多目标规划模型-很好
多目标模型
多目标模型多目标模型（Multi-Objective Model）是一种决策模型，用于解决具有多个目标的优化问题。
在传统的优化模型中，通常只存在一个目标函数，而多目标模型则考虑了多个目标同时优化的问题。
多目标模型的基本形式可以表示为：Minimize f(X) = [f1(X), f2(X), ..., fn(X)]其中，f(X)是一个向量函数，表示多个目标函数组成的向量，而X是决策变量向量。
多目标模型的目标是找到一个决策变量向量X，使得f(X)的每个分量都达到最小值。
多目标模型的求解方法有很多，其中最常用的方法是多目标优化算法。
多目标优化算法根据目标之间的相互关系，将优化问题转化为在多维搜索空间中搜索最佳解的问题。
多目标优化算法的核心思想是找到一组满足约束条件的非劣解（Pareto Optimal Solution），其中非劣解指的是在搜索空间中不能找到其他解比它更好的解。
而解决多目标优化问题的关键在于找到这一组非劣解的集合，即帕累托前沿（Pareto front）。
常用的多目标优化算法有遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
这些算法通过不同的方式进行搜索，并在搜索过程中进行交叉、变异、选择等操作，以逐步优化目标函数值。
同时，这些算法能够在搜索过程中保持多个解的多样性，以便找到更多的非劣解。
多目标模型的应用非常广泛。
例如，在工程领域，多目标模型可以用于工程设计中的多目标优化问题，如电子产品的设计中需要兼顾产品性能、成本、可靠性等多个目标。
在城市规划领域，多目标模型可以用于优化城市交通、环境、经济等多个指标。
同时，在金融领域，多目标模型也可以用于投资组合优化问题，以找到在风险、收益、流动性等方面兼顾的最佳投资组合。
总之，多目标模型是一种解决具有多个目标的优化问题的有效工具。
它通过引入多个目标函数，考虑不同目标之间的权衡和取舍，为决策提供了更多的选择和灵活性。
同时，多目标优化算法能够搜索出一组非劣解，帮助决策者了解到在不同目标下的最佳解集合，为决策制定提供了重要的参考依据。
运用多目标规划模型解决资源分配问题
运用多目标规划模型解决资源分配问题资源分配是一项重要的管理任务，无论是在企业中，还是在社会中，都需要合理分配资源以实现最佳效益。
然而，资源分配问题常常具有多个冲突的目标，如提高效率同时降低成本，在满足客户需求的同时保持环境可持续性等。
为了解决这一复杂问题，多目标规划模型被广泛引入，并取得了显著的成果。
多目标规划是一种数学优化方法，通过设置多个目标函数和约束条件，以求解最优解。
它与传统的单目标规划方法相比，能够更好地平衡各个目标之间的关系，以及资源之间的相互影响。
首先，多目标规划模型能够解决资源分配问题中的效率与成本之间的矛盾。
在生产过程中，企业需要提高效率以降低生产成本，但这往往会牺牲产品质量或客户满意度。
多目标规划模型可以综合考虑这两个因素，并找到一种最佳的资源分配方案，既提高了效率，又能够控制成本。
其次，多目标规划模型还能够解决资源分配问题中的时间与效率之间的矛盾。
在某些情况下，追求最高效率可能会导致项目的延期或质量不达标。
多目标规划模型可以通过设定目标函数和约束条件，平衡时间与效率的关系，确保项目能够按时完成，并保持较高的效率。
此外，多目标规划模型还能够解决资源分配问题中的环境与效益之间的矛盾。
在资源有限的情况下，企业需要在保证环境可持续性的前提下提高经济效益。
多目标规划模型可以将环境因素纳入考虑范围，并通过设定相应的约束条件，找到一种既能保护环境，又能实现经济效益的资源分配方案。
运用多目标规划模型解决资源分配问题需要进行以下步骤：首先，明确分配资源的目标。
根据具体情况，确定资源分配的目标函数，如最大化利润、最小化成本、最大化客户满意度等。
其次，建立资源分配模型。
根据目标函数和约束条件，建立数学模型，描述资源分配的关系和限制。
可利用线性规划、整数规划、动态规划等方法建立模型。
然后，求解模型并得出最优解。
通过运用相关的数学算法和计算工具，求解多目标规划模型，并得出最佳的资源分配方案。
最后，评估和优化方案。
多目标规划模型及其在生产优化中的应用
多目标规划模型及其在生产优化中的应用多目标规划是一种在优化问题中同时考虑多个目标的方法。
与传统的单目标规划相比，多目标规划更加适用于现实生产优化中存在多个相互关联的目标的情况。
在生产优化中，多目标规划可以帮助企业在平衡多种目标之间找到最佳的决策方案，提高生产效率和经济效益。
1.决策变量：表示决策者可以调整的各种生产资源和生产参数，如生产数量、生产设备分配等。
2.约束条件：表示各种技术和资源限制，如设备产能、雇员工时等。
3.目标函数：表示需要优化的目标，可以包括多个目标函数，如最小化生产成本、最大化产出、最小化生产时间等。
在生产优化中，多目标规划可以应用于多个方面，如生产调度、生产设备配置和物料采购等。
下面以生产调度为例来具体说明多目标规划的应用。
生产调度是指在生产过程中，根据生产资源和生产任务的需求，合理安排和调度各个工序和设备的完成时间和数量，以达到最佳的生产效率和经济效益。
在生产调度中，通常存在多个决策变量和多个目标。
决策变量可以包括产品的生产顺序、工序的分配和设备的调度等。
