高中数学坐标系与参数方程优秀课件
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2020版高考理数：专题(16)坐标系与参数方程ppt课件三
专题十六 坐标系与参数方程
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CONTENTS
1
考点 坐标系与参数方程
考点 坐标系与参数方程
必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力
考点 坐标系与参数方程
考法例析 成就能力 考法1 极坐标与直角坐标的互化
[课标全国Ⅱ2017·22]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，
解得a＝－1(舍去)或a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上． 所以a＝1.
8
考点 坐标系与参数方程
考法2 参数方程与普通方程的互化
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，
求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为
，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．4考点 坐 Nhomakorabea系与参数方程
5
考点 坐标系与参数方程
[天津2017·11]在极坐标系中，直线
与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．
【答案】2
6
考点 坐标系与参数方程
[课标全国Ⅰ2016·23]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标
系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公
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1
考点 坐标系与参数方程
考点 坐标系与参数方程
必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力
考点 坐标系与参数方程
考法例析 成就能力 考法1 极坐标与直角坐标的互化
[课标全国Ⅱ2017·22]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，
解得a＝－1(舍去)或a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上． 所以a＝1.
8
考点 坐标系与参数方程
考法2 参数方程与普通方程的互化
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，
求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为
，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．4考点 坐 Nhomakorabea系与参数方程
5
考点 坐标系与参数方程
[天津2017·11]在极坐标系中，直线
与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．
【答案】2
6
考点 坐标系与参数方程
[课标全国Ⅰ2016·23]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标
系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公
第2部分 专题7 第1讲 坐标系与参数方程 课件(共40张PPT)
消去参数 t 得 x2＋y2＝1，
故曲线 C1 是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆．
x＝cos4t， (2)当 k＝4 时，C1：y＝sin4t， 消去参数 t 得 C1 的直角坐标方
程为 x＋ y＝1.C2 的直角坐标方程为 4x－16y＋3＝0.
由4xx－＋16yy＝＋13，＝0，
解得x＝14， y＝14.
(2) 经 过 点 P(x0 ， y0) 且 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上的两点，其对应参
数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 对应的参数为 t0，则以
下结论在解题中经常用到：①t0＝t1＋2 t2；②|PM|＝|t0|＝t1＋2 t2；③|AB|
1．[以几何图形为载体] 在极坐标系下，方程 ρ＝2sin 2θ 的图形为如图所示的“幸运四叶 草”，又称为玫瑰线．
(1)当玫瑰线的 θ∈0，π2时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线 的交点的极坐标；
(2)求曲线 ρ＝sin2θ＋2 π4上的点 M 与玫瑰线上的点 N 距离的最小值 及取得最小值时的点 M，N 的极坐标．
易得|CC1|＝3－2 2，圆 C1 的半径 r1＝2，圆 C 的半径 r＝ 2， 所以|CC1|＜r1－r，
所以 C 与 C1 没有公共点．
命题规律：以解答题的形式出现，分值 10 分． 通性通法：(1)消去参数的三种常用方法 ①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数； ③根据参数方程本身的结构特点，灵活地选用一些方法从整体上 消去参数．
x′＝2x，
高三数学精品课件： 选修4-4 坐标系与参数方程
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[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
1．椭圆 C 的参数方程为
x＝5cos φ， y＝3sin φ
(φ
为参数)，过左焦
点
F1
的直线
l
与
C 相交于 18
A，B
两
点，则|AB|min＝___5_____.
由yx＝＝35scions
φ， φ
(φ 为
参数)得，2x52 ＋y92＝1，
将 ∴xy＝＝直 t1－＋2线－1t2＋3＝l t的，2－t参2(，数t 为t方1t参2程＝数代－)，入74曲，y线2＝C4x的，极整坐理标得方4程t2＋为8ρt－sin72＝θ＝0，4cos
θ.设直线 l ∴ |AB| ＝
与－曲3线2＋C 2相2 |t交1 －于t2A| ＝，B1两3 ×点，t则1＋|At2B2|＝－_4_t1_t2_1＝_4_3__1.3
－圆4心sinCθ的相坐交标于为A(1，，B－两2)点，，半若径|ArB＝|＝52，3所，以则圆实心数Ca 到的直值线为
_的_－_距_5_离或__为－__|11_＋__2．＋a|＝ 2
r2－|A2B|2＝ 2，解得 a＝－5 或 a
＝－1.故实数 a 的值为－5 或－1.
