2017届上海市宝山区高考数学一模试卷(解析版)

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2017年高考数学真题试题(上海卷)(Word版+答案+解析)

2017年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=________．2.若排列数 P 6m=6×5×4，则m=________．3.不等式x−1x＞1的解集为________．4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________．5.已知复数z 满足z+ 3z =0，则|z|=________． 6.设双曲线x 29﹣y 2b 2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2 ， P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|=________．7.如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是________．8.定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数，则f﹣1（x ）=2的解为________．9.已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x 12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为________．10.已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2 ， n ∈N * ， {b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N * ， {b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=________．11.设a 1、a 2∈R ，且 12+sinα1+ 12+sin(2α2) =2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于________．12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1 ， P 2 ， P 3 ， P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为________．二、选择题13.关于x 、y 的二元一次方程组 {x +5y =02x +3y =4 的系数行列式D 为（）A. |0543| B. |1024| C. |1523| D. |6054|14.在数列{a n }中，a n =（﹣ 12 ）n ， n ∈N * ，则 lim n→∞a n （） A. 等于 −12 B. 等于0 C. 等于 12 D. 不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn+c ，n ∈N * ，则“存在k ∈N * ，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（） A. a≥0 B. b≤0 C. c=0 D. a ﹣2b+c=0 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}，则Ω中元素个数为（）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三、解答题17.如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．（1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 ，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．19.根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4 ，b n =n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ： x 24+y 2 =1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP|= √2 ，求P 的坐标；（2）设P （ 85，35 ），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AQ 的方程．21.设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）．（1）若f （x ）=ax 3+1，求a 的取值范围；（2）若f （x ）是周期函数，证明：f （x ）是常值函数；（3）设f （x ）恒大于零，g （x ）是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g （x ）的最大值．函数h （x ）=f （x ）g （x ）．证明：“h （x ）是周期函数”的充要条件是“f （x ）是常值函数”．答案解析部分一、<b >填空题1.【答案】{3，4}【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【分析】利用交集定义直接求解．2.【答案】3【考点】排列及排列数公式【解析】【解答】解：∵排列数P6m=6×5×4，∴由排列数公式得P63=6×5×4，∴m=3．故答案为：m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．3.【答案】（﹣∞，0）【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x >1⇒1x<0⇒x<0，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．4.【答案】9π【考点】简单空间图形的三视图【解析】【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得43πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积． 5.【答案】 √3【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：由z+ 3z =0，得z 2=﹣3，设z=a+bi （a ，b ∈R ），由z 2=﹣3，得（a+bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=﹣3，即 {a 2−b 2=−32ab =0，解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ．则|z|= √3 ．故答案为： √3 ．【分析】设z=a+bi （a ，b ∈R ），代入z 2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案． 6.【答案】 11【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： x 29﹣y 2b 2=1，其中a= √9 =3，则有||PF 1|﹣|PF 2||=6，又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍）故|PF 2|=11，故答案为：11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案．7.【答案】（﹣4，3，2）【考点】空间中的点的坐标【解析】【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵ DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴ AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，3，2) ．故答案为：（﹣4，3，2）．【分析】由 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果． 8.【答案】 89 【考点】反函数【解析】【解答】解：若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1，由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ），则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ， x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2= 89 ，可得f ﹣1（x ）=2的解为x= 89 ．故答案为： 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 9.【答案】 13【考点】函数的图象，列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C 42=6 ，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）= 26 = 13 ．故答案为： 13 ．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C42=6，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．10.【答案】2【考点】数列递推式【解析】【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴b an = a bn= (b n)2．∴b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．∴b1b4b9b16= (b1b2b3b4)2．∴lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)=2．故答案为：2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，可得b an=a bn= (b n)2．于是b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．即可得出．11.【答案】π4【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+ 12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k1π，k1∈Z．2α2=−π2+2k2π，即α2=−π4+k2π，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π −3π4，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π +3π4﹣（2k1+k2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+ 12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值12.【答案】P1、P3、P4【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形；如图所示，四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，即符合条件的直线l P一定经过点P2，因此：经过点P2的直线有无数条；同时经过点P1和P2的直线仅有1条，同时经过点P3和P2的直线仅有1条，同时经过点P4和P2的直线仅有1条，所以符合条件的点为P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的；由此得出结论．二、<b >选择题13.【答案】C【考点】二阶矩阵【解析】【解答】解：关于x、y的二元一次方程组{x+5y=02x+3y=4的系数行列式：D= |1523|．故选：C．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．14.【答案】B【考点】极限及其运算【解析】【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣12）n，n∈N*，则limn→∞a n= limn→∞(−12)n=0．故选：B．【分析】根据极限的定义，求出limn→∞a n= limn→∞(−12)n的值．15.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A ．【分析】由x 100+k ， x 200+k ， x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出． 16.【答案】 D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则 OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β），当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}中的元素有无穷多对．另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9，由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu+3nv ）2 ，当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确．故选：D ．【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．三、<b >解答题17.【答案】（1）解：∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 = 12×4×2×5 =20（2）解：连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM= 12BC =12√16+4 = √5 ， ∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角， tan ∠A 1MA=AA 1AM= √5= √5 ，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角【解析】【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 ，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.【答案】（1）解：函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 =cos2x+ 12 ，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣ 12 π≤x≤kπ，k ∈Z ， k=1时， 12 π≤x≤π，可得f （x ）的增区间为[ π2 ，π）（2）解：设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，即有cos2A+ 12 =0，解得2A= 23 π，即A= 13 π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，化为c 2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB= 2×√19×2 ＜0，即有B 为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC 的面积为S= 12 bcsinA= 12 ×5×3× √32=15√34【考点】三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 19.【答案】（1）解：∵a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4 ，b n =n+5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935（2）解：令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤ 46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等比数列，∴到第42个月底，单车保有量为a4+a422×39+535﹣b1+b422×42= 430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量【考点】函数模型的选择与应用【解析】【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．20.【答案】（1）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：x24+y2=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|= √2，∴联立{x24+y2=1x2+y2=2，解得P（2√33，√63）（2）解：设M（x0，0），A（0，1），P （ 85，35 ），若∠P=90°，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ • PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即（x 0﹣ 85 ，﹣ 35 ）•（﹣ 85 ， 25）=0， ∴（﹣ 85 ）x 0+ 6425 ﹣ 625 =0，解得x 0= 2920 ．如图，若∠M=90°，则 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即（﹣x 0 ， 1）•（ 85 ﹣x 0 ， 35）=0， ∴ x 02−85x 0+35 =0，解得x 0=1或x 0= 35 ，若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为 2920 ，或1，或 35（3）解：设C （2cosα，sinα），∵ AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0 ， 0），∵|MA|=|MP|，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2 ，整理得：x 0= 34 cosβ，∵ PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣ 54 cosβ，﹣sinβ）， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣ 43 cosα，且sinα= 13 （1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= 23 ，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC 的斜率k AC =﹣ 1−sinα2cosα = √510（负值已舍去），如图．∴直线AQ 为y= √510x+1．【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立{x24+y2=1x2+y2=2，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（85，35），由∠P=90°，求出x0= 2920；由∠M=90°，求出x0=1或x0= 35；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0= 34cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα= 13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．21.【答案】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证【考点】函数的周期性【解析】【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．。

2017年上海市宝山区中学考试数学一模试卷(解析汇报版)

2017年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数C．y＞2 D．y为一切实数4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b，则=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为．9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中是AD和AB的比例中项．10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=．11．计算：2（+3）﹣5=．12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是．14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线．15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1y2．（填不等号）16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为．18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═．三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）19．计算：﹣cos30°+0．20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设=，=，求向量（用向量、表示）．21．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P 处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．22．直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m 与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．23．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．24．如图，二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．2017年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值进行判断即可【解答】解：∵∠A=30°，∴sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，故选：A．2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB，∴AC=AB=，故选：C．3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数C．y＞2 D．y为一切实数【考点】二次函数的定义．【分析】找出二次函数的定义域即可．【解答】解：二次函数y=x2+2x+3的定义域为x为一切实数，故选B4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反【考点】*平面向量．【分析】根据向量的长度和方向，可得答案．【解答】解：A、由=﹣3，得||=3||，故A错误；B、由=﹣3，得||=3||，||：||=3：1，故B错误；C、由=﹣3，得=﹣3方向相反，故C错误；D、由=﹣3，得=﹣3平行且方向相反，故D正确；故选：D．5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向【考点】方向角．【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：如图所示：可得∠1=30°，∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．故选：A．6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限【考点】二次函数的图象；一次函数的性质．【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故选C．二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b，则=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．可直接得到的结果．【解答】解：∵2a=3b，∴=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为1：16．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的面积比为1：16．故答案为1：16．9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中AC是AD和AB的比例中项．【考点】比例线段．【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】解：在△ACD与△ABC中，∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=，∴AC是AD和AB的比例中项．故答案为AC．10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=．【考点】解直角三角形．【分析】先证明△BDC∽△CDA，利用相似三角形的性质求出CD的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA的值．【解答】解：∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°，∴∠BCD=∠A，∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠CDA=90°，∴△BDC∽△CDA，∴CD2=BD•AD，∴CD=6，∴tanA==故答案为：11．计算：2（+3）﹣5=2+．【考点】*平面向量．【分析】可根据向量的加法法则进行计算，可得答案．【解答】解：2（+3）﹣5=2+6﹣5=2+，故答案为：2+．12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为8．【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】延长AG交BC于D，根据重心的概念得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理和重心的性质计算即可．【解答】解：延长AG交BC于D，∵G为△ABC的重心，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=BC=5，AD⊥BC，由勾股定理得，AD==12，∵G为△ABC的重心，∴AG=AD=8，故答案为：8．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是y=5（x﹣2）2+2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．【解答】解：y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度得y=5（x﹣4+2）2+3﹣1，即y=5（x﹣2）2+2．故答案为y=5（x﹣2）2+2．14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2．【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等可求得其对称轴．【解答】解：∵点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，∴其对称轴为x==2故答案为：x=2．15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1＞y2．（填不等号）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定其对称轴，利用增减性进行判断；也可以将A、B两点的坐标分别代入求出纵坐标，再进行判断．【解答】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线x=1，∵﹣＜0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∵2＜3，∴y1＞y2，故答案为：＞．16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=1：2.4．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进13米，水平高度升高了5米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+52=132，解得：x=12，故该斜坡坡度i=5：12=1：2.4．故答案为：1：2.4．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．【分析】由条件可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵特征数为{1、﹣4、3}，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═6：5．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【分析】先根据DE⊥AB，tanA═，AC═8，求得BC=4，CE=3，BD=2，DE=，再过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，根据面积法求得CG和DH的长，最后根据△CFG∽△DFH，得到===即可．【解答】解：∵DE⊥AB，tanA═，∴DE=AD，∵Rt△ABC中，AC═8，tanA═，∴BC=4，AB==4，又∵△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，∴AD=BD=2，DE=，∴Rt△ADE中，AE==5，∴CE=8﹣5=3，∴Rt△BCE中，BE==5，如图，过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，则Rt△BDE中，DH==2，Rt△BCE中，CG==，∵CG∥DH，∴△CFG∽△DFH，∴===．故答案为：6：5．三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）19．计算：﹣cos30°+0．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣+1=+﹣+1=++1．20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设=，=，求向量（用向量、表示）．【考点】*平面向量．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质，可得AE的长，根据线段的和差，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AE，AD的长，根据向量的减法运算，可得答案．【解答】解：（1）由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，=．又DE=BC且AC=6，得AE=AC=4，CE=AC﹣AE=6﹣4=2；（2）如图，由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，=．又AC=6且DE=BC，得AE=AC，AD=AB．==，==．=﹣=﹣．21．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P 处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点P作AB 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形PDBE是矩形，再由∠EPB=45°可知BE=PE=36m，由AE=PE•tan30°得出AE的长，进而可得出结论．【解答】解：如图，过点P作AB 的垂线，垂足为E，∵PD⊥AB，DB⊥AB，∴四边形PDBE是矩形，∵BD=36m，∠EPB=45°，∴BE=PE=36m，∴AE=PE•tan30°=36×=12（m），∴AB=12+36（m）．答：建筑物AB的高为米．22．直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m 与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x 轴的交点．【分析】先根据函数的解析式求出A、B两点的坐标，再求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线m的解析式，画出其图象，利用数形结合即可求解．【解答】解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，∴x=0时，y=6，∴A（0，6），y=0时，x=8，∴B（8，0），∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，∴C（3，0）．设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），将A（0，6）代入，得24a=6，解得a=，∴抛物线m的解析式为y=（x﹣3）（x﹣8），即y=x2﹣x+6；函数图象如右：当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．23．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．【分析】（1）利用AA证明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS证明△CAF∽△CBE（2）证出∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC=，AC=3，由勾股定理得出AB=BC=AC=，得出BF=BC﹣FC=，由三角函数即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°=∠ABC，又∵∠FCE=∠ACB，∴△CEF∽△CAB，∴，又∵∠ACF=∠BCE，∴△CAF∽△CBE；（2）∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF=∠CBE，∵∠BAC=∠BCA=45°，∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC=，∵AE：EC=2：1，∴AC=3，∴AB=BC=AC=，∴BF=BC﹣FC=，∴．24．如图，二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-公式法；平行四边形的性质．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A，C两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式；（2）先过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系；（3）由于AC确定，可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象上，∴0=16a+6+2，解得a=﹣，∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2；∴点C的坐标为（0，2），设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AC的函数解析式为：；（2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，∴D（m，﹣m2﹣m+2），过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣m2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m，∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，∴S=（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），化简，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，∴|y E|=|y C|=2，∴y E=±2．当y E=2时，解方程﹣x2﹣x+2=2得，x1=0，x2=﹣3，∴点E的坐标为（﹣3，2）；当y E=﹣2时，解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得，x1=，x2=，∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，∴y E=y C=2，∴点E的坐标为（﹣3，2）．综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得=，求出PM，根据△BPQ的面积y=•BQ•PM计算即可问题．（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得=，由此只要求出GH即可解决问题．【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．∵△ABE∽△MPB，∴=，∴=，∴PM=t，当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=•BQ•PM=•2t•t=t2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P在BE上时，∵BQ=2PB，∴只有∠BPQ=90°，才有可能B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似，∴∠BQP=30°，这个显然不可能，∴当点P在BE上时，不存在△PQB与△ABE相似．②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．③当点P在DC上时，设PC=a，当=时，∴=，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．（4）如图3中，设EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴m=，在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+8或﹣8﹣8（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°，∴B、I、C、G四点共圆，∴∠BGH=∠BCI，∵∠GBF=∠HBI，∴∠GBH=∠CBI，∴△GBH∽△CBI，∴=，∴=，∴IC=﹣．2017年1月20日。