不同的决策变量选择可能导致不同的生产成本、生产时间和质量水平等目标的变化。
多目标规划可以将生产调度问题转化为一个多目标优化问题。
在模型中，决策变量可以是各个工序的完成时间和数量，目标函数可以是最小化生产成本、最小化生产时间和最大化产品质量等。
同时，还需要考虑各种资源约束条件，如设备产能、雇员工时和原材料供应等。
通过多目标规划模型求解，可以得到一组最优解，即在满足约束条件的前提下，使得多个目标函数达到最优的决策方案。
这些最优解通常形成一个“帕累托前沿”，即在无法同时改善所有目标的情况下，提供了各种权衡和选择的可能性。
在实际应用中，多目标规划可以帮助企业决策者综合考虑多种目标和约束条件，合理安排生产资源和生产任务，以提高生产效率和经济效益。
同时，多目标规划还可以用于方案比较和灵敏度分析，帮助决策者评估不同决策方案的优劣和稳定性。
多目标规划——精选推荐
则目标函数为
，并根据最初的约束条件求解。
记求得的最优解为 = 。
然后将 = 为约束条件（绝对约束）添加到原目标规划的约束中，求解 级目标问题：
对于解P3级规划问题也是同理。
最后一个单目标规划的规划的求解结果即为目标规划的满意解。
注意：在目标规划中不提最优解的概念，只提满意解的概念（因为不可能所有的目标都达到最优），即寻求能够照顾到各个目标，并使决 策者感到满意的解，由决策者来确定选取哪一个解，但满意解的数目太多而难以将其一一求出。
于是我们就可以把多目标规划问题转化为一般的单目标模型：
例题：某厂计划在下一个生产周期内生产A，B两种产品，每种产品的单位利润分别为10和18（单位：万元），资源消耗和限制数 量如下表，求总利润最大的生产方案。
解：设生产A,B,C分别为 , , 个单位，数学模型为：
这是一个单目标问题，解得x1=50/7，x2=200/7，最优目标函数值z=4100/7万元。 但是如果考虑到第一种资源面临涨价预期，希望尽可能清空库存利于快速补充，故考虑本期利润最大化的同时必须为下一个周期 做好准备，从而增加新目标函数：
P1级目标： 达到利润指标利润6000万； P2级目标： 尽量用完第一种资源的库存，不够可以适当外购议价资源； P3级目标： 尽量不加班，如果需要加班则加班时间不要超过100小时。 达成函数（目标函数）： 设生产A,B,C分别为 , , 个单位，约束条件：
先求解P1级目标问题：
在目标规划中不提最优解的概念只提满意解的概念因为不可能所有的目标都达到最优即寻求能够照顾到各个目标并使决策者感到满意的解由决策者来确定选取哪一个解但满意解的数目太多而难以将其一一求出
多目标规划 多目标规划问题特点：
1. 多个优化目标 2. 约束条件有回旋 给出几个实际的例子： 例如要购置一台手提电脑，你想要 1. 内存尽可能大 2. 运行速度尽可能快 3. 重量尽可能轻 4. 体积尽可能小 5. 清晰度要高 6. 性 价比要尽可能高 … 这些东西就是目标。 而像：1. 希望价格在5千以内 2. 希望外观比较漂亮 3. 比较坚固 4. 性能要稳定可靠 .....就是一些模糊的约束条件。 又例如，去浙大参加研究生复试，应该怎么走？这就是一个交通工具的选择问题。 每个人都有自己的走法，而 1. 一个小时左右能够到 2. 单程费用不要超过20元 3. 最好车上有坐位 4. 步行路程不要超过1000米 .....之类的约束条件就是很多的目标。
matlab多目标规划模型
李小飞
多目标决策的基本概念 多目标决策的数学模型及其非劣解 多目标决策建模的应用实例
用LINGO软件求解目标规划问题
1. 求解方法概述
• LINGO（或LINDO）不能直接求解目标规 划问题，但可以通过逐级求解线性规划的 方法，求得目标规划问题的满意解。
2. 示例
• 例1 用LINGO求解目标规划问题
需要预先确定各个目标的期望值 fi* ，同时给每一个目标 赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级
多目标决策问题有两个共同的特点，即各目 标的不可公度性和相互之间的矛盾性。所谓目标 的不可公度性指各目标之间没有统一的量纲，因 此难以作相互比较。
目标之间的矛盾性是指，如果改进某 一目标的值，可能会使另一个或一些目标 变差。正因为各目标的不可公度性和相互 之间的矛盾性，多目标决策问题不能简单 的作为单目标问题来处理。必须深入研究 其特征，特别是解的性质。单目标决策一 般有最优解，且往往是唯一的，有时可能 存在无限多个解。但是这里的“最优”往 往带有片面性，不能全而准确的反映决策 者的偏好信息。多目标决策问题不存在所 谓的“最优”解，只存在满意解。满意解 指决策者对于有关的所有目标值都认为满 意。
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或 最小），而不顾其它目标。 对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合 选择：
每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？ 每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
s.t.
