高三数学一轮复习教案：空间几何体的三视图和直观图必修二

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高考数学一轮复习-81-空间几何体的三视图-直观图-表面积与体积课件-新人教A

设球的半径为 R，则 R2＝AO22＝AO2＋OO22＝13a2＋14a2
＝172a2.所以 S 球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.
(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为 S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12 ×(2＋4)× 3＝112π＋3 3. 答案 (1)B (2)112π＋3 3
可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体
不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.
(2)如图，在原图形OABC中，应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2 ＝（4 2）2＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC，故四边形 OABC 是菱形．答案 (1)D (2)C
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是
棱柱．
(×)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是
棱锥．
( ×)
(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
(×)
(4)圆柱的侧面展开图是矩形．
(√)
2．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几
(2)画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的直观图 O′A′B′(如图)．D′为 O′A′的中点．易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)， ∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝ 166a2.

高中数学必修2教案：1-2空间几何体的三视图和直观图

高一数学必修二教案下图中的手影游戏，你玩过吗？光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.思考1:不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？一、中心投影与平行投影思考2:用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？思考4:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？思考5:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？思考6:一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？投影的分类：把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面，并给出下列概念：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图.侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图.俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图，统称为几何体的三视图.思考1:正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的哪三个角度观察得到的几何体的正投影图？它们都是平面图形还是空间图形？思考3:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？思考5:球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？例1：如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分别画出其三视图，并比较它们的异同.1.空间几何体的三视图：正视图、侧视图、俯视图；2.三视图的特点：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样；高一数学必修二教案思考1:在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎么处理？思考2:如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？思考4:如图，桌子上放着一个长方体和一个圆柱，若把它们看作一个整体，你能画出它们的三视图吗？一个空间几何体都对应一组三视图，若已知一个几何体的三视图，思考2:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述.例2：将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的部分如图所示，试画出这个组合体的三视图.例3：说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.画出下面几何体的三视图2.画出左下图几何体的三视图.3.画出者个组合体的三视图本节我们主要学习了1、画简单组合体的三视图2、根据三视图还原几何体高一数学必修二教案空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形.思考1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？思考2:把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？思考4:你能用上述方法画水平放置的正六边形的直观图吗？思考5:上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，对于水平放置的多边形，常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.你能概括出斜二测画法的基本步骤和规则吗？思考6:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出思考2:怎样画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图？思考3:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？思考5:已知一个几何体的三视图如下，这个几何体的结构特征如何？试用斜二测画法画出它的直观图.例1：如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积.空间几何体的直观图的作法:1.斜二测画法：画多边形2.正等测画法：画圆形空间几何体的直观图的特点:3、保持平行关系和竖直关系不变．。

高中数学必修2《空间几何体的三视图和直观图》教案

高中数学必修2《空间几何体的三视图和直观图》教案高中数学必修2《空间几何体的三视图和直观图》教案一、教材分析在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图.比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视.画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力. 视图是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为正视图，自左向右投影所得的投影图称为侧视图，自上向下投影所得的投影图称为俯视图.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为三视图.教科书从复习初中学过的正方体、长方体的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图;接着，通过思考提出了由三视图想象几何体的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点.三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的探究可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流.值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.二、教学目标1.知识与技能(1)掌握画三视图的基本技能(2)丰富学生的空间想象力2.过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

高中数学 1.2 空间几何体的三视图和直观图(3,4课时)教学案新人教A版必修2

1.2空间几何体的三视图和直观图（3,4课时）【学习目标】画出简单组合体的三视图，用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

【教学重难点】识别三视图所表示的空间几何体。

【课前导学】阅读教材第12—21页，完成下列学习一、中心投影与平行投影1.中心投影：，叫做中心投影。

2.平行投影：，叫做平行投影。

二、空间几何体的三视图1.柱、锥、台、球的三视图：叫做几何体的正视图；叫做几何体的侧视图；叫做几何体的俯视图；统称为几何体的三视图。

2.简单几何体的三视图三、空间几何体的直观图示范1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图示范2.用斜二测画法画长方体的直观图【预习自测】1. 画出下图的三视图（1）正三棱柱（2）2. 已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是( )A．正六棱柱 B．正四棱柱 C．圆柱 D．正五棱柱3. 利用斜二测画法画直观图时：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论中，正确的是【典型例题】例1.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，正视图是边长为2的正方形，则其侧视图的面积为例2.已知几何体的三视图，用斜二测画法画它的直观图例3.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( ) A．至多只能有一个是直角三角形B．至多只能有两个是直角三角形C．可能都是直角三角形D．必然都是非直角三角形例4. 用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（）A．8 B．7 C．6 D．5例5.一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是________________．45，腰和上底长例6.一个水平放置的平面图形的直观图(按斜二测画法所得)是一个底角为均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于。

