高中数学总结归纳点拨 古典概型中的有序和无序问题
高二数学必修3知识点整理：古典概型
【导语】以下是⽆忧考为⼤家推荐的有关⾼⼆数学必修3知识点整理：古典概型，如果觉得很不错，欢迎点评和分享～感谢你的阅读与⽀持！ 古典概型的基本概念 1.基本事件：在⼀次试验中可能出现的每⼀个基本结果称为基本事件; 2.等可能基本事件：若在⼀次试验中，每个基本事件发⽣的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件; 3.古典概型：满⾜以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型①所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等; 4.古典概型的概率：如果⼀次试验的等可能基本事件共有n个，那么每⼀个等可能基本事件发⽣的概率都是 1，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发⽣的概率为nP(A)?m.n 知识点⼀：古典概型的基本概念 *例1：从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件?思路分析： 题意分析：本试题考查⼀次试验中⽤列举法列出所有基本事件的结果，⽽画树状图是列举法的基本⽅法. 解题思路：为了了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来.或者利⽤树状图将它们之间的关系列出来.解答过程：解法⼀：所求的基本事件共有6个： A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d} 解法⼆：树状图 解题后的思考：⽤树状图求解⼀次试验中的基本事件数⽐较直观、形象，可做到不重不漏.掌握列举法，学会⽤数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题. **例2：(1)向⼀个圆⾯内随机地投射⼀个点，如该点落在圆内任意⼀点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么? (2)如图，某同学随机地向⼀靶⼼射击，这⼀试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环??命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么? 思路分析： 题意分析：本题考查古典概型的概念.应明确什么是古典概型及其应具备什么样的条件.解题思路：结合古典概型的两个基本特征可进⾏判定解决.解答过程： 答：(1)不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆⾯内所有的点，试验的所有可能结果数是⽆限的，虽然每⼀个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满⾜古典概型的第⼀个条件. (2)不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，⽽命中10环、命中9环??命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满⾜古典概型的第⼆个条件. 解题后的思考：判定是不是古典概型，主要看两个⽅⾯，⼀是实验结果是不是有限的;另⼀个就是每个事件是不是等可能的. ***例3：单选题是标准化考试中常⽤的题型，⼀般是从A，B，C，D四个选项中选择⼀个正确答案.如果考⽣掌握了考查的内容，他可以选择正确的答案.假设考⽣不会做，他随机的选择⼀个答案，问他答对的概率是多少?思路分析： 题意分析：本题考查古典概型概率的求解运算. 解题思路：解本题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考⽣掌握了全部或部分考查内容，这都不满⾜古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考⽣不会做，随机地选择了⼀个答案的情况下，才可将此问题看作古典概型. 解答过程：这是⼀个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考⽣随机地选择⼀个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的.从⽽由古典概型的概率计算公式得： P(答对\答对所包含的基本事件的个数1==0.25 基本事件的总数4解题后的思考：运⽤古典概型的概率公式求概率时，⼀定要先判定该试题是不是古典概型，然后明确试验的总的基本事件数，和事件A发⽣的基本事件数，再借助于概率公式运算.⼩结：本知识点的例题主要考查对古典概型及其概率概念的基本理解.把握古典概型的两个特征是解决概率问题的第⼀个关键点;理解⼀次试验中的所有基本事件数，和事件A发⽣的基本事件数，是解决概率问题的第⼆个关键点. 知识点⼆：古典概型的运⽤ *例4：同时掷两个骰⼦，计算：(1)⼀共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少? (4)为什么要把两个骰⼦标上记号?如果不标记号会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?思路分析： 题意分析：本题考查了古典概型的基本运算问题. 解题思路：先分析“同时掷两个骰⼦的所有事件数”，然后分析事件A：向上的点数之和为5的基本事件数，最后结合概率公式运算.同时可以运⽤举⼀反三的思想⾃⾏设问、解答. 解答过程： 解：(1)掷⼀个骰⼦的结果有6种，我们把两个骰⼦标上记号1，2以便区分，由于1号骰⼦的结果都可与2号骰⼦的任意⼀个结果配对，我们⽤⼀个“有序实数对”来表⽰组成同时掷两个骰⼦的⼀个结果(如表)，其中第⼀个数表⽰掷1号骰⼦的结果，第⼆个数表⽰掷2号骰⼦的结果.(可由列表法得到)1号骰⼦2号骰⼦1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2) (4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5) (5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)123456由表中可知同时掷两个骰⼦的结果共有36种.(2)在上⾯的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1) (3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得 P(A)=A所包含的基本事件的个数41== 基本事件的总数369(4)如果不标上记号，类似于(1，2)和(2，1)的结果将没有区别.这时，所有可能的结果将是： (1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5) (5，6)(6，6)共有21种，和是5的结果有2个，它们是(1，4)(2，3)，则所求的概率为 P(A)=A所包含的基本事件的个数2= 基本事件的总数21这就需要我们考察两种解法是否满⾜古典概型的要求了.可以通过展⽰两个不同的骰⼦所抛掷出来的点，感受第⼆种⽅法构造的基本事件不是等可能事件. 解题后的思考：考查同学们运⽤古典概型的概率计算公式时应注意验证所构造的基本事件是否满⾜古典概型的第⼆个条件. 对于同时抛掷的问题，我们要将骰⼦编号，因为这样就能反映出所有的情况，不⾄于把(1，2)和(2，1)看作相同的情况，保证基本事件的等可能性.我们也可将此试验通过先后抛掷来解决，这样就有顺序了，则基本事件的出现也是等可能的. **例5：从含有两件正品a1，a2和⼀件次品b1的三件产品中，每次任取⼀件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有⼀件次品的概率.思路分析： 题意分析：本题考查的是不放回抽样的古典概型概率的运⽤ 解题思路：⾸先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明⽩⼀次试验指的是“不放回的，连续的取两次”. 先列举出试验中的所有基本事件数，然后求事件A的基本事件数，利⽤概率公式求解.解答过程： 解法1：每次取出⼀个，取后不放回地连续取两次，其⼀切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中⼩括号内左边的字母表⽰第1次取出的产品，右边的字母表⽰第2次取出的产品. ⽤A表⽰“取出的两件中，恰好有⼀件次品”这⼀事件，则A=[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)]事件A由4个基本事件组成，因⽽P(A)= 42=63解法2：可以看作不放回3次⽆顺序抽样，先按抽取顺序(x，y)记录结果，则x有3种可能，y有2种可能，但(x，y)，(y，x)是相同的，所以试验的所有结果有3×2÷2=3种，按同样的⽅法，事件B包含的基本事件个数为2×1÷1=2，因此P(B)= 23解题后的思考：关于不放回抽样，计算基本事件的个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是⽆顺序的，其结果是⼀样的，但⽆论选择哪⼀种⽅式，观察的⾓度必须⼀致，否则会导致错误. ***例6：从含有两件正品a1，a2和⼀件次品b1的三件产品中，每次任取⼀件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有⼀件次品的概率.思路分析： 题意分析：本题考查放回抽样的概率问题. 解题思路：⾸先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明⽩⼀次试验指的是“有放回的，连续的取两次”. 解答过程：每次取出⼀个后放回，连续取两次，其⼀切可能的结果组成的基本事件有9个，即 (a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1)(a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2)(b1，a1)，(b1，a2)和(b1，b1) 其中⼩括号内左边的字母表⽰第1次取出的产品，右边的字母表⽰第2次取出的产品.⽤A表⽰“取出的两件中，恰好有⼀件次品”这⼀事件，则A=[(b1，a1)，(b1，a2)，(a2，b1)，(a1，b1)]事件A由4个基本事件组成，因此P(A)= 4.9解题后的思考：对于有放回抽样的概率问题我们要理解每次取的时候，总数是不变的，且同⼀个体可被重复抽取，同时，在求基本事件数时，要做到不重不漏.⼩结： (1)古典概型概率的计算公式是⾮常重要的⼀个公式，要深刻体会古典概型的概念及其概率公式的运⽤，为我们学好概率奠定基础. (2)体会求解不放回和有放回概率的题型. 知识点三：随机数产⽣的⽅法及随机模拟试验的步骤 **例7：某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少?思路分析： 题意分析：本题考查的是近似计算⾮古典概型的概率. 解题思路：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能⽤古典概型的概率公式计算，我们⽤计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.解答过程： 我们通过设计模拟试验的⽅法来解决问题，利⽤计算机或计算器可以⽣产0到9之间的取整数值的随机数. 我们⽤1，2，3，4表⽰投中，⽤5，6，7，8，9，0表⽰未投中，这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为⼀组. 