经济数学微积分 6-8
《经济数学微积分》微分方程
ln y kx C1 (C1为任意常数） y ekxC1 即 y ekx eC1
令 C eC1 ,得 y Cekx
例 3 衰变问题: 铀的衰变速度与未衰变原子含
量 M 成正比,已知 M t0 M 0,求衰变过程中铀含
量 M (t )随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件
其中比例常数k=a-b，a为自然出生率，b 为自然死亡率.
3、商品的价格调整模型 设某商品在时刻t的售价为P,需求函数
和供给函数分别为
D(P) a bP 与 S(P) c dP
其中a、b、c、d均为正常数，那么在时刻t 的售价P(t)对于时间t的变化率与该商品在同 一时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，则有
d2 x dt 2
k 2C1
cos kt
k 2C2
sin kt,
将
d2 x dt 2
和x的表达式代入原方程
,
得
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt )
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt ) 0
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
dx
x A,
2.解法 作变量代换
u y, x
即 y xu,
dy u x du ,
dx 代入原式,得
u
dx x
du
(u),
dx
du (u) u
= dx x
可分离变量的方程
例4 求解微分方程 ( x 3 y 3 )dx 3 xy 2dy
解
dy dx
x3 y3 3 xy2
y x
3
1
3
y x
2
微积分答案 经济数学微积分 主编张建梅 马庆华 科学出版社 广外
上一页
下一页
目 录
7. (2) 计算积分 I
y x
1 2 1 4
dy 1 e dx 1 dy
2 2
y
y x
1
y y
e dx .
y x
解 e d x 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式
y x
y x2
I
1
1 2
1
1 2
dx
x x
2
e dy
x
y x
dxdy ,
解 由对称性，可只考虑第一象限部分 ，
D 4 D1
D1
D
注意：被积函数也要有对称性. 2 2 4 sin( x y )
x2 y2
2
dxdy
D1
sin(
2
x2 y2 ) x y
2
dxdy
4 d
0
2
1
sin r rd r 4. r
上一页 下一页 目 录
下一页
目 录
6.
(1)
上一页
下一页
目 录
6(2)
上一页
下一页
目 录
6(3) 改变积分
1 0
dx
2 x x2 0
f ( x , y )d y d x
1
2
2 x 0
f ( x , y )d y 的次序.
解 积分区域如图
y 2 x
y 2x x2
原式
1 0
dy
xy
t 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
u
经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
经济数学基础--微积分第八章
(1
1 n
)n
,
因为
lim
n
un
lim
n
1
1
n
1
n
1 e
0, 所以级数发散.
例8.1.7 讨论级数 cos n 的敛散性.
n 1
2
解 因为数列{cos n }就是0, 1, 0,1, 0, 1,, 这个数列发散, 所以级数也发散.
2
第 12 页
经济应用数学基础——微积分
第八章 第二节 第 13 页
8 1
简记为 un , 称上式为数项无穷级数, 简称无穷级数.其中, 第n项un 称为级数的一般项, n 1
级数的前n项和
n
Sn uk u1 u2 un k 1
称为级数的前n项部分和, 简称部分和.
8 2
第4 页
经济应用数学基础——微积分
无
第八章 第一节
穷
级
数
的
定义8.1.2
若数项级数的部分和数列{Sn
lim
n
Sn
1
S.由于an
Sn
Sn1 ,
所以
lim
n
an
lnim(Sn
Sn1 )
S
S
0.
注意 本性质说明如果级数 an收敛, 则通项的极限等于0.反之不成立, 如调和级数
1, 虽然 lim 1 0, 但此级数发散.另外, 如果通项的极限不等于0, 级数一定是发散的, 这
n1 n
n n
就是下面的推论.
n
1
n 2 3 1 5 1 2
n3/2
n 1
n3/2
n n2
n6
n
1
经济数学微积分-6-8名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
dx
dx
又
d2L dx 2
6
0,
5
最大利润为：Lmax
(30 6x)dx
0
30
x
3
x
2
5 0
150 75 75.
