晶体的宏观对称
晶体的宏观对称性
2 n
表1 描述晶体宏观对称性与分子对称性时常用 对称元素及与其相应的对称操作对照表
除了对称元素和对称操作的符号和名称的不完全相同外，晶 体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区别是：晶体的点 阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制，这种限制主要表现在两 方面： 在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观对 称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组直 线点阵垂直。 晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中，任何 对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四 重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次， 这一原理称为“晶体的对称性定律”。 所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际 存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表2：
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5
abc
90
abc
斜
90
abc
cs c2 h
D2
D 2v
c1 ci c2
1
m
1 2 m 2
2
i
m 2, m, i
32 2, 2
低
正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
组合程序： 组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行 对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心 的组合。 按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个点群：
第三章 晶体的宏观对称
第三章晶体的宏观对称第一节：对称性概述教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。
晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。
一、几个相关术语1.等同图形（同形等大的图形）；2.对称操作；3.对称元素；4.关于左右型图形的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。
二、宏观对称元素1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。
2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。
对称中心可以产生左右型、阶次为2。
3.旋转对称轴（用L n表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画图并作几何推导）。
对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。
4.旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。
基转角、旋转反伸对称轴次、先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。
反伸轴的等价对称操作：一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明)二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明)三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明)四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明)六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明)所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。
三、宏观对称要素和点阵的几何配置1.对称中心对应于点阵点2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）3.对称面对应于点阵面（包含平行）四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置对称中心总是位于晶体中心。
对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱第二节、对称要素的组合规律对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果。
晶体的宏观对称性
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
