锐角三角函数的解析
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∴∠DEA＋∠CEP＝90°，
则∠CEP＝30°，
故∠PEB＝∠EBP＝30°，
则EP＝BP，
Fra Baidu bibliotek又∵AE＝AB，AP＝AP，
∴△AEP≌△ABP（SSS），
∴∠EAP＝∠PAB＝30°，
∴AP⊥BE，故②正确；
∵∠DAE＝30°，
∴tan∠DAE＝ ＝tan30°＝ ，
∴AD＝ DE，即 ，
∵AB＝CD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
∵OB=OC，OG⊥BC，
∴∠BOG=∠COG= ∠BOC =30°，
∵OG⊥BC，OB=OC，BC=2cm，
∴BG= BC= ×2=1cm，
∴OB= =2cm，
∴OG= ，
∴圆形纸片的半径为 cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
在Rt△AOH中，sin∠AOH＝ ，
∴AO＝ ，
∴扇形AOB的面积为： ，
故选：A．
【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点 出发沿着坡度为 的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端 的仰角为37°，建筑物底端 的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到 米，参考数据： ， )（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出AD与AB，PB与PC的数量关系即可．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，点E是CD的中点，
【详解】
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 的正三角形．
∴正三角形的边长 ．
∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，
∴底面周长为
∴侧面积为 ，∵底面积为 ，
∴全面积是 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
【详解】
解：如图所示：
∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，
∴CD＝ AB＝AD＝4，
∴∠A＝∠ACD，
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝ CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，
∴tan∠ACD＝ ＝tanA＝y，
∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠ACD＝∠FCE，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．
【详解】
解：如图作OH⊥AB于H．
∵C、D分别是弦AP、BP的中点．
∴CD是△APB的中位线，
∴AB＝2CD＝ ，
∵OH⊥AB，
∴BH＝AH＝ ，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
8．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处， ．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角 为 （点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比） ，那么建筑物AB的高度约为（）
【详解】
解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，
∴
在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，
∴
即a2+c2=b2+ac，
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．
10．如图，在扇形 中， ，点 是弧 上的一个动点（不与点 、 重合）， 、 分别是弦 ， 的中点．若 ，则扇形 的面积为（）
2．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 的平分线交 于点 ，则 的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．
∴△CEG∽△FEC，
∴ ＝ ，
∴y＝ ，
∴y2＝ ，
∴ ＝FE2，
∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，
∴ ＝x2﹣4，
∴ +4＝x2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
7．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝ AB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，得出tan∠ACD＝ ＝tanA＝y，证明△CEG∽△FEC，得出 ，得出y＝ ，求出y2＝ ，得出 ＝FE2，再由勾股定理得出FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得出答案．
∵沿着坡度为 的斜坡AB步行26米到达点B处，
∴ ，
∴AN=2.4BN，
∴BN2+（2.4BN）2=262，
解得：BN=10（负值舍去），
∴CN=BN+BC=11.6，
∴ME=11.6，
∵∠MCE=30°，
∴CM= =11.6 ，
∵∠DCM=37°，
∴DM=CM·tan37°=8.7 ，
∴DE=ME+DM=11.6+8.7 ≈26.7（米），
∴③ 正确；
∵∠CEP＝30°，
∴CP＝ EP，
∵EP＝BP，
∴CP＝ BP，
∴④PB＝2PC正确．
综上所述：正确的共有4个．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE是等边三角形是解题关键．
A． 米B． 米C． 米D． 米
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案．
【详解】
如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，
当两弦共弧的时候就是15°．
故选：C．
【点睛】
此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
4．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．
13．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造全等三角形，证明△ABD是等腰直角三角形，进行作答.
锐角三角函数的解析
一、选择题
1．如图，有一个边长为 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，
∴DE＝CE，
又∵AD＝BC，∠D＝∠C，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB，
∵EA平分∠BED，
∴∠AED＝∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB平分∠AEC，正确；
∴△ABE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB，
∵PE⊥AE，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= ，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= ，BC=2，tan∠A= ，
∴∠A=30°，
∴OH= OA= ，AH=AO•cos∠A= ，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH= ，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD= = ，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
（参考数据 ， ， ）
A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作 与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比） 可设 ，则 ，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出 ， ，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．
【详解】
设AC＝m，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝ AC＝ m，
【详解】
解：过点E作 与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比） ， 米，
∴设 ，则 ．
在 中，
∵ ，即 ，解得 ，
∴ 米， 米，
∴ 米， 米．
∵ ， ， ，
∴四边形EGBM是矩形，
∴ 米， 米．
在 中，
∵ ，
∴ 米，
∴ 米．
故选B．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则 的值为（ ）
A． B． C．1D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用 cos60°= ,可求 把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．
【详解】
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=
在Rt△ADC中，AC=4，∠C=
∴AD=CD=
在Rt△ADB中，AD= ，∠ABD=
∴BD= AD= ．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD= ．
在Rt△EBD中，BD= ，∠EBD=
∴DE= BD=
∴AE=AD−DE= - =
故选：C
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．
【解析】
【分析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，
3．在半径为 的 中，弦 、 的长度分别是 ， ，则 为（）度．
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：AD= ．
sin∠AOD= ，∴∠AOD=60°；
sin∠AOE= ，∴∠AOE=45°；
∴∠BAC=75°．
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+ m，
∴tan∠ADC＝ ＝ ＝2﹣ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．如图，在矩形 中 是 的中点， 平分 交 于点 ，连接 ，以下四个结论：① 平分 ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的个数是（）