例如：产⽣20组随机数： 812，932，569，683，271，989，730，537，925，488907，113，966，191，431，257，393，027，556，458 这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表⽰恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为解题后的思考： (1)利⽤计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决⾮古典概型的概率的求解问题.(2)对于上述试验，如果亲⼿做⼤量重复试验的话，花费的时间太多，因此利⽤计算机或计算器做随机模拟试验可以⼤⼤节省时间. (3)随机函数(RANDBETWEEN)(a，b)产⽣从整数a到整数b的取整数值的随机数. ⼩结：能够简单的体会模拟试验求解⾮古典概型概率的⽅法和步骤.⾼考对这部分内容不作更多的要求，了解即可.5=25%.20 【同步练习题】 1.(2014•惠州调研)⼀个袋中装有2个红球和2个⽩球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同⾊的概率为()A.12；B.13；C.14；D.25 答案：A[把红球标记为红1、红2，⽩球标记为⽩1、⽩2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同⾊的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，⽩1、⽩1，⽩1、⽩2，⽩2、⽩1，⽩2、⽩2，故所求概率为P=816=12.] 2.(2013•江西⾼考)集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取⼀个数，则这两数之和等于4的概率是 ()A.23B.12C.13D.16 答案：C[从A，B中各任取⼀个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为26=13.故选C.] 3.(2014•宿州质检)⼀颗质地均匀的正⽅体骰⼦，其六个⾯上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这⼀颗骰⼦连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为()A.112B.118C.136D.7108 答案：A[基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1，1，1)，(1，2，3)，(3，2，1)，(2，2，2)，(1，3，5)，(5，3，1)，(2，3，4)，(4，3，2)，(3，3，3)，(2，4，6)，(6，4，2)，(3，4，5)，(5，4，3)，(4，4，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(5，5，5)，(6，6，6)共18个，所求事件的概率P=186×6×6=112.] 4.(2013•安徽⾼考)若某公司从五位⼤学毕业⽣甲、⼄、丙、丁、戊中录⽤三⼈，这五⼈被录⽤的机会均等，则甲或⼄被录⽤的概率为 ()A.23B.25C.35D.910 答案：D[五⼈录⽤三⼈共有10种不同⽅式，分别为：{丙，丁，戊}，{⼄，丁，戊}，{⼄，丙，戊}，{⼄，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，⼄，戊}，{甲，⼄，丁}，{甲，⼄，丙}. 其中含甲或⼄的情况有9种，故选D.] 5.(理)(2014•安徽⽰范⾼中联考)在棱长分别为1，2，3的长⽅体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选取的概率相同，则选到两个顶点的距离⼤于3的概率为()A.47B.37C.27D.314 答案：B[从8个顶点中任取两点有C28=28种取法，其线段长分别为1，2，3，5，10，13，14.①其中12条棱长度都⼩于等于3;②其中4条，棱长为1，2的⾯对⾓线长度为5<3;故长度⼤于3的有28-12-4=12，故两点距离⼤于3的概率为12C28=37，故选B.]。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中非常重要的一个知识点，同时也是考试中经常出现的题型。
古典概型是指在某个事件中，样本空间中的每个元素都有相同的概率出现。
在古典概型题中，常见的几种问题包括排列、组合、分配等，不同类型的问题需要使用不同的解题技巧。
下面我们将介绍一些古典概型问题的解题技巧。
一、排列问题的解题技巧排列是指n个不同元素按照一定顺序取出r个，这个过程叫做排列。
对于排列问题，我们可以使用以下几种解题技巧：1. 直接计算法：当n和r较小的时候，我们可以直接利用排列的定义来进行计算。
有5张纸牌，要从中取出3张纸牌进行排列，共有5*4*3=60种排列方法。
2. 公式法：当n和r较大的时候，直接计算可能会比较麻烦，可以使用排列的公式进行计算。
排列的计算公式为Anr=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。
3. 分类讨论法：有些排列问题并不是直接套用公式就能解决的，这时我们可以采用分类讨论的方法。
从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行排列，可以分为以A开头的排列、以B开头的排列、以C开头的排列和以D开头的排列四种情况来进行讨论计算。
3. 排列与组合的关系：有时候我们需要求解组合问题，但是可以先通过排列问题进行计算，再通过排列与组合的关系进行转化。
从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行组合，可以先求出排列的个数，再通过排列与组合的关系计算出组合的个数。
1. 划分法：当分配的元素数目是不受限制的时候，我们可以使用划分法进行计算。
划分法是指将n个不同的元素分成r份，每份可以有0个或者多个元素，然后按照不同的划分方法进行计算。
2. 公式法：有些分配问题可以通过公式进行计算，例如将n件商品分给r个人，每个人可以得到不同数目的商品，可以使用分配的公式进行计算。
3. 排列组合法：有些分配问题可以通过排列组合的方法进行计算，例如将n个人分配到r个小组中，可以先通过排列计算出所有可能的分配情况，再通过组合计算出符合条件的分配情况。
高二数学第三章古典概型知识点
高二数学第三章古典概型知识点
高二数学古典概型知识点
1.基本事件：
试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.
基本事件的特点：
1每个基本事件的发生都是等可能的.
2因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.
3任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.
4基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.
2.古典概型的定义：
1有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
2等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.计算古典概型的概率的基本步骤为：
1计算所求事件A所包含的基本事件个数m;
2计算基本事件的总数n;
3应用公式PA?m计算概率. n
4.古典概型的概率公式：
PA?A包含的基本事件的个数
基本事件的总数.应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.
要点诠释：
古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是
古典概型问题;若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题;“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高二年级数学必修3第三章知识点：古典概型知识点总结
高二年级数学必修3第三章知识点：古典概型知识点总结
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编准备了高二年级数学必修3第三章知识点，希望你喜欢。
一种概率模型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
例如：掷一次硬币的实验(质地均匀的硬币)，只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的;如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的;又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。
是概率论中最直观和最简单的模型;概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。
求古典概型的概率的基本步骤：
(1)算出所有基本事件的个数n;
(2)求出事件A包含的所有基本事件数m;
(3)代入公式P(A)=m/n，求出P(A)。
高二年级数学必修3第三章知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
高考数学热点问题专题练习——古典概型知识归纳及例题讲解
古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。
例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A（1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++=4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可证明：设基本事件为12,,,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A ===()()()121n P A P A P A +++= 6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个7、运用古典概型解题的步骤：① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② ()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算③ 要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的 二、典型例题：例1：从16-这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。
高二数学第三章古典概型知识点
高二数学第三章古典概型知识点
高二数学古典概型知识点
1.基本事件：
试验结果中无法再分的最简单的随机事件称作基本事件.
基本事件的特点：
1每个基本事件的出现都就是等可能将的.
2因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.
3任一两个基本事件都就是不相容的，一次试验就可以发生一个结果，即为产生一个基本事件.
4基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.
2.古典概型的定义：
1有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
2等可能性：每个基本事件发生的可能性成正比.
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.排序古典概型的概率的基本步骤为：
1计算所求事件a所包含的基本事件个数m;
2排序基本事件的总数n;
3应用公式pa?m计算概率.n
4.古典概型的概率公式：
pa?a包含的基本事件的个数
基本事件的总数.应用领域公式的关键在于精确排序事件a所涵盖的基本事件的个数和
基本事件的总数.