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[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
解析：∵ρsin2α－4cos α＝0，∴ρ2sin2α＝4ρcos α， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝4x. 由xy＝＝22tt，＋1， 消去 t，得 x＝y＋1. ∴直线 l 的普通方程为 x－y－1＝0. 点 M(1,0)在直线 l 上，
专题七第1讲选修44坐标系与参数方程课件共39张PPT
ρsin
θ＝
3 3 ρcos
θ－4 3 3＋1，
ρsin θ＝－ 33ρcos θ＋433＋1。
2．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ。
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为yx＝＝12＋＋scions
α， α
(α为参数)。
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以|2k－1k＋2＋1－1 4k|＝1，解得k＝± 33，
则这两条切线方程分别为y＝ 33x－433＋1，y＝－ 33x＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为
解 (1)解法一：曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入，得t2＋ t＝0，解得t＝0或t＝－1，根据参数的几何意义可知|AB|＝1。
解法二：直线l的普通方程为y＝ 3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1， 由yx＝ 2＋y32＝x－1，1， 得l与C1的交点坐标为(1,0)，12，－ 23，则|AB|＝1。
(t为参数)。
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P， 求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。
解 (1)由C1的参数方程得，C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)。 由C2的参数方程得x2＝t2＋t12＋2，y2＝t2＋t12－2，所以x2－y2＝4。 故C2的普通方程为x2－y2＝4。
高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt
5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
《坐标系与参数方程》课件
选修4-4 极坐标系与参数方程一、极坐标系与极坐标1、极坐标系的概念： 在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2、点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对___________叫做点M 的极坐标，记为___________.极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.3、若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4、极坐标与直角坐标的互化：_________________________ , ________________________________________________ ,_______________________5、圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是________________；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程________________； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是______________；6、直线的极坐标方程在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线（ ）在极坐标系中，过点)0a )(b ,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是__________. 在极坐标系中，过点A(a,)b ，且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是________________二、参数方程1、参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。
7.3坐标系与参数方程PPT课件
考点二 参数方程与普通方程的互化
例 2 (1)(2013·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数
方
程
为
x＝t＋1， y＝2t
(t
为参数)，曲线
C 的参数方程为
本 讲 栏
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数)．试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，
目 开
并求出它们的公共点的坐标．
因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
热点分类突破
专题七 第3讲
M 的轨迹的参数方程为
本
x＝cos α＋cos 2α， y＝sin α＋sin 2α
(α 为参数，0<α<2π)．
讲
栏 目
②M 点到坐标原点的距离
开
关 d＝ x2＋y2＝ 2＋2cos α(0<α<2π)．
当 α＝π，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点．
∴e＝
ac22＝
3b32－b2 b2＝
23＝
6 3.
热点分类突破
专题七 第3讲
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴为极轴
本 讲
建立极坐标系，曲线
C1
的参数方程为x＝tan1 φ， y＝tan12φ
(φ 为参
栏
目 数)，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲线 C1
P、Q
都在曲线
C：xy＝＝22scions
t， t
(t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0<α<2π)，M 为
本 PQ 的中点．
讲 栏
①求 M 的轨迹的参数方程；
2020版高考理数：专题(16)坐标系与参数方程ppt课件一
由ρ2＝x2＋y2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝ (x≠0)确定θ时，根据点(x，y) 所在象限取最小正角．当x≠0时，θ角才能由tan θ＝x(y)按上述方法确定．当 x＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x＝0，y＝0时，θ可取任 何值；②当x＝0，y＞0时，可取θ＝ ；③当x＝0，y＜0时，可取θ＝ .