(
多目标规划模型解读
a
x ( , ) bi ij j
xj 0
dl , dl 0
( j 1,2, , n)
( l 1,2, , L)
在以上各式中， kl+ 、kl- 分别为赋予pl优先因子的第 k 个目标的正、负 偏差变量的权系数， gk为第 k个目标的预期值， xj为决策变量， dk+ 、dk- 分别为第 k 个目标的正、负偏差变量， 22
非负约束
21
m i nZ pk (kl dl kl dl ) k 1 l 1
K
L
目标函数
目标约束 绝对约束 非负约束
c
j 1 n
j 1
n
(l ) j
x j d l d l gl
( l 1,2, , L)
( i 1,2, , m )
16
三 目标规划方法
通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法 是解决多目标规划问题的重要技术之一。 这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库 伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提 出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李 （Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题 的一般性方法——单纯形方法。
2 x1 x2 11 x1 2 x2 10 x ,x 0 1 2
将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策
方案为: x1 4, x 2 3, Z 62 （万元）。
但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等 一系列其它条件，如：
目标规划模型 目标规划的图解法 求解目标规划的单纯形方法
多目标规划模型及其在生产优化中的应用
多目标规划模型及其在生产优化中的应用随着科技的不断进步，企业在生产的过程中需要考虑的因素也越来越多，例如成本、质量、效率、环保等多个方面。
这些因素不仅对企业的发展起到了决定性的作用，而且对于整个行业的发展也具有重要意义。
因此，在这个时代，如何能够完成多目标规划，对于企业的生产优化是非常重要的。
本文将从多目标规划模型及其在生产优化中的应用方面进行探讨。
一、多目标规划模型的概述多目标规划（multi-objective programming，MOP）是指在满足多个目标的基础上，寻求最优方案的一种决策方法。
多目标规划模型是通过建立目标函数，对每个目标进行评价和权衡，从而实现多目标的决策优化模型。
多目标规划模型可以被用来解决许多现实生产和决策问题，例如资源配置问题、供应链管理问题、营销决策问题、风险管理和环境保护问题等等。
在这些问题中，优化目标多个，且有时目标之间存在着矛盾性，因此需要采用多目标规划模型来解决。
二、多目标规划模型在生产优化中的应用1. 降低成本和提高质量对于一个企业来说，成本和质量是两个非常重要的因素。
如何同时降低成本和提高质量成为了企业的一个难题。
多目标规划模型可以帮助企业在进行生产决策时，考虑多个目标，实现成本和质量的平衡。
在多目标规划模型中，建立成本和质量的目标函数，对企业的各项指标进行量化和分析，然后对目标函数进行加权，最终得到最优方案。
通过这种方式，企业可以在不降低产品质量的条件下，实现成本的降低，从而提高企业的效益。
2. 提高生产效率和降低能耗随着市场竞争的加剧，企业需要不断提高生产效率，从而降低成本，并提高企业的竞争力。
另一方面，环境保护也成为了现代企业生产的一个必须考虑的因素。
多目标规划模型可以在生产过程中，同时考虑生产效率和能耗，实现生产的可持续发展。
在多目标规划模型中，建立生产效率和能耗的目标函数，评估企业的各项指标，加权得到最优方案。
通过这种方式，企业可以在提高生产效率的同时，降低能耗，实现生产效率与环境保护的双赢。
多目标规划模型
图6
LINGO运算后输出为：（参见图7）
图7
• 因此，x1 4, x2 0, d1 ＝d10，
d
2
6, d3就 7是目
标规划的满意解。
第一部分 多目标决策的基本概况
本章将从多目标决策（也称多目标规划）方法 的作用出发，通过分析简单的多目标决策问题的几 个案例，阐述多目标决策的基本概念。任何决策问 题的解决主要依赖于所谓的决策者和分析者。决策 者一般指有权挑选行动方案，并能够从中选择满意 方案作为最终决策的人员。政府官员、企业行政管 理人员均为某类问题的决策者。
40 10
x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
0,
j
1,2
用LINGO求解，得最优解
d1
d1＝0
，d
2
6，最优值为6。
具体LINGO程序及输出信息如下：LINGO程序为（参见图4）：
model: min=d2_; 10*x1+15*x2+d1_-d1=40; x1+x2+d2_-d2=10; d1=0; END
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
s.t.
