(1)x 2

－2x ＝0；

(2)x 2

＋3x －4＝0；

(3)x 2

－5x ＋6＝0.

方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2

学生独立完成，教师巡视指导． 二、探究新知

1．探究一元二次方程的根与系数的关系 课件出示：

121212方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 x 2

＋4x －4＝0 x 2－2x －5＝0 6x 2＋x －2＝0 2x 2－5x ＋1＝0

教师：观察表中x 1＋x 2与x 1·x 2的值，它们与一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

师生共同总结规律，教师板书．(学生的语言表达可能不是很到位，教师可以进行适当地引导和点拨，但不能代替学生表达)

若一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .

2．证明一元二次方程的根与系数的关系

教师：刚才列举了部分方程发现两根之和、两根之积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程的根与系数都有这样的关系呢？

学生先独立解决，再分组交流讨论发表看法． (教师板书) 证明：∵当Δ≥0时，由求根公式得 x 1＝－b ＋b 2

－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2

－4ac 2a ，

∴x 1＋x 2＝－b ＋b 2

－4ac －b －b 2

－4ac 2a ＝－b

a ，

x 1·x 2＝（－b ）2

－（b 2－4ac ）4a 2

＝4ac 4a 2＝c

a

. 三、举例分析

例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：

(1)x 2

－7x ＋1＝0；

(2)x 2

＋14x －21＝0；

(3)2x 2

＋x －3＝0；

(4)x 2

－nx ＋n －5＝0.

解：(1)x 1＋x 2＝7，x 1·x 2＝1. (2)x 1＋x 2＝－14，x 1·x 2＝－21. (3)x 1＋x 2＝－12，x 1·x 2＝－3

2

.

(4)x 1＋x 2＝n ，x 1·x 2＝n －5.

例2 已知关于x 的方程x 2

－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值．

解法一：因为关于x 的方程x 2

－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，所以有

⎩

⎪⎨⎪⎧02

－p×0＋q ＝0，（－3）2

－p×（－3）＋q ＝0. 解这个方程组得

⎩

⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝0. 所以p ＝－3，q ＝0.

解法二：由x 1＋x 2＝p ，x 1·x 2＝q ，

方程x 2

－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，可得 0＋(－3)＝p ， 0×(－3)＝q.

即得p ＝－3，q ＝0. 四、练习巩固

教材第50页“随堂练习”第1～3题． 五、小结

1．通过这节课的学习，你有什么收获？ 2．一元二次方程的根与系数有什么关系？ 六、课外作业

教材第51页习题2.8第1～4题．

观察、归纳、证明是研究事物的科学方法．本节课在研究方程的根与系数的关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数

不是1的方程，由此猜想一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系，最后对此猜想的正确性作出证明．这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值. 经历了本节课的教学，学生对一元二次方程的根与系数的关系的应用能基本掌握，但在寻求转化为两根之和与两根之积的过程中不要操之过急，例2可以在练习一定的习题后再给出来．在学法上采取自我探究和小组合作交流的学习方式，培养学生独立思考的能力以及与他人交流的意识，并应该坚持下去．