专题十六 坐标系与参数方程
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1
考点 坐标系与参数方程
考点 坐标系与参数方程
必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力
考点 坐标系与参数方程
必备知识 全面把握
1．坐标系
(1)平面直角坐标系 定义：在平面上，取定了两条互相垂直的直线的交点为原点，并确 定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．此时， 平面上任意一点P都可以由唯一的有序实数对(x，y)确定．
(3)简单曲线的极坐标方程 曲线的极坐标方程： 一般地，在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝ 0叫做曲线C的极坐标方程．
6
考点 坐标系与参数方程
圆的极坐标方程：
圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为ρ2－2ρ0ρ·cos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程：
平面直角坐标系中的伸缩变换： 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ ：
的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平 面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
考点 坐标系与参数方程
(2)极坐标系 定义：在平面内取一个定点O，由点O引一条射线Ox， 并确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正 方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标 系．定点O叫做极点，射线Ox叫做极轴．如图．
专题十六 坐标系与参数方程
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考点 坐标系与参数方程
考点 坐标系与参数方程
必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力
考点 坐标系与参数方程
必备知识 全面把握
1．坐标系
(1)平面直角坐标系 定义：在平面上，取定了两条互相垂直的直线的交点为原点，并确 定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．此时， 平面上任意一点P都可以由唯一的有序实数对(x，y)确定．
(3)简单曲线的极坐标方程 曲线的极坐标方程： 一般地，在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝ 0叫做曲线C的极坐标方程．
6
考点 坐标系与参数方程
圆的极坐标方程：
圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为ρ2－2ρ0ρ·cos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程：
平面直角坐标系中的伸缩变换： 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ ：
的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平 面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
考点 坐标系与参数方程
(2)极坐标系 定义：在平面内取一个定点O，由点O引一条射线Ox， 并确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正 方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标 系．定点O叫做极点，射线Ox叫做极轴．如图．
坐标系与参数方程PPT学习课件
答案
3π 2， 4
探究提高
解决这类问题一般有两种思路．一是将极
坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标， 再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立， 根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条 件及隐含条件．
变式训练 2
在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方
.
热点分类突破
题型一 极坐标与直角坐标(方程)的互化 例 1 (1)若点 P 的直角坐标为(1， － 3)， 则点 P 的极 坐标为________(0≤θ<2π)； 1 (2)将曲线的极坐标方程 sin θ＝ 化为直角坐标方程 3 为________________． 思维启迪 用极坐标与直角坐标的互化公式求解．
考题分析
本小题考查了极坐标的概念，曲线的极坐
标方程以及利用曲线的极坐标方程求曲线的交点问 题．考查了极坐标的基础知识以及运用极坐标解决问 题的能力．
易错提醒
(1)易忽略 ρ≠0 的条件和 0≤θ<2π.
(2)忽视极坐标与直角坐标的互化．
主干知识梳理
1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 正半轴作为极轴，且在两坐标系中取 相同的长度单位．设 M 是平面内的任 意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 (x，y)和(ρ，θ)，则
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y x＝ρcos θ ， . y y ＝ ρ sin θ tan θ＝ (x≠0) x
2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α， 则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； π (3)直线过 M(b， )且平行于极轴：ρsin θ＝b. 2
高考数学一轮复习 坐标系与参数方程课件 文(选修4-4)
13
5.几种常见曲线的参数方程 (1)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t为参数).
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14
问题探究2：在直线的参数方程xy＝＝xy00＋＋ttcsions
α， α
(t为参数)
中，t的几何意义是什么？如何利用t的几何意义求直线上任两点
标x，y都是某个变数t的函数：xy＝＝fgtt，， 并且对于t的每一个 允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上 ，那 么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系 的变数t叫做参变数，简称 参数 .相对于参数方程而言，直 接给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 .
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9
3.简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方 程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α) . 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点： θ＝θ0 和 θ＝π－θ0 ； ②直线过点M(a,0)且垂直于极轴： ρcos θ＝a ； ③直线过点M(b，π2)且平行于极轴： ρsin θ＝b .
22t＋m，
y＝ 22t，
消去 t，得 x－y
－m＝0，∵直线 l 与圆 C 相切，∴|2－2m|＝2，∴m＝2±2 2.