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对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
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表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m
晶体宏观对称性
(立方体、八面体)
绿柱石常见晶形 (六方柱)
电气石常见晶形 复三方柱
石榴石常见晶形 四角三八面体
对称操作（对称变换）：借助某种几何要素，
能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的 某种规律的动作，就称为“对称操作”。如
旋转、反映（镜面对称）、反演（中心对称）
等。
对称元素（对称要素）：对物体（或图形）
3）旋转轴（国际符号n）：为一假想的直线，相 应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定 角度，各个相同部分就发生一次重复。 整个物体复原需要的最小转角则称为基转角 （用a表示）； n为轴次，n=360 °/ a 。 晶体对称定律：在晶体中，只可能出现轴次为 一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不 可能存在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
群的定义：
若有一个元素的集合G＝（E，A，B，……）满 足以下条件，则称该集合G构成一个群。
（1）封闭性； （2）G中有单位元E； （3）逆元素；
（4）结合律 A（BC）＝（AB）C
若干个点对称操作Oi（又称对称元素，注意 与对称性区别）的组合C（集合），满足：
（1）封闭性：Oj Oi C = Oj (Oi C) = Oj C； （2）单位元：全同操作1； （3）逆元：Oi-1 C = Oi-1 Oi C = 1 C = C；
进行对称操作所凭借的几何元素。如旋转轴、 反映面、反演中心 有旋转轴、反映 面、反演中心的 格点分布图
仅仅从“有限的晶体图形”（宏观晶体）的
外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称操
作，即称“宏观对称操作”；这时所借助参考的
几何元素，即称“宏观对称元素”。 从晶体内部空间格子中相应“格点”的对称 性进行考查而施行的对称操作，则称为“微观对 称操作”；而借以动作的“几何要素”即称为
第3章-晶体的宏观对称
5
结晶学与矿物学
对称面(m)之反映操作
对称面(symmetry plane)是一
假想的平面，亦称镜面 (mirror)，相应的对称操作为
P
对此平面的反映，它将图形平
分为互为镜像的两个相等部分。
对称面以P表示。在晶体中如
果有对称面存在，可以有一个 或若干个，最多可达9个
7
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之旋转操作
• 对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
6 6
6
6
6
6
6
6
1-fold
2-fold
3-fold
4-fold
6-fold
8
对称轴(Ln)之旋转操作
9
对称轴(Ln)之旋转操作
10
结晶学与矿物学
晶体对称定律
• 晶体对称定律(law of crystal symmetry)：晶 体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、 三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴 及高于六次的对称轴。
30
晶族 晶系 对 称 特 点
对称型 对称要素总和
晶体实例 国际符号
三
无 L2 和
L1
斜 无P
**C
低
单
L2 和 P 高 均不多于
所有的对称要素
L2 P
级
斜
正 交 斜 方
一个 次 L2 和 P 轴 的总数不
少于三个
必定相互垂直或 平等
**L2PC 3L2 L22P **3L23PC
1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm
24
晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性物理科学学院 季淑英 31摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。
关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴一 什么是晶体人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。
此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。
所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。
而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。
二 晶体的宏观对称对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。