(
X
)
2(X
)
G
g2
m ( X )
gm
式中： X [ x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
缩写形式：
max(min)Z F ( X )
s.t. ( X ) G
有n个决策变量，k个目标函数，m个约束方程， 则：
例 试分析下表所示四个方案的非劣性。
方案
X1 X2 X3 X4
目标函数
组织结构优化的多目标规划模型研究
组织结构优化的多目标规划模型研究随着市场竞争的日益激烈，企业为了在这个竞争激烈的环境中生存和发展，不得不不断优化自身的组织结构。
而多目标规划模型成为了研究组织结构优化的有力工具。
本文将探讨组织结构优化的多目标规划模型的研究。
首先，什么是组织结构优化的多目标规划模型？多目标规划是指在一个决策问题中，有多个相互矛盾的目标需要达到。
组织结构优化是指通过对组织内部各个部门的人员分配、任务分工、信息流动等方面的调整，使得组织能够更好地实现其目标。
因此，组织结构优化的多目标规划模型就是在优化组织结构的同时，考虑多个不同目标，通过数学模型建立相关关系，并通过算法求解得到最优解。
其次，为什么需要进行组织结构优化？一个好的组织结构可以提高企业的运行效率、降低成本、优化资源配置。
而随着市场环境的变化，企业面临着越来越多的挑战，例如技术革新、市场需求变化、竞争压力等，这些都要求企业能够及时做出调整和改变。
而通过优化组织结构，可以提高企业的反应能力、灵活性和创新能力，从而更好地应对市场挑战。
接下来，我们将讨论组织结构优化的多个目标。
首先是效率目标。
组织结构的优化应该使得企业的生产和运营流程更加顺畅、高效。
通过优化部门之间的协作和沟通，减少冗余环节，降低信息传递成本，可以提高企业的效率。
其次是质量目标。
优化组织结构可以提高管理和监督的效果，减少管理层次，提高决策的科学性和准确性，从而提高产品和服务的质量。
另外，还有成本目标。
通过优化组织结构，可以减少人力资源的浪费，降低企业的运营成本。
优化组织结构可以有效地节约资源，使得企业的运营更加经济高效。
最后，如何建立组织结构优化的多目标规划模型？首先需要确定优化目标的权重，即不同目标在组织结构优化中的重要程度。
这需要根据企业的具体情况和目标来确定。
然后，建立数学模型，将各个目标、决策变量和约束条件联系起来。
由于组织结构优化问题通常是一个复杂的决策问题，往往无法找到解析解。
因此，需要使用相应的算法进行求解，例如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等。
第四章多目标规划模型
第四章 多目标规划模型多目标决策问题的理论基础之一是向量优化问题，也称多目标优化问题。
这类问题，从方法论的角度看，它是一个目标函数中具有向量值的数学规划问题；从决策论角度看，它又是决策规则中含有各个目标极值的决策问题。
因此，多目标决策问题属于向量优化问题。
向量优化问题的解与标量优化问题的解是不同的。
标量优化问题对任何两个函数的解，只要比较它们的两个函数值的大小，总可以从中找出一个最优解，且能排出它们的顺序；而多目标优化问题的解都是非劣解，且不是唯一的，究竟谁优谁劣，很难直接作出判断。
非劣解的概念是由经济学家pareto 于1896年提出的。
但是发展为向量优化问题的生成非劣解技术，还是在1951年Kuhn-Tucker 非劣性条件发表以后的事。
由于向量优化问题是在标量优化问题的基础上发展起来的，只要通过适当的途径将向量优化问题转化为标量优化问题，就可以利用求解标量优化问题的现有方法，求解具有一定特征的向量优化问题。
本章主要介绍有关向量优化问题的基本理论，如非劣解概念，特征非裂解的标量优化解法及非劣性的充要条件。
其中提到的许多概念和术语，在本书的后继章节中都是很有用的。
第一节、多目标规划基本概念与原理1.1非劣解概念设求解()x f 1和()x f 2两个目标的最大值，他们的可行解域如图4.1所示。
图中可行解域内部的各点数据，总是劣于可行域边界上的某点值。
这是因为内部的任一点，总可在边界上至少找出一个相应点，它的目标函数值不劣于内部这点所反映的目标函数值，而且至少有一个目标函数值优于内部这点的目标函数值。
图4.1 多目标非劣解集示意图例如，图中的C 点就劣于A 点和B 点之间任一点所反映的目标函数值。
所以，在优选中类似C 点的一些点可以舍去，并将这些可以舍去的解称为劣解。
但是可行域边界上各点所代表的解，就不能直接判断它们的优劣（如A 点、B 点就是这样）。
因为这些点中任一个与其他任一个相比较，总会发现一个目标函数值比其他另一个函数值优越，但又不是两个目标函数值都优越，否则其中的一个作为劣解而舍去。
《多目标规划模型》课件
02
权重法的主要步骤包括确定权重、构造加权目标函数、求解加权目标函数，最 后得到最优解。
03
权重法的优点是简单易行，适用于目标数量较少的情况。但缺点是主观性强， 依赖于决策者的经验和判断。
约束法
1
约束法是通过引入约束条件，将多目标问题转化 为单目标问题，然后求解单目标问题得到最优解 。
2
约束法的主要步骤包括确定约束条件、构造约束 下的目标函数、求解约束下的目标函数，最后得 到最优解。
多目标规划模型
目录
• 多目标规划模型概述 • 多目标规划模型的建立 • 多目标规划模型的求解方法 • 多目标规划模型的应用案例 • 多目标规划模型的未来发展与挑战