要点演绎：
古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题;若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题;“在线段ab上任取一点c，求ac>bc的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三中的古典概型是概率论中的重要内容之一，也是考试中的常见题型，解题技巧的掌握对于我们正确解题非常重要。
下面将介绍几种解题技巧。
一、排列与组合排列与组合是古典概型中常见的几个基本概念，掌握好它们对于解题非常有帮助。
1. 排列：将若干个不同的元素按照一定的顺序排列成一列，这个过程称为排列。
例如：从字母A、B、C中任取三个字母，按顺序排列，共有3的阶乘种。
2. 组合：从n个不同元素中任取m个，不考虑顺序，这个过程称为组合。
例如：从字母A、B、C中任取两个字母，不考虑顺序，共有3个组合。
二、古典概型的解题步骤古典概型的解题步骤可以分为以下几个步骤：1. 明确问题与假设条件：首先要明确问题的描述和假设条件，理解题意非常重要。
例如：某班有男生10名，女生8名，从中随机选出两名学生，求出两名学生都是男生的概率。
2. 确定事件：根据问题的描述和假设条件，确定所求事件。
例如：确定所求事件为“从10个男生中选出两个男生”，记为A事件。
3. 确定样本空间：确定样本空间，即实验的所有可能结果的集合。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以样本空间为所有可能的组合数，记为S={C(10,2)}。
4. 确定事件A发生的可能数：确定事件A发生的可能数，即满足所求事件的有利组合数。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以有利组合数为C(10,2)。
5. 求解所求事件的概率：根据概率的定义，求解所求事件的概率。
例如：所求事件的概率为P(A)=有利组合数/样本空间。
1. 从n个人中随机选出m个人的概率。
解题思路：根据排列与组合的知识，所求事件的概率为C(n,m)/C(n,m)。
3. 从一扑克牌中随机取出一张牌，结果是红桃的概率。
解题思路：所求事件的概率为红桃的数量/总的牌的数量。
四、注意事项在解题过程中，要注意以下几个问题：1. 明确问题的假设条件，理解题意非常重要。
2. 注意样本空间的确定，样本空间是实验中所有可能结果的集合。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中的基础概念之一，常用于求解事件的概率。
以下是高中数学必修三古典概型的几种解题技巧。
一、树状图法树状图法是古典概型中常用的解题方法，它可以清晰地表示出各种可能的情况。
以硬币为例，假设有一枚硬币，抛掷两次，求出现正面向上的概率。
树状图法的步骤如下：1. 以一条直线表示硬币的抛掷过程，从左到右按顺序表示每次抛掷；2. 在直线上的每个箭头上标注相应的可能结果，如正面向上（记作“正”）和反面向上（记作“反”）；3. 沿着直线不断扩展出所有可能结果，直到达到所需的抛掷次数。
通过树状图得出的所有可能结果是等可能事件，即每个事件的概率都是相等的。
我们可以通过树状图上的路径来计算事件发生的概率。
在本例中，正面向上的概率就是出现正正的路径所占的比例。
二、排列组合法排列组合法是古典概型中常用的解题方法，特别适用于解决有序排列的问题。
在排列组合中，我们经常使用的有序排列方法有全排列、排列和组合。
全排列是将一组元素全部排列出来的情况，根据全排列的特性，可以使用阶乘来表示。
从1到10的数字中取出4个数字进行全排列，可以得到4的阶乘，即4！=4x3x2x1=24种排列方式。
排列是从一组元素中取出一部分元素进行排列的情况，排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素的总数，m表示取出的元素个数。
三、样本空间法样本空间法是古典概型中常用的解题方法，通过列出所有可能的结果，构建样本空间，再根据事件发生的情况求解事件的概率。
以抛掷两颗骰子为例，求两颗骰子点数和为9的概率。
我们需要列出骰子所有可能的结果，即从1到6的数字，每个数字都有可能出现。
然后，我们可以根据这些可能结果来构建样本空间，得到所有可能的点数和。
在这个问题中，样本空间是一个有序对组成的集合，它包含了所有可能的点数和。
我们通过统计样本空间中点数和为9的有序对的数量，计算出该事件发生的概率。
91. 高一数学导学案古典概型(解析版)
10.1.3古典概型导学案【学习目标】1.理解古典概型及其概率计算公式2.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率3.掌握利用概率的性质求古典概型的概率的方法【自主学习】知识点1 古典概型的特点①有限性：试验的样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．知识点2 古典概型的概率公式对任何事件A，P(A)＝事件A包含的样本点个数样本空间Ω包含的样本点个数【合作探究】探究一古典概型的判断【例1】判断下列试验是不是古典概型：(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1球，观察颜色后放回，直到取出红球；(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．[分析]运用古典概型的两个特征逐个判断即可．[解](1)每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．(2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件．因此该试验不是古典概型．归纳总结：1.古典概型的判断方法：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.2.下列三类试验都不是古典概型：(1)样本点个数有限，但不等可能；(2)样本点个数无限，但等可能；(3)样本点个数无限，也不等可能.【练习1】下列试验中是古典概型的是()A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C ．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置D ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B解析：由古典概型的两个特征易知B 正确． 探究二 简单的古典概型的问题【例2】有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率； (2)从这些一等品中，随机抽取2个零件， ①用零件的编号列出样本空间； ②求这2个零件直径相等的概率．[分析] 首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断事件是否为等可能事件，并用字母A 表示所求事件；再次，求出事件的样本空间Ω包含的样本点个数n 及事件A 包含的样本点个数m ；最后，利用公式P (A )＝A 包含的样本点个数样本空间Ω包含的样本点个数＝m n ，求出事件A 的概率．[解] (1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)①一等品的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这6个一等品中随机抽取2个，样本空间Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)}，共15个样本点．①将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B ，则B 包含的样本点有(A 1，A 4)，(A 1，A 6)，(A 4，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 5)，(A 3，A 5)，共6个，①P (B )＝615＝25.归纳总结：根据古典概型概率公式P (A )＝A 包含的样本点个数样本空间Ω包含的样本点个数＝mn 进行解题．【练习2】将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况． (1)一共有多少个不同的样本点？ (2)点数之和为5的样本点有多少个？ (3)点数之和为5的概率是多少？ 【答案】(1)36(个) (2)4 (3)19解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6个样本点，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(个)不同的样本点． (2)点数之和为5的样本点有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个．(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36个样本点是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A )的样本点有4个，因此所求概率P (A )＝436＝19.探究三 较复杂的古典概型问题【例3】在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： (1)他获得优秀的概率为多少；(2)他获得及格及及格以上的概率为多少．[分析] 这是一道古典概率问题，须用列举法列出样本点个数．[解] 设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，则从这5道题中任取3道回答，该试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点．(1)记“获得优秀”为事件A ，则随机事件A 中包含的样本点个数为3，故P (A )＝310. (2)记“获得及格及及格以上”为事件B ，则随机事件B 中包含的样本点个数为9，故P (B )＝910.归纳总结：解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点.【练习3】甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，将这两个玩具同时掷一次．(1)若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少？(2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果？其中数字之和为12的有多少种情况？数字之和为6的共有多少种情况？分别计算这两种情况的概率．解：(1)甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故样本点总数为6×6＝36(个)．其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定．故共有6×1＝6(种)不同的结果，即概率为636＝1 6.(2)两个玩具的数字之和共有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种不同结果．出现数字之和为12的只有一种情况，故其概率为136.出现数字之和为6的共有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)五种情况，所以其概率为5 36.课后作业A 组 基础题一、选择题1．