差分方程(1)-基础知识
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差分方程(1)-基础知识
6B1 = 12,
3B0 + 5B1 = 0,
解出
10 B0 , B1 2, 3
10 y x C1 C 2 (2) x 2 x 2 . 3
x
故所求通解为
(2) f (x) = Cqx
设特解的待定式为
x y x Bq
(q不是特征根);
y x Bxq x (q是特征方程单根); y x Bx2q x (q是二重特征根).
则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
5 k 2
x 1
1 5 5 k , 2 2 2
x
x
解出
1 k . 2
则所求通解为
15 1 yx . 2 2 2
x
x
四、二阶常系数线性差分方程 形如
yx+2 + ayx+1 + byx = f (x).
例8 求差分方程 yx+2 7yx+1 + 6yx = 0的通解.
解 特征方程为
2 7 + 6 = 0.
方程的根为 原方程的通解为
1 = 1, 2 = 6.
yx = C1 + C26x.
例9 求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0满足条件y0=0,
y1=1的特解.
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方 * 是 (3) 的一个特解 , 则 y y y x 是方 程(4)的通解, yx x x
程(3)的通解. 下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
第1节 差分方程的基本概念
比的方法是学习差分方程有效的方法.
3
一、差分概念
yt 设函数 y f (t ) 为定义在整数集上的函数,简记,
一阶差分： yt yt 1 yt
一阶差分的差分称为yt 的二阶差分,
2 yt (y x ) yt 1 yt yt 2 2 yt 1 yt
三阶差分：
3 yt (2 yt ) 2 yt 1 2 yt yt 2 2yt 1 yt
yt 3 3 yt 2 3 yt 1 yt ,
4
一般地，k 阶差分定义为
k yt (k 1 yt ) k 1 yt 1 k 1 yt
F (t , yt , yt , yt ,, yt ) 0 .
2 n
6
三、差分方程的解
定义 若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等,则
称此函数为该差分方程的解.
若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个
数恰好等于差分方程的阶数, 则称该解为差分方程的
通解. 差分方程满足初始条件的解称为该问题的特解.
3 yt (2 yt ) (2) 0 .
5
二、差分方程
定义 含有未知函数 yt 在 t 的两个或两个以上的函数值
yt , yt 1 , 的函数方程称为差分方程；差分方程中所出现的
未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.
G(t , yt , yt 1 ,, yt n ) 0,
7
练习：
P384 习题十
8
i ( 1)i C k yt k i , i 0 k
k 1, 2,
2 3
例1 设 yt (t 1)2 t 2 2t 1, yt
差分方程简介
日期:
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程基本知识
在本书中． 我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．
二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt1 ayt f (t )，
(2)
的k个特解，则线性组合 y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个 线性无关的特解．若
是方程
y1(t ), y2(t ), , yn(t )
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
它对应的齐次方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于 Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) Cn yn(t ) y*(t),
其中 y*(t) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常 重要的基础知识．
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )
二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt1 ayt f (t )，
(2)
的k个特解，则线性组合 y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个 线性无关的特解．若
是方程
y1(t ), y2(t ), , yn(t )
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
它对应的齐次方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于 Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) Cn yn(t ) y*(t),
其中 y*(t) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常 重要的基础知识．
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
差分方程
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系,
所以可设 yx = x为方程(11)的解. 代如方程(11)得 x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
(12)
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
第八节 差分方程
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储
蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这
种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 2, 2 = 1,
y* C1 C2 (2) x . x
齐次方程的通解为
因为 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 设
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方
程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解. 解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2, 所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数
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(B0+B1 +B2)+ ( B1+2B2) xB2x2=3x2.
比较系数, 得
B0+B1 +B2=0,
B1+2B2 = 0,
B2 = 3.
解出
B0= 9, B1 = 6, B2 = 3,
故所求特解为 .°yx96x3x2.
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解.
解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为
y
* x
C.
这里 a = 1, 设 °yxx(B0B1x),代入差分方程, 得
(x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1.
整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1.
比较系数, 得
2B1 = 1,
解出 故所求通解为
B0 + B1 = 1,
B0
.
B°y1x12C, 12x(x1).
(4)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
.
先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知
y1 = C, 则得齐次差分方程的通解为
yx = Cax.
(5)
.
例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解. 解 这里 a = 2, 由公式(5)得, 通解为
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即 3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
.
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,
2
2
°y x
k
5 2
x
,
则
k52x. 112k52x 52x,
差 分 方 程(1) ——基础知识
.
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
.
一、差分
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储 蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这 种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的
个数与差分方程的阶数相等, 这样的解称为差分方程的通
解.
.
三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yx+1 ayx = f (x).
(3)
其中 a 为不等于零的常数. 当 f (x) = 0 时, 即
yx+1 ayx = 0
(2) f (x) = Cbx
设特解的待定式为
°yx kbx (b a)
(8)
或
°yx kxbx (b a)
(9)
其中 k 为待定系数.
.
例7
求差分方程
yx1
1 2
yx
5 2
x
的通解.
解
对应的齐次方程
yx1
1 2
yx
0
的通解为
y
* x
C
1 2
x
,
因为 a 1 , b 5 , 故可设特解为
式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
.
例2 将差分方程 2yx + 2yx = 0
表示成不含差分的形式. 解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx ,
代入得 yx+2 yx = 0.
由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标的 整标函数的方程.
3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6) = 6,
4(x3) = (6) 6 = 0.
.
二、差分方程的概念
定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程.
差分方程的一般形式为
F(x, yx, yx, , n yx) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含有 差分.
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差 yx+1 yx
称为函数 yx 的一阶差分, 记为yx, 即 yx = yx+1 yx.
.
(yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
为二阶差分, 记为2 yx, 即 2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
.
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解.
例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解.
解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2,
所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解.
设特解的待定式为
°yxB0B1xBmxm (a1) (6)
或
° yx(B0B1xBmxm)x(a1) (7)
其中B0 , B1 , , Bm为. 待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解 这里 a = 2, 设 ° yxB0B 1xB2x2,
代入差分方程, 得
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得
yx = C(2)x .
.
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方
程(4)的通解, °y x 是(3)的一个特解, 则 yx y*x °yx 是方
程(3)的通解.
下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
(1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm
.
定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程.
其一般形式为
G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0.
(2)
定义3中要求yx, yx+1, , yx+n不少于两个.
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方 程.
差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.