01 多目标规划模型概述
定义与特点
定义
多目标规划模型是一种数学优化方法 ，用于解决具有多个相互冲突的目标 的问题。
特点
多目标规划模型能够权衡和折衷多个 目标之间的矛盾，寻求满足所有目标 的最佳解决方案。
02 多目标规划模型的建立
确定目标函数
01
目标函数是描述系统或决策问题的期望结果的数学表达 式。
02
在多目标规划中，目标函数通常包含多个目标，每个目 标对应一个数学表达式。
03
目标函数的确定需要考虑问题的实际背景和决策者的偏 好。
确定约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的限制条件。 02 在多目标规划中，约束条件可以分为等式约束和
谢谢聆听
模型在大数据和人工智能时代的应用前景
要点一
总结词
要点二
详细描述
随着大数据和人工智能技术的快速发展，多目标规划模型 在许多领域的应用前景广阔。
大数据时代带来了海量的数据和复杂的问题，这为多目标 规划模型提供了广阔的应用场景。例如，在金融领域，多 目标规划可以用于资产配置和风险管理；在能源领域，多 目标规划可以用于能源系统优化和碳排放管理。同时，随 着人工智能技术的不断发展，多目标规划模型有望与机器 学习、深度学习等算法相结合，共同推动相关领域的发展 。
多目标规划与数学模型PPT课件
min
XD
h(F
(
X
))
min
XD
m1 aj xp
f j ( X )
但可方便转化为一个简单非线性规划问题！
令t
max
1 j p
fj(X)
min t
X,t
fj(X)
t,
j
1, 2,
X D
则该规划问题可等价为：
该技巧非常有用，将一个不可微的规划 问题转化为可微的约束规划！
,p
第21页/共71页
多目标规划的基本解法
第11页/共71页
V-min XD
f1X , f2X ,, f p X
(1) :
f1*
min
XD
f1X
(2)
f2*
min
XDx| f1 ( X )Βιβλιοθήκη f1 *f2X
改进——宽容分层序列法： 给前面的最优值设定一定 的宽容值ε>0, 即此目标值 再差ε也是可接受的!
( p) f p * min XD x| f j1 ( X ) f j1*, j1,2,, p1 f p X
第26页/共71页
2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进行计算:
Si ri qi pi ui S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397
4.2 平方和加权法：
V-min XD
f1X , f2X ,, f p X
先设定单目标规划的下界(想象中的最好值),即
定义评价函数：
lingo多目标规划模型
x1 x1
15 x2
d
1
d
1
40
x2
d
2Leabharlann d210x2
d
3
d
3
7
x1
,
x
2
,
d
j
,
d
j
0,
j
1,2,3
第4页/共92页
解：首先对应于第一优先等级，建立线性规划问题：
minz d1 用LINGO求解，得最优解＝0，最优s值.t.为100。x具1 体x11求,5x解x22过,d程1d如,1d下1：d10 40
理， 。 因此四个方案的优劣性见表。
第29页/共92页
非劣性可以用下图说明。
图 多目标规划的劣解与非劣解
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目 标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能 寻求非劣解。
第36页/共92页
二、多目标决策的非劣解的求解方法
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标规划模型
第25页/共92页
对于单目标决策问题的解一般具有全 序最优性，而多目标决策问题的可行方案 集中的各方案只有部分序而非全序，并且 一般不存在满足最优性的可行解，而只有 矛盾性，即，尽管某一个可行解能使n个目 标中的某个目标最优，但不可能使其他的
多目标规划模型-很好
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400x1 600x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又 彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难 的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来 越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法. 一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为求 解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问题, 然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的最优 解,以此作为多目标问题的解.
