最新中考数学综合专题训练【化归思想】精品专题解析.doc
浙江省数学中考专题复习专题三5大数学思想方法第三节转化与化归思想训练2
专题三 5大数学思想方法第三节 转化与化归思想类型十一 “一般”与“特殊”之间的转化(2018·浙江湖州中考)已知在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点(不包括端点)，且DC BE ＝ACBC ＝m ，连结AE ，过点D 作DM⊥AE，垂足为点M ，延长DM 交AB 于点F.(1)如图1，过点E 作EH⊥AB 于点H ，连结DH. ①求证：四边形DHEC 是平行四边形； ②若m ＝22，求证：AE ＝DF ； (2)如图2，若m ＝35，求DFAE的值．【分析】(1)①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE ＝DC ，即可得出结论； ②先判断出AC ＝AB ，BH ＝HE ，再判断出∠HEA＝∠AFD，即可得出结论；(2)过E 作EG⊥AB 于G ，先判断出△EGB∽△CAB，进而求出EG∶BE＝3∶5，得出EG ＝CD ，再判断出∠AFM ＝∠AEG，进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论． 【自主解答】从特殊到一般，从具体到抽象是研究数学的一种基本方法．在一般情况下难以发现的规律，在特殊条件下容易暴露，特殊情况下得出的结论、方法也往往可以推广到一般情形．所以，特殊与一般之间的转化，可以用来验证命题的正确性，探索解题途径．12．(2018·广西桂林中考)如图，在平面直角坐标系中，M ，N ，C 三点的坐标分别为(12，1)，(3，1)，(3，0)，点A 为线段MN 上的一个动点，连结AC ，过点A 作AB⊥AC 交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动．设点B 的坐标为(0，b)，则b 的取值范围是( )A. －14≤b≤1B ．－54≤b≤1C ．－94≤b≤12D ．－94≤b≤113．(2018·甘肃陇南中考)如图，⊙A 过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连结BO ，BD ，则∠OBD 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°类型十二 “复杂”与“简单”之间的转化(2018·浙江台州中考)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜3，3（x －2）－x ＞0.【分析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案． 【自主解答】数学解题的过程是分析问题和解决问题的过程，对于较复杂的问题．可以通过分析，将问题转化为几个简单的问题来解决，如把“多元问题”转化为“一元问题”、把“高次问题”转化为“一次问题”、 把“分式问题”转化为“整式问题”等，实现复杂问题简单化．14．(2018·四川遂宁中考)如图，已知抛物线y ＝ax 2－4x ＋c(a≠0)与反比例函数y ＝9x 的图象相交于B ，且B 点的横坐标为3，抛物线与y 轴交于点C(0，6)，A 是抛物线y ＝ax 2－4x ＋c(a≠0)的顶点，P 点是x 轴上一动点，当PA ＋PB 最小时，P 点的坐标为____________．类型十三 “生活”与“数学”之间的转化(2018·浙江绍兴中考)如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连结，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN 安装在窗框上，托悬臂DE 安装在窗扇上，交点A 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B ，C ，D 始终在一直线上，延长DE 交MN 于点F.已知AC ＝DE ＝20 cm ，AE ＝CD ＝10 cm ，BD ＝40 cm .(1)窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；(2)窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离(精确到 0.1 cm)．(参考数据：3≈1.732，6≈2.449)【分析】(1)根据平行四边形的性质和判定可以解答本题；(2)根据锐角三角函数可以求得AB的长，从而可以解答本题．【自主解答】数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象．所以，要重视数学知识的应用．在解决实际问题时，要重在分析，把实际问题转化为数学模型，以提高应用数学知识解决实际问题的能力．15．(2018·浙江绍兴中考)实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15 cm，底面的长是30 cm，宽是20 cm，容器内的水深为x cm.现往容器内放入如图的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面)，过顶点A的三条棱的长分别10 cm，10 cm，y cm(y≤15)，当铁块的顶部高出水面2 cm时，x，y 满足的关系式是___________________________________．类型十四 “数”与“形”之间的转化(2018·四川德阳中考)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－2，x≤4，（x －6）2－2，x ＞4使y ＝a 成立的x 的值恰好只有3个时，a 的值为________．【分析】首先在坐标系中画出已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－2，x≤4（x －6）2－2，x ＞4的图象，利用数形结合的方法即可找到使y ＝a 成立的x 值恰好有3个的a 值． 【自主解答】“数”与“形”反映了事物两方面的属性，数与形之间的相互转化、相互联系，体现了数学是一个有机整体．数形结合能把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，是一条合理的解题途径．16．(2018·江苏泰州中考)平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋2m ＋2的图象与x 轴有两个交点．(1)当m ＝－2时，求二次函数的图象与x 轴交点的坐标；(2)过点P(0，m －1)作直线l ⊥y 轴，二次函数图象的顶点A 在直线l 与x 轴之间(不包含点A 在直线l 上)，求m 的范围；(3)在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l 相交于点B ，求△ABO 的面积最大时m 的值．参考答案类型十一【例11】 (1)①∵EH⊥AB，∠BAC＝90°， ∴EH∥CA，∴△BHE∽△BAC， ∴BE BC ＝HE AC. ∵DC BE ＝AC BC ，∴BE BC ＝DC AC ， ∴HE AC ＝DCAC，∴HE＝DC. ∵EH∥DC，∴四边形DHEC 是平行四边形． ②∵AC BC ＝22，∠BAC＝90°，∴AC＝AB.∵DC BE ＝22，HE ＝DC ，∴HE BE ＝22. ∵∠BHE＝90°，∴BH＝HE. ∵HE＝DC ，∴BH＝CD ，∴AH ＝AD. ∵DM⊥AE，EH⊥AB， ∴∠EHA＝∠AMF＝90°，∴∠HAE＋∠HEA＝∠HAE＋∠AFM＝90°， ∴∠HEA＝∠AFD. ∵∠EHA＝∠FAD＝90°， ∴△HEA≌△AFD，∴AE＝DF. (2)如图，过点E 作EG⊥AB 于G. ∵CA⊥AB，∴EG∥CA， ∴△EGB∽△CAB，∴EG CA ＝BE BC ，∴EG BE ＝CA BC ＝35.∵CD BE ＝35，∴EG＝CD. 设EG ＝CD ＝3x ，AC ＝3y ，∴BE＝5x ，BC ＝5y ，∴BG＝4x ，AB ＝4y. ∵∠EGA＝∠AMF＝90°， ∴∠GEA＋∠EAG＝∠EAG＋∠AFM， ∴∠AFM＝∠AEG. ∵∠FAD＝∠EGA＝90°， ∴△FAD∽△EGA， ∴DF AE ＝AD AG ＝3y －3x 4y －4x ＝34.变式训练 12．B 13.B 类型十二【例12】 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜3，①3（x －2）－x ＞0，②解不等式①得x ＜4， 解不等式②得x ＞3，不等式①，不等式②的解集在数轴上表示如图．原不等式组的解集为3＜x ＜4. 变式训练 14．(125，0)类型十三【例13】 (1)∵AC＝DE ＝20 cm ， AE ＝CD ＝10 cm ，∴四边形ACDE 是平行四边形， ∴AC∥DE，∴∠DFB＝∠CAB. ∵∠CAB＝85°，∴∠DFB＝85°.(2)如图，作CG⊥AB 于点G.∵AC＝20，∠CGA＝90°，∠CAB＝60°， ∴C G ＝103，AG ＝10.∵BD ＝40，CD ＝10，∴CB＝30， ∴BG＝302－（103）2＝106，∴AB＝AG ＋BG ＝10＋106≈10＋10×2.449＝34.49≈34.5 cm， 即A ，B 之间的距离为34.5 cm. 变式训练15．y ＝6x ＋105(0＜x≤656)或y ＝120－15x2(6≤x＜8)类型十四【例14】 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－2，x≤4（x －6）2－2，x ＞4的图象如图， 根据图象知，当y ＝2时，对应成立的x 值恰好有三个， ∴a＝2.故答案2.变式训练16．解：(1)当m ＝－2时，抛物线表达式为y ＝x 2＋4x ＋2. 令y ＝0，则x 2＋4x ＋2＝0， 解得x 1＝－2＋2，x 2＝－2－2，抛物线与x 轴交点坐标为(－2＋2，0)，(－2－2，0)． (2)∵y＝x 2－2mx ＋m 2＋2m ＋2＝(x －m)2＋2m ＋2， ∴抛物线顶点坐标为A(m ，2m ＋2)．∵二次函数图象的顶点A 在直线l 与x 轴之间(不包含点A 在直线l 上)， ∴当直线l 在x 轴上方时，⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2＜m －1，m －1＞0，2m ＋2＞0，不等式无解． 当直线l 在x 轴下方时， ⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2＞m －1，2m ＋2＜0，m －1＜0， 解得－3＜m ＜－1.(3)由(1)点A 在点B 上方，则AB ＝(2m ＋2)－(m －1)＝m ＋3， △ABO 的面积S ＝12(m ＋3)(－m)＝－12m 2－32m.∵－12＜0，∴当m ＝－b 2a ＝－32时，S 最大＝98.。
专题二中考数学转化思想(含答案)-(K12教育文档)
专题二中考数学转化思想(含答案)-(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（专题二中考数学转化思想(含答案)-(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为专题二中考数学转化思想(含答案)-(word版可编辑修改)的全部内容。