答案：A
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22
3．(2014·天津卷)在以 O 为极点的极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 和直线 ρsin θ＝a 相交于 A，B 两点，若△AOB 是等边三角形， 则 a 的值为________．
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11
问题探究1：平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什 么？与点的极坐标呢？
【师说系列】届高考数学一轮复习讲义课件：选修-坐标系与参数方程(共46张PPT)
因为△OMN 为正三角形，
ρ＝ρ1
ρ1＝ρ，
所以θ＝θ1＋π3 ⇒θ1＝θ－π3，
代入①得 ρ2－2ρ0ρcos(θ－π3)＋ρ20－r2＝0， 这就是点 N 的轨迹方程． 点评 对于有些几何图形，选用极坐标系可以使建立的方程更
加简单．本题涉及角度、长度，选用极坐标系则更易将已知的几何
Hale Waihona Puke 条件转化为数量关系.4．圆的极坐标方程
选修4－4 坐标系(1与)参圆数方心程 为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的极坐标方程为：ρ2－
选选修修44－－442ρ坐坐·标标ρ0系系c与与o参参s(数数θ方方－程程 θ0)＋ρ20－r2＝0.特别地，以极点为圆心，半径为 r 的圆的
选选修修44－－44极坐坐坐标标系系标与与参参方数数程方方程程为：ρ＝r；
xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα (t 为参数) 其中参数 t 是以定点 P(x0，y0)为起点，M(x，y)为终点的有向线
段 PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论： 设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA 和 tB，
则 AB＝|tB－tA|＝ tB＋tA2－4tA·tB，线段 AB 的中点所对应的参数值 等于tA＋2 tB.
解析 以左焦点 F1 为极点，长轴所在直线为极轴建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为
ρ＝1－eepcosθ＝3－
2
1， 2cosθ
设∠F2F1M＝ α，
则 MN＝3－2 12cosα＋3－2
1 2cosπ＋α
＝9－
6 8cos2α.
又 MN＝2，∴9－86cos2α＝2，
解得 sinα＝12， ∴∠F2F1M＝30°或 150°.
高中数学《 坐标系与参数方程》课件 新人教版选修4-4
四、柱坐标系与球坐 标系简介
内 第二讲 参数方程 容 一、曲线的参数方程
二、圆锥曲线的参数 方程
三、直线的参数方程
四、渐开线与摆线
坐 坐标系是解析几何的
标 基础，有了坐标系，
系
使几何问题代数化成 为可能，它是实现几何
的 图形与代数形式互相转
作 化的基础，使精确刻画
用
几何图形的位置和物体 运动的轨迹成为可能。
序数组 (, , z)叫做P的柱坐标，记作 P(, , z), 其中 0，0 2，－ z
柱 坐 标 系
x
P(,,z)
z
o
y
x
Q
柱
坐
标
互 化
与 直 角
坐
标
的
空间点 P的直角坐(x标 , y,z)与柱坐(标 ,,z)
之间的变换公式为
xcos {y sin
zz
球 坐 标 系 的 概 念
坐 在不同的坐标系中， 标 同一个几何图形可 系 以有不同的表现形 的 式，这使解决问题 多 的方法有了更多的 样 选择。 性
平 教材从一个思考题出发，复
面
习了建立平面直角坐标系解
直
决实际问题的方法，并进一
角 坐
步提出思考:这种方法与用 直角坐标刻画点P的位置有 什么区别和联系?你认为哪
标
种方法更方便?为引入极坐
z rcos
曲 参数方程是曲线的另
线
一种表现形式，它弥 补了普通方程表示曲
的 线的不足，极坐标与
参 参数方程为研究较为
数 复杂的曲线提供了工 方 具。
程
参 一般地，在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标
数 都是x ,某y 个变数t的函数 ，
内 第二讲 参数方程 容 一、曲线的参数方程
二、圆锥曲线的参数 方程
三、直线的参数方程
四、渐开线与摆线
坐 坐标系是解析几何的
标 基础，有了坐标系，
系
使几何问题代数化成 为可能，它是实现几何
的 图形与代数形式互相转
作 化的基础，使精确刻画
用
几何图形的位置和物体 运动的轨迹成为可能。
序数组 (, , z)叫做P的柱坐标，记作 P(, , z), 其中 0，0 2，－ z
柱 坐 标 系
x
P(,,z)
z
o
y
x
Q
柱
坐
标
互 化
与 直 角
坐
标
的
空间点 P的直角坐(x标 , y,z)与柱坐(标 ,,z)
之间的变换公式为
xcos {y sin
zz
球 坐 标 系 的 概 念
坐 在不同的坐标系中， 标 同一个几何图形可 系 以有不同的表现形 的 式，这使解决问题 多 的方法有了更多的 样 选择。 性
平 教材从一个思考题出发，复
面
习了建立平面直角坐标系解
直
决实际问题的方法，并进一
角 坐