二、已知某产品生产x个单位时总收益R旳变化率为
R( x) 200 x ( x 0) 100
试求(1)生产100个单位时旳总收益； (2)再继续生产100个单位，增长旳总收益。
即R' (x) = C '(x)，60-2x =30+4x x = 5
最大利润为： Lmax
5
R( x)dx
0
5
C( x)dx
0
5
0
R(
x)
C
(
x)dx
5(60 2x) (30 4 x)dx 上页
0
下页
5
(30
0
6 x )dx
30 x
3
x
2
5返回 0
150 75 75.
另解：成本函数为 C( x)
0.1x2
300
200
10000.
例5 在某地域消费者个人收入为x元时消费支出W旳
变化率为W'(x)= 15 .当个人收入由900增长到1600时， 消费支出会增长多x少？
解： W
1600
W ( x)dx
1600 15 dx
900
900 x
30
x
1600
900
300(元).
三、收益流旳现值和 经 济 数 学 将来值 货币资金将来旳价值，即一定量旳资金在将来
0
r
即收入的资本价值为 b (1 e rT ) a。
电大经济数学基础微积分试题及答案（最新）
经济数学基础微积分试题（07.1-14.1）一、单项选择题：1、设xx f 1)(=，则=))((x f f （ C ）. （10.1）A.x 1B.21x C.x D.2x2、下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等. （08.7） A. x x g x x f ==)(,)(2 B. x x g x x f ==)(,)()(2C. x x g x y ln 3)(,ln 3==D. x x g x y ln 2)(,ln 2==3、下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等. （07.7,13.1，14.1）A.x x g x x f ==)(,)()(2B.1)(,11)(2+=--=x x g x x x fC.x x g x y ln 2)(,ln 2==D.1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f4、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ B ）. （10.7,11.7） A.x sin B.x e C.2x D.x -35、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调下降的是（ B ）.（09.1） A.x sin B. x 3 C.2x D. 5-x6、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ C ）.（08.7）A.x sinB.x 21C.x 3D.21x -7、函数242--=x x y 的定义域是（ B ）. （07.1） A. [-2,+ ∞) B. [-2,2)),2(+∞⋃C. （-∞,-2)),2(+∞-⋃D. （-∞,2)),2(+∞⋃ 8、函数xx y -++=41)2ln(的定义域是（ A ）. （09.7）A.(-2,4)B. (-2,4)),4(+∞⋃C.)4,(-∞D.),2(+∞-9、函数)1lg(+=x xy 的定义域是（ D ）. （11.7）A.1->xB.0>xC.0≠xD. 1->x 且0≠x 10、下列函数中为奇函数的是（ C ）. （11.1，13.7） A.x x y -=2 B.x x e e y -+=C.11ln +-=x x y D.x x y sin =11、下列函数中为偶函数的是（ A ）. （08.1）A.x x y sin =B.x x y +=2C.x x y --=22D.x x y cos = 12、下列函数中为偶函数的是（ C ）. （12.1）A. x x y -=2B. 11ln +-=x x yC.2xx e e y -+= D.x x y sin 2=13、已知xxx f sin 1)(-=，当x （ A ）时，)(x f 为无穷小量. （09.1） A.0→ B.∞→ C.1→ D.+∞→14、已知1sin )(-=xxx f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. （07.7,10.1） A.0→x B.1→x C.-∞→x D.+∞→x 15、当0→x 时，变量（ D ）是无穷小量. （09.7）A.x 31 B.x x sin C.)2ln(+x D.x x 1sin16、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0sin )(x k x xxx f ，在)(x f 在x=0处连续，则k =（ C ）.（13.1）A.-2B.-1C.1D.217、若4cos )(π=x f ，则=∆-∆+∞→xx f x x f x )()(lim（ A ）. （07.1）A.0B.22C.4sin π-D. 4sin π18、曲线x y sin =在点（π,0）处的切线斜率为（ D ）. （08.1）A.1B.2C.21D.-1 19、曲线11+=x y 在点（0,1）处的切线斜率为（ A ）. （10.7）A.21-B.21C.2)1(21+xD.- 2)1(21+x20、曲线1sin +=x y 在点（0,1）处的切线方程为（ A ）.A.1+=x yB. 12+=x yC. 1-=x yD. 12-=x y 21、在切线斜率为2x 的积分曲线中，通过点（1,4）的曲线为（ A ）.（13.7） A.32+=x y B. 42+=x y C. 22+=x y D. x y 4= 22、设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=P E ( D )。
《微积分上》的经济数学汇总
一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。
常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。