上海市宝山区高考数学一模试卷解析版

高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B.C.D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0时，辅助角B. 当a＞0，b＜0时，辅助角C. 当a＜0，b＞0时，辅助角D. 当a＜0，b＜0时，辅助角二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x1、x2，若|x1-x2|=2，则k=______．13.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=______．16.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x1、x2，求a的取值范围及x1+x2的值．19.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点．（1）记F1、F2是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F2，当M到F1的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a n}满足a1=1，a2=e（e是自然对数的底数），且，令b n=ln a n（n∈N*）．（1）证明：；（2）证明：是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e-+a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log2（4x+1）-log222x+x=log2（4x+1）-x=f（x）；f（x）=log2（4x+1）-x=log2=log2（2x+）≥log22=1，当且仅当2x=，即x=0时等号成立，故A正确；B：x＞0时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+≥2，当且仅当x2=，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒-＜φ＜0；，故φ=π-arctan（-）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（-）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜-，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|=．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（-，0）准线的方程为x=，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．故答案为：．首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0的两个虚根为x1、x2，可设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R）．∴x1+x2=2a=k，x1x2=a2+b2=2，∵|x1-x2|=2，∴|2bi|=2，联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x1-x2|=2求得a与b的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2，∴圆心（2，-4）到l的距离d==，∴AB=2=2=2．故答案为：2．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[-]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c n=a n•b n=an2+bn+c，则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a n}、{b n}均是等差数列，故{c n}为二次函数，设c n=an2+bn+c，根据前3项，求出a，b，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤=；所以≥a2+≥2=16．当且仅当⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2，）．故答案为：（2，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤=；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴=；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，∴∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，连接B1E，在△C1B1E中，B1C1=2，，=．∴cos∠B1C1E=，∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由题意可得AD∥B1C1，则∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数===．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x1、x2，所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间上关于x=对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和x1+x2的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，可得x=≈7，则A池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%，可得=0.1，即0.92x+0.9x-0.2=0，可得0.9x=，可得x=≈17．则A、B两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得A池每小时剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池每小时剩余原来的81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设M（x，y），-2≤x≤2，F1（-），F2（，0），直线AB 过F2，所以t=由题意得：=|x-|⇒y2=-4x，联立椭圆方程：+=1⇒y2=2-，解得x=-6+4，即M的横坐标是：-6+4．（2）设A（t，y1），B（t，-y1），M（-t，y1），则S△MAB=2t•|2y1|=2t•|y1|，而A在椭圆上，所以，+=1∴1≥2•⇒ty1≤，∴S△MAB≤2，当且仅当t=，即t=y1时取等号，∴t=，这时B（，-1），M（-，1），所以直线MB方程：y=-x；（3）设点A（t，y1），B（t，-y1），M（x0，y0），则直线MA：y=•（x-t）+y1，所以P的坐标（，0）同理直线MB：y=（x-t）-y1，所以Q的坐标（，0）所以|OP|•|OQ|=||，又因为A，M在椭圆上，所以y12=2-t2，y02=2-x02代入|OP|•|OQ|=||=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F1，F2的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴====-．∴是等比数列，公比为-．首项b2-b1=1．∴b n+1-b n=．∴b n=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+……+（b n-b n-1）=0+1+++……+==．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵===1-．当n=2时，取得最小值，=．∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n ≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n ，由，b n=ln a n（n∈N*）．可得==-．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t ≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第11页，共11页。

2017年上海高考数学真题试卷(word解析版)

6 绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）1、考生注意2、1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 5、4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 1. 已知集合 A = {1, 2,3, 4}，集合 B = {3, 4,5}，则 AB =2. 若排列数P m= 6 ⨯ 5 ⨯ 4 ，则m =3. 不等式x -1> 1 的解集为 x4. 已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于5. 已知复数 z 满足 z + 3= 0 ，则| z | =z 6. 设双曲线 x 9- y2 b 2 = 1 (b > 0) 的焦点为 F 1 、 F 2， P 为该双曲线上的一点，若| PF 1 | = 5 ，则| PF 2 | =7. 如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1 的坐标为(4,3, 2) ，则 AC 1 的坐标为- ⎧⎪3x -1, x ≤ 08. 定义在(0, +∞) 上的函数 y = f (x ) 的反函数为 y = f 1(x ) ，若 g (x ) = ⎨ ⎪⎩ f (x ), 为 x > 0奇函数，则 f -1(x ) = 2 的解为119. 已知四个函数：① y = -x ；② y =- ；③ xy = x 3 ；④ y = x 2 . 从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{a } 和{b } ，其中a = n 2 ， n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等的正整数，若对于nnnn任意n ∈ N * ，{b } 的第a 项等于{a } 的第b 项，则lg(b 1b 4b 9b 16 ) =nnnnlg(b 1b 2b 3b 4 )2⎨2x + 3y = 4 n n 211. 设a 、 a ∈ R ，且1+1= 2 ，则| 10π - α - α |的最小值等于122 + sin α2 + sin(2α ) 121212. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P 1 、 P 2 、 P 3 、 P 4 以及四个标记为“#”的点在正方形的顶点处，设集合Ω = {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 }，点P ∈Ω，过 P 作直线l P ，使得不在l P 上的“#”的点分布在l P 的两侧. 用 D 1 (l P ) 和 D 2 (l P ) 分别表示l P 一侧和另一侧的“#”的点到l P 的距离之和. 若过 P 的直线l P 中有且只有一条满足 D 1 (l P ) = D 2 (l P ) ，则Ω 中所有这样的 P 为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 关于 x 、 y 的二元一次方程组⎧x + 5y = 0 ⎩的系数行列式 D 为（）0 5 1 0 A.B. 4 32 4 1 5 6 0 C. D.2 35 414. 在数列{a } 中， a = (- 1)n ， n ∈ N * ，则lim a （）n n2n →∞ n A. 等于- 1 2 B. 等于 0 C. 等于 12D. 不存在15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{x } 的通项 x = an 2+ bn + c ，n ∈ N * ，则“存在k ∈ N * ，使得 x 100+ k 、 x 200+ k 、 x 300+ k 成等差数列”的一个必要条件是（） A. a ≥ 0B. b ≤ 0C. c = 0D. a - 2b + c = 0x 2y 2 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C 1 : 36 + 4= 1 和C : x 2 + y 9 = 1 . P 为C 1 上的动点，Q 为C 2 上的动点， w 是OP ⋅ OQ 的最大值. 记Ω = {(P ,Q ) | P 在C 1 上，Q 在C 2 上，且OP ⋅ OQ = w }，则Ω 中元素个数为（） A. 2 个B. 4 个C. 8 个D. 无穷个三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA 1 的长为 5.（1）求三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积；（2）设 M 是 BC 中点，求直线 A 1M与平面 ABC 所成角的大小.219 2 ⎪⎩ny18. 已知函数 f (x ) = cos 2 x - sin 2 x + 1， x ∈ (0,π ) .2（1）求 f (x ) 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角 A 所对边a = ，角 B 所对边b = 5 ，若 f ( A ) = 0 ，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n (n ∈ N * ) 个月共享单车的投放量和损失量分别为a 和b （单位：辆），nn⎧⎪5n 4 +15, 1 ≤ n ≤ 3其中a n = ⎨-10n + 470, ， b n = n + 5 ，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的 n ≥ 4 累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量 S = -4(n - 46)2 + 8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆Γ : x 2 + 24= 1 ， A 为Γ 的上顶点， P 为Γ 上异于上、下顶点的动点， M 为 x 正半轴上的动点.（1）若 P 在第一象限，且| OP | = ，求 P 的坐标；8 3 P ( , ) 5 5，若以 A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标；（3）若| MA | = | MP | ，直线 AQ 与Γ 交于另一点 C ，且 AQ = 2 A C ， PQ = 4PM ，求直线 AQ 的方程.21. 设定义在 R 上的函数 f (x 1) ≤ f (x 2 ) .f (x ) 满足：对于任意的 x 1 、 x 2 ∈ R ，当 x 1 < x 2 时，都有（2）设（1）若f (x) =ax3+1，求a 的取值范围；（2）若f (x) 为周期函数，证明：f (x) 是常值函数；（3）设f (x) 恒大于零，g(x) 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是g(x) 的最大值.函数h(x) =f (x)g(x) .证明：“h(x) 是周期函数”的充要条件是“ f (x) 是常值函数”.6 2 2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 已知集合 A ={1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} ,则 AB = .【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题【答案】{3, 4}2. 若排列数P m = 6⨯ 5⨯ 4 ,则m = . 【解析】本题考查排列的计算，属于基础题【答案】3x -1 3. 不等式x> 1的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题【答案】(-∞,0)4. 已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，4π R 3 = 36π ⇒ R = 3 ,3所以 S = π R 2 = 9π ，属于基础题【答案】9π5. 已知复数 z 满足 z +3 = 0 ，则 z = .z【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模， z + 3= 0 ⇒ z 2 = -3 设 z = a + bi ，z则 a 2- b 2+ 2abi = -3 ⇒ a = 0, b = ± 3i ,z =，属于基础题【答案】6. 设双曲线x - y 29 b 2= 1(b > 0) 的焦点为 F 1、F 2 , P 为该双曲线上的一点.若 PF 1= 5 ,则 a 2 + b 2 34 PF 2 = .【解析】本题考查双曲线的定义和性质，PF 1 - PF 2 = 2a = 6 （舍），PF 2 - PF 1 = 2a = 6 ⇒ PF 2 = 11【答案】117. 如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若 DB 1 的坐标为(4, 3, 2) ,则 AC 1 的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得 A (4，0，0)，C 1(0，3, 2) ⇒ AC 1 = (-4，3，2) ,属于基础题【答案】(-4，3，2)8. 定义在(0, +∞) 上的函数 y =数，则 f -1(x )=2 的解为.⎧3x -1, x ≤ 0, f (x ) 的反函数 y = f -1(x ) .若 g (x ) = ⎨ ⎩ f (x ), x > 0 为奇函【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题x > 0, -x < 0, g (-x ) = 3-x -1 = -g (x ) ⇒ g (x ) = 1- 1 3x,所以 f (x ) = 1- 1,3x 当 x = 2 时， f (x ) = 8,所以 f 9(8) = 29 【答案】 x = 89119. 已知四个函数：① y = - x ；② y =-；③ y = x 3；④ y = x 2.从中任选 2 个，则事件“所x选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有： C 2 = 6 种，符合题意的就两种：①和③，①和④-11 2 3 4 2 π nnnn1⎧ π ⎨ 1 【答案】310. 已知数列{a } 和{b } ,其中 a = n 2 , n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等的正整数.若对于任意n ∈ N *，{b } 中的第 a 项等于{a } 中的第b 项，则 lg (b 1b 4b 9b 16 )= .nnn lg (b 1b 2b 3b 4 )【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得： b = a ⇒ b = (b )2 ⇒ b = b 2 , b = b 2 , b = b 2 ,b = b 2 ，a nb nn 2n1 1 42 93 16 4lg (b 1b 4b 9b 16 ) lg (b 1b 2b 3b 4 ) lg (bb b b )2lg (b 1b 2b 3b 4 )【答案】211. 设α1，α2 ∈ R ,且12 + sin α+2 + sin(2α = 2 ，则 10π - α)1 - α2的最小值等于. 12【解析】考查三角函数的性质和值域，1∈ ⎡1 ,1⎤，1 ∈ ⎡1 ,1⎤2 + sin α1 ⎢⎣3 ⎥⎦ 2 + sin(2α2 ) ⎢⎣3 ⎥⎦ ，要使 1 + 1 = 2 ⎧ 1 =1 ⎪ 2 + sin α1 则⎨ α1 = - + 2k 1⎪ , k , k ∈ Z 2 + sin α 2 + sin(2α ) 1 π 1 2 1 2 ，⎪ =1 ⎪ α = - + k π ⎪⎩ 2 + sin(2α2 )⎪⎩ 2 4 2 10π -α -α= 10π + 3π - (2k + k )π = π 当2k + k =11时成立 1 2 minπ4 1 2 min4 , 【答案】 412. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P 1, P 2 , P 3 , P 4 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合Ω={P 1, P 2 , P 3 , P 4 } ，点 P ∈Ω .过 P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲” 的点分布在l P 的两侧.用 D 1 (l P ) 和 D 2 (l P ) 分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过 P 的直线l P 中有且只有一条满足 D 1 (l P )=D 2 (l P ) ，则Ω 中所有这样的 P 为.⇒ n所以 = =21 2⎩ ⎨【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。