g i ( X ) 0 s.t. h j ( X ) 0
例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如 下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维 修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价 格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别 关于目标属性的指标值fij如下表所示。
i
1
f j * max f ij
f j * * min f ij
i
变换后的指标值矩阵为： aij A1 A2 A3 A4 f1 1 100 1 40.6 f2 1 100 42.25 25.75 f3 67 1 100 67 f4 50.5 100 1 25.75 f5 34 1 67 100
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。
1、多目标规划问题的模型结构
optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
lingo-多目标规划模型
在生产系统、工程系统、社会经济系统中， 多目标决策问题更是屡见不鲜。比如在炼油厂的 生产计划中，基本的决策问题是如何根据企业的 外部环境与内部条件，制定出具体的作业计划。 该计划应能使企业的各种主要的经济指标达到预 定的目标。这些指标包括：利润、原油量、成本、 能耗等。其他企业一般也有类似的多目标计划决 策问题。 多目标决策问题有两个共同的特点，即各目 标的不可公度性和相互之间的矛盾性。所谓目标 的不可公度性指各目标之间没有统一的量纲，因 此难以作相互比较。
多目标决策问题的案例及特点 我们介绍两个日常生活中常见的决策问题。第 一个是顾客到商店购买衣服。对于顾客而言，购买 衣服就是一个决策问题，顾客本人是决策者，各种 各样的衣服是行动方案集。该决策问题的解就是顾 客最终买到一件合适的衣服（或选择一个满意的方 案）。那么，一件衣服（即一个方案）合适否（满 意否）应该根据几个指标来评价，比如衣服的质量、 价格、大小、式样、颜色等。 因此，顾客购买衣服的问题是多目标决策问题。 又如，公务人员外出办事总要乘某种交通工具。这 也是一个决策问题，决策者是公务员，备选方案是 可利用的交通工具。公务员为了选择合适的交通工 具，需要考虑几个指标，比如：时间、价格、舒适 性、方便程度等。显然这也是一个多目标决策问题。
图5
d 对应于第三优先等级，将 1 ＝0，d 2 6 作为约束条件，建立
线性规划问题：
min z d 3 10x1 15x2 d1 d1 40 x x d d 1 2 2 2 10 x2 d 3 d 3 7 s.t. d1 0, d 2 6 x , x , d , d 1 2 j j 0, j 1,2,3
由于模型的不准确性和单一目标的片面性，这 种所谓最优的方案并不一定是决策者满意的。自然， 用这种最优方案作为决策者的最终决策具有强迫性 质，往往难以为决策者接受。另一方面，多目标方 法向决策者提供经过仔细选择的备选方案（多种方 案）。这样使得决策者有可能利用自己的知识和经 验对这些方案进行评价和判断，从中找出满意方案 或给出偏好信息以及寻找更多的备选方案。 概括起来，多目标决策方法处理实际决策问题 有三个方面的优点：（1）加强了决策者在决策过程 中的作用；（2）可以得到范围更为广泛的备选决策 方案；（3）决策问题的模型和分析者对问题的直觉 将更加现实。
资源分配的多目标优化动态规划模型
资源分配的多目标优化动态规划模型一、本文概述本文旨在探讨资源分配的多目标优化动态规划模型。
资源分配问题是在有限资源条件下，如何合理、有效地将这些资源分配给不同的活动或项目，以实现特定的目标或优化某些性能指标。
多目标优化则意味着在解决这类问题时，我们需要同时考虑并优化多个目标，如成本最小化、时间最短化、收益最大化等。
动态规划作为一种重要的数学方法，为解决此类问题提供了有效的工具。
本文首先将对资源分配问题的背景和重要性进行简要介绍，阐述为何需要多目标优化的动态规划模型来解决这一问题。
接着，文章将详细阐述多目标优化动态规划模型的基本概念和原理，包括模型的构建、求解方法以及关键要素等。
在此基础上，文章将结合具体案例，分析多目标优化动态规划模型在资源分配问题中的应用，并探讨其在实际操作中的优缺点。
本文还将对多目标优化动态规划模型的发展趋势进行展望，探讨未来研究的方向和可能的应用领域。
文章将总结全文，强调多目标优化动态规划模型在资源分配问题中的重要性和价值，为相关领域的研究和实践提供参考和借鉴。
二、资源分配问题的基本框架资源分配问题是一类重要的优化问题，它涉及到如何在多个可选方案之间分配有限的资源，以达到一个或多个预定目标的最优化。
这类问题广泛存在于各种实际场景中，如生产管理、物流规划、能源分配、投资组合等。
为了有效地解决这些问题，我们需要构建一个合理的资源分配多目标优化动态规划模型。
目标函数：目标函数是资源分配问题的核心，它描述了优化问题的目标。
在多目标优化问题中，目标函数通常是一个由多个子目标组成的函数组，这些子目标可能是相互冲突的，需要在优化过程中进行权衡。
约束条件：约束条件描述了资源分配问题中的限制条件，包括资源数量、分配规则、时间限制等。
这些约束条件限定了资源分配的可能性和范围，对于保证优化问题的可行性和实际意义至关重要。
决策变量：决策变量是资源分配问题中的关键参数，它代表了各种可能的资源分配方案。
多目标规划——精选推荐
多⽬标规划多⽬标规划的模型基础：1. 正负偏差变量即d2+，d2-分别表⽰决策值超过和未达到⽬标值的部分。
且di+，di-均⼤于02. 刚性约束和⽬标约束（柔性⽬标约束具有偏差）多⽬标规划中，刚性约束中保持>=/<=不变。
约束需要变换为柔性约束时，需要把>=/<=改成=（因为已经有了d2+，d2-⽤来表⽰正负偏差），并且追加上（+di-di+）这⾥注意！是+di-，-di+，这是因为需要将⽬标还原回去，使其最接近原来的刚性约束3. 优先因⼦与权系数对于若⼲个⽬标，分出主次和轻重缓急4. ⽬标规划的⽬标函数是所有偏差变量的加权和。
值得注意的是该加权和均取min值。
且每个不同的等级需求中，并不⼀定di+、di-都出现。