固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。
在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。
实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数. 平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。
日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x==+≤≤==+<≤ 例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。
微积分大一知识点总结6-9章
微积分大一知识点总结6-9章微积分大一知识点总结一、连续函数与导数微积分的第六章主要介绍了连续函数与导数的相关概念。
连续函数是指函数在其定义域上的每个点都具有极限，并且函数的极限等于函数在该点的函数值。
而导数则是用来描述函数在某一点处的变化率。
在连续函数与导数的学习中，我们学会了如何用极限定义连续函数，并通过图像和符号等方式来理解和表示连续函数。
此外，我们还学会了求解函数的导数，并通过导数的几何意义来解释导数的概念。
导数具有几何上的意义，可以表示函数曲线在某一点处的斜率。
导数的计算方法有常数法则、幂律、指数函数和对数函数等。
二、微分和应用微积分的第七章主要介绍了微分和微分学的应用。
微分是导数的另一种表示形式，通过微分可以求得函数在某一点的变化量。
微分的计算方法有乘法法则、除法法则、链式法则等。
在微分学的应用部分，我们学习了微分中值定理，用来描述函数在开区间内某一点的导数等于该区间内某一点的斜率。
我们还学习了泰勒公式和泰勒展开式，用来近似计算函数的值。
此外，我们还学习了利用微分学方法求函数的极值和函数的曲率，以及如何利用微分学来解决实际问题。
三、不定积分和定积分微积分的第八章主要介绍了不定积分和定积分。
不定积分是原函数的概念，通过不定积分可以求得函数的一个原函数。
不定积分的计算方法有基本积分法、分部积分法、换元积分法等。
定积分是对函数在某一区间上的积分运算。
定积分可以用来求解曲线下面的面积或函数在某一区间上的平均值。
定积分的计算方法有黎曼和黎曼—斯蒂尔杜亚积分等。
四、微分方程微积分的第九章主要介绍了微分方程。
微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中的未知函数只有一个自变量，而偏微分方程中的未知数是多个自变量的函数。
我们学习了线性微分方程以及求解线性微分方程的方法，包括常系数线性微分方程和变系数线性微分方程。
除此之外，我们还介绍了一阶非线性微分方程和高阶微分方程的解法。
(整理)经济数学-微积分期末考试试卷与答案
经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( B )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=43939)(22x x x x x f 的定义域是（A ）；(A) )4,3[- (B) )4,3(- (C) ]4,3(- (D) )4,4(-2. 函数214y x =-的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条3. 设函数)1,0()1(log 2≠>++=a a x x y a ,则该函数是(A )(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数4. 下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（A ）；33()()()()A y B x C y x D x y ===-=-5.若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点6. 已知点（1，3）是曲线23bx ax y +=的驻点，则b a ,的值是（B ）（A ） 9,3=-=b a （B ） 9,6=-=b a （C ） 3,3=-=b a （D ） 3,6=-=b a7. 当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；1s i n11()()s i n()()t a n1x x A B x C D x x xe + 8. 极限 =-→x x x 1ln lim 0（C ）；()1()0()1()A B C D -不存在9.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（C ）；2221()()()2()(3)A xB C x D x x -+10．若函数()f x 在点0x 处可导，则极限x x x f x x f xx ∆∆--∆+→2)2()2(lim000＝（C ）； 00001()4()()3()()2()()()2A fx B f x C f xD f x '''' 11. 0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（C ）(A) x tan (B) )1ln(x + (c) x x sin - (D) x sin12.下列极限中，极限值为e的是（Ｄ）；11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13. 若ln xy x =，则dy ＝（D ）； 222ln 11ln ln 11ln ()()()()x x x xA B C dx D dx x x xx---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dxB xf x x f xC x f x dxD x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分） 1.xex x y -+-=1121，求y '解：)11()1(1)()1(1122112'-+'-+-='+'-='--xex x x ex x y xx2112211222)1(1)1(1221x e x x e x x x xx--+-=--+--+-=-- ２分 7分2. 