步提出思考:这种方法与用 直角坐标刻画点P的位置有 什么区别和联系?你认为哪
标
种方法更方便?为引入极坐
z rcos
曲 参数方程是曲线的另
线
一种表现形式，它弥 补了普通方程表示曲
的 线的不足，极坐标与
参 参数方程为研究较为
数 复杂的曲线提供了工 方 具。
程
参 一般地，在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标
数 都是x ,某y 个变数t的函数 ，
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3．极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为
极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长
度单位．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极 x＝ρcosθ
坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：y＝ρsinθ ；又可得到
关系式： ρ2＝x2＋y2 ，tanθ＝xy(x≠0)，这就是极坐标与直角坐 标的互化公式．
2．参数方程 (1)了解参数方程，了解参数的意义． (2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数 方程．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．能用直线 的参数方程解决简单的相关问题．
命题趋势
从2010年全国高考看，这部分内容难度属中低档．考 查的重点：一是参数方程、极坐标方程和曲线的关系；二 是由曲线的参数方程、极坐标方程求曲线的基本量．主要 考查对方程中各量几何意义的理解，知识面不太广，重在 考查基础知识．
1．高度重视基础知识 以课本知识为主，不要刻意加大难度．本单元的重点 是极坐标系和利用参数求轨迹的参数方程．极坐标应重点
放在极坐标化为直角坐标，并熟练掌握直线、圆的极坐 标方程与曲线之间的对应关系．参数方程的重点是普通 方程与参数方程的互化，尤其是参数方程化为普通方 程．
2．注意参数思想的应用 参数思想在本单元的体现是简化运算，减少未知量 的个数，在轨迹问题、最值、定值问题的解决中起到重 要的作用． 3．注意本单元内容和三角函数及平面解析几何的交 汇
＜2π，z 为任意实数．
设空间中一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，记 P 与原点 O 的 距离|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ，P 在 Oxy 平面上 的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正 角为 θ，这样，点 P 的位置可用有序数组(r，φ，θ)表示，则(r， φ，θ)叫做点 P 的球坐标，在球坐标中，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
极轴
样就建立了一个 极坐标系 。设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的 极径 ，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ，记为 θ.有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的 极坐标 ，记作 M(ρ，θ)．一
般地，ρ≥0，θ 为任意实数．
由于参数法既与三角函数图象的各种变换交汇，又 与解析几何的轨迹方程的求解有关，因此必须加强参数 法的应用意识，体会参数法的特点，进一步体验参数法 解决实际问题的高效．希望备考时引起足够重视．
本单元共2讲，每讲1课时，45分钟单元能力训练卷1 课时，共约需3课时.
知识梳理
1． 伸缩变换：设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意
4．半径为 a，圆心坐标为 C(a,0)(a＞0)的圆的极坐标方程
为
ρ＝2acosθ .
5．柱坐标系与球坐标系：设空间中一点 M 的直角坐标为
(x，y，z)，M 在 xOy 坐标面上的投影为 M0，点 M0 在 Oxy 坐 标面上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数 ρ、θ、z 构成的数组(ρ，
θ，z)称为空间中点 M 的柱坐标．在柱坐标中，限定 ρ≥0,0≤θ
要点探究
► 探究点1 平面直角坐标系中图象的变换
例 1 通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可 以把椭圆(x＋91)2＋(y－41)2＝1 变为中心在原点的单位圆，求上 述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换合成的变换．
【思路】把中心不在原点的椭圆通过平移变换化为中心 在原点的椭圆，再通过伸缩变换化为中心在原点的单位 圆．
变式题 已知圆 x2＋y2＝16 在点 P(2,2 3)处的切线 为 l，把 x2＋y2＝16 向 x 轴进行压缩，使图象上每一个点 的纵坐标缩短为原来的14，得到曲线 C.