第2讲转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用,•此时需要将所给条件进行转化,这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图,直线y=12x+2分别交x，y轴于点A、C、P•是该直线上在第一象限内的一点,PB⊥x轴，B为垂足,S△ABP=9．（1）求P点坐标；（2)设点R与点P在同一反比例函数的图象上,且点R在直线PB右侧．作RT⊥x轴，•T 为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．分析：（1)求P点坐标,进而转化为求PB、OB的长度，P(m，n)•再转为方程或方程组解，因此是求未知数m，n值．∵S△ABP=9，∴涉及AO长，应先求AO长,由于A是直线y=12x+2与x轴的交点，∴令y=0,得0=12x+2, ∴x=—4, ∴AO=4．∴(4)2m n=9…①又∵点P（m，n）在直线y=12x+2上，∴n=12m+2…②联解①、②得m=2，n=3，∴P（2，3)．（2)令x=0，代入y=12x+2中有y=2，∴OC=2,∴△AOC∽△BRT，设BT=a,RT=b．分类讨论：①当24ba =…①又由P点求出可确定反比例函数y=6 x又∵R(m+a，b)在反比例函数y=6x上∴b=6m a+……②联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．②当24ab=时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a(x-t—1）2+t2（a，t是常数,a≠0,t≠0）•的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2—2x+1上,为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t—1）2+t2经过点B,①求a的值;②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？•若能，求出t的值；若不能,请说明理由．分析：(1）∵y1的顶点为(t+1，t2），代入y2x2-2x+1=(t+1）2-2(t+1）+1=t2+2t+1-2t—∴点A在y2=x2—2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2—2x+1=(x—1）2+0，∴y2顶点B（1,0），因为y1过B点，∴0=a（1—t—1）2+t 2⇒at2+t2=0．∵t≠0,∴t2≠0，∴a=—1．①当a=-1时，y=—（x—t—1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x—t-1）2+t2 x—t—1=±t∴x1=t+t+1=2t+1， x2=—t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．而FD=OD—OF=t+1-1=t，AD=t2,∴AF2=t2+t2=AE2，FE=OE—OF=2t+1—1=2t．令EF2=AF2+AE2，则有（2t)2=2（t2+t2),4t2=2t4+2t2，∵t≠0,∴t2-1=0，∴t=±1．情况二：E（1，0），F（2t+1，0)用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE—OD=1-（t+1)，t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去)，t2=-1．故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．中考样题看台1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，—3）两点．（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；（2)如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．2．（2003,南宁）如图，已知E是△ABC的内心,∠A的平分线交BC于点F，•且与△ABC的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF:FA=1:3，求DE的长．3．（2003,山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的,过点A 1的直线分别与BC 1、BE 交于M 、N,且被直线MN 分成面积相等的上、下两部分． （1）求1MB +1NB的值； (2)求MB 、NB 的长;（3)将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN 间的距离．D 2C 2B 1A 1D 1C 1BCAEDNM F4．（2004，云南）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A,以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？东北ABNM5．（2004，丽水市)如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米,OB=6厘米，点P•从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发,用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么 （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；(2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C•是否落在直线AB 上，并说明理由；(3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．B Ay xQ PO考前热身训练1．已知抛物线y=（x-2)2—m2（常数m〉0）的顶点为P．（1)写出抛物线的开口方向和P点的坐标；(2）若此抛物线与x轴的两个交点从左到右分别为A、B,并且∠APB=90°,试求△ABP的周长．2．已知m，n是关于x方程x2+（x+2t=0的两个根，且m2，过点Q（m,n)的直线L1与直线L2交于点A（0,t），直线L1，L2分别与x轴的负半轴交于点B、C,如图,△ABC 为等腰三角形．（1)求m，n,t的值；（2）求直线L1，L2的解析式；（3）若P为L2上一点，且△ABO∽△ABP，求P点坐标．l 2Al 1BCy xQO3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，BC 为⊙O 的直径，设AD 边上有一动点P （不运动至A 、D ），BP 交⊙O 于点F,CF 的延长线交AB 于点E ，连结PE ．（1）设BP=x ，CF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当CF=2EF 时,求BP 的长；（3）是否存在点P ，使△AEP ∽△BEC （其对应关系只能是A ↔B ，E ↔E,P ↔C)?如果存在，•试求出AP 的长；如果不存在，请说明理由．BCE答案：中考样题看台1．（1）抛物线解析式是y=—12x2—x+1（2）由题意得：1423ca b c=⎧⎨++=-⎩消去c,得b=-2a-2，•又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴2aba<⎧⎪⎨-<⎪⎩∴b〈0,∴b=—2a—2<0，解得a〉-1，∴a的取值范围是—1〈a<0（3）由抛物线开口向下,且经过点A（0,1）知:它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁,此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1,又∠BAC=90°，∴点A必在以BC为直径的圆上;又∵OA⊥BC于O，∴OA2=OB·OC，又∵b=—2a-2，c=1,∴抛物线方程变为：y=ax2—2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1,0）,C（x2,0），- 11 -则x 1、x 2是方程ax 2-2（a+1）x+1=0的两根，∴x 1·x 2=1a，∴OB ·OC=│x 1│·│x 2│=│x 1x 2│=-x 1x 2,（∵x 1·x 2<0），• ∴OB ·OC=—1a ， 又∵OA 2=OB ·OD,OA=1，∴1=—1a ,解得a=-1， 经检验知:当a=—1时，所确定的抛物线符合题意，故a 的值为-1．2．（1)证明，由已知∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠BED=∠3+∠1，∠5=∠2,∴∠4+∠5=∠3+∠1,即∠EBD=∠BED ．(2）△BFD ∽△ABD ，∴BD 2=AD ·FD ．∵DF ：FA=1：3，AD=8，∴DF ：AD=1:4， ∴184DF =，DF=2cm ，∴BD 2=16,∴DE=BD=4cm ． 3．(1）∵111NB MB A B MB =，即11NB MB MB =-, 得MB+NB=MB ·NB,两边同除以MB ·NB 得1MB +1NB=1． （2）12MB ·NB=52，即MB ·NB=5， 又由（1)可知MB+NB=MB ·NB=5，∴MB 、NB•分别是方程x 2—5x+5=0的两个实数根，x 12∵MB<NB ，∴MB=52-，NB=52+． (3）B 1M=3—22，∴MN=1． 4．解：过A 作AC ⊥MN 于C ，设AC 长为x 米，由题意可知，∠AMC=30°，∠ABC=45°, •∴MC=AC ·cot30°=3x ，BC=AC=x ，∵MC-BC=MB=400,x —x=400．解得x=200（3+1）(米）．•- 12 - ∴x>500，∴不改变方向，输水线路不会穿过居民区．5．解：（1）∵OA=12，OB=6,由题意,得BQ=1×t=t ，OP=1×t=t ．∴OQ=6—t,∴y=12וOP ×OQ=12×t （6-t ）=-12t 2+3t(0≤t ≤6) （2）∵y=-12t 2+3t ，∴当y 有最大值时，t=3， ∴OQ=3，OP=3,即△POQ 是等腰三角形．•把△POQ 沿PQ 翻折后，可得四边形OPCQ 是正方形，∴点C 的坐标是（3，3）,∵A(12,0),B （0，6),∴直线AB 的解析式为y=-12x+6， 当x=3时,y=92≠3， ∴点C 不落在直线AB 上．（3）△POQ ∽△AOB 时,①若OQ OP OB OA =，即6612t t -=,12—2t=t, ∴t=4．②若OQ OP OA OB =，即6126t t -=，6-t=2t ，∴t=2，• ∴当t=4或t=2时，△POQ 与△AOB 相似．考前热身训练1．(1)开口向上，P （2，-m 2）．（2）设对称轴与x 轴交于点C ，令（x —2）2-m 2=0，得x 1=—m+2，x 2=m+2， ∴A （—m+2，0），B （•m+2，0),∴AC=│2-（—m+2）│=m ，(∵m 〉0)由抛物线对称性得PA 2=AC 2+PC 2=m 2+（—m 2）2．∵∠APB=90°，∴易证AC=PC ， B C A y x PO即│m│=│—m2│，∴m1=0，m2=±1．∵m〉0，∴m=1，∴△ABC的周长为AB+2PA=2+2．2．（1)m=-2，，t=（2）L1:y2L2：（3)过B作BP1⊥AC于P1,则P1（3 2过B作BP2⊥AB于P2，则P2（-2,2)．3．（1）y=1x(1〈)．（2)BP=2（3）若△AEP∽△BEC，则AE APBE BC=，易知Rt△BAP≌Rt△CBE，BE=AP．设AP=t（0<t<1），则AE=AB—EB=1-t，∴11t tt-=,∴t=12-±，又∵0<t<1，∴t=12，即P点存在，且AP=12．- 13 -。
