第13讲 含字母系数的一元一次方程(教师版)
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第13讲 含字母系数的一元一次方程
知识导航
定义
示例剖析当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为
的形式.
关于的方程其中
就称为字母系数，这个方
程就称为字母系数的方程.的解法示例剖析 ①当时，方程有唯一解．
②当且时，方程有无数个解，解是任意数．③当
且
时，方程无解．
解关于的方程.解：
①当
时，方程无解；②当
时，
.
经典例题答案解析解关于的方程
．
1
（方程可以转化为，
（）当，为任意值时， ，方程有唯一解；
（）当，，方程有无数解；（）当
，
时，无解．
（方程可以转化为
，
一、含字母系数的一元一次方程
例题1
标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解的情况
（）当，为任意值时， ，方程有唯一解；
（）当，，方程有无数解；（）当
，
时，无解．
答案解析
标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解的情况
解关于的方程：
2
当时，，所以此方程无解；
当
时，
，
，
，
当时，，所以此方程无解；
当
时，
．
答案标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解的情况
若关于的方程
没有解，则的值为 ．
1
答案标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求参数的值
若关于的方程有无数解，则的值是 ．
2
例题2
答案标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解的情况
若关于的方程有唯一解，则题中的字母系数应满足的条件是 ．
3
答案解析
标注【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：解为定值问题
若、为定值，关于的一元一次方程
，无论为何值时，它的解总是
，求
的值．
．方程可化为：，由该方程总有解
可知，
，即
，又为任意值，故
，
．
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关于方程的整数解问题，本质为分离常数的问题，做题中，基本步骤如下：①求出方程的解；②将解写成形如
的形式，其中为字母系数，为常数;
③求出字母系数的值.
【注意】在做题过程中一定要注意题目条件，方程的解是整数，正整数还是负整数，以免出错.
经典例题例题3
二、整数解问题
例题4
答案解析标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：一元一次方程的整数解问题
关于的方程是一元一次方程．
则，应满足的条件为： ， ．（1）若此方程的解为整数，求整数的值．
（2）1:
2:（1）、、
、.
（2）（1）略．
（2）由（）可知方程为
，
则
，
∵此方程的解为整数，∴
为整数，
又∵为整数，则，
，，．
∴
，，，．
答案解析标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 解一元一次方程 > 题型：一元一次方程的整数解问题
已知关于的方程
的解为整数，求符合条件的所有整数的和．
1
．
，，，，，，，
，和为
例题5
答案解析标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 含参一元一次方程 > 题型：含参整数解
若为整数，求使得关于的方程的解是负整数的值．
2
，，， ．，，， ．
答案解析
标注【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求参数的值
A.
B.
C.
D.
如果关于的方程与方程
的解相同，那么（ ）．
1
B 方程的解为，
∵方程与方程的解相同，
∴方程的解为
，当时，，
解得，
故选：．
答案解析
若和是关于的同解方程，求的值．
2
．法一：方程的解为，方程
的解为
，
所以
，所以
，所以
．
例题6
标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求参数的值
法二：方程
等号两边乘以得，故，则
．
答案解析
标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的解求参数的值
关于的一元一次方程的解是解的倍，则的值为 ．
3
解，
得，
则
，
，．
答案解析
标注
【题型】 方程与不等式 > 一元一次方程 > 一元一次方程基础 > 题型：由一元一次方程的定义求参数的值
已知：
与
都是关于的一元一次方程，且它们的解互为
相反数，求关于的方程
的解．
4
或
．
由题意可知，
，故题中的两个方程变为
和
，由上述两个方程的解互为相反数可知，
，故方程
变为
，从而可知，
或
．