2023年高考数学(文科)一轮复习课件——空间几何体的结构、三视图和直观图

索引
考点二空间几何体的三视图
例1 (1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为__③__④__(_或__②__⑤__，__答__案__不__唯__一__)_____(写出符合要求的一组答案即可).
_平__行__且__相__等___
相交于_一__点___，但不一定相等
延长线交于___一__点_
_平__行__四__边__形___
_三__角__形___
__梯__形__
索引
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
图形
互相平行且相等，
母线
__垂__直__于底面
相交于__一__点__
轴截面侧面展开图
索引
2.(易错题)在如图所示的几何体中，是棱柱的为___③__⑤___(填写所有正确的序号). 解析由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.
索引
3.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体
是( C )
A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱
解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.
索引
训练1 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画
出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( B )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱解析由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.
索引
(2)(2022·成都检测)一个几何体的三视图如图所示，
索引
解析根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则三棱锥如图1所示；若是②⑤，则三棱锥如图2所示.

【导学案】8.2空间几何体的三视图和直观图(2)(1)

18.2空间几何体的直观图一、复习：【问题】几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）(A) (B) (C) (D)二、斜二测画法1、水平放置的平面图形的画法【导引】用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图，要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法．【问题】把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图．比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？斜二测画法的步骤：（1）画轴:（2）画线:（3）取长度:三、举例运用【例1】(1)画水平放置的正三角形的直观图。

(2)若三角形的边长为a ，求三角形的实际面积和直观图中的面积y x A B CO例2、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图例3、画棱长为2cm的正方体的直观图。

例4、画水平放置的圆的直观图。

例5、已知长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它的直观图。

2例7、已知圆柱的底面半径为1cm,侧面母线长3cm，画出它的直观图。

例8、已知圆锥的底面半径为1cm,高为2cm，画出它的直观图.四、课堂练习1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。

（1）相等的线段在直观图中仍然相等（）（2）平行的线段在直观图中仍然平行（）（3）一个交的直观图扔是一个角（）（4）相等的角在直观图中仍然相等（）（5）三角形的直观图是三角形（）（6）平行四边形的直观图是平行四边形（）（7）正方形的直观图是正方形（）（8）菱形的直观图是菱形（）34 2、图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ( )3、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．4、水平放置的△的直观图如图所示，已知''3A C =,''2B C =,则AB 边上的中线的实际长度为。

高考一轮课件(7.1空间几何体的结构特征及三视图和直观图)

出以下a,b,c,d四种不同的三视图,其中可以正确表示这个正三
棱柱的三视图的有( )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
【解析】选D.根据正三棱柱的位置,以及画三视图的规则,容易得出4种不同的三视图都正确.
【互动探究】若本例题(3)中的四棱锥P-ABCD为正四棱锥,且主视图和左视图是边长为1的正三角形,求该四棱锥的侧棱长. 【解析】如图,由条件知,正四棱锥的底边AB=1,高 PO 3 .
2
则在正方形ABCD内, OB 2 AB 2 ,
2 2
故侧棱长 PB PO 2 OB2 3 2 5 .
1
(2)立体图形直观图的画法
立体图形与平面图形相比多了一个z轴,其直观图中对应于z轴
水平 z′轴的是_______,平面x′O′y′表示_____平面,平面y′O′z′和平行性直立 x′O′z′表示_____平面,平行于z轴的线段,在直观图中_______ 长度和_____都不变.
4.三视图
⑥棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是( (A)①②③④ (C)③④⑤⑥ )
(B)②③④⑤ (D)①②③④⑤⑥
(2)给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是
圆柱的母线;
②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是
圆台的母线;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
【解析】选C.由几何体的结构特征可知,该几何体一定是球体.
3.一个几何体的主视图和左视图如图所示,则这个几何体的俯
视图不可能是(
)
【解析】选D.∵该几何体的主视图和左视图都是正方形,∴其

