算法分析第八次作业答案(卜东波)

算法第八次作业答案
第1题：
第八次作业第一题
1、设叶子结点为s,s 为叶子结点说明图中所有与s 有路径相通的结点已经都被访问到，即前面已经访问的结点已经覆盖了叶子节点s 联结的所有边；又所有分支结点之间的边肯定得到完全覆盖（因为输出为所有分支结点），所以输出覆盖了所有边。

2、将FDS 树的顶点访问序列写出来，例如：
V1→V2→V3→V4→V5→V6→V7→V8→V9→V10→V11 设其中的叶子结点为V4，V9，V11 将访问序列从叶子节点处分开，为 V1→V2→V3→V4
V5→V6→V7→V8→V9 V10→V11
对每个序列间隔着取两点之间的边，为 V1----V2 V3----V4
V5----V6 V7----V8 V9 V10----V11
设所取的这些边的个数为c ，边的集合为A,输出的总的点数为v,可以看出v ≤2c(取所取边的两端点，其中包括所有的输出点和部分叶子节点)。

从所取边的两端点观察，A 中的所有边没有重合的端点，最小顶点覆盖(点个数v*）一定会覆盖这些边，所以至少包含A 中的个边的至少一个端点，则c ≤v*。

所以v ≤2v*。

第2题： 第3题：
考虑T 的任意序列三元组，如果这些三元组不与之前新增的三元组冲突，则将他们新增。

令M 表示该算法返回的集合，M ’表示最优三维匹配。

于是M 的大小最少为M ’的三分之一。

因为，每一组三元组(a,b,c)∈M ’至少与M 中的一组三元组相交（否则可以用贪心算法将(a,b,c)新增到M 中）。

M 中的一组三元组，最多仅可以与M ’中的三组三元组冲突，因为M ’中的边是不相交的。

所以M ’中的边数最多为M 中的三倍。

第4题：
答：将问题转化为以下线性规划问题：
1
m in
n
i
i
i w x
=∑
约束条件：01
1,2,...i x for all i n
≤≤=
:1
1,2,...
i j
i i a B x for all
j n ∈≥=∑
令X 为此问题的解， 1
n
LP i
i
i w w x
==∑为最优值
取{}|1/i i H
a x
b =≥
1) H 是一个击中集
证明：因为有
:1
1,2,...i j
i i a B x for all
j n ∈≥=∑
，而对任意的j
B 至
多只有b 个元素，所以至少有一个i j a B ∈使得
1/i x b ≥，即H 和任意
j
B 有交集
2) H 中元素的总权不超过最小可能的b 倍
证明：
()1
i i n
i i i i i LP a H
a H
i w H
w w bx b w x bw ∈∈==≤
≤=∑
∑
∑
设最优击中集为S ，如果i
a S
∈，则i x =1，否则
i
x =0；显然这些x 满足
约束条件，有()1
i n
LP i
i
i i a S
w w x
w w S =∈≤=
=∑∑
,所以()()w H bw S ≤
第5题：
（1）算法如下：
①若i a B >则将i a 从A 中剔除；
②对A 中的元素按从小到大排序得12{,,,}l A a a a =……；
③对A 中的元素进行累加直到1
j
i i a B =>∑，其中1
1
j i i a B -=≤∑且j a B ≤；
④若1
1
12
j i i a B
-=≥
∑则集合121{,,,}j a a a -……即为所求，否则{}j a 为所求；
（2）算法证明：
若i a B >则i a 不会出现在任何可行解中，故删除A 中大于B 的元素不影响整个求解过程，因最优解集合C 的元素总和不大于B 则由上述算法求得的集合的元素总和不小于最优解集合C 的元素总和的1/2。

（3）算法复杂度：
该算法的时间消耗主要用于集合A中元素的排序，（如堆排序），故运行时间不超过(log)
O n n。

第6题：。