1 对称操作对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。
对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。
一个物体的对称操作越多，其对称性越高。
例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。
我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足’r gr r =→，如果这导致）r （）gr （）’r （ρρρ==那么g 是）r （ρ的一个对称操作。
2 对称元素对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。
以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛•⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x a a aa a a a a a z y x 333231232221131211，，，其中，M 为正交矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a M 对称中心和反演（i ）取晶体中心为原点，将晶体中任一点()z ，y ，x 变成()z -，y -，x - ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-0001-0001-M对称面和反映（m ）以0z =作为镜面，将晶体中的任何一点()z ，y ，x 变成()z -y x ，， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1-00010001Mn 次旋转对称轴（n 或者n C ）和n 次旋转反演轴（n ）n 次旋转对称轴（n 或者n C ）若晶体绕某一固定轴旋转角度/n π2=α以后能自身重合，则称该轴为n 次旋转对称轴。
结晶学及矿物学 晶体的宏观对称
（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次 轴）
(3)表示方法：先写高次轴，后写低次轴；同一种 对称轴的数目写在对称轴符号前面。 (4)对称轴可能出露的位置：通过晶体的几何中心， 并且为某二角顶的联线，或某二平行晶面中心的联 线，或某二晶棱中点的联线；如晶体无对称中心时， 则还可能是某一晶面的中心、晶棱中点及角顶三者 中任意二者之间的联线。 (示意图) (立方体的对称轴)
b、数学的证明方法：
t’ = mt t’= 2tsin(-90)+ t = -2tcos + t 所以，mt = -2tcos + t t’ 2cos = 1- m 3 4 cos = (1 - m)/2 -2 1 - m 2 t t m = -1,0,1,2,3 相应的 ＝ 0 或 360，60, t 1 2 90，120,180。对应的轴次 为 1 ， 6 ， 4 ， 3， 2。
(4) 对称要素之间的等效关系：如果某一对称要 素 E1 所施行的对称变换，能由另一对称要素 E2 的对称变换来代替（或由另二对称要素 E3 和 E4 的联合变换来代替），且最后能使物体（或图 形）达到完全相同的复原效果时，则称 E1 与 E2 等效（ E1 ＝ E2 ）或与 E3 和 E4 等效（ E1 ＝ E3+E4 ）。 • 除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简 单的对称要素或它们的组合来代替，其间等效 关系如下：
(2)对称面的判断：如果垂直于对称面作任意直线， 则在此直线上，位于对称面的两侧，且距对称面 等距离的地方，必定可找到性质完全相同的对应 点。
(示意图) (立方体的对称面)
(3)对称面可能存在的位置：通过晶体的几何中心， 垂直并平分晶面；垂直晶棱并通过它的中点；包含 晶棱。(示意图) (4)晶体对称面的表示：数目＋符号（P）。
晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性一宏观对称性晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别。
晶体的宏观对称性仍然具有分子对称性的4种类型，但受到点阵的制约：旋转轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种。
因此，宏观对称元素只有：n=1，2，3，4，6；i，m,二宏观对称元素组合和32个点群对于宏观对称元素而言，进行组合是必须严格遵从两个条件的限制：第一，晶体的多面体外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个公共点，否则将会产生出无限多个对称元素来，这是与有限外形相互矛盾的；第二，晶体具有周期性的点阵结构，任何对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的对称元素（如5、7、…等），可产生32个点群。
三晶系根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成7个晶系：立方晶系：在立方晶胞4个方向对角线上均有三重旋转轴(a=b=c, α=β=γ=90)六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)三斜晶系：没有特征对称元素十四种空间点阵由于这些型式是由布拉维（A.Bravais）在1885年推引得出的，故也称为"布拉维空间格子"。
