差分方程(1)-基础知识

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差分方程(1)-基础知识

6B1 = 12,
3B0 + 5B1 = 0,
解出
10 B0 , B1 2, 3
10 y x C1 C 2 (2) x 2 x 2 . 3
x
故所求通解为
(2) f (x) = Cqx
设特解的待定式为
x y x Bq
(q不是特征根);
y x Bxq x (q是特征方程单根); y x Bx2q x (q是二重特征根).
则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
5 k 2
x 1
1 5 5 k , 2 2 2
x
x
解出
1 k . 2
则所求通解为
15 1 yx . 2 2 2
x
x
四、二阶常系数线性差分方程形如
yx+2 + ayx+1 + byx = f (x).

例8 求差分方程 yx+2 7yx+1 + 6yx = 0的通解.
解特征方程为
2 7 + 6 = 0.
方程的根为原方程的通解为
1 = 1, 2 = 6.
yx = C1 + C26x.
例9 求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0满足条件y0=0,
y1=1的特解.
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方 * 是 (3) 的一个特解 , 则 y y y x 是方程(4)的通解, yx x x
程(3)的通解. 下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.

第1节差分方程的基本概念

比的方法是学习差分方程有效的方法.
3
一、差分概念
yt 设函数 y f (t ) 为定义在整数集上的函数,简记,
一阶差分： yt yt 1 yt
一阶差分的差分称为yt 的二阶差分,
2 yt (y x ) yt 1 yt yt 2 2 yt 1 yt
三阶差分：
3 yt (2 yt ) 2 yt 1 2 yt yt 2 2yt 1 yt
yt 3 3 yt 2 3 yt 1 yt ,
4
一般地，k 阶差分定义为
k yt (k 1 yt ) k 1 yt 1 k 1 yt
F (t , yt , yt , yt ,, yt ) 0 .
2 n
6
三、差分方程的解
定义若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等,则
称此函数为该差分方程的解.
若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个
数恰好等于差分方程的阶数, 则称该解为差分方程的
通解. 差分方程满足初始条件的解称为该问题的特解.
3 yt (2 yt ) (2) 0 .
5
二、差分方程
定义含有未知函数 yt 在 t 的两个或两个以上的函数值
yt , yt 1 , 的函数方程称为差分方程；差分方程中所出现的
未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.
G(t , yt , yt 1 ,, yt n ) 0,
7
练习：
P384 习题十
8
i ( 1)i C k yt k i , i 0 k
k 1, 2,
2 3
例1 设 yt (t 1)2 t 2 2t 1, yt

差分方程简介

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差分方程简介
汇报人：
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目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况。

差分方程的基本概念

差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用于描述股票价格、债券收益率等金融变量的动态变化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用于描述离散系统的动态行为，如离散的弹簧振荡器、离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中，差分方程用于描述种群数量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步长趋于无穷大时，差分方程的解是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方程可以分为稳定、不稳定和临界稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散化为有限个相互连接的子域（即有限元），并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的数值方法，通过在每个控制体积上对微分进行离散近似，将微分方程转化为差分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进行数值求解。

差分方程知识点总结

差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。

差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。

差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。

二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。

2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。

3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。

线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。

4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。

滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。

5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。

差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。

三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。

通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。

2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。

通过递推关系，可以求得差分方程的特解。

3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。

通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。

4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。

数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。

差分方程基本知识

在本书中．我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．
二、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt1 ayt f (t )，
(2)
的k个特解，则线性组合 y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个线性无关的特解．若
是方程
y1(t ), y2(t ), , yn(t )
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
它对应的齐次方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于 Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) Cn yn(t ) y*(t),
其中 y*(t) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常重要的基础知识．
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )

第一、二节差分方程的基本概念一阶常系数线性差分方程

二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理线性差分方程解的基本定理定理10.1 定理如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程的 m 个解则它们的线性组合个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程称为差分方程的方程,称为差分方程称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注两个定义不完全等价例如
∆ y t + ∆y t = 0