具体分析需要具体看题⽬举例如下：题⽬中说设备B既要求充分利⽤，⼜尽可能不加班，那么⽤时间衡量列出的表达式即为：min z=P3（d3- + d3+）之所以这⾥⽤+⽽不是-d3+的原因是：正负偏差不可能同时存在，必有di+di-=0（因为决策值不可能同时⼤于⽬标值⼜⼩于⽬标值），⼜前⾯是min，所以就取+，让di+和di-都是正值。
故引出如下规则：最后给出例题，并给出对应的解法：问题：某企业⽣产甲、⼄两种产品，需要⽤到 A, B,C 三种设备，关于产品的赢利与使⽤设备的⼯时及限制如下表所⽰。
问该企业应如何安排⽣产，才能达到下列⽬标：（ 1）⼒求使利润指标不低于 1500 元；（ 2）考虑到市场需求，甲、⼄两种产品的产量⽐应尽量保持 1:2；（ 3）设备 A 为贵重设备，严格禁⽌超时使⽤；（ 4）设备C 可以适当加班，但要控制；设备 B 既要求充分利⽤，⼜尽可能不加班。
在重要性上，设备 B 是设备C 的 3 倍。
建⽴相应的⽬标规划模型并求解。
解：设该企业⽣产甲⼄两种产品的件数分别为 x1, x2 ，相应的⽬标规划模型为：下⾯采⽤序贯解法，⽤lingo求解：⼀级⽬标：model:sets:variable/1..2/:x;!规定变量;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;!软约束条件个数（g的个数=dplus个数=dminus个数）以及需要的相关参数;s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数;endsetsdata:g=1500 0 16 15;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;enddatamin=dminus(1);!第⼀个⽬标函数;！对应min=z中第⼀⼩部分;2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束;@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i)); ！利⽤设置完毕的数据构建软约束的表达式;!软约束表达式;@for(variable:@gin(x));!限制变量为整数;end此时，第⼀⽬标最优值为0，第⼀级偏差为0，下⾯进⾏第⼆步：⼆级⽬标：!求得dminus(1)=0,接着求解第⼆个⽬标;model:sets:variable/1..2/:x;!规定变量;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;!软约束条件个数以及相关参数;s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数;endsetsdata:g=1500 0 16 15;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;enddatamin=dminus(2)+dplus(2);!第⼆个⽬标函数;2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束;@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));!软约束表达式;dminus(1)=0;!第⼀⽬标结果;@for(variable:@gin(x));end此时，第⼆⽬标最优值为0，偏差为0，下⾯进⾏第三步：三级⽬标：!求得dminus(2)=0,接着求解第三个⽬标;model:sets:variable/1..2/:x;!规定变量;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;!软约束条件个数以及相关参数;s_con(s_con_num,variable):c;!软约束系数;endsetsdata:g=1500 0 16 15;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;enddatamin=3*dminus(3)+3*dplus(3)+dminus(4);!第三个⽬标函数;2*x(1)+2*x(2)<12;!硬约束;@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));!软约束表达式;dminus(1)=0;!第⼀⽬标约束;dminus(2)+dplus(2)=0;!⼆级⽬标约束;@for(variable:@gin(x));end最终求得x1=2,x2=4,dplus(1)=100,最优利润为1600由于上⾯的过程需要编写好⼏个程序，在使⽤时不⽅便，下⾯给出Lingo编写的⼀个通⽤程序，在程序中⽤到数据段未知数据的编程⽅法。
多目标规划模型
多目标规划模型
多目标规划模型是一种求解多个目标总体最优支线的LPP模型，旨在完成多个相关目
标最优满足。
包括经济、社会和环境等专业特性有利于避免单项过度追求，全面评估系统
最佳性能，它也称为混合目标规划或复杂目标规划模型。
构建一个多目标规划模型的方法应该从以下几个方面展开：
首先，应该根据求解问题的特点，确定多目标case的目标函数类型，并定义各个目
标函数。
其次，明确多目标case的约束条件，即求解问题实际具有的各种条件，如限制条件、限制条件等。
接着，根据多目标规划模型的定性要求，选择满足各个目标函数的优化算法，建立求
解模型。
总的来说，多目标规划模型具有明确的定性优化要求，长远地满足多个相关目标最优
满足，被应用于经济、社会和环境等各个领域。
其优点在于，在实际社会经济中，多目标
规划模型可以有效弥补传统的单目标规划模型的不足，完善单项过度追求的问题，以及全
面考核系统的最佳性能。
多目标规划模型概述ppt
X(x1,x2,...x.n), 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F(X*)≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F(X*)≤ F(X)
弱有效解：若不存在X，使得F(X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构
可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x 1 , x 2 0
望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f2(X)40x0160x02 20000
f3(X)3x12x2 90
由主要目标法化为单目标问题