(1)求切线 l 的方程； (2)判断 l 与曲线 C 的位置关系．
【思路】通过坐标变换求出曲线的变换方程．
【解答】(1)∵kOP＝223＝ 3，∴kl＝－ 33， ∴l 的方程 y－2 3＝－ 33(x－2)，
【
解
答
】
先
通
过
平
移
变
换
x′＝x＋1， y′＝y－1
把椭圆
(x＋91)2＋(y－41)2＝1 变为椭圆x9′2＋y4′2＝1，
再通过伸缩变换x″＝x3′， y″＝y2′
把椭圆x9′2＋y4′2＝1 变
为单位圆 x″2＋y″2＝1.由上述两种变换合成的变换是
x″＝x＋3 1，
y″＝y－2 1.
.
【点评】本题设计的目的是考查平面直角坐标系中图象 的变换的基本应用．意在通过曲线图象的变换， 来表示对应 的坐标伸缩变换．对于伸缩变换下图象对应的方程变化也是 应该掌握的，但在本讲中只作了解.
使用建议
本单元内容是选修4—4坐标系与参数方程．共2讲， 第1讲坐标系，第2讲参数方程．这部分内容作为高考的选 考内容，在考试中所占的分值为7分，但在培养综合应用 基础知识的能力，扩大解题思路，灵活解题上作用很 大．特别是参数方程中体现的参数思想，常要渗透到高考 综合题的解题过程．为此，在复习中建议注意以下几点：
即 x＋ 3y－8＝0. x′＝x，
即xy＝＝(24)x设y′，′，P′(x′代，y入′)是x2曲＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy2＝C1上6，的任意一点，则y′＝14y，
高中数学坐标系与参数 方程优秀课件
知识框架
考试说明
1．坐标系 (1)理解坐标系的作用． (2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的 变化情况． (3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极 坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行 极坐标和直角坐标的互化．
(4)能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆 心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和 平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选 择适当坐标系的意义．
一点，在变换 φ：xy′′＝＝μλ··xy，，((λμ＞＞00))
的作用下，点 P(x，y)
对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变
换，简称伸缩变换．
2．极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极
点 O 引一条射线 Ox，叫做
；再选定一个长度单位、一
个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这
极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长
度单位．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极 x＝ρcosθ
坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：y＝ρsinθ ；又可得到
关系式： ρ2＝x2＋y2 ，tanθ＝xy(x≠0)，这就是极坐标与直角坐 标的互化公式．
2．参数方程 (1)了解参数方程，了解参数的意义． (2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数 方程．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．能用直线 的参数方程解决简单的相关问题．
命题趋势
从2010年全国高考看，这部分内容难度属中低档．考 查的重点：一是参数方程、极坐标方程和曲线的关系；二 是由曲线的参数方程、极坐标方程求曲线的基本量．主要 考查对方程中各量几何意义的理解，知识面不太广，重在 考查基础知识．
1．高度重视基础知识 以课本知识为主，不要刻意加大难度．本单元的重点 是极坐标系和利用参数求轨迹的参数方程．极坐标应重点
放在极坐标化为直角坐标，并熟练掌握直线、圆的极坐 标方程与曲线之间的对应关系．参数方程的重点是普通 方程与参数方程的互化，尤其是参数方程化为普通方 程．
2．注意参数思想的应用 参数思想在本单元的体现是简化运算，减少未知量 的个数，在轨迹问题、最值、定值问题的解决中起到重 要的作用． 3．注意本单元内容和三角函数及平面解析几何的交 汇
＜2π，z 为任意实数．
设空间中一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，记 P 与原点 O 的 距离|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ，P 在 Oxy 平面上 的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正 角为 θ，这样，点 P 的位置可用有序数组(r，φ，θ)表示，则(r， φ，θ)叫做点 P 的球坐标，在球坐标中，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
极轴
样就建立了一个 极坐标系 。设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的 极径 ，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ，记为 θ.有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的 极坐标 ，记作 M(ρ，θ)．一
般地，ρ≥0，θ 为任意实数．
由于参数法既与三角函数图象的各种变换交汇，又 与解析几何的轨迹方程的求解有关，因此必须加强参数 法的应用意识，体会参数法的特点，进一步体验参数法 解决实际问题的高效．希望备考时引起足够重视．
本单元共2讲，每讲1课时，45分钟单元能力训练卷1 课时，共约需3课时.