差分方程

当为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系,
所以可设 yx = x为方程(11)的解. 代如方程(11)得 x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
(12)
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
第八节差分方程
一、差分二、差分方程的概念三、一阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程
一、差分微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储
蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这
种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
解对应的齐次方程的特征方程为
2 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 2, 2 = 1,
y* C1 C2 (2) x . x
齐次方程的通解为
因为 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 设
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方
程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则称差分方程为n 阶差分方程.
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2, 所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数

高等数学第十二章差分方程

于是
y
x
3 x 2
6x
9
原方程通解为 yx C 2x 3 x2 6 x 9.
例3
解
求差分方程 y x1 5
对应齐次方程通解
yx
Yx
3, y0
C 5x
7 的特解．
3
1不是特征方程的根，设 yx A，
代入方程, 得 A 3，
4
方程的通解为y x
3 4
C
5x ,
将y0
7 3
代入，则C
7 3
3 4
37 12
故方程的特解yx
37 12
5x
3 4
.
例4求差分方程 yx1 yx x3 3x2 2x的通解.
解 1是特征方程的根，
这类方程可用另一种较简单的方式求解.
方程左边为y
，右边为
x
x3 3x2 2x x x2 3x 2
xx 1x 2 x3
的解法的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一、齐次方程
的解法
1.迭代法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分，但实际上是二阶差分方程，
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程，事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.

差分方程pdf

差分方程pdf差分方程是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、生物学等。

本文将从引言概述、正文内容和总结三个部分来详细阐述差分方程的相关知识。

引言概述：差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了变量之间的差异或变化率。

与微分方程相比，差分方程更适用于描述离散的变化过程。

差分方程通常以递推关系的形式表示，其中每个变量的值都依赖于前面的一个或多个变量的值。

差分方程的解可以通过递推关系逐步计算得到。

正文内容：1. 概念与分类1.1 差分方程的概念差分方程是一种数学方程，它描述了变量之间的离散关系。

差分方程通常用于描述离散的时间或空间中的变化过程，而微分方程则用于描述连续的变化过程。

1.2 差分方程的分类差分方程可以分为线性差分方程和非线性差分方程两类。

线性差分方程中的未知函数及其导数或高阶导数之间的关系是线性的，而非线性差分方程则不满足这一条件。

2. 解法与性质2.1 差分方程的解法差分方程的解可以通过递推关系逐步计算得到。

常见的解法包括特征根法、变量分离法、Z变换法等。

其中，特征根法适用于线性差分方程，而变量分离法和Z 变换法适用于一般的差分方程。

2.2 差分方程的稳定性差分方程的稳定性是指解的性质是否随着时间的推移而趋于稳定。

稳定性分为有界稳定和渐近稳定两种情况，其中有界稳定是指解的值在某个有界区间内波动，而渐近稳定是指解的值随着时间的推移趋于某个固定值。

2.3 差分方程的周期性差分方程的周期性是指解在某个时间间隔内重复出现相同的模式。

周期性可以通过解的性质和递推关系的周期性来判断。

3. 应用领域3.1 物理学中的应用差分方程在物理学中广泛应用于描述离散的物理过程，如粒子运动、电路分析等。

通过建立差分方程模型，可以对物理系统的变化进行预测和分析。

3.2 经济学中的应用差分方程在经济学中常用于描述经济系统的变化过程，如经济增长、通货膨胀等。

通过差分方程模型，可以对经济系统的发展趋势和影响因素进行研究。

差分知识点总结

差分知识点总结一、差分的概念差分是一种数学运算方法，用来计算函数在两个相近的点之间的变化量。

差分的基本思想是利用两个相近点之间的函数值的差来近似表示函数在这一区间的变化率。

差分主要应用在数值计算、微分方程数值解法、离散化微分方程和差分方程等领域。

二、差分的方法1. 前向差分前向差分是指用函数在点x和x+h处的函数值之差来近似表示函数在点x处的导数。

前向差分的公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h2. 后向差分后向差分是指用函数在点x和x-h处的函数值之差来近似表示函数在点x处的导数。

后向差分的公式为：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h3. 中心差分中心差分是指用函数在点x+h和x-h处的函数值之差来近似表示函数在点x处的导数。

中心差分的公式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / 2h4. 二阶中心差分二阶中心差分是指用函数在点x+h、x和x-h处的函数值之差来近似表示函数在点x处的二阶导数。