2017年高考数学真题试卷(上海卷)及解析

2017年高考数学真题试卷（上海卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.关于x、y的二元一次方程组{x+5y=02x+3y=4的系数行列式D为（）A.|0543|B.|1024|C.|1523|D.|6054|2.在数列{an}中，an=（﹣12）n，n∈N*，则limn→∞an（）A.等于−12B.等于0C.等于12D.不存在3.已知a、b、c为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A.a≥0B.b≤0C.c=0D.a﹣2b+c=04.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x236+y24=1和C2：x2+ y29=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是OP→⋅OQ→的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且OP→⋅OQ→=w}，则Ω中元素个数为（）A.2个B.4个C.8个D.无穷个第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明答案第2页，总16页○…………订…………※订※※线※※内※※答※※题※※○…………订…………二、填空题（题型注释）5.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．6.若排列数 P 6m =6×5×4，则m= ．7.不等式x−1x＞1的解集为．8.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于． 9.已知复数z 满足z+ 3z =0，则|z|= ．10.设双曲线 x 29 ﹣ y 2b2 =1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2 ， P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．11.如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1→ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1→的坐标是．12.定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为．13.已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x12 ，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．14.已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2 ， n∈N * ， {b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N * ， {b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则 lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4) = ．15.设a 1、a 2∈R，且 12+sinα1+ 12+sin(2α2) =2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于．16.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1 ， P 2 ， P 3 ， P 4}，点P∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），…订…………○………线…………○…_____考号：___________…订…………○………线…………○…则Ω中所有这样的P 为．三、解答题（题型注释）17.如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．（1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 ，x∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积． 19.根据预测，某地第n （n∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ： x 24+y 2 =1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP|= √2 ，求P 的坐标；（2）设P （ 85 ， 35 ），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且 AQ →=2AC →， PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．21.设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）．（1）若f （x ）=ax 3+1，求a 的取值范围；答案第4页，总16页（2）若f （x ）是周期函数，证明：f （x ）是常值函数；（3）设f （x ）恒大于零，g （x ）是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g （x ）的最大值．函数h （x ）=f （x ）g （x ）．证明：“h（x ）是周期函数”的充要条件是“f（x ）是常值函数”．参数答案1.C【解析】1.解：关于x 、y 的二元一次方程组 {x +5y =02x +3y =4的系数行列式：D= |1523| ．故选：C ．利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解． 2.B【解析】2.解：数列{a n }中，a n =（﹣ 12 ）n ，n∈N *，则 lim n→∞ a n = lim n→∞(−12)n=0．故选：B ．根据极限的定义，求出 lim n→∞ a n = lim n→∞(−12)n的值．3.A【解析】3.解：存在k∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c+a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0． ∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A ．由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出． 4.D【解析】4.解：椭圆C 1： x 236+y 24 =1和C 2：x2+ y 29 =1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则 OP →⋅OQ →=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP →⋅OQ →=w}中的元素有无穷多对．另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9，由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu+3nv ）2，当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确．故选：D ．答案第6页，总16页…○……※※…○……设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．5.{3,4}【解析】5.解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A∩B={3，4}．所以答案是：{3，4}．【考点精析】掌握集合的交集运算是解答本题的根本，需要知道交集的性质：（1）A∩B A ，A∩BB ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB ，反之也成立．6.3【解析】6.解：∵排列数 P 6m =6×5×4， ∴由排列数公式得 P 63=6×5×4 ，∴m=3．所以答案是：m=3．【考点精析】根据题目的已知条件，利用排列与排列数的公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列． 7.（﹣∞,0）【解析】7.解：由x−1x ＞1得：1−1x>1⇒1x<0⇒x <0 ，故不等式的解集为：（﹣∞，0），所以答案是：（﹣∞，0）．8.9π【解析】8.解：球的体积为36π，设球的半径为R ，可得 43 πR 3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR 2=9π．所以答案是：9π．装……………………线…………○…名：__________装……………………线…………○…【考点精析】掌握简单空间图形的三视图是解答本题的根本，需要知道画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等． 9.【解析】9.解：由z+ 3z =0，得z 2=﹣3，设z=a+bi （a ，b∈R），由z 2=﹣3，得（a+bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=﹣3，即 {a 2−b 2=−32ab =0，解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ．则|z|= √3 ．所以答案是： √3 ．【考点精析】利用复数的乘法与除法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知设则；．10.11【解析】10.解：根据题意，双曲线的方程为： x 29 ﹣ y 2b2 =1，其中a= √9 =3，则有||PF 1|﹣|PF 2||=6，又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍）故|PF 2|=11，所以答案是：11．11.（﹣4,3,2）【解析】11.解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，答案第8页，总16页…………订…………线…………○内※※答※※题…………订…………线…………○∵ DB 1→的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴ AC 1→=(−4，3，2) ．所以答案是：（﹣4，3，2）． 12.【解析】12.解：若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1，由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ），则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ，x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2= 89 ，可得f ﹣1（x ）=2的解为x= 89 ．故答案为： 89 ．由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 13.【解析】13.解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3，④y=x12 ，从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C 42=6 ，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，……装…_______姓名：_……装…∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）= 26 = 13 ．故答案为： 13 ．从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C 42=6 ，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率． 14.2【解析】14.解：∵a n =n 2，n∈N *，若对于一切n∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，∴ b a n = a b n = (b n )2．∴b 1=a 1=1， (b 2)2 =b 4， (b 3)2 =b 9， (b 4)2=b 16． ∴b 1b 4b 9b 16= (b 1b 2b 3b 4)2． ∴ lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4) =2．故答案为：2．a n =n 2，n∈N *，若对于一切n∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，可得 b a n = a b n =(b n )2 ．于是b 1=a 1=1， (b 2)2 =b 4， (b 3)2 =b 9， (b 4)2 =b 16．即可得出．15.【解析】15.解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使 12+sinα1+ 12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则： α1=−π2+2k 1π ，k 1∈Z．2α2=−π2+2k 2π ，即 α2=−π4+k 2π ，k 2∈Z．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π −3π4，k 1、k 2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π +3π4﹣（2k 1+k 2）π|的最小值为 π4 ．故答案为： π4 ．答案第10页，总16页…外…………订…………○……内※※答※※题※※…内…………订…………○……由题意，要使 12+sinα1+ 12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值16.P 1、P 3、P 4【解析】16.解：设记为“▲”的四个点为A ，B ，C ，D ，线段AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为E ，F ，G ，H ，易知EFGH 为平行四边形；如图所示，四边形ABCD 两组对边中点的连线交于点P 2，即符合条件的直线l P 一定经过点P 2，因此：经过点P 2的直线有无数条；同时经过点P 1和P 2的直线仅有1条，同时经过点P 3和P 2的直线仅有1条，同时经过点P 4和P 2的直线仅有1条，所以符合条件的点为P 1、P 3、P 4．故答案为：P 1、P 3、P 4．根据任意四边形ABCD 两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的；由此得出结论． 17.（1）解：∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1 == =20（2）解：连结AM ，○…………外…………○…………装…………○订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班考号：___________○…………内…………○…………装…………○订…………○…………线…………○…∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM==，∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角， tan∠A 1MA===，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan ．【解析】17.（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 ，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.（1）解：函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+=cos2x+ ，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣ π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时， π≤x≤π，可得f （x ）的增区间为[ ，π）（2）解：设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，即有cos2A+ =0，答案第12页，总16页外…………○………………○………线………○装※※订※※线※※题※※内…………○………………○………线………○解得2A= π，即A= π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，化为c 2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B 为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC 的面积为S= bcsinA= ×5×3× =【解析】18.（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 19.（1）解：∵a n =，b n =n+5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6 b 2=2+5=7 b 3=3+5=8 b 4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935（2）解：令a n ≥b n ，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n }为公差为﹣10等差数列，而{b n }为等差为1的等比数列，…………装………线…………○…校:___________姓名：_______…………装………线…………○…∴到第42个月底，单车保有量为 ×39+535﹣ ×42= ×39+535﹣ ×42=8782．S 42=﹣4×16+8800=8736． ∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量【解析】19.（1）计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n ≥b n 得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论． 20.（1）解：设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）， ∵椭圆Γ： x 24+y 2 =1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点， P 在第一象限，且|OP|= √2，∴联立 {x 24+y 2=1x 2+y 2=2，解得P （2√33 ， √63）（2）解：设M （x 0，0），A （0，1）， P （ 85，35 ），若∠P=90°，则 PA →• PM →，即（x 0﹣ 85 ，﹣ 35 ）•（﹣ 85 ， 25 ）=0， ∴（﹣ 85 ）x 0+ 6425 ﹣ 625 =0，解得x 0= 2920 ．如图，若∠M=90°，则 MA →• MP →=0，即（﹣x 0，1）•（ 85 ﹣x 0， 35 ）=0， ∴ x 02−85x 0+35 =0，解得x 0=1或x 0= 35 ，答案第14页，总16页○…………装…………※※请※※不※※要※※在※※装※○…………装…………∴点M 的横坐标为 2920 ，或1，或 35（3）解：设C （2cosα，sinα）， ∵ AQ →=2AC →，A （0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0），∵|MA|=|MP|，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2，整理得：x 0= 34 cosβ，∵ PQ →=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， PM →=（﹣ 54 cosβ，﹣sinβ）， PQ→=4PM →，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣ 43 cosα，且sinα= 13 （1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= 23 ，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC 的斜率k AC =﹣ 1−sinα2cosα = √510 （负值已舍去），如图．∴直线AQ 为y= √510 x+1．【解析】20.（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），联立 {x 24+y 2=1x 2+y 2=2，能求出P 点坐标．（2）设M （x 0，0），A （0，1），P （ 85，35 ），由∠P=90°，求出x 0= 2920 ；由∠M=90°，求出x 0=1或x 0= 35 ；由∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．由此能求出点M 的横坐标．（3）设C （2cosα，sinα），推导出Q （4cosα，2sinα﹣1），设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0）推导出x 0= 34 cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣ 43 cosα，且sinα= 13 （1﹣2sinα），由此能求出直线AQ ．21.（1）解：由f （x 1）≤f（x 2），得f （x 1）﹣f （x 2）=a （x 13﹣x 23）≤0， ∵x 1＜x 2，∴x 13﹣x 23＜0，得a≥0．故a 的范围是[0，+∞）（2）证明：若f （x ）是周期函数，记其周期为T k ，任取x 0∈R，则有 f （x 0）=f （x 0+T k ），由题意，对任意x∈[x 0，x 0+T k ]，f （x 0）≤f（x ）≤f（x 0+T k ）， ∴f（x 0）=f （x ）=f （x 0+T k ）．又∵f（x 0）=f （x 0+nT k ），n∈Z，并且 …∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣2T k ]∪[x 0﹣2T k ，x 0﹣T k ]∪[x 0﹣T k ，x 0]∪[x 0，x 0+T k ]∪[x 0+T k ，x 0+2T k ]∪…=R， ∴对任意x∈R，f （x ）=f （x 0）=C ，为常数（3）证明：充分性：若f （x ）是常值函数，记f （x ）=c 1，设g （x ）的一个周期为T g ，则 h （x ）=c 1•g（x ），则对任意x 0∈R，h （x 0+T g ）=c 1•g（x 0+T g ）=c 1•g（x 0）=h （x 0），故h （x ）是周期函数；必要性：若h （x ）是周期函数，记其一个周期为T h ．若存在x 1，x 2，使得f （x 1）＞0，且f （x 2）＜0，则由题意可知， x 1＞x 2，那么必然存在正整数N 1，使得x 2+N 1T k ＞x 1， ∴f（x 2+N 1T k ）＞f （x 1）＞0，且h （x 2+N 1T k ）=h （x 2）．又h （x 2）=g （x 2）f （x 2）＜0，而h （x 2+N 1T k ）=g （x 2+N 1T k ）f （x 2+N 1T k ）＞0≠h（x 2），矛盾．综上，f （x ）＞0恒成立．由f （x ）＞0恒成立，任取x 0∈A，则必存在N 2∈N，使得x 0﹣N 2T h ≤x 0﹣T g ，即[x 0﹣T g ，x 0]⊆[x 0﹣N 2T h ，x 0]，∵…∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣2T k ]∪[x 0﹣2T k ，x 0﹣T k ]∪[x 0﹣T k ，x 0]∪[x 0，x 0+T k ]∪[x 0+T k ，x 0+2T k ]∪…=R，∴…∪[x 0﹣2N 2T h ，x 0﹣N 2T h ]∪[x 0﹣N 2T h ，x 0]∪[x 0，x 0+N 2T h ]∪[x 0+N 2T h ，x 0+2N 2T h ]∪…=R． h （x 0）=g （x 0）•f（x 0）=h （x 0﹣N 2T h ）=g （x 0﹣N 2T h ）•f（x 0﹣N 2T h ）， ∵g（x 0）=M≥g（x 0﹣N 2T h ）＞0，f （x 0）≥f（x 0﹣N 2T h ）＞0．因此若h （x 0）=h （x 0﹣N 2T h ），必有g （x 0）=M=g （x 0﹣N 2T h ），且f （x 0）=f （x 0﹣N 2T h ）=c ．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f （x ）=f （x 0）=C ，为常数．综上，必要性得证【解析】21.（1）直接由f （x 1）﹣f （x 2）≤0求得a 的取值范围；（2）若f （x ）是周期函数，记其周期为T k ，任取x 0∈R，则有f （x 0）=f （x 0+T k ），证明对任意x∈[x 0，x 0+T k ]，f （x 0）≤f（x ）≤f（x 0+T k ），可得f （x 0）=f （x 0+nT k ），n∈Z，再由…∪[x 0﹣3T k ，x 0﹣答案第16页，总16页f （x ）=f （x 0）=C ，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．。

2017上海各区数学一模 24、25汇总 - 解析

2017年上海市一模压轴题解析一、（2017徐汇一模）24．解：（1）∵抛物线32++-=bx x y 与y 轴交于点C ，∴)3,0(C ；又抛物线32++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），∵OC OB =；∴)0,3(B ；∴0339=++-b ,解得2=b ；∴322++-=x x y ；∴)4,1(D ．(2）∵OC OB =，∴︒=∠=∠45OBC OCB ； ∵)3,0(C ，)4,1(D ，∴︒=∠45DCy ；∴︒=︒⨯-︒=∠90452180DCB ;∴3223cot ===∠DC BC DBC ．（3)由322++-=x x y ,可得)0,1(-A ．在AOC ∆和BCD ∆中,3==CDBCAO CO , ︒=∠=∠90DCB AOC ，∴AOC ∆∽BCD ∆，∴CBD ACO ∠=∠；又CBD E OCB ACO ACB ∠+∠=∠+∠=∠,∴︒=∠=∠45OCB E ；当EBM ∆和ABC ∆相似时,已可知CBA E ∠=∠；又点M 在线段CA 延长线上，EBA ACB ∠=∠，∴可得ACB EMB ∠=∠； ∴23==BC MB ；由题意,得直线AC 的表达式为33+=x y ；设)33,(+x x M ． ∴18)33()3(22=++-x x ，解得561-=x ，02=x （舍去）;∴点M 的坐标是)53,56(--． 25．（本题满分14分）解：（1）过点D 作AC DF //．交BP 于点F ．∴21==QE DQ PE DF ；又BC DE //,∴1==ABAC BD EC ; ∴x BD EC ==；y x PE --=3；QPDBAC E F∵AC DF //，∴AB BD AP DF =；即323xy y x =--，∴3239+-=x x y ；定义域为：30<<x ．（2)∵BC DE //,∴PEQ ∆∽PBC ∆；∴当PEQ ∆是等腰三角形时，PBC ∆也是等腰三角形;︒1当BC PB =时，ABC ∆∽PBC ∆；∴AC CP BC ⋅=2；即)3(34y -=，解得35=y ，∴353239=+-x x ,解得1912==x BD ; ︒2当2==BC PC 时，1==y AP ；∴13239=+-x x ,56==x BD ；︒3当PB PC =时，点P 与点A 重合,不合题意．（3）∵BC DE //，∴︒=∠+∠180CBD BDQ ;又CQB ∠和CBD ∠互补，∴︒=∠+∠180CBD CQB ;∴BDQ CQB ∠=∠；∵CE BD =,∴四边形BCED 是等腰梯形;∴CED BDE ∠=∠；∴CED CQB ∠=∠；又CED ECQ CQB DQB ∠+∠=∠+∠，∴ECQ DQB ∠=∠；∴BDQ ∆∽QEC ∆；∴EC DQ QE BD =：即222x DQ =，∴2x DQ =，23x DE =； ∵BC DE //，∴AB AD BC DE =；即33223x x -=；解得 7324254-=x ．二、(2017黄埔一模） 24．（本题满分12分）解：(1）令抛物线的表达式为c bx ax y ++=2,由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++64160390c b a c b a c b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==682c b a ，所以抛物线的表达式为6822+-=x x y . （2）由(1）得平移前抛物线的对称轴为直线x =2，顶点为()2,2-.则平移后抛物线的对称轴为直线x =8，令()0,8a D -，其中0>a ,则()0,8a E +。