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则第一册和第二册相邻的概率为( )A ． 13B ．12C ．23D ．34【答案】C [试验的样本空间Ω＝ {(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}，共6个样本点，事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点，故第一册和第二册相邻的概率为P ＝46＝23.]2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A ．45B ．35C ．25D ．15【答案】D [设所取的数中b >a 为事件A ，如果把选出的数a ，b 写成一数对(a ，b )的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个，事件A 包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P (A )＝315＝15.] 3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( )A ．25B ．210C ．310D ．35【答案】C [从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{ (甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为310.]4．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(－表示一根阳线，－－表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( )A ．18B ．14C ．38D ．12【答案】C [从八卦中任取一卦，基本事件总数n ＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m ＝3， ①所求概率为P ＝38.故选C ．]5．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次向上的点数小于第二次向上的点数，则我们称其为正试验；若第二次向上的点数小于第一次向上的点数，则我们称其为负试验；若两次向上的点数相等，则我们称其为无效试验．则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是( )A ．136B ．112C ．16D ．12【答案】C [连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x ，y )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个基本事件，设“出现无效试验”为事件A ，则事件A 包含(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6个基本事件，则P (A )＝636＝16.]6．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13C.14D.25【答案】A解析：把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的样本点共有16个，其中2个球同色的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率为P ＝816＝12.7．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16【答案】A解析：甲、乙两人参加学习小组，若以(A ，B )表示甲参加学习小组A ，乙参加学习小组B ，则一共有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P ＝13. 8．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为( )A.13B.112C.16D.536【答案】C解析：抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P ＝16.二、填空题9．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是________．【答案】310 [设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A ，试验的样本空间Ω＝{(1,3,5), (1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7), (1,5,9), (1,7,9), (3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)}，样本空间的总数为10，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的样本点只有(3,5,7), (3,7,9), (5,7,9)三种情况，故所求概率为P (A )＝310.]10．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为________．【答案】12 [设3件正品为A ，B ，C,1件次品为D ，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD }，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：AD ，BD ，CD ，共3个，故P ＝36＝12.]11．在国庆阅兵中，某兵种A ，B ，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A ，C 通过的概率为________．【答案】13 [用(A ，B ，C )表示A ，B ，C 通过主席台的次序，则试验的样本空间Ω＝ {(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )}，共6个样本点，其中事件B 先于A ，C 通过的有(B ，C ，A )和(B ，A ，C )，共2个样本点，故所求概率P ＝26＝13.]12．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为15.【答案】15解析：用A ，B ，C 表示三名男同学，用a ，b ，c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(C ，a )，(C ，b )，(C ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共15种，2名都是女同学的选法为(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共3种，故所求的概率为315＝15.三、解答题13．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i ，j )分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．【答案】 (1) 方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝ {(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.(2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P 1＝512，乙胜的概率为P 2＝712，因为512<712，所以此游戏不公平．14．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．【答案】 (1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A 1，A 2，A 3,2名中级教师分别记为A 4，A 5，高级教师记为A 6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝ {(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B )的样本点为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3种．所以P (B )＝315＝15.15．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．【答案】(1)A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2 (2)415解析：(1)因为样本量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2，所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有样本空间Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}，共15个样本点．每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点出现的机会是等可能的．记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则D＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)}，共4个样本点．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.B 组 能力提升一、选择题1．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D [设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D ．] 2．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A ．23B ．35C ．25D ．15【答案】B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B ．] 二、填空题3．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)n ＝________；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，则事件A 的概率为________．【答案】(1)2 (2)13 [(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2. (2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝ {(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)}，共12个，事件A 包含的样本点为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．①P (A )＝412＝13.] 三、解答题4．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级” ，求事件M 发生的概率．【答案】[解] (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3①2①2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．①由(1)知，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以事件M 发生的概率P (M )＝521. 5．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：(1)(2)求这5天的平均发芽率；(3)从3月1日至3月5日中任选2天，记前面一天发芽的种子数为m ，后面一天发芽的种子数为n ，用(m ，n )的形式列出所有基本事件，并求满足“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30”的概率． 【答案】 (1)由题意知，发芽数按从小到大的顺序排列为16,23,25,26,30，所以这5天发芽数的中位数是25.(2)这5天的平均发芽率为23＋25＋30＋26＋16100＋100＋100＋100＋100×100%＝24%. (3)用(x ，y )表示所求基本事件，则有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个基本事件．记“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30，”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共有3个基本事件．所以P (A )＝310，即事件“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30”的概率为310.。