高考数学一轮复习第八章立体几何第1讲简单几何体及其直观图、三视图教学案理

【第1讲简单几何体及其直观图、三视图】之小船创作一、知识梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段．③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的12． 3．三视图 (1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．常用结论1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变2．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形．二、教材衍化1．下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行解析：选D.由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．2．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)答案：③⑤3．已知如图所示的几何体，其俯视图正确的是________．(填序号)解析：由俯视图定义易知选项③符合题意．答案：③一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( )(6)菱形的直观图仍是菱形．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)棱柱的概念不清致误；(2)不清楚三视图的三个视图间的关系，想象不出原几何体而出错；(3)斜二测画法的规则不清致误．1．如图，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：选C.由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选C.2．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的主视图与俯视图如图所示，则该几何体的左视图为( )解析：选B.先根据主视图和俯视图还原出几何体，再作其左视图．由几何体的主视图和俯视图可知该几何体为图①，故其左视图为图②.故选B.3．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO 为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.答案：矩形8空间几何体的几何特征(自主练透) 1．下列说法正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D.由图知，A不正确．两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥，故C错误．由定义知，D正确．2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④空间几何体概念辨析问题的常用方法空间几何体的三视图(多维探究)角度一已知几何体，识别三视图(1)(2020·宜宾模拟)已知棱长都为2的正三棱柱ABCA1B1C1的直观图如图．若正三棱柱ABCA1B1C1绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的左视图可以为( )(2)(2020·湖南衡阳二模)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，B在平面α上，AB＝ 2.若平面A1B1C1D1与平面α所成角为30°，由如图所示的俯视方向，正方体ABCDA1B1C1D1在平面α上的俯视图的面积为( )A．2 B．1＋ 3 C．2 3 D．22【解析】(1)由题知，四个选项的高都是2.若左视图为A，则中间应该有一条竖直的实线或虚线；若左视图为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线；若左视图为D，则长度应为3，而不是1.故选B.(2)由题意得AB在平面α内，且平面α与平面ABCD 所成的角为30°，与平面B1A1AB所成的角为60°，故所得的俯视图的面积S＝2×(2cos 30°＋2cos 60°)＝2(cos 30°＋cos 60°)＝1＋ 3.【答案】(1)B (2)B角度二已知三视图，判断几何体(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥D．四棱柱(2)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱，故选B.(2)将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝AB ＝PA ＝2，AB ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，故△PAD ，△PAB 为直角三角形，因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，且PA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PB ，所以△PBC 为直角三角形，容易求得PC ＝3，CD ＝5，PD ＝22，故△PCD 不是直角三角形，故选C.【答案】 (1)B (2)C【迁移探究1】 (变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的所有棱中，最长棱的棱长是多少？解：由三视图可知，PA ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，经计算可知，PB ＝PD ＝22，PC ＝3，CD ＝5，故最长棱为PC ，且|PC |＝3.【迁移探究2】 (变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的五个面中，最小面的面积．解：面积最小的面为面PBC ，且S △PBC ＝12BC ·PB ＝12×1×22＝2，即最小面的面积为 2. 角度三已知几何体的某些视图，判断其他视图(1)(2020·福州模拟)如图为一圆柱切削后的几何体及其主视图，则相应的左视图可以是( )(2)(2020·河北衡水中学联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的主视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的左视图的周长为( )A ．3丈B ．6丈C ．8丈D ．(5＋13)丈【解析】 (1)圆柱被不平行于底面的平面所截，得到的截面为椭圆，结合主视图，可知左视图最高点在中间，故选B.(2)由题意可知该楔体的左视图是等腰三角形，它的底边长为3丈，相应高为2丈，所以腰长为 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝52(丈)，所以该楔体左视图的周长为3＋2×52＝8(丈)．故选C. 【答案】 (1)B (2)C三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意主视图、左视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，看不到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测其直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为直观图．1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析：选A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.2．(2020·安徽宣城二模)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最大面的面积是( ) A．2 B．2 2 C．2 3 D．4解析：选C.如图所示，由三视图可知该几何体是四棱锥PABCD截去三棱锥PABD后得到的三棱锥PBCD.其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝2，易知面积最大面为面PBD，面积为34×(22)2＝2 3.故选C.3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长度为( )A．217 B．2 5 C．3 D．2解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N 的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.空间几何体的直观图(自主练透) 1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形解析：选D.由斜二测画法可知在原四边形ABCD中DA⊥AB，并且AD∥BC，AB∥CD，故四边形ABCD为矩形．2．已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2B．38a2C.68a2D．616a2解析：选D.如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.故选D.3．在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．解析：因为OE＝（2）2－12＝1，所以O′E′＝12，E′F′＝24.所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22(1)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，能更快捷地进行相关问题的计算．构造法求解三视图问题的三个步骤三视图问题(包括求解几何体的表面积、体积等)是培养和考查空间想象能力的好题目，是高考的热点．由三视图还原几何体是解决这类问题的关键，而由三视图还原几何体只要按照以下三个步骤去做，基本都能准确还原出来．这三个步骤是：第一步，先画长(正)方体，在长(正)方体中画出俯视图；第二步，在三个视图中找直角；第三步，判断直角位置，并向上(或向下)作垂线，找到顶点，连线即可．