⑴简单三斜(ap)⑵简单单斜(mP)⑶C心单斜(mC,mA,mI⑷简单正交(oP)⑸C心正交(oC,oA,oB)⑹体心正交(oI)⑺面心正交(oF)⑽简单四方(tP)⑾体心四方(tI)⑻简单六方(hP)⑼R心六方(hR)⑿简单立方(cP)⒀体心立方(cI)⒁面心立方(cF)。
第三章晶体的宏观对称性
L66L2 + P6 = L66L27PC (D6h)
3L24L3 + P2 = 3L24L33PC (Th)
4L33L46L2 + P4 = 4L33L46L29PC (Oh)
组合原理：定理三及推论（C2h, C4h, C6h, D2h, D4h, D6h, Th, Oh） 定理四或定理二（D3h）
P • C = L2
推论三：晶体对称元素中有对称中心存在时，偶次旋转 轴的总数必等于反映面的总数。
定理四：如果有一反映面穿过一反轴（或有一条二次旋转 轴垂直于反轴）；当反轴轴次n为奇数，必有n个二次轴垂 直于该反轴，并有n个反映面穿过该反轴；当反轴轴次为偶 数时，必有n/2个二次轴垂直于该反轴，同时有n/2个反映面 穿过该反轴，且反映面的法线与相邻二次轴的交角为 360o/2n。
n=4 L4i + P = Li4 2P 2L2 L4i + L2 = Li4 2P 2L2
欧拉定理：通过任意两个相交旋转轴的交点，必可产生 第三个旋转轴，它的作用等于前两者的连续动作。新旋 转轴的轴次及其与二原始旋转轴的交角决定于该二原始 旋转轴的轴次及它们的交角。
Ln1 • Ln2 = Ln3 Ln1 • Ln2 = P1 • P2 • P3 • P4 = P1 • I • P4 = Ln3
1、首先导出旋转轴组合的对称类型。
2、旋转轴型分别与反映面、对称中心和反轴组合得到 其他对称类型。
一、旋转轴的组合
1、单一旋转轴： L1 (C1), L2(C2), L3(C3), L4(C4), L6(C6)。 2、高次轴与二次轴的组合：
L2 + L2 = L22L2 (D2) L4 + L2 = L4 4L2 (D4)
材料物理课件12晶体的宏观对称性
对称性与物理性质的关系
对称性与物理性质密切相关， 不同对称性的晶体表现出不同 的物理性质。
点对称性决定了晶体的光学、 电磁学等性质，镜面对称性则 影响晶体的热学、力学等性质 。
对称性越高，晶体的物理性质 越稳定，对称性破缺可能导致 某些物理性质的变化或异常。
02
晶体宏观对称性的表现形式
晶体宏观对称操作的种类
02
在晶体中，对称性表现为晶体在 不同方向上具有相同的晶格结构 和物理性质。
对称性的分类
晶体宏观对称性分为点对称性和 镜面对称性两类。
点对称性是指晶体在三维空间中 具有旋转、反演、倒转等对称元 素，如立方晶系的旋转轴、四方
晶系的四重轴等。
镜面对称性是指晶体在某一方向 上具有对称的平面，如单斜晶系
的b轴和c轴构成的平面。
理论计算方法
密度泛函理论
通过计算电子密度分布，推导出晶体的电子结构 和对称性。
分子力学计算
基于分子力学的原理，模拟晶体分子在平衡状态 下的构型和对称性。
群论分析方法
利用群论的原理，对晶体对称性进行分类和描述 。
计算机模拟方法
分子动力学模拟
通过模拟大量原子或分子的运动，预测晶体的结构和对称性。
蒙特卡洛模拟
材料物理课件12晶体的宏观对称 性
contents
目录
• 晶体宏观对称性的基本概念 • 晶体宏观对称性的表现形式 • 晶体宏观对称性的应用 • 晶体宏观对称性的研究方法 • 晶体宏观对称性的未来发展
01
晶体宏观对称性的基本概念
对称性的定义
01
对称性是指一个物体或系统在不 同方向上保持相同或相似形态的 性质。
对称性破缺会导致晶体物理性质的变 化，例如光学、电学、热学等方面的 性质改变。
晶体的宏观对称
第四章晶体的宏观对称在第二章中已经介绍，晶体的生长过程，实质上就是质点按照空间格子规律有规则地进行堆积的过程；所以，只要生长时有足够的自由空间，晶体就必然会长成一定形状的几何多面体。
例如石盐常成立方体，而α-石英经常长成带有尖顶的六方柱体，等等。
在具有几何多面体外形的晶体——结晶多面体上，最突出的一个性质就是它的对称性。
晶体外形上的对称性是由其内部格子构造的对称性所决定的。
所以，一切晶体都是对称的。
不过，不同晶体之间的对称性往往又是有差别的，这表现在它们的对称要素可以有所不同，并且因此构成不同的对称型。
所以，有必要同时也有可能，根据晶体的对称特点来对晶体进行分类，即划分出不同的晶族和晶系。
由于晶体的对称性从本质上来讲取决于其内部的格子构造，因此，晶体的对称性不仅包含几何意义上的对称，而且也包含物理意义上的对称，亦即晶体中凡是具有方向性的物理性质，例如折射率、电导率、弹性模量、硬度等等，它们也都呈现相应的对称关系。
这是因为，晶体的各项物理性质都是取决于其组成质点的种类和它们的排列方式的。
所以，晶体的对称性决定并影响着晶体中涉及到几何及物理两方面的一切性质。
反过来，根据晶体的几何外形以及它们的一系列物理性质，又可以用来正确地确定晶体的对称性。
所以晶体的对称性对于我们认识晶质矿物的一系列特性都具有重要的意义。
另一方面，晶体的对称性对于晶体的利用还具有指导意义。
在本章中我们将依次阐述以上的有关内容，但限于讨论晶体外形上的对称，即晶体的宏观对称。
第一节对称的概念和晶体对称的特点一、对称的概念图形相同部分有规律的重复，称为对称。
具有对称特征的图形，称为对称图形。
对称是自然科学中最普遍的一种基本概念。