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想(含答案)
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。
专题13 化归转化思想(解析版)中考二轮专题复习之数学思想和方法以及常见题型满分练(全国通用)
专题13 化归转化思想【规律总结】化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称。
化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。
一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。
说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。
实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。
【典例分析】例1、“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”判断方程实数根的情况()A. 有三个实数根B. 有两个实数根C. 有一个实数根D. 无实数根【答案】C【解析】【分析】本题考查利用函数的图像解方程的根，考查化归与转化思想，数形结合思想，属于中档题．−1=(x−1)2，由此设出两个函数关系式，在同一坐标系中画出两函可先将方程转化为1x数的图像，由图像的交点个数即可判断方程实数根的情况．【解答】−1=(x−1)2，解：将原方程变形为1x−1，y2=(x−1)2，设y1=1x因为一元二次方程根的个数相当于二次函数与x轴交点的个数，−2根的个数相当于y1和y2交点的个数，则方程x2−2x=1x在坐标系中画出两个函数的图像如图所示：可看出两个函数有一个交点(1,0)，−1有一个实数根，故方程(x−1)2=1x−2有一个实数根，即方程x2−2x=1x故选C．例2、已知a2+a−3=0，那么a2(a+4)的值是___________【答案】9【解析】【分析】此题主要是考查化归思想和整体代入法求代数式的值，先把条件化为a2+a=3，再把原式转化为含a2+a的式子，进行整体代入求值．【解答】解：因为a2+a−3=0，所以a2+a=3．原式=a3+4a2=a3+a2+3a2=a(a2+a)+3a2=3a+3a2=3(a2+a)=3×3=9．例3、阅读材料：关于x 的方程：x +1x =c +1c 的解为：x 1=c,x 2=1c x −1x =c −1c (可变形为x +−1x=c +−1c)的解为x 1=c,x 2=−1cx +2x =c +2c 的解为：x 1=c,x 2=2c x +3x =c +3c 的解为：x 1=c,x 2=3c…根据以上材料解答下列问题：(1)①方程x +1x =2+12的解为______________． ②方程x −1+1x−1=2+12的解为______________． (2)解关于x 的方程：x −3x−2=a −3a−2(a ≠2) 【答案】x 1=2,x 2=12；x 1=3,x 2=32【解析】解：(1)①方程x +1x =2+12的解为：x 1=2,x 2=12； ②根据题意得；x −1=2，x −1=12， 解得：x 1=3,x 2=32．故答案为：①x 1=2,x 2=12；②x 1=3,x 2=32； (2)两边同时减2变形为x −2−3x−2=a −2−3a−2， 解得：x −2=a −2，x −2=−3a−2， 即x 1=a ，x 2=2a−7a−2．(1)①本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解． ②本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．(2)本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．【好题演练】一、选择题1. 关于a ，b 的方程组{(k −1)a −3b = ka −3b = 2有无数组解，那么k 的值是( )．A. 2B. 1C. 3D. 不存在【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x ，y 的方程组有无数组解，两式相减求出关于a ，b 的等式，再根据题意判断即可． 【解答】解：{(k −1)a −3b = k a −3b = 2 ①②, ①−②得，(k −2)a = k −2， ∵方程组有无数组解， ∴k −2 = 0， ∴k = 2， 故选A ．2. 已知方程x +1x =a +1a 的两根分别为a,1a ，则方程x +1x−1=a +1a−1的根是( )A. a,1a−1B. 1a−1,a−1 C. 1a,a−1 D. a,aa−1【答案】D【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程，涉及了转化思想和整体代入的数学方法，考查了学生的观察能力，属于中档题．首先观察已知方程x+1x =a+1a的特点，然后把方程x+1x−1=a+1a−1变形成具有已知方程x+1x =a+1a的特点的形式，从而得出所求方程的根．【解答】解：方程x+1x−1=a+1a−1可以写成x−1+1x−1=a−1+1a−1的形式，∵方程x+1x =a+1a的两根分别为a、1a，∴方程x−1+1x−1=a−1+1a−1的两根的关系式为：x−1=a−1，x−1=1a−1，即方程的根为：x=a或x=aa−1，故方程x+1x−1=a+1a−1的根为a，aa−1，故选D．3.如图，已知点A(1,2)，B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P.点P从点A运动至点B的过程中，关于k值的变化：甲说：“当n=1时，点P在点A位置时，k的值最小．”乙说：“当n=1时，k的值先增大再减小．”丙说：“若要使k 的值逐渐增大，n 的取值范围是n >2.” 三个人的结论中，判断正确的是 ( )A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 都正确【答案】A 【解析】 【分析】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．若n =1，求出正确k 的最大值与最小值即可判断甲、乙的结论；把A 与B 坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n 的范围． 【解答】解：当n =1时，B(5,1)，设线段AB 所在直线的函数表达式为y =ax +b ， 把A(1,2)和B(5,1)代入得：{a +b =25a +b =1, 解得：{a =−14b =94, 则线段AB 所在直线的函数表达式为y =−14x +94； k =xy =x(−14x +94)=−14(x −92)2+8116，∵1≤x ≤5，∴当x =1时，k 取最小值，k min =2； 当x =92时，k 取最大值，k max =8116， 故甲，乙的结论是正确的；当n =2时，A(1,2)，B(5,2)，符合k 的值逐渐增大； 当n ≠2时，线段AB 所在直线的函数表达式为y =n−24x +10−n 4，k =x(n−24x +10−n 4)=n−24(x −n−102n−4)2+(10−n )216(2−n )，当n <2时，k 随x 的增大而增大，则有n−102n−4≥5，≤n<2；此时109≤1，当n>2时，k随x的增大而增大，则有n−102n−4此时n>2，综上，若要使k的值逐渐增大，n的取值范围是n≥10．9故丙的结论是错误的，则甲乙都是正确的，丙的结论是错误的，故选A．4.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作能验证的等式是()A. (a−b)2=a2+2ab+b2B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2+ab=a(a+b)【答案】B【解析】【分析】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用代数式表示图形的面积，运用了转化思想，把实际问题转化成数学问题，并用数学式子表示出来．分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．【解答】解：因为从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2−b2，且拼成的长方形的面积是：(a+b)(a−b)，∴根据剩余部分的面积相等得：a2−b2=(a+b)(a−b)，故选B．5.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是()A. (a−b)2=a2−2ab+b2 B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2 D. a2+ab=a(a+b)【答案】B【解析】【分析】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用代数式表示图形的面积，运用了转化思想，把实际问题转化成数学问题，并用数学式子表示出来．分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．【解答】解：因为从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2−b2，且拼成的长方形的面积是：(a+b)(a−b)，∴根据剩余部分的面积相等得：a2−b2=(a+b)(a−b)，故选B．6.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，则五边形ABCDE的面积为()．A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】D【解析】【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式和转化思想．首先延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，可得△ABC≌△AEF，然后再证得△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，最后根据三角形的面积公式求出结论即可．