高二数学上册古典概型知识点总结知识点总结
高二数学上册古典概型知识点总结知识点总结
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。
以下是为大家整理的高二数学上册古典概型知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，一直陪伴您。
1、古典概型
(1)定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。
(2)特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性
(3)古典概型的解题步骤;
①求出试验的总的基本事件数 ;
②求出事件A所包含的基本事件数 ;
2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能事件除外)。
常见考法
本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。
在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。
误区提醒
在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。
基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能事件除外)。
最后，希望小编整理的高二数学上册古典概型知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。
高中数学总结归纳 多角度认识古典概型
多角度认识古典概型古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生概率的求解，考试多以解答题为主，有少数选择题、填空题，难度为中低档题和较易题，对于该部分内容的计算，关键是分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m ，有时需用列举法把基本事件——列举出来，再利用公式()nm A P =求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．一、重要知识点讲解1.一个事件是否为古典概型,在于这个事件是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.并不是所有事件都是古典概型.例如,在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”,这个试验的基本时间空间为{}不发芽发芽,,而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如,从规格直径为300mm ±0.6mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径为d ，测量值可能是从299.4mm 到300.6mm 之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个．这两个试验都不属于古典概型．2.()nm A P =是求古典概型的概率的基本公式． 求P(A)时，要首先判断是否是古典概型．若是，则应按以下步骤计算：(1)算出基本事件的总个数n ;(2)算出事件A 中包含的基本事件的个数m ;(3)算出事件A 的概率，即()nm A P =． 可见在运用公式计算时，关键在于求出n m ,．在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．例如，先后抛掷两枚均匀的硬币，共出现“正，正”，“正，反”，“反，正”，“反，反”这四种等可能的结果．如果认为只有“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”这三种结果，那么显然这三种结果不是等可能的．在求m 时，可利用列举法或者结合图形采取列举的方法，数出事件A 发生的结果数．二、重点难点突破古典概型的重点及难点为古典概型的定义及概率公式的应用．因为古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，因此，必须分清事件是否为等可能性事件，以免与后面学习的其他事件及其概率混淆．求古典概型概率的计算公式为()nm A P =．根据这个公式计算概率时，关键在于求出n m ,，因此，首先要正确理解基本事件与事件A 的相互关系．特别要强调指出，一个基本事件是某一次试验出现的结果，千万不可以把几次试验的结果混为一个结果．三、易错点和易忽略点导析古典概型的易错点和易忽略点是对题意理解不清，搞错对象，以致于出错.例1、有1号、2号、3号3个信箱和A 、B 、C 、D 4个信封，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A 信封恰好投入1号或2号信箱的概率是多少?错解：每封信投人1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A 信封投入l 号或2号信箱的概率为214141=+. 错解分析：应该考虑A 信封投入各个信箱的概率，而错解考虑成了四封信投入某一倌箱的概率．正确解法：由于每封信可以任意投入信箱，对于A 信封投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，所以所求概率为32. 四、常见题型展示与解析1.例举法求概率例2、箱中有3个正品，2个次品，从箱中随机连续抽取三次，每次只抽取一个，在以下两种抽样方式下3次抽取的均为正品的概率各为多少?(1)每次抽样后不放回；(2)每次抽样后放回．解，(1)若不放回抽样三次可看作有顺序地抽取，则从5个产品中不放回抽样三次共60个基本事件，从3个正品中不放回抽样三次包含6个基本事件，所以可以取出3个正品的概率为101606==p . (2)从5个产品中有放回地抽取三次，每次都有5种方法，所以共有125种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有27种，所以3个全是正品的概率是12527=P ． 点拨：基本事件的个数可通过列举法获得．2.“排数”型概率问题例3、某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：(1)头两位数字都是8的概率;(2)头两位数字都不超过8的概率。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中的一个重要内容，通常包括排列、组合和分组的相关知识。
在解题过程中，我们可以采用一些技巧来辅助理解和解决问题。
1. 计数原则在解决排列和组合问题时，经常会用到计数原则。
计数原则是指如果一个实验有m种可能的结果，第二个实验有n种可能的结果，则这两个实验连在一起共有m*n种可能的结果。
在古典概型中，我们可以利用计数原则来简化复杂的问题，将问题逐步分解为几个简单的实验，然后再将它们的结果相乘得到最终的结果。
2. 排列的解题技巧排列是指从n个不同元素中取出r个元素，按一定的顺序排成一列的不同排列数。
在解决排列问题时，我们可以先确定有多少种选择元素的方式，然后再确定这些选择的元素有多少种排列方式。
对于排成一排的问题，我们可以先确定有多少种不同的元素可以选择，然后再确定这些元素可以排列的方式，最后相乘得到总的排列数。
3. 组合的解题技巧组合是指从n个不同的元素中取出r个元素的不同组合数。
在解决组合问题时，我们可以利用减法原则来简化问题。
减法原则指的是，如果一个实验包含有m种结果，并且有n种结果不合法，那么合法的结果数等于m-n。
在组合问题中，我们可以先确定有多少种选择元素的方式，然后再确定其中有多少种不合法的选择方式，最后用减法原则得到合法的结果数。
4. 分组的解题技巧分组是指将n个不同的元素分成r组的不同分组方式。
在解决分组问题时，我们可以利用排列和组合的知识来辅助理解。
分组问题可以看成是先将n个元素排成一列，然后再在这些元素之间加上r-1个隔板，最后将其中的分组方式看成是在这些元素和隔板中选择r-1个位置，并且将这些位置放上隔板。
这样就可以用组合数来求出分组的方式。
5. 确定权重在古典概型的问题中，有时候我们需要确定每个元素的权重，并且根据权重来求出最终的结果。
确定权重通常可以通过分情况讨论、排列组合的知识和实际问题的特点来得到。
通过确定权重，我们可以简化问题，并且找到最优的解决方式。
高中数学古典概型知识点总结
高中数学古典概型知识点总结高中数学中的古典概型是指基于样本空间，利用等可能性原理计算事件发生概率的方法。
以下是一些关键的知识点总结：1. 样本空间：在进行古典概型的计算时，首先要确定问题的样本空间。
样本空间是指所有可能的结果组成的集合。
2. 事件：在样本空间中，可以定义各种事件，也就是对应某个或某些结果的子集。
常见的事件有简单事件（只包含一个结果）和复合事件（包含多个结果）。
3. 等可能性原理：古典概型的核心思想是等可能性原理，即各个结果发生的概率是相等的。
根据等可能性原理，可以得出事件发生的概率。
4. 计算概率：根据等可能性原理，可以使用计数方法来计算事件发生的概率。
例如，若样本空间中有n个等可能结果，而事件A 包含m个结果，则事件A发生的概率为P(A) = m/n。
5. 排列与组合：在古典概型的计算中，经常需要使用排列与组合的概念。
排列是指从n个元素中选取r个元素并按照一定顺序排列，而组合是指从n个元素中选取r个元素，不考虑顺序。
排列与组合的计算公式如下：- 排列：P(n,r) = n! / (n-r)!- 组合：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)6. 互斥事件与对立事件：互斥事件指两个或多个事件不可能同时发生，而对立事件指两个事件中只有一个会发生。
在古典概型中，可以利用互斥事件和对立事件的概念来计算复杂事件的概率。