则∠CEP＝30°，
故∠PEB＝∠EBP＝30°，
则EP＝BP，
Fra Baidu bibliotek又∵AE＝AB，AP＝AP，
∴△AEP≌△ABP（SSS），
∴∠EAP＝∠PAB＝30°，
∴AP⊥BE，故②正确；
∵∠DAE＝30°，
∴tan∠DAE＝ ＝tan30°＝ ，
∴AD＝ DE，即 ，
∵AB＝CD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
∵OB=OC，OG⊥BC，
∴∠BOG=∠COG= ∠BOC =30°，
∵OG⊥BC，OB=OC，BC=2cm，
∴BG= BC= ×2=1cm，
∴OB= =2cm，
∴OG= ，
∴圆形纸片的半径为 cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
在Rt△AOH中，sin∠AOH＝ ，
∴AO＝ ，
∴扇形AOB的面积为： ，
故选：A．
【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点 出发沿着坡度为 的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端 的仰角为37°，建筑物底端 的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到 米，参考数据： ， )（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出AD与AB，PB与PC的数量关系即可．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，点E是CD的中点，
【详解】
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 的正三角形．
∴正三角形的边长 ．
∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，
∴底面周长为
∴侧面积为 ，∵底面积为 ，
∴全面积是 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
【详解】
解：如图所示：
∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，
∴CD＝ AB＝AD＝4，
∴∠A＝∠ACD，
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝ CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，
∴tan∠ACD＝ ＝tanA＝y，
∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠ACD＝∠FCE，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．
【详解】
解：如图作OH⊥AB于H．
∵C、D分别是弦AP、BP的中点．
∴CD是△APB的中位线，
∴AB＝2CD＝ ，
∵OH⊥AB，
∴BH＝AH＝ ，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
8．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处， ．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角 为 （点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比） ，那么建筑物AB的高度约为（）
【详解】
解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，
∴
在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，
∴
即a2+c2=b2+ac，
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．
10．如图，在扇形 中， ，点 是弧 上的一个动点（不与点 、 重合）， 、 分别是弦 ， 的中点．若 ，则扇形 的面积为（）
2．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 的平分线交 于点 ，则 的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．
∴△CEG∽△FEC，
∴ ＝ ，
∴y＝ ，
∴y2＝ ，
∴ ＝FE2，
∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，
∴ ＝x2﹣4，
∴ +4＝x2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
7．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝ AB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，得出tan∠ACD＝ ＝tanA＝y，证明△CEG∽△FEC，得出 ，得出y＝ ，求出y2＝ ，得出 ＝FE2，再由勾股定理得出FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得出答案．
∵沿着坡度为 的斜坡AB步行26米到达点B处，
∴ ，
∴AN=2.4BN，
∴BN2+（2.4BN）2=262，
解得：BN=10（负值舍去），
∴CN=BN+BC=11.6，
∴ME=11.6，
∵∠MCE=30°，
∴CM= =11.6 ，
∵∠DCM=37°，
∴DM=CM·tan37°=8.7 ，
∴DE=ME+DM=11.6+8.7 ≈26.7（米），
∴③ 正确；
∵∠CEP＝30°，
∴CP＝ EP，
∵EP＝BP，
∴CP＝ BP，
∴④PB＝2PC正确．
综上所述：正确的共有4个．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE是等边三角形是解题关键．
A． 米B． 米C． 米D． 米
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案．
【详解】
如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，
当两弦共弧的时候就是15°．
故选：C．
【点睛】
此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
4．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．
13．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造全等三角形，证明△ABD是等腰直角三角形，进行作答.
锐角三角函数的解析
一、选择题
1．如图，有一个边长为 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，
∴DE＝CE，
又∵AD＝BC，∠D＝∠C，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB，
∵EA平分∠BED，
∴∠AED＝∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB平分∠AEC，正确；
∴△ABE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB，
∵PE⊥AE，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= ，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= ，BC=2，tan∠A= ，
∴∠A=30°，
∴OH= OA= ，AH=AO•cos∠A= ，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH= ，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD= = ，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
（参考数据 ， ， ）
A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作 与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比） 可设 ，则 ，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出 ， ，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．
【详解】
设AC＝m，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝ AC＝ m，
【详解】
解：过点E作 与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比） ， 米，
∴设 ，则 ．
在 中，
∵ ，即 ，解得 ，
∴ 米， 米，
∴ 米， 米．
∵ ， ， ，
∴四边形EGBM是矩形，
∴ 米， 米．
在 中，
∵ ，
∴ 米，
∴ 米．
故选B．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则 的值为（ ）
A． B． C．1D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用 cos60°= ,可求 把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．
【详解】
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=
在Rt△ADC中，AC=4，∠C=
∴AD=CD=
在Rt△ADB中，AD= ，∠ABD=
∴BD= AD= ．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD= ．
在Rt△EBD中，BD= ，∠EBD=
∴DE= BD=
∴AE=AD−DE= - =
故选：C
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．
【解析】
【分析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，
3．在半径为 的 中，弦 、 的长度分别是 ， ，则 为（）度．
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：AD= ．
sin∠AOD= ，∴∠AOD=60°；
sin∠AOE= ，∴∠AOE=45°；
∴∠BAC=75°．
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+ m，
∴tan∠ADC＝ ＝ ＝2﹣ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．如图，在矩形 中 是 的中点， 平分 交 于点 ，连接 ，以下四个结论：① 平分 ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的个数是（）