二阶中心差分的公式为：f''(x) ≈ (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^25. 前向差分法和后向差分法的优缺点前向差分法和后向差分法都是利用简单的迭代方式得到节点之间的差值。

前向差分法计算简单，但是会使误差更大；后向差分法计算较为繁琐，但是误差相对较小。

6. 应用差分方法广泛用于微分方程和差分方程的数值解法，离散化微分方程，数值积分等方面，其基本思想是用差分概念近似表示数学模型的微分和积分运算。

三、差分方法的误差分析1. 截断误差在差分近似计算中，由于只取有限个点的函数值，使得近似结果与真实结果之间存在一定的误差，这种误差称为截断误差。

2. 离散化误差差分方法中最主要的误差来源是离散化误差。

因为使用差分方法时，通常需要将连续的问题离散化为一个离散的问题，这个离散化的过程会使得结果与真实结果之间存在误差。

差分方程_基础知识

定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称为差分方程.
差分方程的一般形式为
F(x, yx, yx, , n yx) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含有差分.
式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与其有相同的解的结构. 故先求齐次方程(11)的通解.
当为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系, 所以可设 yx = x为方程(11)的解.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解这里 a = 2, 设 °yx B0 B1x B2 x2,
代入差分方程, 得
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得
差分方程(1) ——基础知识
一、差分二、差分方程的概念三、一阶常系数线性差分方程四、二阶常系数线性差分方程
一、差分
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,

差分方程1

四、差分方程前面介绍的微分方程是连续型的方程问题，而差分方程是研究离散型的方程问题。

差分对于函数)x (f ，当h >0时，我们把())x (f x f )x (f -h +=∆称为函数)x (f 在x 的步长为h 的一阶差分，仍记为)x (f ∆.)n (f )n (f )n (f -+=1∆ 特别地，取步长1=h ，自变量x 取非负整数n ，则.设函数)x (f 和)x (g ，由一阶差分的定义，显见有)n (g C )n (f C ))n (g C )n (f C (∆∆∆2121+=+()为任意常数21C ,C . 由于一阶差分)n (f ∆仍是n 的函数，我们定义二阶差分[])n (f )n (f ∆∆∆=2.同样地，我们可以定义阶差分[])n (f )n (f n n 1-=∆∆∆差分的性质差分具有如下性质性质1 设a 为常数，则0=a ∆.性质2 设函数)x (f 和)x (g ,则 )n (g C )n (f C ))n (g C )n (f C (∆∆∆2121+=+, 其中为任意常数21C ,C .性质3 设函数)x (f 和)x (g ,则 [])n (g )n (f )n (f )n (g )n (g )n (f ∆∆∆⋅++⋅=⋅1)n (g )n (f )n (f )n (g ∆∆⋅+⋅+=1.差分方程含有未知函数的差分的方程称为差分方程，差分方程中所含差分的最高阶数称为差分方程的阶.如果函数代入差分方程后，方程关于自变量是恒等式，则称该函数是此差分方程的解.若k 阶差分方程的解式中含有k 各独立的任意常数，则称之为该差分方程的通解；不含有任意常数的解称之为特解.记)n (y y n =，差分方程通常以含 ,y ,y n n 1+的方程出现. 例如21222n y y y n n n =+-++是二阶差分方程. 事实上n n n y y y ∆+=+1 ，()n n n n n n n y y y y y y y ∆∆∆∆+++=+=+++112n n n y y y 22∆∆++= ，代入上式，并简化得22n y y n n =+∆ .当差分方程以上述形式给出时，未知函数的下标的最大值与最小值之差即为差分方程的阶.一阶常系数线性差分方程我们把形如)n (f ay y n n =-+1()15的差分方程称为一阶常系数线性差分方程，其中0≠a 为已知常数.特别地，当0≡)n (f 时，即01=-+n n ay y ()16称为一阶常系数齐次线性差分方程.当0≠)n (f 时，()15式也称为一阶常系数非齐次线性差分方程，此时，()16式称为()15式对应的常系数齐次线性差分方程.()16的通解是n n Ca y =.定理1 ∙n y 是()16的解，n y ~为()15的一个特解，那么n n n y ~y y +=∙是()15的解.1）当)b (b )n (f 为常数=时，()15的特解形式为n y ~= 11{，，≠=a ,A a ,An其中A 是待定常数.2) 当)n (P )n (f k =次多项式）（k 时，()15的特解为 n y ~,a ,n A n A A ,a ),n A n A A (n k k k k 111010{≠+++=+++= 其中)k ,,,i (A i 10=为待定常数.3）)B B ,b (bB )n (f n1≠=为常数且时，特解为,a B ,AB ,a B ,AnB n n n {y ~≠==其中A 是待定常数.二阶常系数线性差分方程我们把形如)(12n f by ay y n n n =++++）（17 的差分方程称为二阶常系数线性差分方程，其中0,≠b a 均为已知常数.特别地，当0)(≡n f 时，即12=++++n n n by ay y ）（18 称为二阶常系数齐次线性差分方程. 当f n ≠0时，（17）式也称为二阶常系数非齐次线性差分方程，此时，（18）式称为（17）式对应的常系数齐次线性差分方程。