求极限 xx x 12)1(lim +∞>- 解：1lim )1(lim 012lim)1ln(lim)1ln(12222=====++++∞→∞→∞→∞→e ee ex x xx x xx x xx x x 3. 求曲线1204=+-y x x y 在1=x 对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得 020*******3='++-'y y x yx y ，将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==5. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x x x -'''''====±++令得２分５分７分３分６分 ７分2分２分5分7分6. 求⎰dx xx tan解：⎰⎰⎰+-=-==c x x d x x d xx dx xx cos ln 2cos cos 12cos sin 2tan 7. 求 ⎰xdx e xsin解：⎰⎰⎰⎰-=-==x x x x x x xde x e xdx e x e xde xdx e cos sin cos sin sin sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin 移项可得c e x x xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin 8. 已知2xxe 是(2)f x 的一个原函数，求()2x x f e dx -⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x xx x xux x xx xx x x xx xf x xe exee x x xf u e u f e x x x x f e dx e e dx e dx de x x xe e d e e c x e c x e c ----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+=-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三.证明题（本题6分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）２分７分6分６分7分2分4分7分5分7分2分证明：0a =时，(0)0f = ()()()f a b f b fa f b∴+==+时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-<故有 ()()(f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）四．应用题（本题8分）设生产t 个产品的边际成本为t t C 2100)(+='，其固定成本（即0=t 时的成本）为100元，产品单价规定为500=P 元，假定生产出的产品都能完全销售，求生产量为多少时利润最大？最大利润是多少？解：由已知，边际成本c t t dt t dt t C t C ++=+='=⎰⎰100)2100()()(2由固定成本为100，可得100100)(02=--==t t t t C c于是有：成本函数：100100)(2++=t t t C 收入函数：t t R 500)(=利润函数：100400)100100(500)()()(22-+-=++-=-=t t t t t t C t R t L 由04002)(=+-='t t L ，得唯一驻点2000=t ，又由02)(<-=''t L ，可知，驻点0t 是极大值点，同时也是最大值点。
经济数学第8章 常微分方程
8.1 微分方程的基本概念 定义8.1 含有未知函数的导数(或微分)的方 程，叫做微分方程． 定义8.2 微分方程中未知函数的最高阶导数( 或微分)的阶数，叫做微分方程的阶．
定义8.3 如果将某个已知函数代入微分方程 中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微 分方程的解．
2
定义8.4 如果n阶微分方程的解中含有n个独 立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解． 而确定了通解中任意常数的值的解，则被称为方程 的特解． 通常，为了确定微分方程的某个特解，先要求 出其通解后再代入确定任意常数的条件(称为初始 条件)，从而求出满足初始条件的特解．
第8章 常微分方程
微分方程是微积分学联系实际的重要渠道之 一，因为用数学工具来解决实际问题或研究各种 自然现象时，第一步就是要寻求函数关系．但在 很多情况下，我们不能直接得到所需要的函数关 系，而是由实际问题所提供的信息及相关学科的 知识可得到关于所求函数的导数或微分的关系式 ，这样的关系式就是微分方程．建立了微分方程 后，再通过求解微分方程可得到我们寻找的所需 要的函数关系．
21
例8.13 某公司2008年招聘新员工100名，预 计从现在开始，第t年招聘人员增加速度为t的2倍， 求到2018 . 例8.14 已知某厂的纯利润L对广告费x的变化 率dLdx与常数A和纯利润L之差成正比．当x=0时， L=L0，试求纯利润L与广告费x之间的函数关系
22
③将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方 程，解出
然后写出非齐次线性微分方程的通解
13
8.3 二阶常系数线性齐次微分方程
8.3.1
二阶常系数线性齐次微分方程的概念
定义8.7 方程：y″+py′+qy=f(x)
称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中p,q 为常数，f(x)是x的连续函数. 当f(x)≡0时， 方程：y″+py′+qy=0称为二阶常 系数线性齐次微分方程.当f(x)≠0时，方程称为二阶 常系数线性非齐次微分方程.