自然界许多东西都具有对称特点，如植物枝叶的对生与互生，花瓣、动物形体及器官的对称生长、晶体界限要素的对称分布等；建筑物、交通工具、生活用品等，常具有对称的外形；在装饰、装潢设计、纺织品中也常可见到对称图案。
所有对称物体和对称图案统称为对称图形。
1.5 晶体的宏观对称性
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
进一步考查图形按一条直线作左右反射后发生的变化
圆形对任意的直径做反射都不改变； 正方形只有对于对边中心的连线以及对角线作反射才
保持不变； 等腰梯形只有对两底中心连线反射不变； 不规则四边形则不存在任何左右对称的线
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则
整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则 —— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
在正立方体的24个纯转动对称操作中， 正四面体保留了其中12个
中心反演不再是正四面体 的对称操作
去掉的12个转动操作, 即绕 立方轴转π/2, 3π/2; 绕面对角 线转π，加上中心反演后是
正四面体的对称操作
正四面体共有24个对称操作
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
③ 正六角柱
1) 绕中心轴线转动
—— 5个
2) 绕对棱中点连线转动 —— 3个
3) 绕相对面中心连线转动
—— 3个
4) 正交变换
—— 1个
5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
4 对称素 “对称素”——简洁明了地概括一个物体的对称性 对称素 —— 一个物体的旋转轴、旋转－反演轴
第三章晶体的宏观对称
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
A
B
P1
E P2 D E D
E1 P
该切面是对称面
该切面不是矩形体的对称面
对称面在晶体中可能存在的位置：
• ⑴垂直并平分晶面； • ⑵垂直晶棱并通过它的中心； • ⑶包含晶棱并平分晶面夹角。
晶体中可不存在对称面，也可存在一或多个对称面， 最多可达9个。对称面的描述方法为3P、9P等。
四、对称要素的组合
在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独 存在，也可以有若干对称要素组合一起共存。 对称要素组合不是任意的，必须符合对称要 素的组合定律。
对称要素的组合服从以下定律：
定理一：若有一个二次轴L2垂直于Ln， 则必有n个L2垂直于Ln。即：LnL2LnnL2 ；
相邻两个L2的夹角是Ln基转角的一半。 逆定理：如果两个L2相交，在交点上且垂直两 个L2必产生一个Ln，其基转角是两个L2夹角的两倍 。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出
晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有 32种。那么，这32种对称型怎么推导出来？
1、A类对称型(高次轴不多于一个)的推导
1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6 2）对称轴与对称轴的组合。在这里只考虑 Ln 与垂直它的 L2 的组合。根据对称要素组合定理 LnL2→LnnL2 ，可能的 对称型为：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能出现 多于一个的高次轴，这时就 不属于A类对称型了。 如图(a) 斜交产生新的Ln ， 图(b) 垂直不产生新的Ln。
第4章_晶体的宏观对称
晶体学
三、晶体的宏观对称 要素和对称操作
对称操作(symmetry operation)
• 能够使对称物体(或图形)中的等同部分作有 规律的变换动作(对称操作) • some acts that reproduce the motif to create the pattern
• Motif：the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern
• 对称要素的符号
晶体学
对称要素之对称操作
对称操作 ＝ 对应点的坐标变换
(x, y, z)
X a11 x a12 y a13 z Y a 21 x a 22 y a 23 z Z a x a y a z 31 32 33
(X, Y, Z) or
X x Y y Z z
晶体学
对称要素
• 对称要素(symmetry element)：在进行对称操作 时所凭借的辅助几何要素——点、线、面等。 • 对称要素种类
– – – – – 对称中心(center of symmetry) 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis) 旋转反伸轴(rotoinversion axis) 旋转反映轴(rotoreflection axis)
6
Element
6
晶体学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern Motif
第一步
– = 360o/2 rotation – to reproduce a motif in a symmetrical pattern