max f 1 ( X ) 70 x 1 120 x 2
的函数：
U (x)U (f1,f2,..f.p),
并设
aij fi(xj )
且各个方案的效用函数分别为
U (xj)U (a1j,a2j,.a .p .)j,
则多目标优选模型的结构可表示如下：
ord(U X)(U(X1)U , (X2),..U ..(,Xp))T s.t. gi(X)0
hj(X)0
多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
1、多目标规划问题的模型结构
opt(FX)(f1(X),f2(X),...f.p,(X))T s.t. gi(X)0
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70 x 1 120 x 2 max f 2 ( X ) 400 x 1 600 x 2
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化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两 类,一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多 个单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标法、 线性加权和法、字典序法、步骤法。
§10.1多目标决策问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变 量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案 所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优 谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有 两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两 个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解， 因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而 方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为 这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一 个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却更差。
单位产品的污染
3
2
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70x1 120x 2 max f 2 ( X ) 400x1 600x 2 max( f 3 ( X )) 3 x1 2 x 2 9 x1 4 x 2 240 4 x 5 x 200 1 2 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1 个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求 其余的目标满足一定的条件，即 max f1 ( X )
g i ( X ) 0, i 1,2,...,n s.t.h j ( X ) 0, j 1,2,...,m f k ( X ) k , k 1,2,..., p 1
f2
1 2
5 3
4
6
7 8 f
二、模型结构
在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。 多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。
1、多目标规划问题的模型结构
optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
X ( x1 , x2 ,....,xn ) 为决策变量
在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲, 按照一定的规则分别给fi赋予相同的权系数ωi，作线性加权和 评价函数 p
400x1 600x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题max f1 ( X ) 70x1 120x 2 用单纯形法求得其最优解为
例题1 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品 都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位 消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和 所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每 期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染 最小？
资源A单位消耗 资源B单位消耗 资源C单位消耗 单位产品的价格 单位产品的利润 甲 9 4 3 400 70 乙 4 5 10 600 120 资源限量 240 200 300
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
§10.2 多目标规划问题的求解
1、主要目标法 在有些多目标决策问题中，各种目标的重要性程度 往往不一样。其中一个重要性程度最高和最为关键的 目标，称之为主要目标法。其余的目标则称为非主要 目标。 optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400x1 600x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
x1 12.5, x2 26.25, f1 ( x) 4025 , f 2 ( x) 20750 , f 3 (பைடு நூலகம்x) 90
2、线性加权和目标规划
optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0