差分方程求解

例题：已知差分方程51(2)(1)()(+1)+0.5()6

6

x k x k x k r k r k +-++=，其中r (k )=1，k ≥0，x (0)=1，

x (1)=2。

(1) 试由迭代法求其全解的前5项；

(2) 分别由古典法求其零输入解、零状态解，以及全解； (3) 用Z 变换法求解差分方程。

解：注：解题过程中出现的下标“zi ”和“zs ”分别表示零输入条件和零状态条件。 1. 迭代法

题目中给出的条件仅仅是零输入初始条件，进行迭代求解时的初始条件应该是全解初始条件。

(1) 零输入初始条件

本题已给出零输入时的两个初始条件x zi (0)=1，x zi (1)=2。

(2) 零状态初始条件

取k =-2时，则51

(0)(1)(2)(1)0.5(2)66x x x r r --+-=-+-，得x zs (0)=0； 取k =-1

时，则51

(1)(0)(1)(0)0.5(1)66

x x x r r -+-=+-，求得

x zs (1)=1。

(3) 全解初始条件

x (0)= x zi (0)+ x zs (0)=1； x (1)= x zi (1)+ x zs (1)=3。

(4) 根据求出的全解x (0)和x (1)，利用迭代法求解

取k =0时，则51(2)(1)(0)(1)0.5(0)66x x x r r -+=+，求得23

(2)6x =；

取k =1时，则51(3)(2)(1)(2)0.5(1)66x x x r r -+=+，求得151

(3)36x =；

取k =2时，则51(4)(3)(2)(3)0.5(2)66x x x r r -+=+，求得941

(4)216

x =。

2. 古典法

(1) 零输入解

令输入为零，则得齐次方程 51

(2)(1)()066x k x k x k +-++= (a)

求得特征根为： 12d =，23d = 于是其齐次解为

zi 1211

()()()23

k k x k C C =+

将初始条件x (0)=1，x (1)=2分别代入，得到一组联立方程式

zi 12zi 12(0)1

11

(1)223x C C x C C =+=⎧⎪

⎨=+=⎪⎩

求得系数C 1，C 2分别为：1210,

9C C ==-

从而得到零输入解zi 11()10()9()2

3

k k x k =-

(2) 零状态解

将单位阶跃激励信号分解为单位脉冲激励函数序列，则系统在单位脉冲激励作用下引起的响应的差分方程如下：

51

(2)(1)()(+1)+0.5()66

h k h k h k k k δδ+-++=

(b)

由于脉冲信号只在k =0时值为1，即(0)1δ=。而在k 为其它值时都为零，利用这一特点可以很方便的迭代求出h (0)，h (1)和h (2)。

取k =-2时，则51

(0)(1)(2)(1)0.5(2)66h h h δδ--+-=-+-，求得h (0)=0； 取k =-1时，则51

(1)(0)(1)(0)0.5(1)66h h h δδ-+-=+-，求得h (1)=1;

取

k =0时，则51(2)(1)(0)(1)0.5(0)66h h h δδ-+=+，求得4

(2)3

h =。

在此后（指k>0时），(b)

式右端恒为零。可以将(b)式看成是一个以h (1)和h (2)为初始条件的齐次方程（h (0)=0），如下(c)式。

上面已求出(c)式的通解 121

1()()()23

k k h k C C =+

又因为只有h (1)和h (2)才能够反映单位脉冲响应输入序列(+1)k δ和0.5()k δ对差分方程输出的影响，而其余时刻差分方程右侧均为零，成为“零输入”。则将边界条件h (1)=1，4

(2)3

h =分别代入齐次通解得

1212

11(1)123

114(2)493h C C h C C ⎧

=+=⎪⎪⎨

⎪=+=⎪⎩

解方程组求得系数C 1，C 2的值

1212,15C C ==-

将求得的系数代入齐次方程得 1

1()12()15(),123

k k h k k =-≥

根据h (k )的表达式求得h (0)=-3，而实际初始条件h (0)=0，则系统响应可分段表示为

1112()15(),1()23

0,

k

k k h k k ⎧-≥⎪

=⎨⎪=⎩

也可表示为 11

()12()15()3(),

023k k h k k k δ=-+≥

(d)

(d)式是原方程(1)式的零状态单位冲击响应。按照线性系统的迭加原理，

求解单位阶跃信号的零状态响应为

zs 0011()()()

()

1112()15()3()2311

1()1()3212153

111123145151

2412()()3

22231151912()()2232

k

i k i i i k k k k k k x k h k r k h i i δ==++=*=⎡⎤

=-+⎢⎥

⎣

⎦--=⨯-⨯+--=--++=-++

∑∑ (3) 全解表达式