经济数学微积分
在积分部分，本书介绍了积分的定义、计算方法和积分在经济学中的应用，如总成本曲线、总收 益曲线等。
在级数和常微分方程部分，本书介绍了级数的定义、计算方法和级数在经济学中的应用，如经济 增长模型、人口增长模型等。本书也介绍了常微分方程的定义、解法和常微分方程在经济学中的 应用，如经济增长模型、人口增长模型等。
阅读感受
在阅读《经济数学微积分》这本书的过程中，我深感其内容的深度和广度， 以及它如何将数学与经济学巧妙地结合在一起。这本书不仅为我揭示了微积分的 魅力，也让我理解了它如何被广泛应用于经济学中。
这本书的结构和内容非常出色。它以一种清晰、直接的方式介绍了微积分的 基本概念，例如函数、导数和积分，以及它们在经济学中的应用。通过大量的例 子和练习题，作者吴传生让我更好地理解了微积分的原理和应用。书中的图表和 解释也使微积分的学习变得相对容易。
定积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的总值。 这一部分介绍了定积分的概念、性质和计算方法，同时还介绍了定积分在实际问 题中的应用，如面积、体积的计算等。
这一部分介绍了多元函数的微分学和重积分，包括偏导数、全微分、多重积 分等概念和计算方法。这些概念和技巧在实际问题中的应用也非常广泛，如空间 几何、物理学、经济学等领域。
经济数学微积分
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
关键字分析思维导图
介绍
极限数学方法ຫໍສະໝຸດ 帮助知识分析
经济
微积分
经济学 应用
掌握
经济数学—微积分(函数的知识点及结论)
集合与简易逻辑一、集合：1、知识点归纳①定义：一组对象的全体形成一个集合②特征：确定性、互异性、无序性③表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图④分类：有限集、无限集、空集φ⑤数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N *、空集φ⑥关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等＝⑦运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};补运算AC U＝{x|x∉A且x∈U}，U为全集⑧性质：A⊆A；φ⊆A；若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B；A∩C U A＝φ；A∪C U A＝I；C U( C U A)＝A；C U(A⋃B)＝(C U A)∩(C U B)方法：数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决2、注意：①区别∈与、与⊆、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②A⊆B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ③若集合A中有n)(Nn∈个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n④空集是指不含任何元素的集合}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为BA⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A的情况⑤理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？可用列举法、数形结合等方法来理解集合中元素的意义海伦·凯勒：“当一个人感觉到有高飞的冲动时，他将再也不会满足于在地上爬。
”二、含绝对值的不等式及一元二次不等式知识点归纳1绝对值不等式①不等式)0(><aax的解集是{}axax<<-;②不等式)0(>>aax的解集是{}axaxx-<>或,③不等式｜ax+b｜<c, c>0的解集为{})0(|><+<-ccbaxcx;④不等式｜ax+b｜>c c>0的解集为{})0(,|>>+-<+ccbaxcbaxx或⑤两边都为非负数（或式）时，可两边平方⑥含有多个绝对值不等式时，可用零点分段法⑦含有两个绝对值的不等式可用几何意义解决。
经济数学微积分教学大纲
经济数学微积分----教学大纲一．函数极限与连续1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.7.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法会用等价无穷小量求极限.8.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二．一元函数微分学1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.5.理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西（Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数.当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.三．