7. 概率的性质：概率具有一些重要的性质，包括非负性（概率不会小于0）、正则性（全样本空间的概率为1）、可加性（若事件A 与事件B互斥，则它们的概率之和等于各自的概率和）等。
以上是高中数学中古典概型的一些关键知识点总结。
通过掌握这些知识点，可以更好地理解和应用古典概型方法进行概率计算。
高中数学总结归纳点拨 古典概型中的有序和无序问题
古典概型中的有序和无序问题求古典概型中某事件的概率的关键是列举基本事件，在列举基本事件的时候，同学们会发现，有些事件和顺序有关，有些事件和顺序无关，那么到底哪些事件应该考虑顺序，哪些事件应该不考虑顺序呢？例1 一个袋子中有白球2个，红黄球各1个，规定：现依次从袋子中抓3个球，求得分不大于1分的概率.解：因为抓出球的数目大于2，所以用树形图表示会比较清晰。
用1，2表示白球，用a 表示红球，b 表示黄球.所有基本事件用树形图列举如下：基本事件总数为：46=24⨯其中得分不大于1分的基本事件共有18个。
183(3244P ∴==抓个球得分不大于1分） 如果我们不考虑抽取顺序，所有基本事件可以表示为：从上面的树形图可以看出，基本事件总数为4，其中得分不大于1分的基本事件有3个。
3(34P ∴=抓个球得分不大于1分） 考虑顺序和不考虑顺序的结果是一样的，为什么会这样呢？细心的同学会发现下面六个基本事件(1,2,a), (1,a,2), (2,1,a), (2,a,1), (a,1,2), (a,2,1)，如果不考虑抽取顺序，其实表示的是同一个结果：抽到2个白球，1个红球。
原来当不考虑顺序时的每一个基本事件都有6个考虑顺序的基本事件和它对应，每个事件都扩大6倍，这样，在用公式()AP A=所包含的基本事件数基本事件总数计算概率时，分子分母同时扩大6倍，所以结果相同。
而我们列举基本事件时，指列举“一次试验中可能出现的每一个基本结果”而既然在上面所求的问题中，考虑顺序的六个事件表示的是同一个结果，所以对于此类问题，我们在解答时不考虑顺序.那么，是不是所有的基本事件都可以看作无序的呢？例2.一个盒子里有点数分别为1，2，3，4的4张牌，有放回的连续抽取两次，求“两张牌点数之和不小于6的概率”。
解：考虑顺序时，所有的基本事件可以表示为：(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 基本事件共有4416⨯=个，其中符合题意的如划线所示，共有6个。
古典概型中的有序和无序问题;
古典概型中的有序和无序问题求古典概型中某事件的概率的关键是列举基本事件，在列举基本事件的时候，同学们会发现，有些事件和顺序有关，有些事件和顺序无关，那么到底哪些事件应该考虑顺序，哪些事件应该不考虑顺序呢？例1 一个袋子中有白球2个，红黄球各1个，规定：现依次从袋子中抓3个球，求得分不大于1分的概率.解：因为抓出球的数目大于2，所以用树形图表示会比较清晰。
用1，2表示白球，用a 表示红球，b 表示黄球.所有基本事件用树形图列举如下：基本事件总数为：46=24⨯其中得分不大于1分的基本事件共有18个。
183(3244P ∴==抓个球得分不大于1分） 如果我们不考虑抽取顺序，所有基本事件可以表示为：从上面的树形图可以看出，基本事件总数为4，其中得分不大于1分的基本事件有3个。
3(34P ∴=抓个球得分不大于1分） 考虑顺序和不考虑顺序的结果是一样的，为什么会这样呢？细心的同学会发现下面六个基本事件(1,2,a), (1,a,2), (2,1,a), (2,a,1), (a,1,2), (a,2,1)，如果不考虑抽取顺序，其实表示的是同一个结果：抽到2个白球，1个红球。
原来当不考虑顺序时的每一个基本事件都有6个考虑顺序的基本事件和它对应，每个事件都扩大6倍，这样，在用公式()A P A =所包含的基本事件数基本事件总数计算概率时，分子分母同时扩大6倍，所以结果相同。
而我们列举基本事件时，指列举“一次试验中可能出现的每一个基本结果”而既然在上面所求的问题中，考虑顺序的六个事件表示的是同一个结果，所以对于此类问题，我们在解答时不考虑顺序.那么，是不是所有的基本事件都可以看作无序的呢？例2.一个盒子里有点数分别为1，2，3，4的4张牌，有放回的连续抽取两次，求“两张牌点数之和不小于6的概率”。
解：考虑顺序时，所有的基本事件可以表示为：(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)基本事件共有4416⨯=个，其中符合题意的如划线所示，共有6个。
高中数学古典概型公式(一)
高中数学古典概型公式(一)高中数学古典概型公式一、排列排列是从给定的元素中选取若干个进行组合，且考虑元素的顺序。
下面是排列的公式：1.全排列公式：–公式：A n n=n!–说明：n个元素的全排列有n!种情况。
–举例：考虑3个不同的元素A、B和C，它们的全排列为：ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA，共6种情况。
2.部分排列公式：–公式：A n m=n!(n−m)!–说明：从n个元素中选取m个元素进行排列。
–举例：假设有5个人要从10个座位中选出3个座位坐，共=10×9×8=720种选座方式。
有A103=10!(10−3)!二、组合组合是从给定的元素中选取若干个进行组合，不考虑元素的顺序。
下面是组合的公式：1.组合公式：–公式：C n m=n!m!(n−m)!–说明：从n个元素中选取m个元素进行组合。
–举例：假设有8个人要从10个人中选出2个人组队，共有C102=10!2!(10−2)!=10!2!8!=45种组队方式。
三、二项式定理二项式定理是一种在代数中常用的展开方法，用于展开一个二项式的幂。
下面是二项式定理的公式：1.二项式定理公式：–公式：(a+b)n=C n0⋅a n+C n1⋅a n−1⋅b1+C n2⋅a n−2⋅b2+⋯+C n n⋅b n–说明：展开一个二项式(a+b)n，其中a和b为实数。
–举例：展开(x+y)4，可得(x+y)4=C40⋅x4+C41⋅x3⋅y1+C42⋅x2⋅y2+C43⋅x1⋅y3+C44⋅y4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4。
以上是高中数学中常用的古典概型公式。
排列公式用于计算有序的情况，组合公式用于计算无序的情况，而二项式定理用于展开二项式的幂。
通过这些公式，我们可以更方便地计算排列、组合和展开二项式等问题。
数学北师大版必修3知识导航 3.2古典概型 含解析 精品
§2 古典概型知识梳理1.试验结果有有限个,且每个事件都是随机事件的事件称为基本事件.一个复杂彼此互斥的事件都可以表示成基本事件的和.2.我们把具有:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.3.基本事件总数n 的古典概型中,每个基本事件发生的概率为n 1.4.在古典概型中,任何事件的概率P (A )=.总的基本事件个数包含的基本事件个数A 5.在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称为互斥事件.6.事件A +B 发生是指事件A 和B 至少有一个发生.如果随机事件A 和B 是互斥事件,那么有P (A +B )=P (A )+P (B ),这是互斥事件的概率加法公式.该公式还可以推广为多个互斥事件的情况,其公式是:P (A 1+A 2+…+A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ).7.记A 为事件A 的对立事件,那么P (A )+P(A )=1.知识导学古典模型是一种最基本的模型,也是学习其他概率模型的基础,学习时要抓住以下三个特点:(1)对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同的试验结果;(2)对于这有限个不同的结果,它们出现的可能性是相等的;(3)求事件的概率可以不通过大量重复试验,而只要通过对一次试验中出现的结果进行分析计算即可.因此,必须分清事件是否是等可能事件,以免与后面学习的其他事件及其概率混淆. 古典概率的计算公式P (A )=,事件的基本事件总数包含的基本事件数事件A 与事件A 发生的频率f n (A )=n n A 有本质的区别:对同一试验的同一事件P (A )为一个定值,而频率中的n A 是随试验次数变化而变化的,因此,f n (A )也是变化的,但f n (A )总是接近于P (A ).判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们能否同时发生.对于两个互斥事件,由于它们不可能同时发生,即只有一个发生,所以可用加法公式P (A +B )=P (A )+P (B )计算其概率.对立事件一定互斥,但互斥不一定对立.在概率的计算问题中,若事件A 比较复杂,而其对立事件A 比较简单时,我们往往通过公式P (A )=1-P (A ),计算P (A )来求得P (A ).古典概型比较简单又易于理解,并且在实践中有广泛的应用,学习这些,不仅能提高我们的学习兴趣,激发强烈的求知欲望,还能在解决问题中体会到数学本身的趣味性,应用的广泛性,帮助我们培养严谨的逻辑思维能力及高度概括能力.疑难突破1.如何正确地理解古典概型?剖析:如果一个试验的所有结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;每一个试验结果出现的可能性相同,我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.例如,抛掷一枚均匀的骰子,出现各个点数的可能性都是相等的;转带有指针的等份圆盘,指针指向每份的可能性相同;同时抛掷两枚硬币,出现两个硬币都“正面朝上”或都“反面朝上”的可能性相同等这些都属于古典概型.所以理解判断一个试验是否为古典概型,关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.所以对理解古典概型还应注意以下几点:(1)并不是所有的试验都是古典概型.例如在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽.这个试验的基本事件为“发芽”和“不发芽”.而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如,从规格直径为300 mm±0.6 mm 的一批合格产品中抽取一根,测量其直径,测得值可能是299.4 mm 到300.6 mm 之间的任何一个值,所有结果有无限多个.这两个试验都不属于古典概型.(2)从集合角度看待概率.在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合I,基本事件个数n 就是集合I 的元素个数.事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集,所以P (A )=.)(card )(card nm I A = (3)古典概型中,若试验只有n 个等可能结果,其中导致事件A 出现的结果有m 个,则事件A 出现的概率为P (A )=nm A =总的基本事件个数包含的基本事件个数. (4)在面对具体问题时,应先判定所给问题是否为古典概型,若是则根据题意设出事件A ,并找出问题的全部等可能结果总数n 和导数事件A 出现的结果数m ,代入古典概型的计算公式计算即可.2.古典概率的计算公式P (A )=nm 中,m 和n 的具体含义 剖析:n 表示试验的所有可能结果(基本事件)数,m 表示随机事件A 包含的基本事件数,即P (A )= nm A =总的基本事件个数包含的基本事件个数.同时,对于某些比较复杂的问题可以利用已学的概率模型进行对比分析以解答.例如,从某鱼池中捕得m 条鱼,都作上记号后放回鱼池,再捕得n 条鱼,其中有k 条鱼有记号,大家很容易估计出这池鱼的数目约为m nk 条,我们使用了古典概率的计算公式.3.