上海市宝山区2017届高考数学一模试卷Word版含解析.pdf

2017年上海市宝山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?U B=．3．不等式的解集为．4．椭圆（θ为参数）的焦距为．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）13．设a∈R，则“a=1”A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．11015．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．416．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“ｋ⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“０⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1?A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“Ｎ*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=2．【考点】极限及其运算．【分析】分子、分母都除以n，从而求出代数式的极限值即可．【解答】解：==2，故答案为：2．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?U B={﹣1，0，1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出?U B与A∩?U B即可．【解答】解析：因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，所以?U B={x|x＜2}=（﹣∞，2），且集合A={﹣1，0，1，2，3}，所以A∩?U B={﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}．3．不等式的解集为（﹣2，﹣1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式转化（x+1）（x+2）＜0求解即可．【解答】解：不等式等价于（x+1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴原不等式组的解集为（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．4．椭圆（θ为参数）的焦距为6．【考点】椭圆的参数方程．【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：消去参数θ得：，所以，c==3，所以，焦距为2c=6．故答案为6．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=x+yi，则代入，再由复数相等的充要条件，即可得到x，y的值，则答案可求．【解答】解：设z=x+yi，∴．则=x+yi+2（x﹣yi）=3﹣i，即3x﹣yi=3﹣i，∴x=1，y=1，因此，z=1+i．故答案为：1+i．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得a的值．【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=π=aπ，所以，a=1，故答案为：1．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=2x ﹣1．．【考点】反函数．【分析】求出函数f（x）的解析式，用x表示y的函数，把x与y互换可得答案．【解答】解：函数f（x）=1+log a x图象过点（8，4），可得：4=1+log a8，解得：a=2．∴f（x）=y=1+log2x则：x=2y﹣1，∴反函数为y=2x﹣1．故答案为f﹣1（x）=2x﹣1．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影公式为，代值计算即可．【解答】解：由于向量，，则在的方向上的投影为=．故答案为：9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为18π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积．【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为6，S侧==18π．故答案为18π．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，由此能求出在选出的3人中男、女生均有的概率．【解答】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：p==．故答案为：．11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式T r+1=（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r，即可得出．【解答】解：T r+1==（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r=2，则=144，a＞0，解得a=2．故答案为：2．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为6．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【解答】解：由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，∵n＜2a1+n﹣1，且二者一奇一偶，∴（n，2a1+n﹣1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=﹣1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及纯虚数的定义判断即可．【解答】解：当a=1时，（a﹣1）（a+2）+（a+3）i=4i，为纯虚数，当（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数时，a=1或﹣2，故选：A．14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．110【考点】分层抽样方法．【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500=1350，x=450，所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400因为=，所以，高二学生抽取人数为：=108，故选C．15．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】在（1）中，P（M∪N）==；在（2）中，由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（3）中，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（4）中，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=；（5）由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件．【解答】解：在（1）中，若M、N为互斥事件，且，，则P（M∪N）==，故（1）正确；在（2）中，若，，，则由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（2）正确；在（3）中，若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（3）正确；在（4）中，若，，，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=，故（4）错误；（5）若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（5）正确．故选：D．16．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“ｋ⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“０⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设出函数f（x）的解析式，求出|t的范围，求出|f（t）|的解析式，根据不等式的性质求出其最大值即可．【解答】解：设f（x）=ax2+bx+c，则|f（﹣2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，即，即，∵t+1∈[﹣1，3]，∴|t|≤2，故y=|f（t）|=|t2+t+f（0）|=|f（2）+f（﹣2）+f（0）|≤|t（t+2）|+|t（t﹣2）|+|4﹣t2|=|t|（t+2）+|t|（2﹣t）+（4﹣t2）═（|t|﹣1）2+≤，故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出a=3，h=4，由此能求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）由AB∥A1B1，知∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与AB所成的角．【解答】解：（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，则，解得a=3，h=4，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC?h=．（2）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AB∥A1B1，∴∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），连结B1C，则A1C=B1C=5，在等腰△A1B1C中，cos==，∵∠A1B1C∈（0，π），∴．∴异面直线A1C与AB所成的角为arccos．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k的值，即可求得直线l的倾斜角．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，b==2，∴C的标准方程；（2）由题意可知：椭圆的右焦点（2，0），设直线l的方程为：y=k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2）；整理得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，丨AB丨=?=?=，由丨AB丨=，=，解得：k2=1，故k=±1，经检验，k=±1，符合题意，因此直线l的倾斜角为或．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），可得n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1．n ≥2时，由S n=4x n﹣3，可得x n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，利用y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）与等比数列的求和公式即可得出y n．代入不等式，化简即可得出．【解答】解：（1）∵4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），∴n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1=1．n≥2时，由S n=4x n﹣3，∴x n=S n﹣S n﹣1=4x n﹣3﹣（4x n﹣1﹣3），∴x n=，∴数列{x n}，是等比数列，公比为．∴x n=．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，∴y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）=2+1+++…+=2+=3×﹣1．当n=1时也满足．∴y n=3×﹣1．不等式，化为：=，∴n﹣1＞3，解得n＞4．∴满足不等式的最小正整数n的值为5．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可．（2）根据f（0）=1，求f（x）的解析式，根据在闭区间[2，3]上有实数解，分离λ，可得λ=lg（x+10）﹣，令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．（3）函数f（x）的图象过点（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2转化为，求解x，又∵2+x＞0，即x＞﹣2和n∈N．讨论k的范围可得答案．【解答】解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，f（x）=lg（x+2）那么：不等式；即lg（+2）＞lg10，可得：，且解得：．∴不等式的解集为{x|}（2）∵f（0）=1，可得m=10．∴f（x）=lg（x+10），即lg（x+10）=在闭区间[2，3]上有实数解，可得λ=lg（x+10）﹣令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域．根据指数和对数的性质可知：F（x）是增函数，∴F（x）在闭区间[2，3]上的值域为[lg12﹣，lg13﹣]故得实数λ的范围是[lg12﹣，lg13﹣]．（3）∵函数f（x）的图象过点（98，2），则有：2=lg（98+m）∴m=2．故f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2即，∴，n∈N．解得：＜x＜，n∈N．又∵2+x＞0，即x＞﹣2，∴≥﹣2，n∈N．解得：k，∵k∈Z，∴k≥0．故得任意n∈N均成立，实数x的取值集合为（，），k∈N，n ∈N．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1?A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“Ｎ*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据新定义A+B={a+b|a∈A，b∈B}，结合已知中的集合A，B，可得答案；（2）曲线表示双曲线，进而可得a n=，S n=n2，则S m+S n﹣λＳk ＞0恒成立，?＞λ恒成立，结合m+n=3k，且m≠n，及基本不等式，可得＞，进而得到答案；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，结合已知中“自生集”和“Ｎ*的基底集”的定义，可证得结论；【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线，即，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=，∴a1+a2+a3+…+a n=，∵B=，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（）=3?﹣m=n2，∴S m+S n﹣λＳk＞0恒成立，?＞λ恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴，即实数λ的最大值为；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，理由如下：设整数集合A={x|x=（﹣1）n?F n，n∈N*，n≥2}，其中{F n}为斐波那契数列，即F1=F2=1，F n+2=F n+F n+1，n∈N*，下证：整数集合A既是自生集又是N*的基底集，①由F n=F n+2﹣F n+1得：（﹣1）n?F n=（﹣1）n+2?F n+2+（﹣1）n+1?F n+1，故A是自生集；②对于任意n≥2，对于任一正整数t∈[1，F2n+1﹣1]，存在集合Ar一个有限子集{a1，a2，…，a m}，使得t=a1+a2+…+a m，（|a i＜F2n+1，i=1，2，…，m），当n=2时，由1=1，2=3+1﹣2，3=3，4=3+1，知结论成立；假设结论对n=k时成立，则n=k+1时，只须对任何整数m∈[F2k+1，F2k+3]讨论，若m＜F2k+2，则m=F2k+2+，∈（﹣F2k+1，0），故=﹣F2k+1+m′，m′∈[1，F2k+1），由归纳假设，m′可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+1的元素的和．因为m=F2k+2﹣F2k+1+m′＝（﹣1）2k+2?F2k+2+（﹣1）2k+1?F2k+1+m′，所以m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+3的元素的和．若m=F2k+2，则结论显然成立．若F2k+2＜m＜F2k+3，则m=F2k+2+m′，m′∈[1，F2k+1），由归纳假设知，m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+3的元素的和．所以，当n=k+1时结论也成立；由于斐波那契数列是无界的，所以，任一个正整数都可以表示成集合A的一个有限子集中所有元素的和．因此集合A又是N*的基底集．。

2017上海高考数学试题(含解析) (1)

2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z = 6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A. 0543B. 1024C. 1523D. 605414. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =【解析】{3,4}AB =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = 【解析】3m =3. 不等式11x x ->的解集为【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于【解析】3436393r r S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =【解析】23||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =【解析】226||11a PF =⇒=7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C = 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =【解析】222149161491612341234lg()()2lg()n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为【解析】1P 、3P二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 6054【解析】C14. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在【解析】B15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+= 【解析】A16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个【解析】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅=（2）tanθ== 18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.【解析】（1）1()cos22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =，根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程.【解析】（1）联立22:14x y Γ+=与222x y +=，可得P （2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵4PQ PM =，∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴00133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，解得09x =，019y =-，∴1()3Q ，∴直线AQ 的方程为110y x =+21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。

2017年上海高三数学各区一模试题-数列专题

2017年上海高三数学各区一模试题-数列专题1.（2017宝山区一模）如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为 32.（2017宝山区一模）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）；（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小正整数n 的值；3.（2017崇明县一模）实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+构成的数列（ D ）A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列4.（2017崇明县一模）已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和；（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式；（3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积；解：（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略； 5.（2017金山区一模）若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 2 6.（2017金山区一模）数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=；（1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a与1i a +之间插入i 个(1)ii b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和；（3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；解：（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；7.（2017虹口区一模）若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 2 8.（2017虹口区一模）已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =；（1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围；（3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；解：（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；9.（2017闵行区一模）已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的1b 的值为 210.（2017松江区一模）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2nn n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，则212limn n na a -→∞= 12-11.（2017松江区一模）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”；若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；解：（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；12.（2017浦东新区一模）设数列{}n a 满足21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-；（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、r (2)q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(,)q r ；（3）若11a =，n n c bn =+，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数；解：（1）12n n b -=；（2）(3,5)；（3）2016；13.（2017青浦区一模）已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件的1a 所有可能值的和为 22010314.（2017青浦区一模）如图，已知曲线12:1x C y x =+（0x >）及曲线21:3C y x=（0x >），1C 上的点1P 的横坐标为1a （1102a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P （1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ；（1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标；（2）试求1n a +与n a 之间的关系；（3）证明：21212n n a a -<；解：（1）12(,)23；（2）116n n na a a ++=；（3）略；15.（2017奉贤区一模）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 516.（2017奉贤区一模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n na a +≤≤ *()n N ∈，则称{}n a 是“紧密数列”；（1）若11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”；（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围；解：（1）[2,3]；（2）是；（3）1[,1]2；17.（2017嘉定区一模）若数列{}n a23n n=+（*n N ∈），则1221lim()231n n a a a n n →∞++⋅⋅⋅+=+ 218.（2017嘉定区一模）已知无穷数列{}n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：1a a =， 11n n n rS a a +=-，其中1a ≠，常数r N ∈；（1）求证：2n n a a +-是一个定值；（2）若数列{}n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*n N ∈，都有n T n a a +=成立，则称{}n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列{}n a 是各项均为有理数的等差数列，123n n c -=⋅（*n N ∈），问：数列{}n c 中的所有项是否都是数列{}n a 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例；解：（1）2n n a a r +-=；（2）2T =；（3）不是；19.（2017普陀区一模）已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-；（1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+；（3）设11n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；解：（1）21nn a =-；（2）11202；（3）2m =，12n =；20.（2017徐家汇区一模）已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n nS b n =⋅*()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是 [0,1) 21.（2017徐家汇区一模）正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2k ≥，k N *∈，ka 是1k a -与1kb -的等差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项；（1）若22a =，21b =，求1a 、1b 的值；（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是n a 为常数数列；（3）记||n n n c a b =-，当2n ≥，n N *∈，指出2n c c ++与1c 的大小关系并说明理由；解：（1）12a =12b =（2）略；（3）21n c c c ++<；。

2017届上海市宝山区中考一模数学试卷(带解析)

