阻尼和固有频率的测量

函数的定义，有该系统的传递函数
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对于自由振动， 的一对共轭复根为
，则有
。在小阻尼的情况下，求得
和 称为该系统的复频率，其实部 为系统的有阻尼固有频率。
即为系统的衰减系数，虚部
对系统运动的微分方程两边进行傅立叶变换，即
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8.2.1 速度共振的相位判别法
图3所示为一个单自由度 质量---弹簧----阻尼系统强迫振 动模型。
位移响应为
图3 单自由度系统模型
幅值B取得极值的条件为
，即在该点发生共振。共振幅值
位移信号与激振力信号之间的相位差
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速度响应为 幅值 取得极值的条件为
，即在该点发生共振。共振幅值
取得极值的条件为
，即当
时，系统发生速度共振，
。此时相位差
，即速度响应与激振力
之间的相位差为0；阻尼力
，即激振力所作的功全部被阻尼所消耗。故有系统发生速度共振时，
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因此，只要测量系统发生速度共振时的速度幅值
幅值 ，即可计算出阻尼系数 ，并根据
系数 ，
算出相对阻尼系数
。
和激振力 算出衰减
应为
图1 单自由度系统模型
（1）
衰减系数
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2
响应曲线如图2所示。 结论：
率，
为衰减振动的周期， 为衰减振动的圆频率。
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为衰减振动的频
3
图2 弱阻尼衰减振动的响应曲线
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4
从图2衰减振动的响应曲线上可直接测量出
，然后根
据
可计算出 n ；
计算出 p； 可计算出
计算出r；
，即激振力的频率就是系统的固有 频率。 若示波器ｙ轴上分别接入的是位移信号和加 速度信号，则屏幕上出现图８，９的图像。
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8.2.３ 稳态激振法
图3所示为一个单自由度 质量---弹簧----阻尼系统强迫振 动模型。
位移响应为 位移幅值
图3 单自由度系统模型
系统确定后p,n,m是确定的。只要保证激 振力幅值 是常量， 的大小唯一取 决于激振力频率 。稳态激振法是每 给定一个激振频率 ，测量一次位移 响应幅值 ，从而得到一组 随 变化的数据。以 为横坐标， 为 纵坐标，可描在曲线上，振幅最大的点对 应的激振频率称为共振频率，测试系统发 生了位移共振。
也可利用示波器力与速度的图像来测量阻 尼系数。如图6所示，将力信号接入示波器的x 轴，速度信号接入示波器的y 轴，两通道的放 大倍数调成一致，因二者之间的相位差为0， 故形成图示的直线，该直线的斜率即为阻尼系 数，即
图6 共振法测阻尼的图像
若x轴接入的是位移信号，则形成的图像为正椭圆，椭圆 与x、y轴的交点即为 和 。据此也可测出阻尼系数
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图10 强迫振动时幅频响应曲线
式中，相对阻尼系数 可以通过半功率点法测得，在
的情况下也
可忽略，此时系统的共振频率等于固有频率。
若测量的是系统速度响应幅值与激振频率之间的关系曲线，则系统的共振频
率就是固有频率，即
若测量的是系统加速度幅值与激振频率之间的关系曲线，则系统的共振频率
与固有频率的关系为
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8.3 传递函数与频响函数
由振动理论可知，图11所示单自由
度粘性阻尼系统，阻尼力
，
系统运动的微分方程为：
对上式两边进行拉普拉斯变换，并假设 初始速度、位移值为0，有
图11单自由度粘性阻尼系统
式中s为拉氏变换因子，为复变量，也称复频率，其实部和虚部常用 和 表示，
即
； 为 的拉氏变换， 为 的拉氏变换。按照机械系统传递
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8.2 固有频率的测量
8.2.1 自由振动衰减法
系统的固有频率是指系统无阻尼时自由振动的频率，即
。
对图1所示的单自由度质量---弹簧----阻尼系统，当受初始扰动后，其自由振动
的衰减曲线如图2所示。在曲线上可直接测量并计算出衰减的周期 ，衰减
系数 、相对阻尼系数 ，因而有
图1 单自由度系统模型 图2 弱阻尼衰减振动的响应曲线
图4 强迫振动幅频响应曲线
图5 强迫振动相频响应曲线
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在幅频响应曲线中，当
时，
；当
大值
。在图中作一条水平线，其纵坐标为
两点，该两点称为半功率点，两点之间的距离为
时，其最 ，与曲线交于
图4 强迫振动幅频响应曲线
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8.1.3 共振法
强迫振动的位移响应为
速度响应为 速度幅值为
计算出无阻尼时系统的固有频率 ；
计算出无阻尼时系统的固有周期
对于衰减系数n，可以用三种方法来计算：
1、由相邻的正逢（或相邻的负峰）幅值比计算
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2、由相邻的峰---峰幅值比计算 3、小阻尼情况适用公式
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8.1.2 半功率点法
图3所示为一个单自由度质量---弹簧---阻尼系统强迫振动模型。其质量为m(kg)， 弹簧刚度系数为k (N/m)，粘性阻尼系数为 r (N. m /s)。质量m上承受简谐激振力
作用。其强迫振动的位移 响应为
图3 单自由度系统模型
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引入符号 则有
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上式中， 相当于激振力的最大幅值 静止地作用在弹簧上所引 起的弹簧静变形； 称为频率比； 称为放大因子，以 为横坐标， 为纵坐标，对于不同的 值所得到的一组曲线，称为幅频响应曲 线，如图4所示（图中只给出了一种 值）； 为位移响应滞后 力的相位角，以 为横坐标， 为纵坐标，对于不同的 值所得 到的一组曲线，称为相频响应曲线，如图5所示。
阻尼系数和固有频率 的测量
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8.1 阻尼系数的测量
8.1.1 自由振动衰减法
图1所示的一个单自由度质量---弹簧----
阻尼系统，其质量为m (kg)，弹簧刚度系
数为k (N/m)，粘性阻尼系数为r (N. m
/s)。当质量上承受初始条件t=0时，位
移
，速度
激励时，将做
自由衰减振动。在弱阻尼条件下其位移响
速度信号与激振力信号之间的相位差 加速度响应
幅值 取得极值的条件为
，即在该点发生共振。共振幅值
加速度信号与激振力信号之间的相位差
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图7 速度响应判别速度共振 图8位移响应判别速度共振
图9加速度响应判别速度共振
速度共振的相位判别法的依据即为系统发生 速度共振时，激振力和速度响应之间的相位 差为0。实验时，将激振力信号接入示波器的 ｘ轴，速度响应信号接入示波器的ｙ轴，改 变激振信号的频率 ，根据李沙育原理， 屏幕上将出现如图７的图像。即当图像变成 斜直线时，系统发生速度共振，此时，