方程求根的迭代法

§4.1 引 言

绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。 §4.1.1迭代法的思想

迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。

迭代法求根分两步： 1） 猜测初值 2）迭代

如求解初值问题00'

)(),,(y x y y x f y ==用梯形公式

111[(,)(,)2

n n n n n n h y y f x y f x y +++≈+

+ （1）

看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),()

0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得

)],(),([2

)

0(11)

1(1+++++

=n n n n n n y x f y x f h y y

若)

1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值)

2(1+n y ，写成迭代公式

)],(),([2

)

(11)

1(1

k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++

= （2）

一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式

()x x ϕ= （3）

式（3）中连续函数()x ϕ称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ϕ=+1。如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞

→=lim *

就是方程（3）的根。

几何意义P127图4-1

为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ϕ满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=ϕ，可以看出收敛的充分必要条件()1'

<=k x ϕ。几何意义P127

图4-2,3,4,5。

§4.1.3 压缩映像原理

设*

x 是方程()x x ϕ=的根，则由微分中值定理

))(()()(*

'*1*

k k k x x

x x x x

-=-=-+εϕϕϕ，如果存在10<≤L ，使得

],[b a x ∈有()

k k x x L x x L x -≤-⇒≤+*

1*'

ϕ

，则迭代误差0e L e k

k ≤，由于10<≤L ，

故0→k e ，即迭代收敛。

需注意，上述过程中需保证一切迭代值k x 全落在],[b a ，为此要求对任意],[b a x ∈，总有],[)(b a x ∈ϕ。

综上，压缩映像原理：

定理 1 设()x ϕ在],[b a 上具有连续的一阶导数，满足条件： （1）对任意],[b a x ∈，总有],[)(b a x ∈ϕ。 映内性

（2）存在10<≤L ，使得对于任意],[b a x ∈成立()L x ≤'

ϕ。 压缩性

则迭代过程()k k x x ϕ=+1对于任意初值],[0b a x ∈均收敛于方程()x x ϕ=的根*

x ，且

有下列误差估计式：

)

8(1)

7(1101*1*

x x L

L

x x x x L x x k

k k k k --≤

---≤-+

证明：

由k k x x L x x -≤-+*

1*

有

k k k k k k x x L x x x x x x x x ---≥---≥-++*

*

1*

*

1

从而有k k k x x

L x x --≥-+*

1)1(，（7）式得证

()111'

)()(--+-≤-=-⇒≤k k k k k k x x L x x x x L x ϕϕϕ

011x x L x x k k k -≤-+，结合（7）式得01*

1x x L

L

x x k

k --≤

-

由（7）式知只要1,+k k x x 的偏差足够小，就能保证迭代值1+k x 足够准确，可用k

k x x -+1来控制迭代过程是否结束。流程图见P128图4－6。

例1 P130 P142题3，5，6，7

注意迭代函数的选择，同一方程，可以采用不同的迭代函数，但迭代函数可能不收敛，或收敛缓慢，迭代函数的选择非常重要。

§4.1.3 迭代过程的局部收敛性

在方程求根的迭代法中，迭代函数()x x ϕ=的确定，至关重要，它直接影响着迭代法的收敛性。但在实际应用中，同一个方程可以等价导出不同的迭代函数，而且要严格地利用定理1的条件判断迭代公式在整个区间],[b a 内收敛（全局收敛）也非常困难，因此常常判

断迭代公式的局部收敛性。

通常在根*

x 的邻近考察。如果存在邻域δ≤-∆*

:x

x ，使得迭代过程对于任意初值

∆∈0x 均收敛，这种收敛性称为局部收敛性。

定理 2 设()x ϕ在()x x ϕ=的根*

x 邻近有一阶导数，且成立()1*

'

ϕ，则迭代过程

()k k x x ϕ=+1在*

x 邻近具有局部收敛性。

证：存在充分小邻域δ≤-∆*

:x x ，使()1'

<≤L x ϕ，L 为某个定数，根据微分中值定理：

))(()()(*

'

*

x x x x -=-εϕϕϕ，注意到()*

*x

x ϕ=，又当∆∈x 时∆∈ε，故有

δϕ≤-≤-≤-x x x x L x

x *

**

)(，即),()(*

δϕx x ∆∈

由定理1知()k k x x ϕ=+1对于任意∆∈0x 均收敛。 例2 P131

§4.1.4 收敛速度

迭代误差*

x x e k k -=，当∞→k 时C e

e p

k

k →+1，称迭代过程为P 阶收敛的，P ＝1称

线性收敛，P ＝2称为平方收敛。

对于在根*

x 邻近收敛的迭代公式()k k x x ϕ=+1，由于))((*

'

1*

k k x x x x -=-+εϕ，式

中ε介于k x 和*

x 之间，故有

∞→→+k x e e k

k ),(*'1ϕ，若0)(*

'≠x ϕ，则为线性收敛。

若0)(*

'

=x ϕ，将()k x ϕ在*

x 处进行泰勒展开有：

()2

*'

'*

)(2

)

()(x x x x k k -+

=εϕϕϕ，又()k k x x ϕ=+1，()*

*

x

x ϕ=，由上式知

∞→→

+k x e e k

k ,2

)

(*

''2

1ϕ，表明当0)(*'=x ϕ，0)(*

''≠x ϕ时平方收敛。

故有下述论断：

定理 3 设()x ϕ在()x x ϕ=在根*

x 的邻近有连续的二阶导数，且()1'

0)(*'≠x ϕ时线性收敛；当0)(*'=x ϕ，0)(*

''≠x ϕ时平方收敛。