公式P (A +B )=P (A )+P (B )的适用条件剖析:事件A +B 是一个事件,事件A +B 发生是指事件A 和B 之中至少有一个发生.如果随机事件A 与B 是互斥事件,则有P (A +B )=P (A )+P (B );如果随机事件A 和B 不是互斥事件,则有P (A +B )≠P (A )+P (B ).典题精讲例1 一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1、2、3、…、10这10个数字,今随机地抽取两个小球,如果:(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率.思路分析:小球放回与不放回时,基本事件的总数是不同的.解:随机选取两个小球,记事件A 为“两个小球上数字为相邻整数”,可能的结果为 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)(7,6),(8,7),(9,8),(10,9)共18种.(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x ,y ),则x 有10种可能,y 有9种可能,共有的可能结果为10×9=90种.因此,事件A 的概率是.514599018== (2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x ,y ),则x 有10种可能,y 有10种可能,但(x ,y )与(y ,x )是一样的,共有可能的结果为10×10=100种.因此,事件A 的概率是.50910018= 绿色通道:在解答古典概型问题时选用适当的样本空间常常可使问题简化,同时也可以避免复杂的计算.例如本题如果按照常规方法计算,不仅需要分类讨论还需要验证计算,过程十分复杂,可能会在计算过程中出现错误,那么不仅徒劳而且无功.因此在解答古典概型问题时一定要注意应用正确的逻辑推理选择适当的样本空间(基本事件).变式训练 从1、2、3、4、5这5个数字中,不放回地任取两数,两数都是奇数的概率是_______.思路解析:从5个数字中,不放回地任取两数,第一次有5种取法,第二次有4种取法,但第一次取1、第二次取2和第一次取2、第二次取1是同一事件,故基本事件总数为21×5×4=10. 记“两数都是奇数”为事件A ,则事件A 为从1,3,5三个奇数中任取两数有3种取法,即事件A 含有3个基本事件.所以,由古典概率公式,得P (A )=103. 答案: 103 例2 下面有三个游戏规则,袋子中分别装有大小相同的球,从袋中取球,分别计算甲获胜的概率,哪个游戏是公平的?游戏类别 游戏1 游戏2 游戏3袋中球的情况 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和3个白球 每次取球要求 取1个球 取1个球,再取1个球 取1个球,再取1个球游戏规则 取出的球是 红球——甲胜 取出的球是 白球——乙胜 取出的两球 同色——甲胜 取出的两球 不同色——乙胜 取出的两球同色——甲胜 取出的两球不同色——乙胜思路分析:要看哪个游戏对甲来说是公平的,关键是计算出三个游戏中,甲胜的概率分别是多少.解:对于游戏1:甲胜的概率是P (A )=21; 对于游戏2:从4个球中任取两个球,第一次取球有4种取法,第二次取球有3种取法, 但考虑到先取a 后取b 和先取b 后取a 是同一事件,故基本事件总数是21×4×3=6,记“取出的两球同色”为事件B ,则B 包含有2个基本事件,所以,P (B )= 3162=. 对于游戏3:由游戏2知,基本事件总数n =6,记“取出的两球同色”为事件C ,则事件C 为从3个红球中任取两个球,有三种取法,即事件C 含有三个基本事件,所以,P (C )=2163=. 通过计算可知,游戏1和游戏3,甲获胜的概率都是21. 因此,游戏1和游戏3是公平的.变式训练(2005广东高考卷,10）先后抛掷两枚均匀的骰子(它们的6个面分别标有数字1、2、3、4、5、6),设骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ,则log 2X Y =1的概率为…( ) A.61 B.365 C.121 D.21 思路解析:同时抛掷两枚骰子,可能的结果如下表: 12345 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)(6,6) 共有36个不同的结果,而X =1、Y =2;X =2、Y =4;X =3、Y =6;三对满足log 2X Y =1.故所求概率为P =.121363= 答案:C例3 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?思路分析:分清事件之间是互斥关系还是对立关系,然后套用相关公式.解:(1)记“他乘火车去”为事件A 1,“他乘轮船去”为事件A 2,“他乘汽车去”为事件A 3,“他乘飞机去”为事件A 4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥.故P (A 1+A 4)=P (A 1)+P (A 4)=0.3+0.4=0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7;(2)设他不乘轮船去的概率为P ,则P =1-P (A 2)=1-0.2=0.8;(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.4+0.1)=0.5,故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.绿色通道:求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解,即将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和,运用互斥事件的求和公式计算即可;二是间接求解,也就是先求此事件的对立事件的概率,再用公式P (A )=1-P (A )计算出结果,即运用了逆向思维(正难则反),特别是问题中遇到“至多”“至少”“不××”等问题时,用方法二比较简便.变式训练(1)某居民社区有两种报纸甲、乙供居民订阅,记事件A为“只订甲报”;事件B为“至少订一种报”;事件C为“至多订一种报”;事件D为“不订甲报”;事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.①A与C②B与E③B与D④B与C⑤C与E思路分析:利用互斥事件、对立事件的定义.解:①由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A 与C不是互斥事件.②事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E 还是对立事件.③事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,也就是说事件B发生,事件D 也可能发生,故B与D不互斥.④事件B“至少订一种报”中有这些可能:“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有这些可能:“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.⑤由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能,事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.(2)从一堆产品(其中正品和次品都多于2件)中任取2件,其中:①“恰有一件次品和恰有两件次品”;②“至少有一件次品和全是次品”;③“至少有一件次品和全是正品”.试判断以上各对事件是不是互斥事件?思路分析:两事件若是互斥事件,则它们一定不可能同时发生,据此可进行判断.解:①因为“恰有一件次品”和“恰有两件次品”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;②因为恰有2件次品时,至少有一件次品和全是次品同时发生,所以它们不是互斥事件;③因为“至少有一件次品”与“全是正品”不可能同时发生,所以它们互斥.(3)从1,2,3,…,9这9个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③思路解析:③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~9中任取两数共有3个事件:“两个奇数”“一奇一偶”“两个偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件.所以选C.答案:C问题探究问题1结合你对古典概型问题的理解以及问题的解决,思考并归纳在古典概型的学习中常容易出现哪些错误.导思:古典概型是一种重要的概率模型,特别注意它有两个主要特征,其概率如何计算,在解决具体问题时,常用列举法将基本事件一一列出,然后再求出m和n的值.如果两个事件互斥,则可按互斥事件的加法公式进行求解.可回顾所涉及的问题进行探究整理.探究:(1)审题不细,语句理解不到位.例如,某学生参加考试,他要解答六道题,每道题被他解出的概率是32,求他首次做错一道题之前,已经正确做出两道题的概率.容易出现的错误解答是:将事件分成总共做出3、4、5、6道题等四种情况讨论.显然没有准确理解“首次做错”的含义.(2)对事件发生的概率实质的理解不透彻.例如一名学生在军训中练习射击项目,他射击一次,命中目标的概率是31,若连续射击6次,且各次射击是否命中目标相互之间没有影响,求这名学生在第3次射击时,首次命中目标的概率;求这名学生在射击过程中,恰好命中目标3次的概率.分析:事件“学生在第3次射击时,首次命中目标”的概率计算可能出现误解,认为本题要连同第4,5,6次射击的结果一起计算,因为学生要连续射击6次.事实上,第4,5,6次射击的结果是什么并不需要了解,它们是必然事件,概率为1.(3)互斥事件与独立事件混淆.例如,甲、乙、丙三名学生在军训中练习射击项目,命中目标的概率分别是31,52,43.求甲、乙两人恰好一人击中目标的概率;求三人至少有一人命中目标的概率.分析:本题求甲、乙两人恰好一人击中目标的概率时,可能出现误解:将甲、乙的概率计算割裂开来,得到31+52=1511,将独立事件当成互斥事件算,不知道甲击中目标与否和乙击中目标与否,这两个事件是同时发生的.(4)考虑不周,忽视分类讨论.例如,某种信号发送要重复发送,以保证正确率.已知每次发送信息正确率都是31连续发送三次,按“少数服从多数”原则确认信号.求得到错误结果的概率.分析:本题中可能错误地得到32×32×32+32×32×31=2712.计算出现2次错误的概率时,只注意到出现错误次数,没有关注哪一次发生错误.本题若采用独立重复试验的公式则可避免失误.问题2 在标准化考试中,既有单选题又有多选题,多选题是从A 、B 、C 、D 四个选项中选出所有正确的答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?导思:可以研究单选题和多选题猜对的概率分别是多少.探究:对于多选题,我们先写出正确答案的所有结果:如果只有一个答案是正确的,则有(A)、(B)、(C)、(D)4种;如果有两个答案是正确的,则正确答案可以是(A 、B)、(A 、C)、(A 、D)、(B 、C)、(B 、D)、(C 、D)6种;如果有3个答案是正确的,则正确答案可以是(A 、B 、C)、(A 、C 、D)、(A 、B 、D)、(B 、C 、D)4种;如果有4个答案是正确的,则正确答案只有(A 、B 、C 、D)一种.故正确答案的所有可能结果有4＋6＋4＋1=15种,从这15种答案中任选1种的可能性只有151. 对于单选题,只有(A)、(B)、(C)、(D)4种,从这4种答案中任选1种的可能性是41. 