试卷第1页，共20页绝密★启用前2017届上海市宝山区中考一模数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：91分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n 的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限【答案】C 【解析】试题分析：根据抛物线的顶点在第四象限，得出n ＜0，m ＜0，即可得出一次函数y=mx+n 的图象经过二、三、四象限．试卷第2页，共20页故选C ．考点：1、二次函数的图象；2、一次函数的性质2、如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A ．南偏西30°方向B ．南偏西60°方向C ．南偏东30°方向D ．南偏东60°方向【答案】A 【解析】试题分析：根据题意正确画出图形，可得∠1=30°，由从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，可知从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．故选：A ．考点：方向角3、已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（） A ．的模为3B ．与的模之比为﹣3：1C ．与平行且方向相同D ．与平行且方向相反【答案】D 【解析】试题分析：根据向量的长度和方向，可得 A 、由=﹣3，得||=3||，故A 错误；B 、由=﹣3，得||=3||，||：||=3：1，故B 错误；试卷第3页，共20页C 、由=﹣3，得=﹣3方向相反，故C 错误；D 、由=﹣3，得=﹣3平行且方向相反，故D 正确；故选：D ．考点：平面向量4、二次函数y=x 2+2x+3的定义域为（） A ．x ＞0B ．x 为一切实数C ．y ＞2D ．y 为一切实数【答案】B 【解析】试题分析：根据二次函数y=x 2+2x+3的定义域为x 为一切实数，故选B考点：二次函数的定义5、如果C 是线段AB 的黄金分割点C ，并且AC ＞CB ，AB=1，那么AC 的长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：根据黄金比值由C 是线段AB 的黄金分割点C ，AC ＞CB ，可得AC=AB=，故选：C ．考点：黄金分割6、已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A ．sinA=B ．cosA=C ．tanA=D ．cotA=【答案】A 【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值，由∠A=30°，可知sinA=，cosA=，tanA=，试卷第4页，共20页cotA=，故选：A ．考点：特殊角的三角函数值试卷第5页，共20页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）7、如图，D 为直角△ABC 的斜边AB 上一点，DE ⊥AB 交AC 于E ，如果△AED 沿DE翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果AC=8，tanA=，那么CF ：DF═ ．【答案】6：5 【解析】试题分析：先根据DE ⊥AB ，tanA═，AC═8，求得BC=4，CE=3，BD=2，DE=，再过点C 作CG ⊥BE 于G ，作DH ⊥BE 于H ，根据面积法求得CG=和DH=2，最后根据△CFG ∽△DFH ，得到.考点：1、翻折变换（折叠问题）；2、解直角三角形8、数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax 2+bx+c 的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a 、b 、c 称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a 、b 、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为．【答案】（2，﹣1）试卷第6页，共20页【解析】试题分析：由条件：特征数为{1、﹣4、3}，可求得抛物线解析式y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，求得顶点式可求得抛物线顶点坐标为（2，﹣1）．考点：1、二次函数的性质；2、二次函数的图象9、如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i= ．【答案】1：2.4 【解析】试题分析：设在一个斜坡上前进13米，水平高度升高了5米，此时水平距离为x 米，根据勾股定理，得x 2+52=132，解得：x=12，故该斜坡坡度i=5：12=1：2.4．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 10、已知A （2，y 1）、B （3，y 2）是抛物线y=﹣（x ﹣1）2+的图象上两点，则y 1 y 2．（填不等号）【答案】＞【解析】试题分析：由题意得：抛物线的对称轴是：直线x=1，再由a=﹣＜0，可知当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，然后由2＜3，得到y 1＞y 2．考点：二次函数图象上点的坐标特征11、如果点A （1，2）和点B （3，2）都在抛物线y=ax 2+bx+c 的图象上，那么抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线．【答案】x=2 【解析】试题分析：根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等，可由点A （1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax 2+bx+c 的图象上，得到其对称轴为x==2．考点：二次函数的性质12、二次函数y=5（x ﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是．【答案】y=5（x ﹣2）2+2试卷第7页，共20页【解析】试题分析：按照“左加右减，上加下减”的规律，可由y=5（x ﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度得y=5（x ﹣4+2）2+3﹣1，即y=5（x ﹣2）2+2．考点：二次函数图象与几何变换13、如图，G 为△ABC 的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG 的长为．【答案】8 【解析】试题分析：延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到∠BAD=∠CAD ，根据等腰三角形的性质求出BD=BC=5，由勾股定理得，AD==12，再由G 为△ABC的重心，可得AG=AD=8．考点：1、三角形的重心；2、等腰三角形的性质；3、勾股定理 14、计算：2（+3）﹣5= ．【答案】2+ 【解析】试题分析：可根据向量的加法法则进行计算，可得2（+3）﹣5=2+6﹣5=2+，考点：平面向量试卷第8页，共20页15、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，若CD ⊥AB 于点D ，且BD ＝4，AD ＝9，则tanA ＝_________.【答案】【解析】试题分析：先证明△BDC ∽△CDA ，利用相似三角形的性质得到CD 2=BD•AD ，求出CD=6，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA ．考点：解直角三角形16、如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，如果∠ACD=∠ABC 时，那么图中是AD 和AB 的比例中项．【答案】AC 【解析】试题分析：根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD ∽△ABC 的关系，根据相似三角形的性质，可得，可知AC 是AD 和AB 的比例中项．考点：比例线段17、如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为．【答案】1：16 【解析】试题分析：根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得它们的面积比为1：16．考点：相似三角形的性质试卷第9页，共20页18、已知2a=3b ，则= ．【答案】【解析】试题分析：根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．可直接得到=．考点：比例的性质三、计算题（题型注释）19、计算：﹣cos30°+（1-sin45°）0．【答案】【解析】试题分析：利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．试题解析：﹣cos30°+（1-sin45°）0===．考点：1、实数的运算；2、零指数幂；3、特殊角的三角函数值四、解答题（题型注释）试卷第10页，共20页20、如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 以1cm/秒的速度沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 以2cm/秒的速度沿BC 运动到点C 时停止．设P 、Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ 的面积y 关于t 的函数解析式；（2）求出线段BC 、BE 、ED 的长度；（3）当t 为多少秒时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形和△ABE 相似；（4）如图（3）过E 作EF ⊥BC 于F ，△BEF 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF 中E 、F 的对应点H 、I 恰好和射线BE 、CD 的交点G 在一条直线，求此时C 、I 两点之间的距离．【答案】（1）y=t 2（2）4（3）t=14.5s （4）IC=【解析】试题分析：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt △ABE 中，AB===8，如图1中，作PM ⊥BC 于M ．由△ABE ∽△MPB ，得，求出PM ，根据△BPQ 的面积y=•BQ•PM 计算即可问题．（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论①P 在BE 上，②P 在DE 上，③P 在CD 上，分别求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B 、I 、C 、G 四点共圆，推出∠BGH=∠BCI ，由△GBH ∽△CBI ，可得，由此只要求出GH 即可解决问题．试题解析：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6试卷第11页，共20页在Rt △ABE 中，AB===8，如图1中，作PM ⊥BC 于M ．∵△ABE ∽△MPB ，∴，∴，∴PM=t ，当0＜t≤5时，△BPQ 的面积y=•BQ•PM=•2t•t=t 2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P 在BE 上时， ∵BQ=2PB ，∴只有∠BPQ=90°，才有可能B 、P 、Q 为顶点的三角形和△ABE 相似， ∴∠BQP=30°，这个显然不可能，∴当点P 在BE 上时，不存在△PQB 与△ABE 相似． ②当点P 在ED 上时，观察图象可知，不存在△． ③当点P 在DC 上时，设PC=a ，当时，∴，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s 时，△PQB 与△ABE 相似．（4）如图3中，设EG=m ，GH=n ，试卷第12页，共20页∵DE ∥BC ，∴，∴，∴m=，在Rt △BIG 中，∵BG 2=BI 2+GI 2，∴（）2=62+（8+n ）2，∴n=﹣8+8或﹣8﹣8（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°， ∴B 、I 、C 、G 四点共圆， ∴∠BGH=∠BCI ， ∵∠GBF=∠HBI ， ∴∠GBH=∠CBI ， ∴△GBH ∽△CBI ，∴，∴，∴IC=．考点：二次函数综合题试卷第13页，共20页21、如图，二次函数y=ax 2﹣x+2（a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A （﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E 的坐标．【答案】（1）（2）S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）【解析】试题分析：（1）把点A 的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A ，C 两点的坐标，可求得直线AC 的函数解析式；（2）先过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，运用割补法即可得到：四边形OCDA 的面积=△ADH 的面积+四边形OCDH 的面积，据此列式计算化简就可求得S 关于m 的函数关系；（3）由于AC 确定，可分AC 是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E 与点C 的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E 的坐标．试题解析：（1）∵A （﹣4，0）在二次函数y=ax 2﹣x+2（a≠0）的图象上，∴0=16a+6+2，解得a=﹣，试卷第14页，共20页∴抛物线的函数解析式为y=﹣x 2﹣x+2；∴点C 的坐标为（0，2），设直线AC 的解析式为y=kx+b ，则，解得，∴直线AC 的函数解析式为：；（2）∵点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，∴D （m ，﹣m 2﹣m+2），过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，则DH=﹣m 2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m ，∵四边形OCDA 的面积=△ADH 的面积+四边形OCDH 的面积，∴S=（m+4）×（﹣m 2﹣m+2）+（﹣m 2﹣m+2+2）×（﹣m ），化简，得S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）；（3）①若AC 为平行四边形的一边，则C 、E 到AF 的距离相等， ∴|y E |=|y C |=2， ∴y E =±2．当y E =2时，解方程﹣x 2﹣x+2=2得，x 1=0，x 2=﹣3，∴点E 的坐标为（﹣3，2）；当y E =﹣2时，解方程﹣x 2﹣x+2=﹣2得，x 1=，x 2=，试卷第15页，共20页∴点E 的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若AC 为平行四边形的一条对角线，则CE ∥AF ， ∴y E =y C =2，∴点E 的坐标为（﹣3，2）．综上所述，满足条件的点E 的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．考点：1、二次函数综合题；2、解一元二次方程-公式法；3、平行四边形的性质 22、如图，点E 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），作EF ⊥AC 交边BC 于点F ，联结AF 、BE 交于点G ．（1）求证：△CAF ∽△CBE ；（2）若AE ：EC=2：1，求tan ∠BEF 的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用AA 证明△CEF ∽△CAB ，再列出比例式利用SAS 证明△CAF ∽△CBE（2）证出∴∠BAF=∠BEF ，设EC=1，则EF=1，FC=，AC=3，由勾股定理得出AB=BC=AC=，得出BF=BC ﹣FC=，由三角函数即可得出结果．试卷第16页，共20页试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°， ∵EF ⊥AC ，∴∠FEC=90°=∠ABC ，又∵∠FCE=∠ACB ， ∴△CEF ∽△CAB ，∴，又∵∠ACF=∠BCE ， ∴△CAF ∽△CBE ；（2）∵△CAF ∽△CBE ， ∴∠CAF=∠CBE ， ∵∠BAC=∠BCA=45°， ∴∠BAF=∠BEF ，设EC=1，则EF=1，FC=，∵AE ：EC=2：1， ∴AC=3，∴AB=BC=AC=，∴BF=BC ﹣FC=，∴．考点：1、相似三角形的判定与性质；2、正方形的性质；3、解直角三角形23、直线l ：y=﹣x+6交y 轴于点A ，与x 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线m 与x轴的另一个交点为C ，（C 在B 的左边），如果BC=5，求抛物线m 的解析式，并根据函数图象指出当m 的函数值大于0的函数值时x 的取值范围．【答案】x ＜3或x ＞8 【解析】试题分析：先根据函数的解析式求出A 、B 两点的坐标，再求出点C 的坐标，利用待定试卷第17页，共20页系数法求出抛物线m 的解析式，画出其图象，利用数形结合即可求解．试题解析：∵y=﹣x+6交y 轴于点A ，与x 轴交于点B ，∴x=0时，y=6， ∴A （0，6）， y=0时，x=8， ∴B （8，0），∵过A 、B 两点的抛物线m 与x 轴的另一个交点为C ，（C 在B 的左边），BC=5， ∴C （3，0）．设抛物线m 的解析式为y=a （x ﹣3）（x ﹣8），将A （0，6）代入，得24a=6，解得a=，∴抛物线m 的解析式为y=（x ﹣3）（x ﹣8），即y=x 2﹣x+6；函数图象如右：当抛物线m 的函数值大于0时，x 的取值范围是x ＜3或x ＞8．考点：1、二次函数与不等式（组）；2、待定系数法求二次函数解析式；3、抛物线与x 轴的交点试卷第18页，共20页24、如图，AB 、CD 分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD 大楼的P 处窗口观察AB 大楼的底部B 点的俯角为45°，观察AB 大楼的顶部A 点的仰角为30°，求大楼AB 的高．【答案】【解析】试题分析：过点P 作AB 的垂线，垂足为E ，根据题意可得出四边形PDBE 是矩形，再由∠EPB=45°可知BE=PE=36m ，由AE=PE•tan30°得出AE 的长，进而可得出结论．试题解析：如图，过点P 作AB 的垂线，垂足为E ， ∵PD ⊥AB ，DB ⊥AB ， ∴四边形PDBE 是矩形， ∵BD=36m ，∠EPB=45°， ∴BE=PE=36m ，∴AE=PE•tan30°=36×=12（m ），∴AB=12+36（m ）．答：建筑物AB 的高为米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题25、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ∥BC ，且DE=BC ．（1）如果AC=6，求CE 的长；试卷第19页，共20页（2）设，，求向量(用向量、表示）．【答案】（1）2（2）【解析】试题分析：（1）根据相似三角形的判定与性质，可得AE 的长，根据线段的和差，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AE ，AD 的长，根据向量的减法运算，可得答案．试题解析：（1）由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ，．又DE=BC 且AC=6，得AE=AC=4，CE=AC ﹣AE=6﹣4=2；（2）如图，由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ，．又AC=6且DE=BC ，得AE=AC ，AD=AB ．试卷第20页，共20页，．=．考点：平面向量。