一元函数积分学1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握计算不定积分的换元积分法和分部积分法.2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.3.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题.4.理解反常积分的概念，了解反常积分收敛的比较判别法，会计算反常积分.四．多元函数微积分学1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.5.理解二重积分的概念，了解二重积分的基本性质，了解二重积分的中值定理，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）.了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.五．无穷级数1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2.掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件.3.掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用积分判别法.4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6.理解幂级数的收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.7.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.8.掌握e x ，sin x ，cos x ，ln(1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.六．常微分方程与差分方程1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.理解线性微分方程解的性质及解的结构4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.5.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.6.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.7.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.8.会用微分方程求解简单的经济应用问题.。
《经济数学——微积分》5-4
(n ≥ 2 )
2.
3.
1 dx x = arctan + c ∫ 2 2 (x + a ) a a
4.
xdx 1 2 2 = ln( x + a ) + c ∫ 2 2 x +a 2
1 xdx + c ( n ≥ 2) ∫ 2 2 n= 2 2 n−1 ( x + a ) 2(1 − n)( x + a ) dx ∫ 2 2 n (x + a )
dx ； 2 2 (x + 1)(x + x ) dx 4、 4、 ∫ ； 2 3 + sin x x +1−1 dx ； 6、 6、 ∫ x +1+1 dx 8、 ∫ . 2 4 3 ( x + 1) ( x − 1)
2、 ∫ 2、
： 三、求下列不定积分（用以前学过的方法） 求下列不定积分（用以前学过的方法） x 1 + cos x 1、 2、 1、 ∫ dx ； 2、 ∫ dx ； 3 x + sin x (1 − x ) dx sin 2 x 4、 dx ； 3、 ∫ 4 ； 4、 ∫ 3 2 cos x x 1+ x sin x x3 6、 dx ； 5、 ∫ 6、 ∫ dx ； 8 2 (1 + x ) 1 + sin x 3 x xe x dx ； dx ； 8、 7、 ∫ 8、 ∫ x 2 3 x( x + x ) (e + 1) 10、 9、∫ [ln( x + 1 + x 2 )]2 dx ； 10、∫ 1 − x 2 arcsin xdx ； sin x cos x dx 11、 dx ； 12、 11、 ∫ 12、 ∫ . sin x + cos x ( x − a )(b − x )
经济数学基础--微积分第一章
解 u , v 分别是中间变量,故 y u2 tan 2v tan 2x2 .
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 第 12 页
极 限 的 概 念
极限的概念
• 1.2.1 数列的极限 • 1.2.2 函数的极限
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节
极
限
1 数列的极限
的 概
念
先给出数列的定义:在某一对应规则下,当 n(n N ) 依次取 1, 2, 3, , n, 时,对应的实
函数的自变量 x 是指 x 的绝对值无限增大,它包含以下两种情况: (1) x 取正值,无限增大,记作 x ; (2) x 取负值,它的绝对值无限增大(即 x 无限减小),记作 x .
定义1.2.3 : 如果当 x 无限增大(即 x )时,函数 f (x) 无限趋近于一个确定
的常数 A ,那么就称 f (x) 当 x 时存在极限 A ,称数 A为当 x 时函数 f (x) 的极限,
径.在上述领域中除去领域的中心点 a
称为点 a
的去心
领域,记为
0
U（a,
）,
0
即 U（a,） x 0 x a ， 如右图所示.