因为151＜31,所以多选题更难猜对. 问题3某种饮料每箱装12听,如果其中有2听不合格,若质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率有多大?如果增加检测的听数,查出不合格产品的概率怎样变化?为什么质检人员一般都采用抽查的方式而不采用逐个检查的方法?导思:把该问题中的抽查产品理解为一个试验,容易发现属于古典概型.为探究概率有多大,需要确定基本事件总数,可采用数组(或坐标)方式.统计与概率密不可分,统计的方法可从概率角度加以解释.探究:我们把每听饮料标上号码,合格的10听分别记作:1,2,…,10,不合格的记作a 、b ,只要检测出2听中有1听不合格,就表明查出了不合格产品.我们采取每次抽一听,分两次抽取样品的办法抽样,并按抽取顺序(x ,y )记录结果.因为x 有12种可能,y 有11种可能,所以基本事件总数为12×11÷2=66(种).在这66种基本事件中,其中含有a 或b 的基本事件为不合格产品所包含的基本事件;它们共21个,因此检测出不合格产品的概率为6621≈0.318. 检测出不合格产品的概率与检测的听数有关,随着检测听数的增加,检测出不合格产品的概率增大,下表可以一目了然.检测听数 12 3 4 5 6 概率0.167 0.318 0.455 0.576 0.682 0.773 检测听数 78 9 10 11 12 概率0.848 0.909 0.955 0.985 1 1统计与概率密不可分,统计的方法可从概率角度加以解释.如果质检人员从中随机地抽出3听,由上面的计算,检测出不合格产品的概率为:6101112689101⨯⨯⨯⨯-=1-0.545=0.455.因此,随着检测听数的增加,查出不合格产品的概率是增大的,当质检人员从中随机地抽出11听时,一定能抽到不合格品,故检测出不合格产品的概率为1.而检测的听数一定时,随着检测次数的增加,查出不合格产品的概率不会增加,质检人员若逐个检查显然过于麻烦,不合实际,一般采用抽查方式,因为抽查是随机抽样,查到不合格品的概率与逐个检查应是相同的.。
高中数学必修3(北师版)第三章3.2 古典概型(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
名，各年级男、女生人数如下表：0.18例题： 一般地，如果事件 ，，， 两两互斥（彼此互斥），那么事件“ ”发生（是指事件 ，，， 中至少有一个发生）的概率，等于这 个事件发生的概率和，即（3）对立事件的概率：若事件 与事件 互为对立事件，则 为必然事件，．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
A 1A 2⋯A n ∪∪⋯∪A 1A 2A n A 1A 2⋯A n n P (∪∪⋯∪)=P ()+P ()+⋯+P ().A 1A 2A n A 1A 2A n AB A ∪B P (A ∪B )=1 盒子里有 个红球， 个白球，现从中任取 个球，设事件 ，事件，事件 ，事件．（1）事件 与 、是什么样的运算关系？（2）事件 与的交事件是什么事件？解：（1）对于事件 ，可能的结果为 个红球 个白球，或 个红球 个白球，故 ．（2）对于事件 ，可能的结果为 个红球 个白球， 个红球 个白球，个均为红球，故 ．643A ={3个球中有1个红球，2个白球}B ={3个球中有2个红球，1个白球}C ={3个球中至少有1个红球}D ={3个球中既有红球又有白球}D A B C A D 1221D =A ∪B C 12213C ∩A =A 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从 张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从 到 ）中任意抽取 张．（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌的牌面数字为 的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于 ”．解：（1）是互斥事件，不是对立事件．从 张扑克牌中任意抽取 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．由于可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生，所以二者不是对立事件．（2）既是互斥事件，又是对立事件．从 张扑克牌中任意抽取 张，“抽取红色牌”与“抽取黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．从 张扑克牌中任意抽取 张，“抽出的牌的牌面数字为 的倍数”与“抽出的牌的数字大于 ”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的牌面数字为 ，因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．401101594014014015910某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 ，，，．（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；（3）请问他可能乘何种交通工具去的概率为 ？解：（1）记“他乘火车去”为事件 ，“他乘轮船去”为事件 ，“他乘汽车去”为事件 ，“他乘飞机去”为事件 ，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．所以（2）设他不乘轮船去的概率为 ，则（3）由于故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．0.30.20.10.40.5A 1A 2A 3A 4P (∪)=P ()+P ()=0.3+0.4=0.7．A 1A 4A 1A 4P P =1−P ()=1−0.2=0.8.A 20.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,。
高二数学必修3古典概型期末知识点归纳
高二数学必修3古典概型期末知识点归纳高二数学中古典概型是一种概率模型，是概率论中最直观和最简单的模型，下面是店铺给大家带来的高二数学必修3古典概型期末知识点归纳，希望对你有帮助。
高二数学必修3古典概型课标要求1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别;2.通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式;3.通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
高二数学必修3古典概型命题走向本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性预测(1)对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现;(2)对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主高二数学必修3古典概型要点精讲1.随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
(1)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;(2)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件;(3)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2.随机事件的概率事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3.事件间的关系(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件;(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件;(3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);4.事件间的运算(1)并事件(和事件)若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。
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古典概型中的有序和无序问题
求古典概型中某事件的概率的关键是列举基本事件，在列举基本事件的时候，同学们会发现，有些事件和顺序有关，有些事件和顺序无关，那么到底哪些事件应该考虑顺序，哪些事件应该不考虑顺序呢？
例1 一个袋子中有白球2个，红黄球各1个，规定：
现依次从袋子中抓3个球，求得分不大于1分的概率.
解：因为抓出球的数目大于2，所以用树形图表示会比较清晰。
用1，2表示白球，用a 表示红球，b 表示黄球.所有基本事件用树形图列举如下：
基本事件总数为：46=24⨯
其中得分不大于1分的基本事件共有18个。
183(3244
P ∴=
=抓个球得分不大于1分） 如果我们不考虑抽取顺序，所有基本事件可以表示为：
从上面的树形图可以看出，基本事件总数为4，其中得分不大于1分的基本事件有3个。
3(34
P ∴=抓个球得分不大于1分） 考虑顺序和不考虑顺序的结果是一样的，为什么会这样呢？细心的同学会发现下面六个基本事件(1,2,a), (1,a,2), (2,1,a), (2,a,1), (a,1,2), (a,2,1)，如果不考虑抽取顺序，其实表示的是同一个结果：抽到2个白球，1个红球。
原来当不考虑顺序时的每一个基本事件都有6个考
虑顺序的基本事件和它对应，每个事件都扩大6倍，这样，在用公式
()A
P A=所包含的基本事件数
基本事件总数
计算概率时，分子分母同时扩大6倍，所以结果相同。
而我们列举基本事件时，指列举“一次试验中可能出现的每一个基本结果”而既然在上面所求的问题中，考虑顺序的六个事件表示的是同一个结果，所以对于此类问题，我们在解答时不考虑顺序.那么，是不是所有的基本事件都可以看作无序的呢？
例2.一个盒子里有点数分别为1，2，3，4的4张牌，有放回的连续抽取两次，求“两张牌点数之和不小于6的概率”。
解：考虑顺序时，所有的基本事件可以表示为：
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 基本事件共有4416
⨯=个，其中符合题意的如划线所示，共有6个。
所以P(两张牌点数之和不小于6的概率)
63 168 ==。
不考虑顺序时，所有的基本事件可以表示为：
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,2) (2,3) (2,4) (3,3) (3,4) (4,4) 基本事件共有10个，其中符合题意的如划线所示，共有4个。
所以P(两张牌点数之和不小于6的概率)
42 105 ==。
两次的概率不相等，为什么会这样呢？仔细观察两组基本事件就会发现，第二组中的（1,2）在第一组中有(1,2),(2,1)两个基本事件和它对应，但第二组中的（1,1）在第一组中只有(1,1)一个基本事件和它对应。
这样并不是每一个基本事件都扩大了两倍，所以计算结果不同。
因此当因为有放回的抽取而出现(1,1)这样重复的事件时，基本事件必须看作和顺序有关。
思考：从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地抽取三个数字，求三个数字完全不同的概率.这个问题我们应该考虑顺序吗？你能算出答案吗？。