结晶矿物学03-晶体宏观对称
18
第四章 晶体的宏观对称
4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element)
19
第四章 晶体的宏观对称
4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element)
A B`
C D O
D` C`
B A`
对称中心：晶面成对反向平行
20
第四章 晶体的宏观对称
4-2. 晶体的对称要素 (symmetry element)
结晶学与矿物学
第四章 晶体的宏观对称 (macroscopic symmetry of crystal)
4-1. 对称的概念 4-2. 晶体的对称操作与对称要素 4-3. 对称要素的组合规律 4-4. 晶体的对称分类
1
第四章 晶体的宏观对称
4-1.对称的概念 (symmetry)
2
第四章 晶体的宏观对称
t
L1、 L6、L4、 L3、 L2
16
第四章 晶体的宏观对称
2）对称轴 (symmetry axis) 对称轴可能出现的位置为
A. 过一对平行晶面的中心 B. 过一对晶棱的中心 C. 相对两角顶的连线 D. 角顶、晶面中心和棱中点任意两个的连线
数目
0 L2 6
0 L3 4 0 L4 3 0 L6 1
(1) 对称面 (symmetry plane) P
将物体（图形）平分为互为镜 象的两个相同部分的假想平面
9
第四章 晶体的宏观对称
(1) 对称面 (symmetry plane) P
对称操作：通过此平面的反映 标志：两部分上对应点的连线是否与 对称面垂直平分 可能出现的位置： 垂直并平分晶面 垂直晶棱并通过它的中心 包含晶棱
物理学相关 第6讲晶体的宏观对称性
E
ε xy E
因此
ε xy = −ε zy ε zy = ε xy ， ε zy = −ε zy = 0 εxy = 0
如果将电场和晶体同时绕 z 轴转动 π / 2 ，同理可得： ε xz = εyz = 0
如果将电场和晶体同时绕 x 轴转动 π / 2 ，同理可得：
ε yx = εzx = 0
( ) ( ) Ai Aj Ak = Ai Aj Ak
(4.5) (4.6)
(4) 如果群中包含元素 Ai ，也一定包含 Ai 的逆元素 Ai−1 ，
Ai Ai−1 = Ai−1 Ai = E 。
(4.7)
条件 (1) 所得的乘积 Ak 与 Ai 及 Aj 的次序有关， Ai Aj = Ak 意味着 Aj ， Ai 依次作用的结果与 Ak 作
操作的矩阵表示
以上所考虑的对称操作都是保持两点距离不变的正交变换。研究晶体的宏观对称性正是考查物体在
正交变换下的不变性。在三维情况下，正交变换可以写成
x y
→
x y
'
'
=
a11 a21
a12 a22
a13 a23
x y
z z ' a31 a32 a33 z
同的转动，以 D’表示转动后的矢量。设 E 沿 y 轴，则
37
Dx ε xx ε xy ε xz 0 ε xy E
D y = ε yx ε yy ε yz E = ε yy E
Dz
ε
zx
ε zy
ε zz 0
ε
zy
E
将电场和晶体同时绕 y 轴转动 π / 2 ，使 z 轴转动到 x 轴，x 轴转动到 -z 轴，电位移矢量 D 将作相同
晶体的宏观对称操作(3篇)
第1篇一、引言晶体是自然界中普遍存在的物质形态，它们在微观结构上具有高度的有序性。
晶体的这种有序性可以通过宏观对称操作来描述，这些操作能够保持晶体的几何形态和物理性质。
宏观对称操作是晶体学中一个重要的概念，它有助于我们理解晶体的结构特征和性质。
本文将详细探讨晶体的宏观对称操作，包括其定义、分类、性质以及在实际中的应用。
二、定义宏观对称操作是指对晶体进行一系列的几何变换，这些变换能够保持晶体的几何形态和物理性质不变。
这些操作包括旋转、反射、平移和螺旋等。
在晶体学中，这些操作被统称为点群对称操作。
三、分类1. 旋转操作旋转操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
旋转操作的轴线称为旋转轴，旋转角度称为旋转角。
根据旋转角的不同，旋转操作可以分为以下几种：（1）一级旋转：旋转角为360°，即整个晶体绕旋转轴旋转一周。
（2）二级旋转：旋转角为180°，即晶体绕旋转轴旋转半周。
（3）三级旋转：旋转角为120°，即晶体绕旋转轴旋转1/3周。
（4）n级旋转：旋转角为360°/n，即晶体绕旋转轴旋转1/n周。
2. 反射操作反射操作是指将晶体相对于某一平面进行镜像变换，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
这个平面称为反射面。
根据反射面的不同，反射操作可以分为以下几种：（1）镜面反射：反射面为晶体的一个平面。
（2）轴面反射：反射面为晶体的一个轴面。
（3）体对角面反射：反射面为晶体的一个体对角面。
3. 平移操作平移操作是指将晶体沿某一方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
平移操作可以看作是无限多个平移操作叠加的结果。
4. 螺旋操作螺旋操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，同时沿轴线方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
螺旋操作的轴线称为螺旋轴，旋转角称为螺旋角。