一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( ) A.16 B ．26 C.36D ．12【解析】几何体还原说明：①画出正方体，俯视图中实线可以看作正方体的上底面及底面对角线．②俯视图是正方形，有四个直角，主视图和左视图中分别有一个直角．主视图和左视图中的直角对应上底面左边外侧顶点(图中D 点上方顶点)，将该顶点下拉至D 点，连接DA ，DB ，DC 即可．该几何体即图中棱长为1的正方体中的四面体ABCD ，其体积为13×12×1×1×1＝16.故选A. 【答案】 A如图是一个四面体的三视图，三个三角形均是腰长为2的等腰直角三角形，还原其直观图．【解】第一步，根据题意，画正方体，在正方体内画出俯视图，如图①.第二步，找直角，在俯视图、主视图和左视图中都有直角．第三步，将俯视图的直角顶点向上拉起，与三视图中的高一致，连线即可．所求几何体为三棱锥ABCD，如图②.[基础题组练]1．如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选 B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.2．如图所示的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( ) A．①② B．②③ C．③④D．①⑤解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；故截面图形可能是①⑤.3．(2020·陕西彬州质检)一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC 是边长为1的等边三角形，左视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为( ) A.38 B ．34 C ．1 D ．32 解析：选A.由三视图可知该几何体为正六棱锥，其直观图如图所示．该正六棱锥的底面正六边形的边长为12，侧棱长为1，高为32.左视图的底面边长为正六边形的高，为32，则该几何体的左视图的面积为12×32×32＝38，故选A. 4．(2020·江西省名校学术联盟质检)如图所示，边长为1的正方形网格中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为( )A ．{1，5}B ．{1，6}C ．{1，2，5}D ．{1，2，22，6}解析：选B.如图所示，该几何体是四棱柱，底面是边长为1的正方形，侧棱长为6，故选B.5．(一题多解)(2020·河南非凡联盟4月联考)某组合体的主视图和左视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形，其中四边形O ′A ′B ′C ′为平行四边形，D ′为C ′B ′的中点，则图(2)中平行四边形O′A′B′C′的面积为( )A．12 B．3 2 C．6 2 D．6解析：选B.法一：由题图易知，该几何体为一个四棱锥(高为23，底面是长为4，宽为3的矩形)与一个半圆柱(底面圆半径为2，高为3)的组合体，所以其俯视图的外侧边沿线组成一个长为4，宽为3的矩形，其面积为12，由斜二测知识可知四边形O′A′B′C′的面积为4×32sin 45°＝3 2.法二：由斜二测画法可先还原出俯视图的外轮廓是长为4，宽为3的矩形，其面积为4×3＝12，结合直观图面积是原图形面积的24，即可得结果．6. 某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为________．解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12.答案：127．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为______cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝122＋52＝13(cm)．答案：138．已知正四棱锥VABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥VABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝2 2.因为一条侧棱长为211，所以VO＝VA2AO2＝44－8＝6.所以正四棱锥VABCD的高为6.答案：69．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图如图所示(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)． 10．已知正三棱锥V ABC 的主视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图和左视图；(2)求出左视图的面积．解：(1)如图．(2)左视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23×32×232＝12＝2 3. 则S △VBC ＝12×23×23＝6. [综合题组练]1．(2020·河南开封一模)如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1，O 2，这两个球外切，且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切，球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切，则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )解析：选B.由题意可以判断出两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影与正方形相切，排除C ，D.由于两球不等，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，所以排除A.B 正确．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的左视图中的虚线部分是( )A．圆弧B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分解析：选D.根据几何体的三视图可得，左视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故左视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥PBCD的俯视图与主视图面积之比的最大值为( )A．1 B．2C. 3 D．2解析：选D.主视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其主视图均是三角形且点P在主视图中的位置在边B1C1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a，则S主视图＝12×a2；设A1C1的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在OC1上移动时，S俯视图就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大，当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图＝a2，所以S俯视图S主视图的最大值为a212a2＝2，故选D.4．(2020·河北衡水二模)某几何体的三视图如图所示，三视图中的点P ，Q 分别对应原几何体中的点A ，B ，在此几何体中从点A 经过一条侧棱上点R 到达点B 的最短路径的长度为( )A ．aB ．2a C.52a D ．3a解析：选D.由几何体的三视图可知，该几何体为棱长为a 的正四面体(如图1)，将侧面三角形CDB 绕CD 翻折到与面ACD 在同一平面内(如图2)，连接AB 与CD 交于一点R ，该点即为使路径最短的侧棱上的点R ，且最短路径为AB 长，在△ACB 中，由余弦定理易知AB ＝a 2＋a 2－2a ·a ·cos 120°＝3a .故选D.5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为1，点M 在线段BC 上(点M 异于B ，C 两点)，点N 为线段CC 1的中点，若平面AMN 截正方体ABCD A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，13 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1 D ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，23 解析：选B.由题意，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示，当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，当0＜BM≤12时，截面为四边形，当BM＞12时，截面为五边形，故选B.6．已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )A．2 2 B．3C．2 3 D．4解析：选C.如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则MB2＝h2＋4，BQ2＝m2＋4，MQ2＝(h－m)2＋4，由MB2＝BQ2＋MQ2，得m2－hm＋2＝0.Δ＝h2－8≥0即h2≥8，该直角三角形斜边MB＝4＋h2≥2 3.故选C.7．某几何体的主视图和左视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为________．解析：由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×22＝42，所以CO＝CD2＋OD2＝6＝OA，所以俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.答案：968．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.答案：26 2－1。