2017宝山数学一模卷及详解

2017年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数C．y＞2 D．y为一切实数4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b，则=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为．9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中是AD和AB的比例中项．10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=．11．计算：2（+3）﹣5=．12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是．14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线．15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1y2．（填不等号）16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为．18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED 沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═．三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）19．计算：﹣cos30°+0．20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设=，=，求向量（用向量、表示）．21．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P 处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．22．直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m 与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．23．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．24．如图，二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．2017年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值进行判断即可【解答】解：∵∠A=30°，∴sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，故选：A．2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB，∴AC=AB=，故选：C．3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数C．y＞2 D．y为一切实数【考点】二次函数的定义．【分析】找出二次函数的定义域即可．【解答】解：二次函数y=x2+2x+3的定义域为x为一切实数，故选B4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反【考点】*平面向量．【分析】根据向量的长度和方向，可得答案．【解答】解：A、由=﹣3，得||=3||，故A错误；B、由=﹣3，得||=3||，||：||=3：1，故B错误；C、由=﹣3，得=﹣3方向相反，故C错误；D、由=﹣3，得=﹣3平行且方向相反，故D正确；故选：D．5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向【考点】方向角．【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：如图所示：可得∠1=30°，∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．故选：A．6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限【考点】二次函数的图象；一次函数的性质．【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故选C．二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b，则=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．可直接得到的结果．【解答】解：∵2a=3b，∴=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为1：16．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的面积比为1：16．故答案为1：16．9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中AC是AD和AB的比例中项．【考点】比例线段．【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】解：在△ACD与△ABC中，∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=，∴AC是AD和AB的比例中项．故答案为AC．10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=．【考点】解直角三角形．【分析】先证明△BDC∽△CDA，利用相似三角形的性质求出CD的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA的值．【解答】解：∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°，∴∠BCD=∠A，∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠CDA=90°，∴△BDC∽△CDA，∴CD2=BD•AD，∴CD=6，∴tanA==故答案为：11．计算：2（+3）﹣5=2+．【考点】*平面向量．【分析】可根据向量的加法法则进行计算，可得答案．【解答】解：2（+3）﹣5=2+6﹣5=2+，故答案为：2+．12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为8．【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】延长AG交BC于D，根据重心的概念得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理和重心的性质计算即可．【解答】解：延长AG交BC于D，∵G为△ABC的重心，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=BC=5，AD⊥BC，由勾股定理得，AD==12，∵G为△ABC的重心，∴AG=AD=8，故答案为：8．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是y=5（x﹣2）2+2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．【解答】解：y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度得y=5（x﹣4+2）2+3﹣1，即y=5（x﹣2）2+2．故答案为y=5（x﹣2）2+2．14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2．【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等可求得其对称轴．【解答】解：∵点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，∴其对称轴为x==2故答案为：x=2．15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1＞y2．（填不等号）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定其对称轴，利用增减性进行判断；也可以将A、B两点的坐标分别代入求出纵坐标，再进行判断．【解答】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线x=1，∵﹣＜0，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∵2＜3，∴y1＞y2，故答案为：＞．16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=1：2.4．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进13米，水平高度升高了5米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+52=132，解得：x=12，故该斜坡坡度i=5：12=1：2.4．故答案为：1：2.4．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．【分析】由条件可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵特征数为{1、﹣4、3}，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED 沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═6：5．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【分析】先根据DE⊥AB，tanA═，AC═8，求得BC=4，CE=3，BD=2，DE=，再过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，根据面积法求得CG和DH的长，最后根据△CFG∽△DFH，得到===即可．【解答】解：∵DE⊥AB，tanA═，∴DE=AD，∵Rt△ABC中，AC═8，tanA═，∴BC=4，AB==4，又∵△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，∴AD=BD=2，DE=，∴Rt△ADE中，AE==5，∴CE=8﹣5=3，∴Rt△BCE中，BE==5，如图，过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，则Rt△BDE中，DH==2，Rt△BCE中，CG==，∵CG∥DH，∴△CFG∽△DFH，∴===．故答案为：6：5．三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）19．计算：﹣cos30°+0．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣+1=+﹣+1=++1．20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设=，=，求向量（用向量、表示）．【考点】*平面向量．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质，可得AE的长，根据线段的和差，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AE，AD的长，根据向量的减法运算，可得答案．【解答】解：（1）由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，=．又DE=BC且AC=6，得AE=AC=4，CE=AC﹣AE=6﹣4=2；（2）如图，由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，=．又AC=6且DE=BC，得AE=AC，AD=AB．==，==．=﹣=﹣．21．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P 处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点P作AB 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形PDBE是矩形，再由∠EPB=45°可知BE=PE=36m，由AE=PE•tan30°得出AE的长，进而可得出结论．【解答】解：如图，过点P作AB 的垂线，垂足为E，∵PD⊥AB，DB⊥AB，∴四边形PDBE是矩形，∵BD=36m，∠EPB=45°，∴BE=PE=36m，∴AE=PE•tan30°=36×=12（m），∴AB=12+36（m）．答：建筑物AB的高为米．22．直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m 与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x 轴的交点．【分析】先根据函数的解析式求出A、B两点的坐标，再求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线m的解析式，画出其图象，利用数形结合即可求解．【解答】解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，∴x=0时，y=6，∴A（0，6），y=0时，x=8，∴B（8，0），∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，∴C（3，0）．设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），将A（0，6）代入，得24a=6，解得a=，∴抛物线m的解析式为y=（x﹣3）（x﹣8），即y=x2﹣x+6；函数图象如右：当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．23．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．【分析】（1）利用AA证明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS证明△CAF∽△CBE（2）证出∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC=，AC=3，由勾股定理得出AB=BC=AC=，得出BF=BC﹣FC=，由三角函数即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°=∠ABC，又∵∠FCE=∠ACB，∴△CEF∽△CAB，∴，又∵∠ACF=∠BCE，∴△CAF∽△CBE；（2）∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF=∠CBE，∵∠BAC=∠BCA=45°，∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC=，∵AE：EC=2：1，∴AC=3，∴AB=BC=AC=，∴BF=BC﹣FC=，∴．24．如图，二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-公式法；平行四边形的性质．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A，C两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式；（2）先过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系；（3）由于AC确定，可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象上，∴0=16a+6+2，解得a=﹣，∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2；∴点C的坐标为（0，2），设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AC的函数解析式为：；（2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，∴D（m，﹣m2﹣m+2），过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣m2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m，∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，∴S=（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），化简，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，∴|y E|=|y C|=2，∴y E=±2．当y E=2时，解方程﹣x2﹣x+2=2得，x1=0，x2=﹣3，∴点E的坐标为（﹣3，2）；当y E=﹣2时，解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得，x1=，x2=，∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，∴y E=y C=2，∴点E的坐标为（﹣3，2）．综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得=，求出PM，根据△BPQ的面积y=•BQ•PM计算即可问题．（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得=，由此只要求出GH即可解决问题．【解答】解：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．∵△ABE∽△MPB，∴=，∴=，∴PM=t，当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=•BQ•PM=•2t•t=t2．（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．（3）①当P在BE上时，∵BQ=2PB，∴只有∠BPQ=90°，才有可能B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似，∴∠BQP=30°，这个显然不可能，∴当点P在BE上时，不存在△PQB与△ABE相似．②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．③当点P在DC上时，设PC=a，当=时，∴=，∴a=，此时t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．（4）如图3中，设EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴m=，在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+8或﹣8﹣8（舍弃），∵∠BIH=∠BCG=90°，∴B、I、C、G四点共圆，∴∠BGH=∠BCI，∵∠GBF=∠HBI，∴∠GBH=∠CBI，∴△GBH∽△CBI，∴=，∴=，∴IC=﹣．2017年1月20日。

2017年上海市高考数学试卷(解析版)

∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}． 2．【解答】解：∵排列数＝6×5×4，
∴由排列数公式得
，
∴m＝3．故答案为：m＝3． 3．【解答】解：由＞1 得：
，
故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）． 4．【解答】解：球的体积为 36π，设球的半径为 R，可得 πR3＝36π，
18．（14 分）已知函数 f（x）＝cos2x﹣sin2x+ ，x∈（0，π）．
（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a＝，角 B 所对边 b＝5，若 f（A）＝0，求△ABC 的面积． 19．（14 分）根据预测，某地第 n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 an 和 bn
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是常值函数”．
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2017 年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．【解答】解：∵集合 A＝{1，2，3，4}，集合 B＝{3，4，5}，
．
4．（4 分）已知球的体积为 36π，则该球主视图的面积等于
．
5．（4 分）已知复数 z 满足 z+ ＝0，则|z|＝
．
6．（4 分）设双曲线 ﹣ ＝1（b＞0）的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1|
＝5，则|PF2|＝
．
7．（5 分）如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的
2017 年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）

2017年上海市高考数学试卷及解析

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=、2、（4分）若排列数=6×5×4，则m=、3、（4分）不等式＞1的解集为、4、（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于、5、（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=、6、（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=、7、（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是、8、（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为、9、（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为、10、（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=、11、（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于、12、（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧、用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和、若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为、二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A、B、C、D、14、（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A、等于B、等于0C、等于D、不存在15、（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）在k∈N*，使得x100+kA、a≥0B、b≤0C、c=0D、a﹣2b+c=016、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值、记Ω={（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A、2个B、4个C、8个D、无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小、18、（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）、（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积、19、（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差、（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）、设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20、（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点、（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程、21、（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）、（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值、函数h（x）=f（x）g（x）、证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”、参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} 、题目分析：利用交集定义直接求解、试题解答：解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}、故答案为：{3，4}、点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用、2、（4分）若排列数=6×5×4，则m=3、题目分析：利用排列数公式直接求解、试题解答：解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3、故答案为：m=3、点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用、3、（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）、题目分析：根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可、试题解答：解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）、点评：本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题、4、（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π、题目分析：由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积、试题解答：解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π、故答案为：9π、点评：本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题、5、（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=、题目分析：设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案、试题解答：解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：、∴、则|z|=、故答案为：、点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题、6、（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11、题目分析：根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案、试题解答：解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11、点评：本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义、7、（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）、题目分析：由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果、试题解答：解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴、故答案为：（﹣4，3，2）、点评：本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题、8、（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为、题目分析：由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值、试题解答：解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=、故答案为：、点评：本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题、9、（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为、题目分析：从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率、试题解答：解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）、事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==、故答案为：、点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用、10、（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2、题目分析：a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，可得==、于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16、即可得出、试题解答：解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==、∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16、∴b1b4b9b16=、∴=2、故答案为：2、点评：本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、11、（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于、题目分析：由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1、求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值试题解答：解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1、则：，k1∈Z、，即，k2∈Z、那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z、∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为、故答案为：、点评：本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查、12、（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧、用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和、若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4、题目分析：根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论、试题解答：解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4、故答案为：P1、P3、P4、点评：本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力、二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A、B、C、D、题目分析：利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解、试题解答：解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=、故选：C、点评：本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用、14、（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A、等于B、等于0C、等于D、不存在题目分析：根据极限的定义，求出a n=的值、试题解答：解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0、故选：B、点评：本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题、15、（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）在k∈N*，使得x100+kA、a≥0B、b≤0C、c=0D、a﹣2b+c=0，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化题目分析：由x100+k简即可得出、、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）试题解答：解：存在k∈N*，使得x100+k2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0、，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0、∴使得x100+k故选：A、点评：本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题、16、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值、记Ω={（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A、2个B、4个C、8个D、无穷个题目分析：设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数、试题解答：解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对、另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确、故选：D、点评：本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题、三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小、题目分析：（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果、（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小、试题解答：解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20、（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan、点评：本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题、18、（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）、（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积、题目分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值、试题解答：解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=、点评：本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题、19、（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差、（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）、设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？题目分析：（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论、试题解答：解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935、（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大、当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782、S42=﹣4×16+8800=8736、∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量、点评：本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题、20、（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点、（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程、题目分析：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标、（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意、由此能求出点M的横坐标、（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ、试题解答：解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）、（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=、如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意、∴点M的横坐标为，或1，或、（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图、∴直线AQ为y=x+1、点评：本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题、21、（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）、（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值、函数h（x）=f（x）g（x）、证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”、题目分析：（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明、类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明试题解答：（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0、故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）、又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h、若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）、又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾、综上，f（x）＞0恒成立、由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=Rh（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0、因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数21/ 21。

2017年上海市高考数学试卷-含答案详解

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为( )A. ∣∣∣0543∣∣∣B. ∣∣∣1024∣∣∣C. ∣∣∣1523∣∣∣D. ∣∣∣6054∣∣∣2. 在数列{a n }中，a n =(−12)n ，n ∈N ∗，则lim n→∞a n ( ) A. 等于−12B. 等于0C. 等于12D. 不存在3. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N ∗，则“存在k ∈N ∗，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是( )A. a ≥0B. b ≤0C. c =0D. a −2b +c =04. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1，P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．记Ω={(P,Q)|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}，则Ω中元素个数为( ) A. 2个 B. 4个 C. 8个D. 无穷个第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 已知集合A ={1,2,3,4}，集合B ={3,4,5}，则A ∩B = ．6. 若排列数P 6m=6×5×4，则m = ______ ． 7. 不等式x−1x>1的解集为．8. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于______ ． 9. 已知复数z 满足z +3z =0，则|z|= ． 10. 设双曲线x 29−y 2b2=1(b >0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．11. 如图，以长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(4,3,2)，则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是12. 定义在(0,+∞)上的函数y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，若g(x)={3x −1,x ≤0f(x),x >0为奇函数，则f −1(x)=2的解为． 13. 已知四个函数：①y =−x ，②y =−1x ，③y =x 3，④y =x 12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．14. 已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N ∗，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N ∗，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= ．15. 设α1，α2∈R ，且12+sinα1+12+sin2α2=2，则|10π−α1−α2|的最小值等于． 16. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1,P 2,P 3,P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )=……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………D 2(l P )，则Ω中所有这样的P 为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。