【解答】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EF+DE=DF，在△ABC与△AEF中，{AB=AE∠ABC=∠AEF BC=EF，∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴AC=AF，在△ACD与△AFD中，{AC=AF CD=DF AD=AD，∴△ACD≌△AFD(SSS)，∴五边形ABCDE的面积是：S=2S△ADF=2×12·DF·AE=2×12×2×2=4．故选D．二、填空题7.小明在解方程√24−x−√8−x=2时采用了下面的方法：由(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=(24−x)−(8−x)=16，又有√24−x−√8−x=2，可得√24−x+√8−x=8，将这两式相加可得{√24−x=5，将√24−x=5两边平方可解得x=−1，经检验x=−1是原方程的解．请√8−x=3你学习小明的方法，解方程√x2+42+√x2+10=16，则x=_______．【答案】±√39【解析】【分析】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法.首先把根式√x2+42+√x2+10有理化，然后分别求出根式√x2+42+√x2+10和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式√x2+42+√x2+10和它的有理化因式的值，求出方程√x2+42+√x2+10=16的解是多少即可．【解答】解：(√x2+42+√x2+10)(√x2+42−√x2+10)=(√x2+42)2−(√x2+10)2=(x²+42)−(x²+10)=32．∵√x2+42+√x2+10=16．∴√x2+42−√x2+10=32÷16=2．∴{√x2+42=7．√x2+10=7∵(√x2+42)²=x²+42=8²=81．∴x=±√39．经检验x=±√39都是原方程的解，故答案为±√39．8.如图所示，在ΔABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N(点E在点N的左侧).若AB=8，AC=9，设ΔAEN周长为m，则m 的取值范围为_____________．【答案】√145<m<17【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、三角形内角和定理、大边对大角、勾股定理及其应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，解题时由DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，AN=CN，即可得△AEN周长等于BC的长，∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，由三角形三边关系即可求得1<BC<17，然后由三角形内角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN<90°，则∠BAC>90°，当∠BAC=90°时由勾股定理易得BC=√AB2+AC2=√145，由“大角对大边”易得BC>√145，进而可得△AEN周长的范围．【解答】解∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE=BE，AN=CN，∴BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN=C△AEN=m，∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，∵AB=8，AC=9，∴1<BC<17，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN，∴∠B+∠C=∠BAE+∠CAN<90°，∴∠BAC>90°，当∠BAC=90°时由勾股定理易得BC=√AB2+AC2=√145，由“大角对大边”易得BC>√145，综上可知√145<BC<17，即√145<m<17，故答案为√145<m<17．9.如图，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BPCE时，EP+BP=_________．交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=13【答案】12【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点。
中考数学复习考点解密化归思想(含解析)
2018年中考数学二轮复习考点解密化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试卷中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯=所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8．因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ，所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BD BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++， 所以222222222a b c ab ac bc ++=++， 即：222()()()0a b b c a c -+-+-= 所以a=b ，a=c ， b=c 所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
2019-2020年中考数学二轮复习-化归思想(附答案)
2019-2020年中考数学二轮复习-化归思想（附答案）Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（嘉峪关，8 分）如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】（自贡，5分）解方程：22(1)5(1)20x x ---+=解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】（达川模拟，6分）如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8． 因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BD BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】（新泰模拟，5分）已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．解：因为222a b c ab ac bc ++=++， 所以222222222a b c ab ac bc ++=++， 即：222()()()0a b b c a c -+-+-= 所以a=b ，a=c ， b=c 所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】（临沂，10分）△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
中考数学二轮专题复习一 化归思想问题(含答案)
考数学专题复习一 化归思想问题一、总体概述数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．二、典型例题【例题1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．【例题2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+=【例题3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．【例题4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．【例题5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c2的关系，并证明你的结论．三、当堂达标一、选择题1．已知|x+y|+（x －2y ）2=0，则（）1221. . . .1112x x x x A B C D y y y y =-=-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-==⎩⎩⎩⎩ 2．一次函数y=kx ＋b 的图象经过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ） 8.2 6 .238.8 6 .23A y x B y x C y x D y x =-+=--=--=--3．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜12B. －5＜m － 2 C ．－2＜m ＜5 D ．－72＜m ＜－l 4．已知11553x xy y x yx xy y +--=--，则的值为（ ） A 、72 B 、－72 C 、27 D 、－275．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m=（ ）A ．6B ．4C ．0D ．4或06．如果表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简2||()a b a b -++的结果等于（ ），A ．2aB ．2bC ．－2aD ．－2b二、填空题7．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x=2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________．8．用配方法把二次函数 y=x2＋3x ＋l 写成 y=（x+m ）2＋n 的形式，则y=__________________-9．若分式293x x -+的值为零，则x=________ 10函数y=2x +中自变量x 的取值范围是_______. 11如果长度分别为5、3、x 的三条线段能组成一个三角形，那么x 的范围是_______.12、点（1，6）在双曲线y= k x上，则k=______． 三、解答题13．解下歹方程（组）： 23664011(1)1x x x x x x -+=+-=----23⑴⑵x+1x215x y x y -=-⎧⎧⎨⎨-+=⎩⎩x+y=10⑶ ⑷2x-y=-114．已知2286250,x y x y ++++=求代数式224442y x x xy y x y--+++2x 的值。
初三数学专题复习(一)化归思想(三、一)
黄冈教育 初中数学专题复习(一) 化归思想本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． 【典型例题剖析】一、转化思想在代数中的应用。