高中数学《1.2空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修（含五篇）

高中数学《1.2空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修（含五篇）第一篇：高中数学《1.2空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修高中数学《1.2 空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修2一、二、三、教学目标：1知识与技能：了解中心投影与平行投影；能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体。

2过程与方法：通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成“观察、思考”栏目中提出的问题。

3情感态度与价值观：培养学生空间想象能力和动手实践能力，激发学习兴趣。

二、教学重点：画出简单组合体的三视图三、教学难点：识别三视图所表示的空间几何体四、教学过程：(一)、新课导入：问题1：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。

” 对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上.三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.用途：工程建设、机械制造、日常生活.(二)、讲授新课： 1.中心投影与平行投影：① 投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。

人们将这种自然现象加以的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。

② 中心投影：光由一点向外散射形成的投影。

其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.③平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.分正投影、斜投影.讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果.2.柱、锥、台、球的三视图：① 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上到下）② 讨论：几何体三视图在形状、大小方面的关系？→ 画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、高的关系，得出结论：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高。

1.2空间几何体的三视图和直观图(必修二)

就可得到长方体的直观图. Z
D
C
A
y
M
D
P
B
O
Q
C
N
B
A
x
长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
C
B
C
A
D
A
B
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图 Z · y
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
1 在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，
对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应的X轴和Y轴，两轴相交于点O,使xOy=45
y
F
M
E D
C
y
A
B
O
x
O
x
N
2以O为中心,在X上取AD=AD，在y轴上取
1 MN= MN .以点N 为中心,画BC平行于x轴, 2 并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴, 并且等于EF.
y
y
M
F
E D
C
A
A
F M E
N
O
x
B
O
D
C
x
B
N
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
O
y
x
· O
· O · O
侧视图
O
x
· O
正视图
·
俯视图
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图
· O
· O · O