知识梳理
1． 伸缩变换：设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意
4．半径为 a，圆心坐标为 C(a,0)(a＞0)的圆的极坐标方程
为
ρ＝2acosθ .
5．柱坐标系与球坐标系：设空间中一点 M 的直角坐标为
(x，y，z)，M 在 xOy 坐标面上的投影为 M0，点 M0 在 Oxy 坐 标面上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数 ρ、θ、z 构成的数组(ρ，
θ，z)称为空间中点 M 的柱坐标．在柱坐标中，限定 ρ≥0,0≤θ
要点探究
► 探究点1 平面直角坐标系中图象的变换
例 1 通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可 以把椭圆(x＋91)2＋(y－41)2＝1 变为中心在原点的单位圆，求上 述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换合成的变换．
【思路】把中心不在原点的椭圆通过平移变换化为中心 在原点的椭圆，再通过伸缩变换化为中心在原点的单位 圆．
变式题 已知圆 x2＋y2＝16 在点 P(2,2 3)处的切线 为 l，把 x2＋y2＝16 向 x 轴进行压缩，使图象上每一个点 的纵坐标缩短为原来的14，得到曲线 C.
(1)求切线 l 的方程； (2)判断 l 与曲线 C 的位置关系．
【思路】通过坐标变换求出曲线的变换方程．
【解答】(1)∵kOP＝223＝ 3，∴kl＝－ 33， ∴l 的方程 y－2 3＝－ 33(x－2)，
【
解
答
】
先
通
过
平
移
变
换
x′＝x＋1， y′＝y－1
把椭圆
(x＋91)2＋(y－41)2＝1 变为椭圆x9′2＋y4′2＝1，
再通过伸缩变换x″＝x3′， y″＝y2′
把椭圆x9′2＋y4′2＝1 变
为单位圆 x″2＋y″2＝1.由上述两种变换合成的变换是
x″＝x＋3 1，
y″＝y－2 1.
.
【点评】本题设计的目的是考查平面直角坐标系中图象 的变换的基本应用．意在通过曲线图象的变换， 来表示对应 的坐标伸缩变换．对于伸缩变换下图象对应的方程变化也是 应该掌握的，但在本讲中只作了解.
使用建议
本单元内容是选修4—4坐标系与参数方程．共2讲， 第1讲坐标系，第2讲参数方程．这部分内容作为高考的选 考内容，在考试中所占的分值为7分，但在培养综合应用 基础知识的能力，扩大解题思路，灵活解题上作用很 大．特别是参数方程中体现的参数思想，常要渗透到高考 综合题的解题过程．为此，在复习中建议注意以下几点：
即 x＋ 3y－8＝0. x′＝x，
即xy＝＝(24)x设y′，′，P′(x′代，y入′)是x2曲＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy2＝C1上6，的任意一点，则y′＝14y，
高中数学坐标系与参数 方程优秀课件
知识框架
考试说明
1．坐标系 (1)理解坐标系的作用． (2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的 变化情况． (3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极 坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行 极坐标和直角坐标的互化．
(4)能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆 心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和 平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选 择适当坐标系的意义．
一点，在变换 φ：xy′′＝＝μλ··xy，，((λμ＞＞00))
的作用下，点 P(x，y)
对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变
换，简称伸缩变换．
2．极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极
点 O 引一条射线 Ox，叫做
；再选定一个长度单位、一
个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这