四、性质1. 对称性晶体的宏观对称操作具有以下性质：（1）自反性：晶体经过对称操作后，其几何形态和物理性质与原始状态相同。
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Li42L22P
附加：Ln与垂直的P及包含的P的组合
n为偶数 n=2 n=4 n=6
L22L23PC=3L23PC L44L25PC L66L27PC
n为奇数
n=1
n=3
L22P
L33L24P Li63L23P
3． 晶体定向
三轴坐标体系
右手坐标系
单位晶胞
增加一个辅助轴U
立方晶系（cubic） （等轴晶系 isometric）
Li4
Li42L22P
三方及六方晶系
a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
5）三方晶系(tigonal or rhombohedral) a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
国际符号第一位为3或-3 (16) 3
(17) 32 (18) -3 (19) 3m (20) -3m
(9)
4
(10) 422 (11) 4/m (12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m
4）四方晶系 (tetragonal) a=b≠c; α=β=γ=90° 方位：c、a、a+b 国际符号第一位为4或-4，第二位不是3
(9)
4
(10) 422 (11) 4/m (12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m
-6, 222,
-62m, 422, 6/m, m,
-3m1, -3, -4m2, 2/m,
mm2, 6/mmm, 321, 4mm
mmm, 312, 4, 6,
-31m,
-1,
4/mmm, -42m,
-4
7）立方晶系 a=b=c; α=β=γ=90°
方位：c，a+b+c, a+b 国际符号特点：第2位为3或-3。
对称型符号： C 国际符号：-1 图形符号: o
4) 旋转反伸轴(rotary inversion axis)
对称型符号： Li1，Li2，Li3，Li4，Li6。
国际符号：-1, -2, -3, -4, -6 图形符号:
△
Li 1= C
Li 2= P
Li 3（= L3C） 菱面体
Li 4 四方四面体
方位：c、a、2a+b
(21)
6
L6 L66L2 L3PC L36P
(22) 622
(23) 6/m
(24) 6mm (25) 6/mmm (26) -6 (27) -62m
-6m2
L66L27PC
Li6
-62m
Li63L23P
国际符号第一位为6或-6
6mm, 1, 4/m, -6m2,
3m, 2,
亦可理解为： 轴、体、棱方向
(28) 23
3L24L3
(29) m3或m-3
3L24L33PC
(30) -43m
3Li44L36P
(31) 432
3L44L36L2
(32) m3m
3L44L36L29PC
四面体类
(28) 3L24L3 (29) 3L24L33PC (30) 3Li44L36P 23 m3 -43m
选取以3次轴为对称的3个L2, 3个P的法线或3个主要晶棱方向为X，Y，Z轴 a＝b＝c ； α＝β＝γ≠90°
四方晶系 （tetragonal）
以唯一的高次轴为Z轴，以互相垂直的L2或P的法线方向或两个互相垂直的 主要晶棱方向为X，Y轴 a＝b≠c ； α＝β＝γ＝90°
斜方晶系（orthohombic）
Li 6 （= L3P）
三方双锥
当晶体中同时存在L3和C时，只能写成Li3， 而非L3C ； L3+P⊥只能写成Li6，而非L3P。
2． 对称要素的组合定理
定理 1. Ln ×L2⊥ = LnnL2，
L22L2
L33L2
L44L2
L66L2
逆定理：如果两个L2相交，则在交点上垂直于L2必产生一个Ln——基转角为 两个L2夹角的两倍。
立方体和八面体类 (31) 3L44L36L2 432 (32) 3L44L36L29PC m3m
一
课件及相关软件 邮箱 leixinrong2016@ Code:leixinrong
一、晶体结构基础
(一） 晶体的宏观对称
重点：国际符号
1. 对称要素
2. 对称要素组合定律
3. 国际符号(中低级晶族) 4. 高级晶族的对称型及国际符号
1 对称要素
1）对称面(symmetry plane)
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
Li33L23P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
Li63L23P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
观察如下图形分别具有几个几次对称轴：
长方体、四方体
3L2
L44L2
思考：六方柱具有几个几次对称轴、几个对称 面？各在什么方位？
六方柱对称轴的轴次及分布 L66L2
六方柱对称面的分布 7P
六方柱对称轴、对称面的分布 L66L27P(C)
3）对称中心(center of symmetry)
(4) m
P
(5) 2/m
L2PC
3）斜方晶系(正交晶系)(orthohombic) a≠b≠c; α=β=γ=90°
方位：a、b、c 国际符号多于1位，每位只能是2或/及m 对成型 (6) 222 3L2
(7) mm2
2mm? m2m?