1、解下歹方程（组）： （1）2x+123611x x +=--; (2) x+y=10 2x-y=-1⎧⎨⎩ ；（3）x 2+3x+2=0 ； （4） 22(1)5(1)20x x ---+= 2.如果关于x 的一元二次方程2kx 2k 1x 10-++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【 】 A ．k ＜12 B ．k ＜12且k ≠0 C ．﹣12≤k ＜12 D ．﹣12≤k ＜12且k ≠03.若x 2y+9-与|x ﹣y ﹣3|互为相反数，则x +y 的值为【 】 A ． 3 B ． 9 C ． 12 D ． 27 二、转化思想在函数问题上的应用： 1.函数1y x x=+的图像在【 】 A 第一象限 B .第一、三象限 C .第二象限 D .第二、四象限2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点． （1）求抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM +OM 的最小值．3. 已知：二次函数为y=x 2－x+m ，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标； （2）m 为何值时，顶点在x 轴上方，（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ， 当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．三、转化思想在几何中的应用。
1、如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3，BC=5，求AC 的长。
中考数学综合专题训练【化归思想】精品专题解析
中考数学综合专题训练【化归思想】精品专题解析Ⅰ、专题精讲：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，嘉峪关，8 分）如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】（2005，自贡，5分）解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了． 【例3】（2005，达川模拟，6分）如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8． 因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ．在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BDBE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决． 【例4】（2005，新泰模拟，5分）已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c a b a c b c ++=++，试判断△ABC 的形状．解：因为222a b c ab ac bc ++=++， 所以222222222a b c ab ac bc ++=++， 即：222()()()0a b b c a c -+-+-=所以a=b ，a=c ， b=c所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题． 【例5】（2005，临沂，10分）△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
2024河南中考数学复习 化归思想：解一元一次方程与不等式 强化精练 (含答案)
2024河南中考数学复习化归思想：解一元一次方程与不等式 强化精练 基础题1. (2022青海省卷)根据等式的性质，下列格式变形正确的是( )A. 若a c ＝b c，则a ＝b B. 若ac ＝bc ，则a ＝bC. 若a 2＝b 2，则a ＝bD. 若－13x ＝6，则x ＝－2 2. (2022包头)若m ＞n ，则下列不等式中正确的是( )A. m －2＜n －2B. －12 m ＞－12n C. n －m ＞0 D. 1－2m ＜1－2n3. (2023台州)不等式x ＋1≥2的解集在数轴上表示为( )4. [新考法——纠错改错注重计算过程]小明解方程x ＋12 －1＝x －23的步骤如下：解：①方程两边同乘6，得3(x ＋1)－1＝2(x －2)，②去括号，得3x ＋3－1＝2x －2，③移项，得3x －2x ＝－2－3＋1，④合并同类项，得x ＝－4，以上解题步骤中，开始出错的一步是( )A. ①B. ②C. ③D. ④5. (北师七上P153第13题改编)方程3x －2＝4的解是( )A. x ＝－2B. x ＝2C. x ＝－7D. x ＝76. (2023永州)关于x 的一元一次方程2x ＋m ＝5的解为x ＝1，则m 的值为( )A. 3B. －3C. 7D. －77. (2023陕西)解不等式：3x －52＞2x .8. (2023临沂)解不等式5－2x ＜1－x 2，并在数轴上表示解集．拔高题9. (2022滨州)在物理学中，导体中的电流I 跟导体两端的电压U 、导体的电阻R 之间有以下关系：I ＝U R，去分母得IR ＝U ，那么其变形的依据是( ) A. 等式的性质1 B. 等式的性质2C. 分式的基本性质D. 不等式的性质210. (2023怀化)定义新运算：(a ，b )·(c ，d )＝ac ＋bd ，其中a ，b ，c ，d 为实数．例如：(1，2)·(3，4)＝1×3＋2×4＝11.如果(2x ，3)·(3，－1)＝3，那么x ＝________．参考答案与解析1. A2. D 【解析】A.m －2>n －2，∴不符合题意；B.－12 m <－12n ，∴不符合题意；C.m －n >0，∴不符合题意；D.∵m >n ，∴－2m <－2n ，∴1－2m <1－2n ，∴符合题意．3. B4. A 【解析】方程两边同乘6应为3(x ＋1)－6＝2(x －2)，∴开始出错的步骤为①.5. B 【解析】移项得3x ＝6，解得x ＝2.6. A 【解析】当x ＝1时，2＋m ＝5，∴m ＝3.7. 解：去分母，得3x －5＞4x ，移项，得3x －4x ＞5，合并同类项，得－x ＞5，不等式的两边都除以－1，得x ＜－5.8. 解：去分母，得10－4x <1－x ，移项、合并同类项，得－3x <－9，系数化为1，得x >3，在数轴上表示解集x >3如解图．第8题解图9. B 【解析】将等式I ＝U R，去分母得IR ＝U ，实质上是在等式的两边同时乘R ，用到的是等式的性质2.10. 1 【解析】由题意知(2x ，3)·(3，－1)＝2x ·3＋3×(－1)＝6x －3＝3，∴x ＝1.。
中考数学考试考点解密化归思想(含解析)
2012年中考数学二轮复习考点解密化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容地进一步提炼和概括，是对数学内容地种本质认识，数学方法是实施有关数学思想地一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明地关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现地数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题地意识．初中数学地主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化地方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2地图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点地坐标； （2）求△AOB 地面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点地坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯=所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数地图象相交，说明交点处地横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组地问题，从而求出交点坐标．【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0．所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程地解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1地一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程地特点，含未·知项地都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 地一元二次方程，问题就简单化了．【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 地长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 地延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8．因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ，所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BD BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直地特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 地三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 地形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++， 所以222222222a b c ab ac bc ++=++， 即：222()()()0a b b c a c -+-+-= 所以a=b ，a=c ， b=c 所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=.若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c 2地关系，并证明你地结论．证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 地延长线于D. 设CD 为x ，则有222BD a x =- 根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=．即2222a b bx c ++=.∵0,0b x >>， ∴20bx >，∴222a b c +<.