4_差分方程方法[1]

如果
lim
k
xk
x* ，则称平衡点
x* 是稳定的，否则是不稳定的。
研究平衡点 x* 的稳定性问题，只需要研究 xk1 axk 0
的平衡点 x* ＝０的稳定性问题。则 x* 0 是稳定的平衡点的充
要条件是： a 1。
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Байду номын сангаас
2019年9月17日
二差分方程的平衡点及其稳定性
2. 一阶线性常系数差分方程组的平衡点
其中 f 为已知函数，其平衡点定义为方程 x f (x) 的解 x* 。
事实上：将 f (xk ) 在 x* 处作一阶的台勒展开有
xk1 f (x* )( xk x* ) f (x* )
则 x* 也是一阶线性差分方程 xk1 f (x*)(xk x*) f (x*)
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
其中 Ak 为求积系数，它与 xk 的选取方法有关。
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2019年9月17日
三连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
一般取等距节点 xk a kh(k 0,1,, n) ，其中 h b a 为很小的数，则有常用的求积公式：
的平衡点. 故平衡点 x* 稳定的充要条件是 f (x* ) 1 。
三连续模型的差分方法
1. 微分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n 1) ，且 a x0 x1 xn1 b，试求函数的导数值 f (xk )(k 1,2,, n) 。
的根 1, 2 满足 1 1, 2 1。
对于一般的

3.4.差分方程简介

故原方程的通解为
（2）方程对应的特征方程为 λ 1= 0 ，其特征根为 λ =1 ，于是齐次方
* 程的通解为 yi = C 。设方程的特解为： yi = Acos π i + Bsin π i 2 2
将其代入原方程可解得 A = B = 1 2 故原方程的通解为
yi = C 1 (cos π i + sin π i) 2 2 2
λn + Pλn1 ++ P 1λ + P = 0 1 n n
（3.4.3）
方程（3.4.3）称为（3.4.2）的特征方程。若 λ1, λ2 ,, λn 是（3.4.3）的 n 个不同的根，则 Y (i) = λ1 ,Y2 (i) = λ2 ,,Yn (i) = λn 就是（3.4.2）的 n 个 1
r 1+ P ++ P 1 n
是稳定的条件与对应的齐次方程（3.4.2）完全相同。
此外，对于 n 维向量 yi 和 n× m 常数矩阵 A 构成的一阶线性差分方程组
yi +1 + Ayi = 0
其平衡点稳定的条件是矩阵 A 的特征根
λi ( i =1,2,, n) 均有 λi <1 。即均在复平面上的
（3）
若 Y1 (i) ，…，Yn (i) 是方程（3.4.2） n 个线性
无关的解，则它们的线性组合 C1Y (i) ++ CnYn (i) 1 就是（3.4.2）的通解。 Y1 (i) ，…， Yn (i) 称为（3.4.2）的一组基本解。（4）若 C1Y (i) ++ CnYn (i) 是（3.4.2）的通解， y *(i) 是 1 非齐次方程（3.4.1）的一个特解，则

差分方程(1)-基础知识