2017年上海市宝山区高考数学一模试卷含详解

2017年上海市宝山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）=．2．（4分）设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩∁U B=．3．（4分）不等式的解集为．4．（4分）椭圆（θ为参数）的焦距为．5．（4分）设复数z满足（i为虚数单位），则z=．6．（4分）若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为．7．（5分）若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为．8．（5分）已知向量，，则在的方向上的投影为．9．（5分）已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为．10．（5分）某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11．（5分）设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=．12．（5分）如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80B．96C．108D．11015．（5分）设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．416．（5分）在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f（t）|的最大值为（）A．B．3C．D．2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．18．（14分）已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．19．（14分）设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．20．（16分）设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n∈N均成立，求实数x的取值集合．21．（18分）设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1⊆A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）=2．【考点】6F：极限及其运算．【专题】35：转化思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．【分析】分子、分母都除以n，从而求出代数式的极限值即可．【解答】解：==2，故答案为：2．【点评】本题考查了极限的求值运算，是一道基础题．2．（4分）设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩∁U B= {﹣1，0，1} ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据补集与交集的定义，写出∁U B与A∩∁U B即可．【解答】解析：因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，所以∁U B={x|x＜2}=（﹣∞，2），且集合A={﹣1，0，1，2，3}，所以A∩∁U B={﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}．【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目．3．（4分）不等式的解集为（﹣2，﹣1）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】不等式转化（x+1）（x+2）＜0求解即可．【解答】解：不等式等价于（x+1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴原不等式组的解集为（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查分式不等式的解法，基本知识的考查．4．（4分）椭圆（θ为参数）的焦距为6．【考点】QL：椭圆的参数方程．【专题】17：选作题；34：方程思想；4G：演绎法；5S：坐标系和参数方程．【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：消去参数θ得：，所以，c==3，所以，焦距为2c=6．故答案为6．【点评】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．5．（4分）设复数z满足（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=x+yi，则代入，再由复数相等的充要条件，即可得到x，y的值，则答案可求．【解答】解：设z=x+yi，∴．则=x+yi+2（x﹣yi）=3﹣i，即3x﹣yi=3﹣i，∴x=1，y=1，因此，z=1+i．故答案为：1+i．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的充要条件，是基础题．6．（4分）若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为1．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得a的值．【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=π=aπ，所以，a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查行列式的计算，二倍角公式，余弦函数的周期性，属于基础题．7．（5分）若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为f ﹣1（x）=2x﹣1．．【考点】4R：反函数．【专题】33：函数思想；4O：定义法．【分析】求出函数f（x）的解析式，用x表示y的函数，把x与y互换可得答案．【解答】解：函数f（x）=1+log a x图象过点（8，4），可得：4=1+log a8，解得：a=2．∴f（x）=y=1+log2x则：x=2y﹣1，∴反函数为y=2x﹣1．故答案为f﹣1（x）=2x﹣1．【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．8．（5分）已知向量，，则在的方向上的投影为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；38：对应思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】根据投影公式为，代值计算即可．【解答】解：由于向量，，则在的方向上的投影为=．故答案为：【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．9．（5分）已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为18π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积．【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为6，S侧==18π．故答案为18π．【点评】本题考查该圆锥的侧面积，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生，由此能求出在选出的3人中男、女生均有的概率．【解答】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．11．（5分）设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=2．【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5O：排列组合；5P：二项式定理．【分析】利用通项公式T r=（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得+1r，即可得出．【解答】解：T r==（r=0，1，2，…，9）．+1令9﹣2r=5，解得r=2，则=144，a＞0，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为6．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】12：应用题；32：分类讨论；4G：演绎法；5O：排列组合．【分析】由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【解答】解：由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，∵n＜2a1+n﹣1，且二者一奇一偶，∴（n，2a1+n﹣1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=﹣1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．【点评】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义以及纯虚数的定义判断即可．【解答】解：当a=1时，（a﹣1）（a+2）+（a+3）i=4i，为纯虚数，当（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数时，a=1或﹣2，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查纯虚数的定义，是一道基础题．14．（5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80B．96C．108D．110【考点】B3：分层抽样方法．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500=1350，x=450，所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400因为=，所以，高二学生抽取人数为：=108，故选：C．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据比例关系是解决本题的关键．15．（5分）设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】在（1）中，P（M∪N）==；在（2）中，由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（3）中，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（4）中，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=；（5）由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件．【解答】解：在（1）中，若M、N为互斥事件，且，，则P（M∪N）==，故（1）正确；在（2）中，若，，，则由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（2）正确；在（3）中，若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（3）正确；在（4）中，若，，，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=，故（4）错误；（5）若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（5）正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．16．（5分）在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f（t）|的最大值为（）A．B．3C．D．2【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】设出函数f（x）的解析式，求出|t的范围，求出|f（t）|的解析式，根据不等式的性质求出其最大值即可．【解答】解：设f（x）=ax2+bx+c，则|f（﹣2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，即，即，∵t+1∈[﹣1，3]，∴|t|≤2，故y=|f（t）|=|t2+t+f（0）|=|f（2）+f（﹣2）+f（0）|≤|t（t+2）|+|t（t﹣2）|+|4﹣t2|=|t|（t+2）+|t|（2﹣t）+（4﹣t2）═﹣（|t|﹣1）2+≤，故选：C．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质以及不等式的性质，求函数最值问题，是一道中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出a=3，h=4，由此能求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）由AB∥A1B1，知∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与AB所成的角．【解答】解：（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，则，解得a=3，h=4，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC•h=．（2）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AB∥A1B1，∴∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），连结B1C，则A1C=B1C=5，在等腰△A1B1C中，cos==，∵∠A1B1C∈（0，π），∴．∴异面直线A1C与AB所成的角为arccos．【点评】本题考查正三棱柱的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（14分）已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知：设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k的值，即可求得直线l的倾斜角．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，b==2，∴C的标准方程；（2）由题意可知：椭圆的右焦点（2，0），设直线l的方程为：y=k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2）；整理得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，丨AB丨=•=•=，由丨AB丨=，=，解得：k2=1，故k=±1，经检验，k=±1，符合题意，因此直线l的倾斜角为或．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（14分）设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．【考点】8K：数列与不等式的综合．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），可得n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1．n ≥2时，由S n=4x n﹣3，可得x n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．﹣y n=x n=，且y1=2，利用y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n （2）y n+1）与等比数列的求和公式即可得出y n．代入不等式，化简即可﹣y n﹣1得出．【解答】解：（1）∵4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），∴n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1=1．n≥2时，由S n=4x n﹣3，∴x n=S n﹣S n﹣1=4x n﹣3﹣（4x n﹣1﹣3），∴x n=，∴数列{x n}，是等比数列，公比为．∴x n=．（2）y n﹣y n=x n=，且y1=2，+1∴y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）=2+1+++…+=2+=3×﹣1．当n=1时也满足．∴y n=3×﹣1．不等式，化为：=，∴n﹣1＞3，解得n＞4．∴满足不等式的最小正整数n的值为5．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（16分）设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n∈N均成立，求实数x的取值集合．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法．【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可．（2）根据f（0）=1，求f（x）的解析式，根据在闭区间[2，3]上有实数解，分离λ，可得λ=lg（x+10）﹣，令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．（3）函数f（x）的图象过点（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2转化为，求解x，又∵2+x＞0，即x＞﹣2和n∈N．讨论k的范围可得答案．【解答】解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，f（x）=lg（x+2）那么：不等式；即lg（+2）＞lg10，可得：，且解得：．∴不等式的解集为{x|}（2）∵f（0）=1，可得m=10．∴f（x）=lg（x+10），即lg（x+10）=在闭区间[2，3]上有实数解，可得λ=lg（x+10）﹣令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域．根据指数和对数的性质可知：F（x）是增函数，∴F（x）在闭区间[2，3]上的值域为[lg12﹣，lg13﹣]故得实数λ的范围是[lg12﹣，lg13﹣]．（3）∵函数f（x）的图象过点（98，2），则有：2=lg（98+m）∴m=2．故f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2即cos（2n x）＜0对n∈N均成立，若x是满足条件的实数，则有cosx≤﹣，因为，若﹣＜cosx＜0，则cos2x=2cos2x﹣1＜﹣，则cos4x=2cos22x﹣1＞0，所以必有cos（2n x）≤﹣；得|cos（2n x）﹣|≥，又|cos2x+|=2|cosx+||cosx﹣|≥|cosx+|，得|cosx+|≤|cos2x+|，重复运用得到|cosx+|≤…≤|cos（2n x）+|＜n为自然数，∴cosx+=0，级x=2kπ±，k∈Z．验证，当x=2kπ±，k∈Z时，有cos（2n x）=﹣，满足题意．所以，x的取值范围为{x|x=2kπ±，k∈Z}【点评】本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题在对数与三角函数中的运用．有点难度．21．（18分）设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1⊆A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；23：新定义；35：转化思想；37：集合思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5J：集合．【分析】（1）根据新定义A+B={a+b|a∈A，b∈B}，结合已知中的集合A，B，可得答案；（2）曲线表示双曲线，进而可得a n=，S n=n2，则S m+S n﹣λS k ＞0恒成立，⇔＞λ恒成立，结合m+n=3k，且m≠n，及基本不等式，可得＞，进而得到答案；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，结合已知中“自生集”和“N*的基底集”的定义，可证得结论；【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线，即，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=，∴a1+a2+a3+…+a n=，∵B=，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（）=3•﹣m=n2，∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立，⇔＞λ恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴，即实数λ的最大值为；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，理由如下：设整数集合A={x|x=（﹣1）n•F n，n∈N*，n≥2}，其中{F n}为斐波那契数列，即F1=F2=1，F n+2=F n+F n+1，n∈N*，下证：整数集合A既是自生集又是N*的基底集，①由F n=F n+2﹣F n+1得：（﹣1）n•F n=（﹣1）n+2•F n+2+（﹣1）n+1•F n+1，故A是自生集；②对于任意n≥2，对于任一正整数t∈[1，F2n﹣1]，存在集合Ar一个有限子集+1{a1，a2，…，a m}，使得t=a1+a2+…+a m，（|a i＜F2n+1，i=1，2，…，m），当n=2时，由1=1，2=3+1﹣2，3=3，4=3+1，知结论成立；假设结论对n=k时成立，，F2k+3]讨论，则n=k+1时，只须对任何整数m∈[F2k+1，则m=F2k+2+，∈（﹣F2k+1，0），若m＜F2k+2+m′，m′∈[1，F2k+1），故=﹣F2k+1由归纳假设，m′可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k的元素的和．+1﹣F2k+1+m′=（﹣1）2k+2•F2k+2+（﹣1）2k+1•F2k+1+m′，因为m=F2k+2的元素的和．所以m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+3，则结论显然成立．若m=F2k+2＜m＜F2k+3，则m=F2k+2+m′，m′∈[1，F2k+1），若F2k+2的元素的和．由归纳假设知，m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+3所以，当n=k+1时结论也成立；由于斐波那契数列是无界的，所以，任一个正整数都可以表示成集合A的一个有限子集中所有元素的和．因此集合A又是N*的基底集．【点评】本题考查的知识点是新定义“自生集”和“N*的基底集”，双曲线的性质，数列求和，集合的元素，本题综合性强，转化困难，属于难题．。

2017年上海市宝山区中考数学一模试卷(解析版)

