大数定律和中心极限定理例题与解析

定理5.5 (贝努利大数定律)（教材p146）
设A在n重贝努利试验中发生 nA 次，p=P(A)，则对任何
>0，有 lim P( nA p ) 1.
n
n
说明：贝努利大数定律是说，当n很大时，P(
nA n
p) 1，
故可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率。
例1(2003年数学三考研试题填空题)
则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，S n 近似
服从正态分布，只要 X1，X 2， ，X n ( ).
(A) 有相同的数学期望
(B) 有相同的方差
(C ) 服从同一指数分布
(D) 服从同一离散型分布
例3 (2001年数学四考研试题十一题)
一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的， 假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量 为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可 装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.
例1 设有30个电子元件,它们的寿命均服从参数为0.1 的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互独立, 求他们的寿命之和超过350小时的概率.
设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X 2， ，X n 为来自
总 依体概率X的收简敛单于随机样本。，则当n时，Yn
1 n
n i 1
X
2 i
第二节 中心极限定理
定理5.6 (列维-林德贝格中心极限定理 Levy-Lindeberg)
( 独立同分布中心极限定理) （教材p147）
设随机变量 1，2， ，n 相互独立且服从同一分布，且
例2 在每次试验中, 事件 A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求: 独立试验次数 n最小取 何值时,事件 A出现的频率在 0.74 ~ 0.76 之间的 概率至少为 0.90? 解 设 X 为n次试验中, 事件A 出现的次数, 则
X ~ B(n, 0.75)
EX 0.75n, DX 0.75 0.25n 0.1875n,
P{0.74n X 0.76n} P{0.01n X 0.75n 0.01n}
P{| X EX | 0.01n}
P{0.74n X 0.76n} P{| X EX | 0.01n}
在切比雪夫不等式中取 0.01n, 则
P{0.74 X / n 0.76}
P{| X EX | 0.01n} 1 DX /(0.01n)2
i
n
i 1
P
.
定理5.4 (辛钦大数定律)（教材p147）
设{n} 相互独立，且服从相同分布，E(i ) ，i 1，2，
令
n
1 n
n
i，则n
i 1
P
.
说明：1.辛钦大数定律中“服从相同分布”仅是指分布类型相
2. 这两个大数定律实质上是指出：n个满足某种条件的相互独 立随机变量的算术平均近似于一个常数。
n
推论( 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理)（教材p150 ）
设 n～B(n，p) (0<p<1)，则对任何x，有
lim P( n np
x
x)
1
t2
e 2 dt.
n np(1 p)
2
例2 (2002年数学四考研试题)
n
设随机变量 X1，X 2， ，X n 相互独立，Sn X i .
i 1
所求概率为
P{5200 X 9400} P{5200 7300 X 7300 9400 7300}
P{2100 X 2100}
P{| X | 2100}.
由切比雪夫不等式
P{| X | 2100} 1 2 /(2100)2
1 (700 / 2100)2 1 1/ 9 8 / 9, 即每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的概率不 小于 8/9.
1 0.1875n / 0.0001n2 1 1875 / n 依题意, 取 n 使1 1875 / n 0.9, 解得
n 1875 /(1 0.9) 18750, 即 n 取 18750 时, 可以使得在 n次独立重复试验 中, 事件 A出现的频率在 0.74 ~ 0.76 之间的概率 至少为 0.90.
( (2)=0.977，其中(x)是标准正态分布的分布函数)
例1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞
数平均是 7300, 均方差是 700. 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的
概率.
解 设每毫升白细胞数为 X , 依题意,
7300, 2 7002 ,
第五章 大数定律和中心极限定理(简介)
第一节 大数定律
定义5.1 (依概率收敛)（教材p145）
设1，2， ，n， (或记{n}) 是一个随机变量序列，是
随机变量或常数。若对任何 >0，都有
lim
n
P(
n
) 1，
就称{n} 依概率收敛于，记为 n P 。
定义5.2 (以概率1收敛、几乎处处收敛)
设{ n }是一个随机变量序列，若对任何n，序列中前n个随 机变量 1，2， ，n 都相互独立，则称{ n} 为独立随机变 量序列(简称{n} 相互独立)。
定理5.3 (切比雪夫大数定律)（教材p144）
设{n} 相互独立，且 E(i ) ，D(i ) 2，i 1，2， ，
令
n
1 n
n
，则
F
(x)
则称{Fn (x)}弱收敛于F(x)，记为 Fn (x) W F (x)。
称{n}依分布收敛于，记为n L 。
定理5.2 (几种收敛之间的关系)
1. 2.
若 n P ，则 n L 。
设为常数，则 n P 当且仅当n
L
。
3. 若n a .s. ，则n P 。
定义5.4 (独立随机变量序列)
若P(
lim
n
n
)=1，则称{ n }以概率1收敛于Байду номын сангаас或称
几乎处处收敛于，记为 n a .s. 。
定理5.1 设n P a，n P b，g(x，y)在(a，b)处连续，则
g(n，n ) P g(a，b).
定义5.3(依分布收敛)
设{n}和的分布函数分别为{Fn (x)}和F(x)，若
lim
n
Fn
(x)
具有相同的数学期望和方差：
E(i
)
，D(i
)
n
2，i
1，2，
，n，
则随机变量
i n
n i1 n
L N (0，1)，
即 n 的分布函数 Fn (x) 对任何x满足
n
i n
x
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P(
i 1
n
x)
1
t2
e 2 dt.
2
n
. 说明：当n很大时， i n
i 1
～N (0， 1).