人教版高中数学必修二教学案-空间几何体的三视图和直观图复习

人教版高中数学必修二教学讲义【典型例题】类型一、平行投影与中心投影例1．下列命题中正确的是（）A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心【答案】 D【解析】平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A、B不正确．两条直线的交点无论是平行投影还是中心投影仍是同一个点，这个点在两条直线的投影上，因而两条直线的投影不可能平行，故C错．两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．【总结升华】空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．例2．如下图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的________．【答案】（1）（2）（3）【解析】要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．由此可得在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是上图（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是上图（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是上图（3）．故填（1）（2）（3）．【总结升华】画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．举一反三：【变式1】如下图所示，E、F分别为正方体面ADD＇A＇、面BCC＇B＇的中心，则四边形BFD＇E在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的________．【答案】②③类型二、空间几何体的三视图例3．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如下图，画出它的三视图．【解析】该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的．正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体正投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合）．它的三视图如下图．【总结升华】（1）对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图．（2）在绘制三视图时，应注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．（3）画简单组合体的三视图应注意两个问题：首先，确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图就可能不同；其次，简单组合体是由哪几个简单几何体构成的，并注意它们的构成方式，特别是它们的交线位置．例4．如下图（1）所示的是一个奖杯的三视图，画出它的立体图形．【解析】从奖杯的三视图可以看出，奖杯的底座是一个正棱台．它的上底面是边长为60 mm的正方形，下底面是边长为100 mm的正方形，高为20 mm．底座的上面是一个底面对角线长为40 mm，高72 mm的正四棱柱，它的底面对角线分别与棱台的底面的两边平行，底面的中心在棱台上、下底面中心的连线上，奖杯的最上部是在正四棱柱上底面的中心放了一个直径为28 mm的球根据以上分析，画出奖杯的立体图形，如右图所示．【总结升华】由三视图还原成实物图是由实物图画三视图的逆向思维，其关键仍然是抓住“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形状，特别要注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置．根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特点，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体．通常是根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．举一反三：【变式1】右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题，其中真命题的个数是（）．①存在三棱柱．其正（主）视图、俯视图如右图②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【变式2】若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（）【答案】B类型三、空间几何体的直观图例5．画出水平放置的等边三角形的直观图.【解析】画法，如图： (1)在三角形ABC 中，取AB 所在直线为x 轴，AB 边的高所在直线为y 轴；画出相应的x '轴和y ' 轴，两轴交于点O '，且使45x O y '''∠=o ；(2)以O '为中点，在x '轴上取A B AB ''=，在y '轴上取12O C OC ''=； (3)连接A C ''、B C ''，并擦去辅助线x '轴和y ' 轴，便获得正△ABC 的直观图△A B C '''.【总结升华】斜二测画法的作图技巧：1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2.在原图中平行于x 轴和y 轴的线段在直观图中仍然平行于x '轴和y '轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面x O y '''垂直的z '轴，平行于z '轴的线段长度保持不变. 举一反三：【变式1】已知正角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ＇B ＇C ＇的面积为（）A ．234aB ．238aC ．268aD ．2616a 【答案】D【解析】先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A ＇B ＇C ＇的边长及夹角求解．如上图（1）、（2）所示的实际图形和直观图．由图（2）可知，A ＇B ＇=AB=a ，13''24O C OC a ==，在图（2）中作C ＇D ＇⊥A ＇B ＇于D ＇，则26''''28C D O C a ==． ∴2'''1166''''22816A B C S A B C D a a a ∆=⋅=⨯⨯=．【总结升华】求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可．反过来，由一个平面图形的直观图来确定原平面图形的面积，也是依据这个规则来确定的．例6．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm ，高为3 cm ，圆锥的高为3 cm ，画出此机器部件的直观图．