点拨：勾股定理是我们非常熟悉地几何知识，对于直角三角形三边具有：222a b c +=地关系，那么锐角三角形、钝角三角形地三边又是怎样地关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边地关系.Ⅲ、同步跟踪配套试题：（60分 45分钟）一、选择题（每题 3分，共 18分） 1．已知|x+y|+（x －2y ）2=0，则（）1. 1x A y =-⎧⎨=-⎩2 . 1x B y =-⎧⎨=-⎩2. 1x C y =⎧⎨=⎩1.2x D y =⎧⎨=⎩2．一次函数y=kx ＋b 地图象经过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数地表达式是（）8.2 6 .23A y x B y x =-+=--8.8 6 .23C y xD y x =--=-- 3．设一个三角形地三边长为3，l －2m ，8，则m 地取值范围是（）A ．0＜m ＜12 B. －5＜m －2 C ．－2＜m ＜5 D ．－72 ＜m ＜－l 4．已知11553x xy yxy x xy y+--=--，则地值为（） A 、72 B 、－72 C 、27 D 、－275．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m=（） A ．6 B ．4 C ．0 D ．4或06．如果表示a 、b 为两个实数地点在数轴上地位置如图3－l －8所示，那么化简||a b -地结果等于（），A ．2aB ．2bC ．－2aD ．－2b 二、填空题（每题2分，共u 分）7．已知抛物线2y ax bx c =++地对称轴为直线x=2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线地解析式为____________．8．用配方法把二次函数 y=x 2＋3x ＋l 写成 y=（x+m ）2＋n 地形式，则y=____________.9．若分式293x x -+地值为零，则x=________.10函数中自变量x 地取值范围是_______. 11如果长度分别为5、3、x 地三条线段能组成一个三角形，那么x 地范围是_______. 12 点（1，6）在双曲线y= kx 上，则k=______．三、解答题（l 题12分，其余每题6分，共30分） 13．解下歹方程（组）： （1）2x+123611x x +=--; (2) 3x 6401(1)x x x x -+-=--(3) x+y=102x-y=-1⎧⎨⎩ (4)215x y x y -=-⎧⎨-+=⎩14．已知2286250,x y x y ++++=求代数式224442y xx xy y x y--+++2x 的值。
中考专题复习：数学思想方法之化归探讨-19页精选文档
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。化归是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。“化归”是转化和归结的简称。数学问题的解决过程就是一系列化归的过程，中学数学处处都体现出化归的思想，在数学问题的解决过程中，常用的很多数学方法实质就是化归的方法。化归思想是指在解决问题的过程中，有意识地对所研究的问题从一种对象在一定条件下转化为另一对象的思维方式。通常有从未知——已知；复杂——简单；抽象——具体；一般——特殊；综合——单一；高维——低维；多元——一元；困难——容易，以及数学表现形式之间的转化、将实际问题转化为数学问题等。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。体现上述化归思想的有换元法、消元法、配方法、降次法、待定系数法、几何三大变换法、几何问题代数化法、代数问题函数化法、数形结合法等等。
【答案】解：原式= ，
当a = 1，b = 时，原式=2。
【考点】代数式求值，完全平方公式和平方差公式。
【分析】应用完全平方公式和平Fra bibliotek差公式展开后合并同类项，最后代入求值。
【点评】先化简后求值体现了由复杂——简单的化归。
中考数学复习考点解密第五讲化归思想.doc
中考数学复习考点解密第五讲化归思想【专题精讲】数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种木质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力.抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在.因此，在复习吋要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识. 【解题策略】所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易.如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等.【解法精讲】化归思想是初中数学中常用的一种重耍数学思想，其本质就是转化，曾被笛卡儿誉为“万能方法”。
他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。
【考点精讲】考点类型一：方程类例题1：（2017宁夏）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）簡场决定A种陷j品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售.为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润.【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于X、y的二元一次方程组，解Z即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000・m）件，根据总利润二单件利润X购进数量，即可得出、v与m之间的函数关系式，由A种簡品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题.【解答】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元,30^40y=3800根据题意得:40 廿30尸3200答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元.（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000 ・m）件,根据题意得:w= (30 - 20) (1000 -m) + (100 - 80) m=10m+10000.・・・/\种商品的数量不少于B种商品数量的4倍,解得：mW200・・・•在w=10m+10000 中，k=10>0,・・・w的值随m的增大而增大，・••当m二200时，w取最大值,最大值为10X200+10000=12000,・•・当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元.【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出\v与ni之间的函数关系式.考点类型二：代数转化几何类例题2：（2017内江）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°,再沿AC方向前进60m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°,求塔ED的高度.（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】先求tBZDBE=30° , ZBDE=30°,得出BE二DE,然后设EC二x,则BE二2x, DE=2x, DC二3x, BO曲x,然后根据ZDAC=45°,可得AC二CD,列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度. 【解答】解：由题知，ZDBC=60° , ZEBC=30° ,A ZDBE=ZDBC - ZEBC=60° - 30° =30° .又V ZBCD=90° ,・・・ZBDC二90°・ ZDBC=90°・ 60°二30°・・・・ZDBE 二ZBDE.・・・BE二DE.设EC=x,则DE二BE二2EC二2x, DC二EC+DE二x+2x二3x,BC=V B B2-*C M(2X)2-T2=V3X，由题知，ZDAC=45° , ZDCA=90° , AB二20,•••△ACD为等腰直角三角形，・・・AC二DC.x/^x+60二3x,解得：x=30+10 答：塔高约为30+10爲m.考点类型三：四边形转化三角形类：例题3：如图，在等腰三角形纸片ABC屮，AB二AC二10, BC二12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是—10cm,【考点】PC：图形的剪拼.【分析】利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长.【解答】解：如图:过点A作AD丄BC于点D,V AABC 边AB二AOlOcm, BC=12cm,・・・ BD 二DC 二6cm,AAD=8cm,如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其対角线长为：10cm,如图②所示：AD二8cm,连接BC,过点C作CE丄BD于点E,则EC二8cm, BE=2BD=12cm,则BC=4 \/13cnb如图③所示：BD二6cm,由题意可得:AE=6cm, EC=2BE=16cm,故唇丄6霓2V^cm,故答案为：10cm, 2炳cm, 4近^cm.考点类型四例题4：几何转化为代数类例题：（2017浙江义乌）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图•该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，ZACF=ZAFC, ZFAE=Z FEA.若ZACB=21°,则ZECD 的度数是（）B------------ CA. 7°B. 21°C. 23°D. 24°【考点】LB：矩形的性质；JA：平行线的性质.【分析】由矩形的性质得tUZD=90° , AB〃CD, AD〃BC,证出ZFEA=ZECD, ZDAC=ZACB=21° , 由三角形的外角性质得出ZACF=2ZFEA,设ZECD=x,则ZACF=2x, ZACD=3x,在RtZkACD中, 由互余两角关系得出方程，解方程即可.【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，.\ZD=90° , AB〃CD, AD//BC,.\ZFEA=ZECD, ZDAC=ZACB=21° ,VZACF=ZAFC, ZFAE二ZFEA,・•・ ZACF=2ZFEA,设ZECD二x,则ZACF=2x,・・・ZACD二3x,在RtAACD 屮，3x+21° =90° ,解得：x=23°；故选：C.【真题演练】A.・1或3B.・1C. 3D. 1或・3【考点】B3：解分式方程.