第3讲创造的基石观察归纳与猜想

第三讲创造的基石——观察、归纳与猜想当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的．从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性．当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石．例题【例1】(1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……问：前2001个圆中，有个空心圆．(江苏省泰州市中考题)(2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为．(舟山市中考题)思路点拨(1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示．【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )．A．40个B．45个C．50个D．55个(湖北省荆门市中考题)思路点拨随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系．是解本例的关键．【例3】化简321Λ321Λ321Λ个个个nnn 9991999999+⨯(第18届江苏省竞赛题)思路点拨先考察=n1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确．【例4】古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行；．甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第l列是甲子，第3列是丙寅…，问当第二次甲和子在同一列时，该列的序号是多少? (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解．注：观察是解决问题的先导，发现往往走从观察开始的，归纳与猜想是建立在细致而深刻的观察基础上的，解题中的观察活动主要有三条途径：(1)数与式的特征观察；(2)图形的结构观察；(3)通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况．归纳总是与递推联系在一起的，所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联系，更容易发现规律嘎证明通过归蚋所猜测的规律的正确性． 【例5】 图(a)、(b)、(c)、(d)都称作平面图．(1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中(其中(a)已填好)．(2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?(3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据(2)中推断出的关系，确定这个图有多少条边?(“华杯赛”决赛试题)思路点拨从特殊情况人手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本例的关键．学力训练1．(1)如右图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是．(2001早浙江省绍兴市中考题) 1 1 l 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 (第1题) (2)观察—列数：3，8，13，18，23，28，…依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是．(2003年金华市中考题)2．如图是2002年6月份的日历．现用一矩形在日历中任意框出4个数，请用，一个等式表示d c b a 、、、之间的关系：．(安徽省中考题)3．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成．图 顶点数 边数 区域数(a) 4 6 3(b)(c)(d)通过观察可以发现；(1)第4个图形中火柴棒的根数是；(2)第n 个图形中火柴棒的根数是． (江西省中考题)4．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表，那么当输入数据是8输入 (1)2 345 … 输出 …21 52 174 174 265 …A ．61 B ．638 C ．65 D ．678 (2003年重庆市中考题) 5，在以下两个数串中：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996．1990同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个． A ．333 B ．334 C ．335 D ‘336 (“希望杯”邀请赛试题)6．图①是一个水平摆放的小正方体木块，图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是( )．A ．25B ．66C ．91D ．120(2003年宁波市中考题)7．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是l ，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，问：这串数的前100个数中(包括第100个数)，有多少个偶数? (“华杯”赛试题) 8．自然数按下表的规律排列(1)求上起第10行，左起第13列的数；(2)数127应在上起第几行、左起第几列? (北京市“迎春杯”竞赛题) 9．(1)观察下列各式，你会发现什么规律? 3×5＝15，而15=42一1，5×7＝35，而35＝62一l ， …… 1l×l3＝143，而143=122一l将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来． (2000年济南市中考题) （2）将l ，21-，31，41-，51，61-…按一定规律排成下表：从表中可以看到第4行中，自左向右第3个数是91，第5行中从左向右第2数是121-，那么第199行中自左向右第8个数是，第1998行中自左向第11个数是．(希望杯”邀请赛试题)10．有一列数n a a a a a a ,,,,,4321Λ，其中1261+⨯=a ； 2362+⨯=a ；3463+⨯=a ；4564+⨯=a ；……则第n 个数=n a ；当=n a 2001时，n ＝． (江苏省竞赛题)11．一个正方体，它的每一个面上写有一个字，组成“数学奥林匹克”．有三个同学从不同的角度看到的结果依次如图所示，那么，“学”字对面的字为． (重庆市竞赛题)12．用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个正方形花坛的边缘，正方形每边都等距离地摆n(n ≥3)盆花．那么所需菊花的总盆数s 与n 的关系可以表示为． (“希望杯”邀请赛试题)13．如果一个序列{i a }满足21=a ,n a a n n 21+=+ (n 为自然数)，那么100a 是( ) ． 9900 B ．9902 C ．9904 10100 E ．10102 (新加坡数学竞赛题) 14．将正偶数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列 第1行2 4 6 8第2行 16 14 12 10 第3行18 20 22 24 ．．．．．． ．．．．．． 28 26根据上面排列规律，则2000应在( )．A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列 (2001年湖北省荆州市中考题)15．(1)设n 为自然数，具有下列形式43421Λ321Λ5155551111个个n n 的数是不是两个连续奇数的积，说明理由．(2)化简321Λ321Λ321Λ9339991333333个个个n n n +⨯，并说明在结果中共有多少个奇数数字?16．(1)图①是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图②、③、④、⑤的木块． 我们知道，图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图②、③、④、⑤中木块的顶点数、棱数、面数填人下表：{2}观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数虽关系是：．(3)图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②~⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为，棱数为，面数为．17．怎样的两个数，它们的和等于它们的积?你大概马上就会想到2+2＝2×2．其实这样的两个数还有很多，例如：233233⨯=+(1)你能再写出一些这样的两个数吗?你能从中发现一些规律吗?(2)你能否提出一些类似的问题?在你提出的问题中选择一个问题进行研究． 18．观察按下列规则排成的一列数：图 顶点数 棱数 面数① 8 6 3②③④ ⑤61,15,24,33,42,51,14,23,32,41,13,22,31,12,21,11，…（※） (1)在（※）中，从左起第m 个数记为F(m)，当20012)(=m F 时，求m 的值和这m 个数的积．(2)在（※）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ．是否存在这样的两个数c 和d ，使20010000=cd ，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由。

(湖北省竞赛题)参考答案。