第 19 页
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 极 限 的 概 念
注意:
在定义中,“设函数 f (x) 在点 x0 的某个去心领域内有定义”反映我们关心的 是函数 f (x) 在点 x0 附近的变化趋势,而不是 f (x) 在 x0 这一孤立点的情况.在定义 极限lim f (x) 时, f (x) 有没有极限,与f (x) 在点 x0 是否有定义并无关系.
例1.1.3 求函数 y 4x 1 的反函数. 解 由v 4x 1 ,可解得 x y 14 . 交换 x 和 y 的次序,得 y 14(x 1) ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1000,求总成本函数．
解：C( x) C(0)
x
C ( x)dx 1000
x
25
(7 )dx
0
0
x
1000 [7x 50 x ]0x 1000 7 x 50 x .
另解：先求不定积分
C(x)
C( x)dx
(7
25 )dx 7 x 50 x
x C,
Q C(0) 1000, C( x) 1000 7 x 50 x .
内收益现值 [ p(t)dt]ert p(t ห้องสมุดไป่ตู้ertdt
总 现 值 T p(t )ertdt . 0 对于将来值，p( t )dt在T-t 年获得利息，从而
在[t, t+dt]内
收益流的将来值 [ p(t )dt]er(Tt ) p(t )er(Tt )dt，
总的将来值 T p(t )er(T t )dt . 0
解：追加的成本
300
C C(t)dt
300150 0.2x dx
200
200
150 x
0.1x2
300 200
10000.
例5 在某地区消费者个人收入为x元时消费支出W的
变化率为W'(x)= 15 .当个人收入由900增加到1600时，
x
消费支出会增加多少？
解： W
1600
W ( x)dx
y(t)dt
T
(A
A t )dt
AT
,
0
0
T
2
在时间段 [0,T]上的平均剩余量 y 1 T y(t)dt A .
T0
2
1600 15 dx
900
900 x
30 x 1960000 300(元).
三、收益流的现值和将来值
将来值
货币资金未来的价值，即一定量的资金在将来 某一时点的价值，表现为本利和。
现值
货币资金现在的价值，即将来某一时点的一定 量的资金折合成现在的价值。
收益流
收益若是连续地获得，则收益被看作是一种随 时间连续变化的收益流。
四、 小结
•由边际函数求原函数 •由变化率求总量 •收益流的现值和将来值
思考题
设有一项计划现在(即 t 0 )需一项投入 a (元)，可
获得一项在 0,T 中的常数收益流量 b (元)，若连续
复利的利率为 r ，求收益的资本价值．
思考题解答
v T bertdt a b(1 erT ) a
解 (1)商品剩余量是时刻t的函数，记为y(t),
即 y(t)=A-x(t)=A- kt, t∈[0,T], k>0，
由题设知
即 A- kT=0, 故 k=T/A ,
y因(T此)=t时0, 刻的商品剩余量为y(t) A A t, t 0,T ,
T
(2)在时间段 [0,T]上的总剩余量为
y
T
解
(1)Q
4
x(t )dt
4 100＋12t dt
0
0
100t
6t
2
4 0
=496(单位)
(2)Q
4
x(t)dt
4 100＋12t dt
2
2
100t
6t
2
4
=272(单位)
2
例4 生产某产品的边际成本为 C'(x)=150-0.2x.当 产量由200增加到300时，需追加的成本为多少？
x
C(t )dt
x
(30+4t )dt
0
0
收益函数为 R( x)
x
R(t )dt
x
(60-2t )dt
0
0
利润函数为 L( x) R( x) C( x)
x
R(t)dt
x
C(t )dt
0
0
x
0
R(t
)
C
(
t
)
dt
x
0 (30 6t)dt
dL 30 6x, 令 dL 0,得x 5,
的居民消费支出x总收入的函数，W ( x) 1
，
200 x
当收入由4亿元增加到9亿元时，购买冰箱的消费支出
增加多少？
解： W
9
W
(
x
)dx
9
1 dx
4
4 200 x
1 100
x
9 4
=0.01(亿元)
即当地居民购买冰箱的消费支出增加0.01亿元。
四、设某商品从时刻0到时刻t的销售量为 x ( t ) = kt， t∈[0,T], k>0,欲在时刻T将数量A的该商品销售完， 试求(1) t时刻的商品剩余量，并确定k值； (2)在时间段 [0,T]上的平均剩余量。（2003年研究生入学考试试题）
0
r
即收入的资本价值为b (1 e rT ) a。 r
当收益流量是无限期时，即T 时，
v
lim
T
b r
(1
e rT
)
a
b r
A
练习题
一、已知边际成本为C'(x) =30+4x，边际收益为 R‘(x) =60-2x ，求最大利润。(假定固定成本为零)
解：当边际收益等于边际成本时，取得最大利润，
例6 假设以年连续复利率 0.1计息 ,求收益流 量为100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.