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：去分母得：3=x2+x - 3x,解得：x=・1或x=3,经检验x二・1是增根，分式方程的根为x=3,故选C2. （2017江苏徐州）（1）解方程：-二一?r（2）解不等式组：j yH想T •【考点】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式组.【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组屮两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.【解答】解：（1）2二一?T，z xfl去分母得：2 （x+1） =3x,解得：x=2,经检验x=2是分式方程的解，故原方程的解为x二2；由①得：x>0；由②得：x<5,故不等式组的解集为0Vx<5.3. （2017齐齐哈尔）已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数，则下列图象【考点】F3： —次函数的图象；K6：三角形三边关系；KH ：等腰三角形的性质.【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于笫三 边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x 的取值范围，然后选择即可.【解答】解：市题意得，2x+y 二10,所以,y= - 2x+10,解不等式①得，x>2.5,解不等式②的，x<5,所以，不等式组的解集是2.5<x<5,正确反映y 与x 之间函数关系的图象是D 选项图象.由三角形的三边关系得,2Z >-2X +10(D 0) VC故选D.4. （2017廿肃张掖）如图，某小区计划在一块长为32n）,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的而积为570於・若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是（）C. (32 ・x) (20 ・x) =32X20 ・ 570D. 32x+2X20x ・ 2x?二570【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm,根据草坪的面枳是570m2,即可列出方程.【解答】解：设道路的宽为xm,根据题意得：(32・2x) (20・x)二570,故选：A.5. (2017甘肃张掖)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A, B两点处，利用测角仪分别対北岸的一观景亭D进行了测量.如图，测得ZDAC二45° , ZDBC二65°.若AB-132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米?(结果精确到1米，参考数据:sin65° =0.91,cos65°【考点】T8：解直角三角形的应用.【分析】过点D 作DE 丄AC,垂足为E,设BE 二x,根据AE 二DE,列出方程即可解决问题.【解答】解：过点D 作DE 丄AC,垂足为E,设BE 二x, 在 RtADEB 中，MUV ZDBC-650 , /• DE=xta.n65° .又 V ZDAC=45°,5.42, tan65° ^2. 14)・・・AE 二DE./. 132+x=xtan65° ,・・・解得X ^115.8,・・・DE Q 248 (米).・・・观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为248米.C E 36. (2017浙江衢州)在直角坐标系中，过原点0及点A (8, 0), C (0, 6)作矩形0ABC 、连结0B,点D 为0B 的中点，点E 是线段AB 上的动点，连结DE,作DF 丄DE,交0A 于点F,连 结EF.已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t(2) 如图2,当点E 在线段AB 上移动的过程中，ZDEF 的大小是否发生变化？如果变化，请 说明理由；如果不变，请求tanZDEF 的值.(3) 连结AD,当AD 将ADEF 分成的两部分的而积Z 比为1： 2时，求相应的t 的值.【考点】L0：四边形综合题.【分析】(1)当t 二3时，点E 为AB 的屮点，由三角形屮位线定理得出DE 〃OA, DE 二*)A 二4, 再市矩形的性质证出DE 丄AB,得出Z0AB 二ZDEA 二90° ,证岀四边形DFAE 是矩形，得出DF 二AE(1) 如图1,当t=3时，求DF 的长.T即可；（2）作DM 丄0A 于M, DN 丄AB 于N,证明四边形DMAN 是矩形,得出ZMDN=90° , DM/7 AB, DN //OA,由平行线得出比例式黔瞿,弟煨，由三角形中位线定理得出DM=^AB 二3,UU rK> uU JUk 乙DN 二寺024，证明△ DMF-ADNE,得出詈器弓再市三角函数定义即可得出答案；（3）作作DM 丄0A 于M, DN 丄AB 于N,若AD 将ADEF 的面积分成1 ： 2的两部分，设AD 交EF于点G,则点G 为EF 的三等分点;①当点E 到达中点Z 前时，NE 二3・t, rflADMF^ADNE 得：MF 二咅（3・t ）,求出AF 二4+MF=-4代入即可求岀t 的值;②当点E 越过中点之后，NE 二t - 3,由厶DMF^ADNE 得：MF 二g （t - 3）,求出AF 二4・MF 二-弓t+孚, 4 4 4 得出G （逖許，专t ）,代入直线AD 的解析式y 二-咅+6求出t 的值即可.【解答】解：（1）当t=3时，点E 为AB 的中点，VA (8, 0), C (0, 6),・・・0A 二8, 006,・・•点D 为0B 的中点，・・・DE 〃OA, DE 二±0A=4, 2•・•四边形OABC 是矩形,A0A1AB,・・・DE 丄AB,A Z0AB=ZDEA=90° ,又・・・DF 丄DE,A ZEDF=90° ,・・・四边形DFAE 是矩形,・・・DF 二AE 二3； 哉-71 2 12 3t ）,求出直线AD 的解析式为 把G （警，訴）（2） ZDEF的大小不变；理由如下:作DM 丄0A 于M, DN 丄AB 于N,如图2所示: •・•四边形OABC 是矩形， ・・・0A 丄AB,・・・四边形DMAN 是矩形，A ZMDN=90° , DM 〃AB, DN 〃OA, ・BO jff DO 盘而五80 Bfc・・•点D 为OB 的中点,・・・M 、N 分别是0A 、AB 的中点， ・・・D\4A B 二3, DN 二2oA 二4, 2 2TZEDF 二90° , :.ZFDM=ZEDN,又 I ZDMF 二 ZDNE 二90° ,AADMF^ADNE,"re 4V ZEDF=90° ,(3)作 DM 丄0A 于 M, DN±AB 于 N, 若AD 将ADEF 的面积分成1： 2的两部分， 设AD 交EF 于点G,则点G 为EF 的三等分点; ①当点E 到达中点之前吋，如图3所示，NE=3-t, 由厶DMF^ADNE 得：\1F 二g (3 ・ t),4・・•点G 为EF 的三等分点,设直线AD 的解析式为y 二kx+b, 把 A (8, 0), D (4, 3)代入得:A tanZDEF= DF.3 DE 4•I AF=4+MF 二If・・・直线AD的解析式为y=- 2X+6,把G （半汀寻t）代入得：t二薯;②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t - 3,由厶DME^ADNE 得：曲二g（t・3）,4・・・AF二4 - MF=- 討罟，・・•点G为EF的三等分点，・・.G （警.1 t）,6 3代入直线AD的解析式y= - -^x+6得：t二£書；4 LT综上所述，当AD将ADEF分成的两部分的面积之比为1： 2时，t的值为普或罟痔4.J -。
中考数学第二轮专题复习八化归思想试题
化归思想时间： 2022.4.12 单位： ……*** 创编者：十乙州Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是施行有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、创造的关键和动力．抓住数学思想方法，擅长迅速调用数学思想方法，更是进步解题才能根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所表达的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到详细等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】〔2021，，8 分〕如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．〔1〕求 A 、B 两点的坐标； 〔2〕求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A 〔－2，4〕B(4，－2〔2〕因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2〕， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既合适于第一个函数，又合适于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】〔2021，，5分〕解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，那么2 y 2—5 y +2=0．所以y 1=2或者y 2=12 ，即x —1＝2或者x —1=12 ．所以x ＝3或者x=32 故原方程的解为x ＝3或者x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．假如把方程展开化简后再求解会非常费事，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有〔x —1〕所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】〔2021，达川模拟，6分〕如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长． 解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，那么得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8．因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BD 2BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】〔2021，模拟，5分〕△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++， 所以222222222a b c ab ac bc ++=++， 即：222()()()0a b b c a c -+-+-= 所以a=b ，a=c ， b=c 所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】〔2021，，10分〕△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．