【解析】这个几何体（部件）是一个简单的组合体，可以先画出下面的圆柱，再画出上面的圆锥．画法：（1）如下图（1）所示，画x 轴、，y 轴、z 轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．（2）画圆柱的两底面．按x 、y 轴画出底面⊙O ，使直径为3 cm ，在z 轴上截取OO ＇，使OO ＇=3 cm ，过O ＇作Ox 的平行线O ＇x ＇，Oy 的平行线O ＇y ＇，利用O ＇x ＇与O ＇y ＇画出底面⊙O ＇，使其直径为3 cm ．（3）画圆锥的顶点．在z 轴上画出点P ，使PO ＇等于圆锥的高3 cm ．（4）成图．连接A ＇A 、B ＇B 、PA ＇、PB ＇，擦去辅助线，得到此几何体（部件）的直观图，如下图（2）所示．【总结升华】解此类题，首先要根据题目中的条件、尺寸想象出实物模型，然后建立坐标系，按直观图的画法，作出其对应的直观图．课后作业年级：上课次数：作业上交时间：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：作业内容作业得分作业内容【巩固练习】1．在下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的命题的个数是（）．①相等的角在直观图中对应的角仍相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．给出以下命题，其中正确命题的个数是（）①如果一个几何体的正视图、侧视图、俯视图是完全相同的，则这个几何体是球；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的正视图、侧视图、俯视图都是矩形，则这个几何是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．A．1 B．2 C．3 D．43．以正方形相邻两边为坐标轴建立直角坐标系，在这一坐标系下用斜二测画法画出的正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（）．A．16 B．64 C．16或64 D．以上都不对4．水平放置△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A＇B＇C＇，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形5．如下图所示为一个平面图形的直观图，则此平面图可能是下列选项中的（）6．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为（）7．如下图（1）、（2）所示的三视图代表的立体图形分别是________．8．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．9．水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图，已知A＇C＇=3，B＇C＇=2，则A＇B＇边上的中线的实际长度为________．10．用斜二测画法作出两边边长分别为3cm和4cm的矩形的直观图．11．如下图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．''''的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图. 请画出原来的平面几何图12．如图，正方形O A B C形的形状，并求原图形的周长与面积.【答案与解析】1．【答案】B【解析】由斜二测画法的定义知，③④正确．2．【答案】A【解析】正方体的正视图、侧视图、俯视图都是正方形，故①不对；正视图和俯视图都是矩形的几何体还有可能是圆柱，故②不对；正视图和俯视图都是等腰梯形的几何体还有可能是底面是正方形、侧棱相等的四棱台，故④不对；③显然正确．3．【答案】C【解析】此平行四边形的一边长是4，如果是在x 轴正半轴上的边长是4，则平行四边形的另一边长是2，那么这时平行四边形的面积是16；如果是在y 轴上的边长是4，则行四边形的另一边长是8，那么这时平行四边形的面积是64，故选C ．4．【答案】C【解析】将△A ＇B ＇C ＇还原，由斜二测画法知，△ABC 为钝角三角形．5．【答案】C【解析】很明显平面图形是梯形，在直观图中，右边的线段与y ＇轴平行，因此平面图形的上底与右边的腰应垂直．6．【答案】D【解析】被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D 符合．7．【答案】正六棱锥、两个圆台的组合体【解析】由三视图的特征想象原几何体的特征．8．【答案】62【解析】如右图，由底边长A ＇B ＇=1，3'2C O =，那么原来的高线为6262⨯=，则原三角形的面积161622S =⨯⨯=． 9．【答案】52【解析】由于直观图中，∠A ＇B ＇C ＇=45°，则在原图形中∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则斜边AB=5，故斜边上的中线长为52． 10．【解析】采用斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作'x 轴、'y 轴，使'''045x o y ∠=，然后依据平行投影的有关性质逐一作图（如下图）．（1）在已知ABCD 中取AB ，AD 所在边为x 轴与y 轴，相交于点O （O 与A 重合），画对应的x ＇轴、y ＇轴，使∠x ＇O ＇y ＇=45°．（2）在x ＇轴上取A ＇，B ＇，使A ＇B ＇=AB=4，在y ＇轴上取D ＇，使A ＇D ＇=12AD=32，过D ＇作D ＇C ＇平行x ＇的直线，且等于A ＇B ＇长．（3）连C ＇B ＇，所得四边形A ＇B ＇C ＇D ＇就是矩形ABCD 的直观图．11．【解析】由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．画法：（1）画轴．如下图（1），画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．（2）画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD ，在z 轴上截取OO ＇，使OO ＇等于三视图中相应高度，过O ＇作Ox 的平行线O ＇x ＇，Oy 的平行线O ＇y ＇，利用O ＇x ＇与O ＇y ＇画出上底面A ＇B ＇C ＇D ＇，如上图（1）．（3）画正四棱锥的顶点，在Oz 上截取点P ，使PO ＇等于三视图中相应的高度，如上图（1）．（4）成图．连接PA ＇、PB ＇、PC ＇、PD ＇、A ＇A 、B ＇B 、C ＇C 、D ＇D ，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如上图（2）．12．【解析】逆向运用斜二测画法规则：“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y 轴的为垂直. 如图，建立直角坐标系xoy在x 轴上取''1OA O A cm ==；在y 轴上取2''22OB O B cm ==；。