解: 现值 20100e0.1tdt 0 1000(1 e2 ) ≈864.66(元) 将来值 20100e0.1(20t )dt 0 1000e2(1 e2 )
≈6 389.06(元)
解：(1) R( x)
100
R( x)dx
100
(200
x )dx
0
0
100
200 x
x2 200
100 = 0
19950(单位)
(2) R( x)
200
R( x)dx
100
200x
x2 200
200
100
= 19850(单位)
三、某地区居民购买冰箱的消费支出W(x)的变化率
即R' (x) = C '(x)，60-2x =30+4x x = 5
最大利润为： Lmax
5 R( x)dx
0
5 C ( x)dx
0
5
0
R(
x
)
C
(
x
)
dx
5
0
(60
2
x)
(30
4
x)dx
5
(30
0
6 x)dx
30 x
3x2
5 0
150 75 75.
另解：成本函数为 C( x)
收益流量
收益流对时间的变化率。
收益流 将来值
收益流 现值
将收益流存入银行并加上利息之后的存款值。
收益流的现值是这样一笔款项，若将它存入银行，将来从收益 流中获得的总收益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价 值。
若有一笔收益流的收益流量为p( t )(元/年)，考 虑从现在开始(t = 0)到T 年后这一段时间段的将来值 和现值(以连续复利率计息) 分析：在区间[0,T]内任取一小区间[t, t+dt]，在[t, t+dt ] 内所获得的金额近似为 p( t )dt，从t = 0开始， p( t )dt这一金额在 t 年后的将来获得，从而在 [t, t+dt]
dx
dx
又
d2 L dx 2
6
0,
5
最大利润为：Lmax
(30 6x)dx
0
30
x
3
x2
5 0
当产量x=5,取得最大 利润,如果再增产一个 单位，利润会怎样？
150 75 75.
二、已知某产品生产x个单位时总收益R的变化率为 R( x) 200 x ( x 0) 100
试求(1)生产100个单位时的总收益； (2)再继续生产100个单位，增加的总收益。
例2 设边际收益函数为R΄(x)=78-2x (x为产量，x≥0), 求收益函数R(x)。
解：R(0)=0
x
R( x) = R(0) 0 R( x)dx
x
= 0 (78 2x)d
=78x x2 .
二、由变化率求总量
例3 某工厂生产某商品在时刻 t 的总产量的变化率 为 x'(t ) = 100 + 12t (单位∕小时)。求(1) 生产4小时 时的总产量；(2)这4小时中后两个小时的产量。
第八节 定积分的经济应用
一、由边际函数求原函数 二、由变化率求总量 三、收益流的现值和将来值
一、由边际函数求原函数
设经济应用函数u(x)的边际函数为u'(x)， 则
x
0 u( x)dtx u( x) u(0)
于是
x
u( x) u(0) 0 u( x)dtx
例1 已知边际成本为 C( x) 7 25 ,固定成本为