2015年全国高考理科数学试题及答案-福建卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工类）第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B I 等于A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.φ2、下列函数为奇函数的是A.y x =B.sin y x =C.cos y x =D.x xy e e -=-3、若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于A.11B.9C.5D.34、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5、若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于A.52-B.2-C.32-D.26、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为A.2B.1C.0D.1-7、若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8、若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于A.6B.7C.8D.99、已知1,,AB AC AB AC t t ⊥==u u u r u u u r u u u r u u u r，若点p 是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r的最大值等于A.13B.15C.19D.2110、若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A.11f k k⎛⎫<⎪⎝⎭B.111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭C.1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 .（用数字作答）12、若锐角ABC ∆ 的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于 .13、如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .14、若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 .15、一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕= 其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 .三、解答题:大小题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB 丄平面BEG ，BE 丄EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.(1)求证：GF//平面ADE(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.18. (本小题满分13分)已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点(0,2），且离心率为e=22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ；x=my-1（m ∈R ）交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.(1)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0，2π]内有两个不同的解α，β （ⅰ）求实数m 的取值范围；（ⅱ）证明：22cos()15m αβ-=-20.（本小题满分14分）已知函数f()ln(1)x x =+，g （x ）=kx （k ∈R ） (1)证明：当0x x x ><时，f()；(2)证明：当1k <时，存在00x >,使得对任意的x ∈（0，t ）恒有f()()x g x >；(3)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的x ∈（0，t ），恒有2|f()()|x g x x -<. 21.本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答.满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵2111,4301A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(1)求A 的逆矩阵1A -； (2)求矩阵C ，使得AC=B.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）。

在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的sin()()4m m R πθ-=∈(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知a ﹥0，b ﹥0，c ﹥0，函数f （x ）=∣x+a ∣+∣x-b ∣+c 的最小值为4. (1)求a b c ++的值; (2)求2221149a b c ++的最小值数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。

1.C2.D3.B4.B5.A6.C7.B8.D9.A 10.C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分。

11. 80 12. 7 13.51214. (1,2]15.5三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想，满分13分解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则543 ()654 P A=⨯⨯12=（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3又1511542 (1),(2),(3)16656653 P X P X P X====⨯===⨯⨯=所以X的分布列为X 1 2 3p161623所以112 ()123663 E X=⨯+⨯+⨯52=17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分13分.解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH//AB,且12GH AB=，又F 是CD 中点，所以12DF CD =， 由四边形ABCD 是矩形得，AB//CD ，AB=CD 所以GH//DF.且GH=DF从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF//DH ， 又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ， 所以//GF 平面ADE（2）如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ//EC,因为BE 丄CE,所以BQ 丄BE又因为AB 丄平面BEC ，所以AB 丄BE ，AB 丄BQ以B 为原点，分别以,,BE BQ BA u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)因为AB 丄平面BEC ，所以A=(B u u u r0,0,2)为平面BEC 的法向量， 设(x,y,z)n =r为平面AEF 的法向量 又AE (2,0,-2)AF=(2,2,-1)=u u u r u u u r，由0,0,n AE n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg 得220,220,x z x y z -=⎧⎨+-=⎩取2z =得=(2,-1,2)n r.从而42cos ,323||||n BA n BA n BA ===⨯u u u ru u u r g u u u r g 所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23. 解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接,MG MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ， 又AE ⊂平面,ADE GM ⊄平面ADE ， 所以//GM 平面ADE .在矩形ABCD 中，由Ｍ，Ｆ分别是AB ，CD 的中点得//MF AD又AD ⊂平面,ADE MF ⊄平面ADE 所以//MF 平面ADE又因为,GM MF M GM =⊂I 平面,GMF MF ⊂平面GMF 所以平面GMF//平面ADF ， 因为GF ⊂平面GMF ， 所以//GF 平面ADE（２）同解法一．18．本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 满分13分 解法一：(1)由已知得2222.b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆E 的方程为22142x y +=. （2）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x .由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230,m y my +--=所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++， 从而0222y m =+. 所以222222200000095525||()()(1)44216GH x y my y m y my =++=++=+++. 2221212(-)(-)||44x x y y AB +=2212(1)(-)4m y y +=221212(1)[()-4]4m y y y y ++=22012(1)(-)m y y y =+故222012||525||-(1)4216AB GH my m y y =+++ 222253(1)25-2(2)216m m m m +=+++ 2217216(2)m m +=+ 0>所以||||2AB GH >，故9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外. 解法二：（1）同解法一.（2）设点1122(),(,),A x y B x y ，则112299(,),(,).44GA x y GB x y =+=+u u u r u u u r由221,142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=，所以12122223,22m y y y y m m +==++， 从而121299()()44GA GB x x y y =+++u u u r u u u r g121255()()44my my y y =+++21212525(1)()416m y y m y y =++++222253(1)2522216m m m m -+=++++ 22172016(m 2)m +=>+所以cos ,0GA GB >u u u r u u u r，又,GA GB u u u r u u u r 不共线，所以AGB ∠为锐角。