差分方程(1)-基础知识

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定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程.
其一般形式为
G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0.
(2)
定义3中要求yx, yx+1, , yx+n不少于两个.
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方 程.
差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
设特解的待定式为
°yxB0B1xBmxm (a1) (6)
或
° yx(B0B1xBmxm)x(a1) (7)
其中B0 , B1 , , Bm为. 待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解 这里 a = 2, 设 ° yxB0B 1xB2x2,
代入差分方程, 得
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得
3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6) = 6,
4(x3) = (6) 6 = 0.
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二、差分方程的概念
定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程.
差分方程的一般形式为
F(x, yx, yx, , n yx) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含有 差分.
差 分 方 程(1) ——基础知识
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一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
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一、差分
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储 蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这 种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的
个数与差分方程的阶数相等, 这样的解称为差分方程的通
解.
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三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yx+1 ayx = f (x).
(3)
其中 a 为不等于零的常数. 当 f (x) = 0 时, 即
yx+1 ayx = 0
(2) f (x) = Cbx
设特解的待定式为
°yx kbx (b a)
(8)
或
°yx kxbx (b a)
(9)
其中 k 为待定系数.
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例7
求差分方程
yx1
1 2
yx
5 2
x
的通解.
解
对应的齐次方程
yx1
1 2
yx
0
的通解为
y
* x
C
1 2
x
,
因为 a 1 , b 5 , 故可设特解为
(4)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
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先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知
y1 = ay0, y2 = a2y0,
yx = axy0,
令y0 = C, 则得齐次差分方程的通解为
yx = Cax.
(5)
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例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解. 解 这里 a = 2, 由公式(5)得, 通解为
y
* x
C.
这里 a = 1, 设 °yxx(B0B1x),代入差分方程, 得
(x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1.
整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1.
比较系数, 得
2B1 = 1,
解出 故所求通解为
B0 + B1 = 1,
B0
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B°y1x12C, 12x(x1).
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差 yx+1 yx
称为函数 yx 的一阶差分, 记为yx, 即 yx = yx+1 yx.
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(yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
为二阶差分, 记为2 yx, 即 2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
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例2 将差分方程 2yx + 2yx = 0
表示成不含差分的形式. 解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx ,
代入得 yx+2 yx = 0.
由此可以看出, 差分方程能化为含有来自百度文库些不同下标的 整标函数的方程.
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定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解.
例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解.
解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2,
所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解.
(B0+B1 +B2)+ ( B1+2B2) xB2x2=3x2.
比较系数, 得
B0+B1 +B2=0,
B1+2B2 = 0,
B2 = 3.
解出
B0= 9, B1 = 6, B2 = 3,
故所求特解为 .°yx96x3x2.
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解.
解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为
2
2
°y x
k
5 2
x
,
则
k52x. 112k52x 52x,
yx = C(2)x .
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再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方
程(4)的通解, °y x 是(3)的一个特解, 则 yx y*x °yx 是方
程(3)的通解.
下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
(1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即 3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
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例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,