L22P
(8) mmm
3L23PC
4）四方晶系 (tetragonal) a=b≠c; α=β=γ=90° 方位：c、a、a+b 国际符号第一位为4或-4，第二位不是3
3． 点群的国际符号(中低级晶族)
国际符号（International Symbol），它是由Hermann 与 Mauguin创立的，因此也称HM符号。 书写原则：按方位书写：沿某方位，有对称要素就写出来， 无就空着或写为‘1’。 写各个方位对称要素时： (1) 平行于该方位只有对称轴n，写n (1,2,3,4,6,-3,-4,-6)； 垂直于该方位只有对称面，写m。 (2) 该方位有n+P⊥，记为n/m(代表一个方位)。 如2/m，4/m, 6/m。(偶次轴+P⊥，隐含了对称中心C) 问：晶体结构中是否存在3/m? 可以存在，但必须写为-6。
定理2.
L2n × P⊥ = L2nP⊥C,
L2PC 逆定理： L2+C=L2PC
L4PC P+C=L2PC
L6PC
定理3.
P// × Ln = LnnP//
L22P
L33P
L44P
L66P
逆定理：两个P相交，则交线为对称轴，基转角=两个P夹角的两倍。 例：两个P互相垂直，则交线为L2；
两个P夹角45°，则交线为L4。
以互相垂直的3L4、3Li4或3L2为X，Y，Z轴
a＝b＝c；
α＝β＝γ＝90°
六方晶系及三方晶系六方定向 （hexagonal & Trigonal hexagonal）
以唯一的高次轴为Z轴，以夹角为120°的3L2或3P的法线方向为X，Y，U轴 a＝b≠c ； α＝β＝90°， γ＝120°
三方晶系菱面体定向 （trigonal rhombehedral）
以3个互相垂直L2的或的法线为X，Y，Z轴 a≠b≠c； α＝β＝γ＝90°
单斜晶系 （monoclinic）
以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y的两个主要晶棱方向为X，Z轴
a≠b≠c；
α＝γ＝90°， β≠90°
三斜晶系（triclinic）
以不在同一平米的三个主要晶棱方向为X，Y，Z轴 a≠b≠c； α≠β≠γ≠90°
1） 三斜晶系(triclinic) a≠b≠c; α≠β≠γ≠90° 无方位： (1) 1 (2) -1 1 L1
-1
Li1=C
国际符号只有1位，且无P无对称轴
2） 单斜晶系(monoclinic) a≠b≠c; α=γ=90° β≠90°
方位：b （b轴方向为唯一轴：与L2或与P⊥重合）
国际符号只有1位，2或/及m 对成型 (3) 2 L2
-4m2
4）四方晶系 (tetragonal) a=b≠c; α=β=γ=90° 方位：c、a、a+b 国际符号第一位为4或-4，第二位不是3 对成型
(9)
4
L4 L44L2 L4PC L44P L44L25PC
(10) 422 (11) 4/m (12) 4mm (13) 4/mmm (14) -4 (15) -42m
对称型符号：P 国际符号： m (mirror) 图形符号：）对称轴(symmetry axis)
对称型符号： L1，L2，L3，L4，L6 其中L1，L2为低次轴，L3，L4，L6为高次轴。 国际符号：1，2，3，4，6 ； 图形符号是: 对称轴的写法：1个：L3；4个: 4L3。
5）三方晶系 a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
(16)
3
321 312
L3 L33L2 Li3 L33P
(17) 32
(18) -3
(19) 3m
-3m1
(20) -3m
-31m
Li33L23P
国际符号第一位为3或-3
6）六方晶系 a=b≠c; α=β=90° γ=120°