假设90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，那么222a b c +=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考数学综合专题训练【化归思想】精品专题解析Ⅰ、专题精讲：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，嘉峪关，8 分）如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】（2005，自贡，5分）解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】（2005，达川模拟，6分）如图 3－1－2，梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD=3,BC=5，求AC的长．解：过 D作DE⊥AC交BC的延长线于E，则得AD=CE、AC=DE．所以BE=BC+CE=8．因为 AC⊥BD，所以BD⊥DE．因为 AB=CD，所以AC＝BD．所以GD=DE．在Rt△BDE中，BD2＋DE2=BE2所以BD BE=4 2 ，即AC=4 2 .点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】（2005，新泰模拟，5分）已知△ABC的三边为a，b，c，且222++=++，a b c a b a c b c试判断△ABC的形状．解：因为222++=++，a b c ab ac bc所以222222222++=++，a b c ab ac bc即：222-+-+-=()()()0a b b c a c所以a=b，a=c， b=c所以△ABC为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】（2005，临沂，10分）△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若90∠=︒，如图l，根C据勾股定理，则222+=。
若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定a b c理，试猜想22+与c2的关系，并证明你的结论．a b证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D。
设CD 为x ，则有222BD a x =- 根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=． 即2222a b bx c ++=。
∵0,0b x >>， ∴20bx >，∴222a b c +<。
点拨：勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有：222a b c +=的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系. Ⅲ、同步跟踪配套试题：（60分 45分钟）一、选择题（每题 3分，共 18分） 1．已知|x+y|+（x －2y ）2=0，则（ ） 1. 1x A y =-⎧⎨=-⎩ 2 . 1x B y =-⎧⎨=-⎩ 2. 1x C y =⎧⎨=⎩ 1.2x D y =⎧⎨=⎩ 2．一次函数y=kx ＋b 的图象经过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ）8.2 6 .23A y xB y x =-+=-- 8.8 6 .23C y xD y x =--=-- 3．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜12 B. －5＜m － 2 C ．－2＜m ＜5 D ．－72 ＜m ＜－l4．已知11553x xy yxy x xy y+--=--，则的值为（ ） A 、72 B 、－72 C 、27 D 、－275．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m=（ ） A ．6 B ．4 C ．0 D ．4或06．如果表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简||a b - ），A ．2aB ．2bC ．－2aD ．－2b 二、填空题（每题2分，共u 分）7．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x=2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________．8．用配方法把二次函数 y=x 2＋3x ＋l 写成 y=（x+m ）2＋n 的形式，则y=____________。
9．若分式293x x -+的值为零，则x=________。
10函数中自变量x 的取值范围是_______. 11如果长度分别为5、3、x 的三条线段能组成一个三角形，那么x 的范围是_______. 12 点（1，6）在双曲线y= kx 上，则k=______．三、解答题（l 题12分，其余每题6分，共30分） 13．解下歹方程（组）： （1）2x+123611x x +=--; (2) 3x 6401(1)x x x x -+-=-- (3) x+y=10 2x-y=-1⎧⎨⎩ (4) 215x y x y -=-⎧⎨-+=⎩14．已知2286250,x y x y ++++=求代数式 224442y xx xy y x y--+++2x 的值。
15．如图3－l －9，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∠B=60○，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长．16．求直线y=3x ＋1与y=1－5x 的交点坐标。
Ⅳ、同步跟踪巩固试题 （100分 80分钟） 一、选择题（每题3分，共30分）1．若2440y y ++，则xy 值等于（ ） A ．－6 B ． －2 C ．2 D ．6 2．二元一次方程组224x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（ ）1. 6x A y =⎧⎨=⎩ 2. 2x B y =⎧⎨=⎩ 3 . 2x C y =-⎧⎨=⎩ 3.2x D y =⎧⎨=⎩3．已知214237m n x y --+=-是关于x 的二元一次方程，则m 、n 的值是（ ）2. 1m A n =⎧⎨=⎩ 1 . 32m B n =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 1. 32m C n =⎧⎪⎨=⎪⎩ 1.52m D n =⎧⎪⎨=⎪⎩4．下列各组数中既是方程x —2y=4，又是方程2x+2y =1的解的是（ ） A. 21x y =⎧⎨=⎩ B. 112x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ C. 0 2x y =⎧⎨=-⎩ D. 132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 5．函数y x 的取值范围是（ ）A ．x ≥2B ．x ≥0C ．x ≥－2D ．x ≤26．若分式22||2x xx +-值为零，则x 的值是（ ）A ．0或－2B ．－2C ．0D ．2或－2 7. 计算:20032004=( )3 .2.323C D 8.已知 x,y 2690y y -+=，axy-3x=y,则a=( ) 1177A .. . .4444B C D -- 9. 已知y=kx+b,x=1时,y=1；x=2,y=-2, 则k 与b 的值为（ ） k=-1111A. . . .b=1024k k k B C D b b b =-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-⎩⎩⎩⎩ 10 若2117x ax by y bx ay =+=⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩是方程组的解，则（a ＋b ）（a －b ）的值为（ ） 3535. .33A B -C ．－16D ．16 二、填空题（每题 3分，共21分）422______y m n -=32m n+m 11若7x y 与5x 是同类二次根式，则12若22(25)|41|0x y -++=,则x+ 2 y=______．13两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长x(cm ）的范围是___________;14 若2x-3|+(x-y+1)=0;15 若点(,5)B(1,3)P a b a b +--与点关于原点对称，则关于x 的二次三项式222b x ax --可以分解为=____________________.16已知点(3,0)(0,3)(1,)A B C m -，，在同一条直线上，则m=____________.17 如图3－1－10，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12 的矩形，接着把面积为12的矩形等分成两个面积为14 的正方形，再把面积为14 的正方形等分成两个面积为18 的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律计算：11111111+++++++=_____248163264128256. 三、解答题（18、19题各10分，20、21 题各8分，22题13分，共49分）18已知：如图3－1－11所示，现有一六边形铁板 ABCDEF ，其中∠A ＝∠D ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F=120°，AB=10cm ，BC=70cm ，CD=20cm ，DE=4 0cm ，求A F 和EF 的长．19已知：如图3-1－12所示，在△ABC 中，E 是BC 的中点，D 在AC 边上，若AC=1且∠BAC=60°，∠ABC ＝100°，∠DEC=80°，求ABC CDES +2S∆.20 如图 3－1－13所示，正方形边长为山以各边为直径在正方形内画半圆．求所围成图形（阴影部分）的面积。
21 △ABC 的三边长为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边长． 22 已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （－3，6）并且与x 轴相交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P （如图3－1－14） （1）求二次函数的解析式；（2）设D 为线段OC 上一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标。