高中数学必修二空间几何体的三视图和直观图

高中数学必修二空间几何体的三视图和直观图一、教学目标：1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。

教学重点与难点：根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型二、教学过程：（一）复习引入前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形（实物）呢？引导学生结合例例例的三视图想象一下构造还原过程（发展空间想象能力）（二）新课学习例4根据下面的三视图说出立体图形的名称.分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形，解:(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所示;(2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是圆锥，如图(2)所示.例5根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状.分析.由主视图可知，物体正面是正五边形，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形的，且有一条棱(中间的实线)可见到。

两条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,物体的侧面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可见到,综合各视图可知，物体是五棱柱形状的.解:物体是五棱柱形状的，如下图所示.（三）巩固再现1、P121 练习2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。

三、小结：1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。

2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。

例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。

3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。

四、作业空间几何体的直观图一、教学目标1．知识与技能（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

必修二人教版空间几何体的三视图和直观图优秀教学导学案

高三数学导学案【学习目标】（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；【重难点】（1）三视图是高考的热点和重点,几乎年年考,要引起我们的重视；（2）柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点；（3）本节内容常以选择题、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现。

【学习过程】一、知识梳理（复习教材必修2P~P25页有关内容，填空梳理有关知识）32.空间几何体的三视图个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在的下面，长度与一样，左视图放在的右面，高度与的高度一样，宽度与的宽度一样，即“、、”或说“、、”，注意虚、实线的区别．3.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。

平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半。

4.平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点。

注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形。

【热点典例】热点一：空间几何体的结构特征课堂活动设计例1、给出下列命题：①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤若有过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑥存在每个面都是直角三角形的四面体；⑦存在每个侧面都是直角三角形的四棱锥.其中正确命题的序号是.【反思】本题做错的是第题问题探究：【错因】【总结】几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．热点二：三视图例2、（1）如图，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且它的体积为12，则该几何体的俯视图可以是（）（2）(2010·辽宁高考)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．【反思】本题做错的是第题问题探究：【错因】【总结】1．画几何体的三视图的要求是：正(主)视图与俯视图长对正；正(主)视图与侧(左)视图高平齐；侧(左)视图与俯视图宽相等．2．画几何体的三视图时，可以把垂直投射面的视线想象成平行光线，体会轮廓线(包括被遮挡住，但可以经过想象透视到的光线)的投影就是要画出的视图，可见的轮廓线要画成实线，不可见的轮廓线要画成虚线．热点三：斜二测直观图例3、关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()课堂活动设计A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形例4、(2010·扬州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()【变式拓展】本题中条件不变求原平面图形的面积．【反思】本题组做错的是第题问题探究：【错因】【总结】1．注意原图与直观图中的“三变、三不变”：2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：2=4S S直观图原图形热点四：截面问题例5、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过课堂活动设计该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积。

39东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--空间几何体的三视图与直观图A

2 2 2 2 侧视图 2
3 A． 6
4 2 B. 3
4 3 C． 3
8 D. 3
2 正视图
俯视图
4.（2013 上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（C ） A． 10π B． 11π C． 12π D． 13 2 3 2 2 俯视图正(主)视图侧(左)视图
主视图 A、7 B、6 C、5
左视图 D、4
俯视图
1
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 039A
例 2：已知 ABC 的平面直观图 A B C 是边长为 a 的正三角形，那么原 ABC 的面
' ' '
积为（（A）
）
3 2 a 2
（B）
3 2 6 2 a （C） a （D） 6a 2 4 2
5
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 039A
其中 AB＝AC，AD⊥BC，且 BC 的长是俯视图中正六边形对边的距离，即 BC＝ 3aAD 的长是正六棱锥的高，即 AD＝ 3a，∴该平面图形的面积 1 3 S＝ 3a· 3a＝ a2. 2 2 1 3 3 (3)V＝ · 6· a2· 3a＝ a3. 3 4 2 16.(2009· 广东高考)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示.墩的上半部分是正四棱锥 P－EFGH，下半部分是长方体 ABCD－EFGH.图 2、图 3 分别是该标识墩的正视图和俯视图 .
X 'O'Y ' =450（或 1350），它们确定的平面表示水平平面； ‘ ③画对应图形:在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X 轴，且 ‘ 长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y 轴，且长度变为原来的一半； ④擦去辅助线:图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。二、题型探究：探究一：空间几何体的三视图例 1:一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如下图所示，则这个组合体包含的小正方体个数是（）

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必修Ⅱ—0１空间几何体的三视图和直观图
几何特征：１底面是全等的圆；２母线与轴平行；３轴与底面圆的半径垂直；４侧面展开图是一
（５）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成
（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.几何特征：１球的截面是圆；２球面上任意一点到球心的距离等于半径.
２、中心投影、平行投影及空间几何体的三视图
（１）一点发出的光照射下形成的投影叫 .
注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度.３、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：１原来与x轴平行的线段仍然与x平行且；
２原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的 .
例题分析：
例１、下列命题中正确命题的个数（）
⑴有两个面平行，其余各个面都是平面四边形的几何体叫棱柱
⑵有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱
⑶有两个面平行，其余各个面都是梯形的几何体叫棱台
⑷用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台
Ａ．３Ｂ．２ C. １Ｄ．0
,所得截面图形是（）
例２、一个正方体内有一个内切球,作出正方体的对角面
．．．
D
B
C
A
例３、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）
例４、某几何体的三视图如下，画出该几何体的直观图。