2017 年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1．已知∠ A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=2．如果 C 是线段 AB 的黄金分割点C，并且 AC＞ CB，AB=1，那么 AC的长度为（）A．B．C．D．3．二次函数 y=x2+2x+3 的定义域为（）A．x＞0B．x 为一切实数C． y＞ 2D．y 为一切实数4．已知非零向量、之间满足=﹣3 ，下列判断正确的是（）A．的模为 3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西 30°方向B．南偏西 60°方向C．南偏东 30°方向D．南偏东 60°方向6．二次函数2+n 的图象如图，则一次函数 y=mx+n 的图象经过（）y=a（x+m）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限二、填空题：（本大题共 12 小题，每题 4 分，满分 48 分）7．已知 2a=3b，则=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为．9．如图， D 为△ ABC 的边 AB 上一点，如果∠ ACD=∠ABC 时，那么图中是AD 和 AB 的比例中项．10．如图，△ ABC中∠ C=90°，若 CD⊥AB 于 D，且 BD=4，AD=9，则 tanA=．11．计算： 2（3）﹣5 =．+12．如图， G 为△ ABC的重心，如果 AB=AC=13，BC=10，那么 AG 的长为．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3 向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是．14．如果点 A（1，2）和点 B（3，2）都在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，那么抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线．15．已知 A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线 y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则 y1y2．（填不等号）16．如果在一个斜坡上每向上前进13 米，水平高度就升高了 5 米，则该斜坡的坡度 i=．17 ．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c 的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c 称为该抛物线的特征数，记作：特征数{ a、b、c} ，（请你求）在研究活动中被记作特征数为 {1、﹣ 4、3}的抛物线的顶点坐标为．18．如图， D 为直角△ ABC 的斜边 AB 上一点， DE⊥AB 交 AC 于 E，如果△ AED沿 DE 翻折， A 恰好与 B 重合，联结 CD交 BE于 F，如果 AC═8，tanA═，那么CF：DF═．三、解答题：（本大题共 7 小题，满分 78 分）19．计算：﹣cos30°+．20．如图，在△ ABC中，点 D、E 分别在边 AB、AC上，如果 DE∥BC，且 DE= BC．（1）如果 AC=6，求 CE的长；（2）设 = ，= ，求向量（用向量、表示）．21．如图，AB、CD 分别表示两幢相距36 米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P 处窗口观察 AB 大楼的底部 B 点的俯角为 45°，观察 AB 大楼的顶部 A 点的仰角为30°，求大楼 AB的高．22．直线 l：y=﹣ x+6 交 y 轴于点 A，与 x 轴交于点 B，过 A、B 两点的抛物线 m与x 轴的另一个交点为 C，（C 在 B 的左边），如果 BC=5，求抛物线 m 的解析式，并根据函数图象指出当 m 的函数值大于 0 的函数值时 x 的取值范围．23．如图，点 E 是正方形 ABCD的对角线 AC 上的一个动点（不与A、C 重合），作EF⊥AC交边 BC于点 F，联结 AF、BE交于点G．（ 1）求证：△ CAF∽△ CBE；（ 2）若 AE：EC=2：1，求 tan∠ BEF的值．24．如图，二次函数y=ax2﹣ x+2（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 A（﹣ 4， 0）．（1）求抛物线与直线 AC 的函数解析式；（2）若点 D（ m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形 OCDA的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系；（3）若点 E 为抛物线上任意一点，点 F 为 x 轴上任意一点，当以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E 的坐标．25．如图（ 1）所示， E 为矩形 ABCD的边 AD 上一点，动点 P、 Q 同时从点 B 出发，点 P 以 1cm/ 秒的速度沿折线 BE﹣ED﹣ DC运动到点 C 时停止，点 Q 以 2cm/秒的速度沿 BC 运动到点 C 时停止．设 P、 Q 同时出发 t 秒时，△ BPQ的面积为ycm2．已知 y 与 t 的函数关系图象如图（ 2）（其中曲线 OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（ 2）求 0＜ t ≤ 5 时，△ BPQ的面积 y 关于 t 的函数解析式；（2）求出线段 BC、 BE、 ED的长度；（3）当 t 为多少秒时，以 B、 P、Q 为顶点的三角形和△ ABE相似；（4）如图（ 3）过 E 作 EF⊥BC于 F，△ BEF绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度，如果△ BEF中 E、F 的对应点 H、I 恰好和射线 BE、CD 的交点 G 在一条直线，求此时 C、I 两点之间的距离．2017 年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1．已知∠ A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值进行判断即可【解答】解：∵∠ A=30°，∴ sinA= ，cosA=，tanA=，cotA=，故选： A．2．如果 C 是线段 AB 的黄金分割点C，并且 AC＞ CB，AB=1，那么 AC的长度为（）A．B．C．D．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵ C 是线段 AB 的黄金分割点 C， AC＞ CB，∴ AC=AB=，故选： C．3．二次函数 y=x2+2x+3 的定义域为（）A．x＞0B．x 为一切实数C． y＞ 2D．y 为一切实数【考点】二次函数的定义．【分析】找出二次函数的定义域即可．【解答】解：二次函数 y=x2+2x+3 的定义域为 x 为一切实数，故选 B4．已知非零向量、之间满足=﹣3 ，下列判断正确的是（）A．的模为 3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反【考点】 * 平面向量．【分析】根据向量的长度和方向，可得答案．【解答】解： A、由 =﹣3 ，得 | | =3| | ，故 A 错误；B、由=﹣3 ，得 | | =3| | ，| | ：| | =3：1，故 B 错误；C、由=﹣3 ，得=﹣3 方向相反，故 C 错误；D、由 =﹣ 3 ，得 =﹣3 平行且方向相反，故 D 正确；故选：D．5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西 30°方向B．南偏西 60°方向C．南偏东 30°方向D．南偏东 60°方向【考点】方向角．【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：如图所示：可得∠ 1=30°，∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东 30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西 30°方向．故选： A．．二次函数2+n 的图象如图，则一次函数 y=mx+n 的图象经过（）6y=a（x+m）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限【考点】二次函数的图象；一次函数的性质．【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n 的图象经过二、三、四象限．【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣ m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数 y=mx+n 的图象经过二、三、四象限，故选 C．二、填空题：（本大题共 12 小题，每题 4 分，满分 48 分）7．已知 2a=3b，则=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．可直接得到的结果．【解答】解：∵ 2a=3b，∴=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为1：16．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的面积比为1：16．故答案为 1：16．9．如图， D 为△ ABC的边 AB 上一点，如果∠ ACD=∠ABC时，那么图中 AC是AD 和 AB 的比例中项．【考点】比例线段．【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ ACD∽△ ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】解：在△ ACD与△ ABC中，∠ACD=∠ ABC，∠ A=∠A，∴△ ACD∽△ ABC，∴ = ，∴AC是 AD 和 AB 的比例中项．故答案为 AC．10．如图，△ ABC中∠ C=90°，若 CD⊥ AB 于 D，且 BD=4，AD=9，则 tanA=．【考点】解直角三角形．【分析】先证明△ BDC∽△ CDA，利用相似三角形的性质求出 CD的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出 tanA 的值．【解答】解：∵∠ BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°，∴∠ BCD=∠A，∵CD⊥AB，∴∠ BDC=∠CDA=90°，∴△ BDC∽△ CDA，2∴ CD =BD?AD，∴ CD=6，∴ tanA= =故答案为：11．计算： 2（ +3 ）﹣5 = 2 +．【考点】 * 平面向量．【分析】可根据向量的加法法则进行计算，可得答案．【解答】解：2（ +3 ）﹣ 5 =2 +6 ﹣5 =2 + ，故答案为： 2 + ．12．如图， G 为△ ABC的重心，如果 AB=AC=13，BC=10，那么 AG 的长为 8．【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】延长 AG 交 BC于 D，根据重心的概念得到∠ BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质求出 BD，根据勾股定理和重心的性质计算即可．【解答】解：延长AG 交 BC于 D，∵G 为△ABC的重心，∴∠ BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BD= BC=5，AD⊥ BC，由勾股定理得， AD==12，∵G 为△ABC的重心，∴ AG= AD=8，故答案为： 8．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3 向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长2度，得到的函数解析式是y=5（x﹣2） +2．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．【解答】解： y=5（x﹣4）2+3 向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度得y=5（x﹣4+2）2 +3﹣1，即 y=5（x﹣2）2 +2．故答案为 y=5（x﹣2）2+2．（，）和点（，）都在抛物线2+bx+c 的图象上，那么抛14．如果点 A 1 2 B 32y=ax物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等可求得其对称轴．【解答】解：∵点 A（1，2）和点 B（3，2）都在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，∴其对称轴为 x==2故答案为： x=2．15．已知 A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线 y=﹣（x﹣1）2+ 的图象上两点，则 y1＞ y2．（填不等号）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定其对称轴，利用增减性进行判断；也可以将A、 B 两点的坐标分别代入求出纵坐标，再进行判断．【解答】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线x=1，∵﹣＜0，∴当 x＞1 时， y 随 x 的增大而减小，∵2＜3，∴y1＞y2，故答案为：＞．16．如果在一个斜坡上每向上前进13 米，水平高度就升高了 5 米，则该斜坡的坡度 i= 1：2.4．【考点】解直角三角形的应用 -坡度坡角问题．【分析】根据在一个斜坡上前进 5 米，水平高度升高了 1 米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进13 米，水平高度升高了 5 米，此时水平距离为 x 米，根据勾股定理，得x2+52=132，解得： x=12，故该斜坡坡度 i=5：12=1：2.4．故答案为： 1：2.4．17 ．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c 的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数 a、b、c 称为该抛物线的特征数，记作：特征数 { a、b、c} ，（请你求）在研究活动中被记作特征数为 { 1、﹣ 4、3} 的抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．【分析】由条件可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵特征数为 { 1、﹣ 4、 3} ，∴抛物线解析式为y=x2﹣ 4x+3=（x﹣2）2﹣ 1，∴抛物线顶点坐标为（ 2，﹣ 1），故答案为：（ 2，﹣ 1）．18．如图， D 为直角△ ABC 的斜边沿DE 翻折，A 恰好与B 重合，联结CF：DF═ 6：5 ．AB 上一点， DE⊥AB 交 AC 于 E，如果△ AED CD交 BE于 F，如果 AC═8，tanA═，那么【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【分析】先根据 DE⊥AB，tanA═，AC═ 8，求得BC=4，CE=3，BD=2，DE=，再过点 C 作 CG⊥BE于 G，作 DH⊥BE于 H，根据面积法求得CG和 DH 的长，最后根据△ CFG∽△ DFH，得到= ==即可．【解答】解：∵ DE⊥AB，tanA═，∴DE= AD，∵Rt△ABC中， AC═8，tanA═，∴ BC=4， AB==4 ，又∵△ AED沿 DE翻折， A 恰好与 B 重合，∴AD=BD=2 ， DE= ，∴ Rt△ADE中， AE==5，∴CE=8﹣ 5=3，∴ Rt△BCE中， BE==5，如图，过点 C 作 CG⊥ BE于 G，作 DH⊥ BE于 H，则Rt△ BDE中， DH==2，Rt△ BCE中， CG==，∵CG∥DH，∴△ CFG∽△ DFH，∴===．故答案为： 6：5．三、解答题：（本大题共 7 小题，满分 78 分）19．计算：﹣cos30°+．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式 =﹣1=﹣1=1．++++ +20．如图，在△ ABC中，点 D、E 分别在边 AB、AC上，如果 DE∥BC，且 DE= BC．（ 1）如果 AC=6，求 CE的长；（ 2）设= ，= ，求向量（用向量、表示）．【考点】 * 平面向量．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质，可得 AE的长，根据线段的和差，可得答案；（ 2）根据相似三角形的判定与性质，可得AE，AD 的长，根据向量的减法运算，可得答案．【解答】解：（1）由 DE∥BC，得△ADE∽△ ABC，= ．又 DE= BC且 AC=6，得AE= AC=4，CE=AC﹣AE=6﹣4=2；（ 2）如图，由DE∥ BC，得△ADE∽△ ABC，= ．又 AC=6且 DE= BC，得AE= AC，AD= AB．==，==．=﹣=﹣．21．如图，AB、CD 分别表示两幢相距36 米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P 处窗口观察 AB 大楼的底部 B 点的俯角为 45°，观察 AB 大楼的顶部 A 点的仰角为30°，求大楼 AB的高．【考点】解直角三角形的应用 -仰角俯角问题．【分析】过点 P 作 AB 的垂线，垂足为 E，根据题意可得出四边形 PDBE是矩形，再由∠EPB=45°可知BE=PE=36m，由AE=PE?tan30°得出AE 的长，进而可得出结论．【解答】解：如图，过点 P 作 AB 的垂线，垂足为 E，∵PD⊥AB，DB⊥AB，∴四边形 PDBE是矩形，∵BD=36m，∠ EPB=45°，∴ BE=PE=36m，∴ AE=PE?tan30°=36× =12 （m），∴AB=12 +36（m）．答：建筑物 AB 的高为米．22．直线 l：y=﹣ x+6 交 y 轴于点 A，与 x 轴交于点 B，过 A、B 两点的抛物线 m与x 轴的另一个交点为 C，（C 在 B 的左边），如果 BC=5，求抛物线 m 的解析式，并根据函数图象指出当 m 的函数值大于 0 的函数值时 x 的取值范围．【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【分析】先根据函数的解析式求出A、B 两点的坐标，再求出点 C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线m 的解析式，画出其图象，利用数形结合即可求解．【解答】解：∵ y=﹣x+6 交 y 轴于点 A，与 x 轴交于点 B，∴x=0 时， y=6，∴A（0，6），y=0 时， x=8，∴B（8，0），∵过 A、B 两点的抛物线 m 与 x 轴的另一个交点为 C，（C 在 B 的左边）， BC=5，∴C（3，0）．设抛物线 m 的解析式为 y=a（x﹣3）（ x﹣ 8），将 A（0，6）代入，得 24a=6，解得 a= ，∴抛物线 m 的解析式为 y=（x﹣3）（x﹣8），即y=x2﹣x+6；函数图象如右：当抛物线 m 的函数值大于 0 时， x 的取值范围是 x＜3 或 x＞ 8．23．如图，点 E 是正方形 ABCD的对角线 AC 上的一个动点（不与A、C 重合），作EF⊥AC交边 BC于点 F，联结 AF、BE交于点G．（ 1）求证：△ CAF∽△ CBE；（ 2）若 AE：EC=2：1，求 tan∠ BEF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．【分析】（1）利用 AA 证明△ CEF∽△ CAB，再列出比例式利用SAS证明△ CAF∽△CBE（2）证出∴∠ BAF=∠BEF，设 EC=1，则 EF=1，FC= ，AC=3，由勾股定理得出AB=BC= AC=，得出BF=BC﹣FC=，由三角函数即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ABC=90°，∵EF⊥AC，∴∠ FEC=90°=∠ABC，又∵∠ FCE=∠ACB，∴△ CEF∽△ CAB，∴，又∵∠ ACF=∠BCE，∴△ CAF∽△ CBE；（2）∵△CAF∽△CBE，∴∠ CAF=∠CBE，∵∠ BAC=∠BCA=45°，∴∠ BAF=∠BEF，设 EC=1，则 EF=1，FC= ，∵ AE：EC=2：1，∴ AC=3，∴ AB=BC= AC=，∴BF=BC﹣FC= ，∴．24．如图，二次函数y=ax2﹣ x+2（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 A（﹣ 4， 0）．（1）求抛物线与直线 AC 的函数解析式；（2）若点 D（ m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系；（3）若点 E 为抛物线上任意一点，点 F 为 x 轴上任意一点，当以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E 的坐标．【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-公式法；平行四边形的性质．【分析】（1）把点 A 的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据 A，C 两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式；（ 2）先过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，运用割补法即可得到：四边形 OCDA的面积 =△ADH的面积 +四边形 OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得 S 关于 m 的函数关系；（ 3）由于 AC 确定，可分 AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E 与点 C 的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点 E的坐标．【解答】解：（1）∵ A（﹣ 4，0）在二次函数 y=ax2﹣x+2（ a≠ 0）的图象上，∴0=16a+6+2，解得 a=﹣，∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2；设直线 AC的解析式为 y=kx+b，则，解得，∴直线 AC的函数解析式为：；（2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，∴ D（ m，﹣ m 2﹣ m+2），过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，则DH=﹣m2﹣m 2，AH=m 4，HO=﹣ m，++∵四边形OCDA的面积 =△ADH 的面积四边形 OCDH的面积，+∴ S=（m 4）×（﹣ m2﹣m 2）+（﹣m2﹣m 2 2）×（﹣ m），+++ +化简，得S=﹣m 2﹣4m 4（﹣ 4＜m＜0）；+（ 3）①若 AC为平行四边形的一边，则C、E 到 AF 的距离相等，∴| y E| =| y C| =2，∴y E=± 2．当 y E=2 时，解方程﹣x2﹣x+2=2 得，x1=0，x2=﹣3，∴点 E 的坐标为（﹣ 3，2）；当 y﹣2时，解方程﹣2﹣ x+2=﹣2 得，E=xx1=，x2=，∴点 E 的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若 AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，∴y E=y C=2，∴点 E 的坐标为（﹣ 3，2）．综上所述，满足条件的点 E 的坐标为（﹣ 3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．25．如图（ 1）所示， E 为矩形 ABCD的边 AD 上一点，动点 P、 Q 同时从点 B 出发，点 P 以 1cm/ 秒的速度沿折线 BE﹣ED﹣ DC运动到点 C 时停止，点 Q 以 2cm/秒的速度沿 BC 运动到点 C 时停止．设 P、 Q 同时出发 t 秒时，△ BPQ的面积为ycm2．已知 y 与 t 的函数关系图象如图（ 2）（其中曲线 OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（ 2）求 0＜ t ≤ 5 时，△ BPQ的面积 y 关于 t 的函数解析式；（2）求出线段 BC、 BE、 ED的长度；（3）当 t 为多少秒时，以 B、 P、Q 为顶点的三角形和△ ABE相似；（4）如图（ 3）过 E 作 EF⊥BC于 F，△ BEF绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度，如果△ BEF中 E、F 的对应点 H、I 恰好和射线 BE、CD 的交点 G 在一条直线，求此时 C、I 两点之间的距离．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）观察图象可知， AD=BC=5×2=10，BE=1× 10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣ 4=6 在 Rt△ABE中， AB===8，如图 1 中，作 PM⊥ BC于M．由△ ABE∽△ MPB，得=，求出PM，根据△ BPQ的面积y=?BQ?PM计算即可问题．（ 2）观察图象（ 1）（ 2），即可解决问题．（3）分三种情形讨论① P 在 BE上，②P 在 DE上，③P 在 CD上，分别求解即可．（4）由∠ BIH=∠BCG=90°，推出 B、I、C、G 四点共圆，推出∠ BGH=∠BCI，由△GBH∽△ CBI，可得=，由此只要求出GH 即可解决问题．【解答】解：（1）观察图象可知， AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10， ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在 Rt△ABE中， AB===8，如图 1 中，作 PM⊥ BC于 M ．∵△ ABE∽△ MPB，∴= ，∴= ，∴PM= t ，当0＜t≤ 5 时，△ BPQ的面积 y= ?BQ?PM= ?2t? t= t2．（2）由（ 1）可知 BC=BE=10，ED=4．（3）①当 P 在 BE上时，∵BQ=2PB，∴只有∠ BPQ=90°，才有可能 B、P、Q 为顶点的三角形和△ ABE相似，∴∠ BQP=30°，这个显然不可能，∴当点 P 在 BE上时，不存在△ PQB与△ ABE相似．②当点 P 在 ED 上时，观察图象可知，不存在△．③当点 P 在 DC 上时，设 PC=a，当=时，∴=，∴a= ，此时 t=10+4+（8﹣）=14.5，∴t=14.5s 时，△ PQB与△ ABE相似．（ 4）如图 3 中，设 EG=m，GH=n，∵DE∥BC，∴ = ，∴= ，∴m= ，在Rt△BIG 中，∵ BG2=BI2+GI2，∴（）2=62+（8+n）2，∴n=﹣8+8 或﹣ 8﹣8 （舍弃），∵∠BIH=∠ BCG=90°，∴B、 I、C、G 四点共圆，∴∠ BGH=∠BCI，∵∠ GBF=∠HBI，∴∠ GBH=∠CBI，∴△ GBH∽△ CBI，∴= ，∴=，第 23 页（共 25 页）2017年 1月 20日。