平行线及角平分线类相似

平行线及角平分线类相似中考要求重难点1．相似定义，性质，判定，应用和位似2．相似的判定和证明3．相似比的转化课前预习上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345∶∶．数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘．例题精讲模块一 平行线类相似问题平行线类相似的基本模型有☞模型一、二类综合题【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=____ ___． MECBA【难度】3星【解析】先介绍常规的解法：BCFE DMA BCFED M A如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB =∴2BF EF= ∵//CF DE ∴2BC BFCD EF== 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法： 看ABC ∆为直线EM D 所截，由梅涅劳斯定理可知，1AE BD CM EB DC MA⋅⋅= 又14AE AB =，AM CM =，故32BD BC DC CD=⇒= 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．【答案】2【巩固】如图，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点．（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由．AB CDEF【难度】3星【解析】1（）过点D 、E 、F 作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用 这些基本图形的性质来解题.以下给出6种辅助线（还有几种没给 出），解题过程不再给出．HAB C DEF ABCD EF HHAB CDEFHAB CD EFHAB CDEFHABCD EF当然，本题也可由梅氏定理直接得出结果． 看ADC ∆被直线BEF 所截，由梅氏定理可得1AF CB DEFC BD EA⋅⋅= 又AE DE =，BD CD =，故12AF FC =． 2（）结论依然成立，解法同上（包括用梅氏来解题），不再给出． 【答案】1（）见解析；2（）结论依然成立【拓展】如图，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； （2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想． E DBACO【难度】4星 【题型】解答 【解析】1（）当11211AE EC ==+时，22321AO AD ==+； 2（）当11A 312AE C ==+时，21222AO AD ==+；当1A 4AE C =时，22532AO AD ==+．3（）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n=+，证明方法比较多，选择两种介绍：如上右图，过点D 作//DF BE ，交AC 于点F ． ∵//DF BE ，BD CD = ∴EF CF = ∵11AE AC n =+ ∴CE nAE =，122nEF CE AE == ∵//DF BE ∴222AO AE AO OD EF n AD n==⇒=+ OFCABDE另一种解法就是梅氏定理，看ADC ∆被直线BOE 所截可知1AO DB CE OD BC EA ⋅⋅=，而11AE CE nAE AC n =⇒=+，BD CD =，故22AO AD n=+． 【答案】1（）23AO AD =；2（）当1A 3AE C =时，12AO AD =；当1A 4AE C =时，25AO AD =3（）当1A 1AE C n =+时，22AO AD n =+【例2】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证：PM PN PR PS ⋅=⋅lSR PNMODC BA【难度】5星 【解析】略【答案】∵BO OC ODBD MS PR CP PN⇒==∥ ∴PN ODPR BO=∵BO AO ODBD MS PM AP PS⇒==∥∴PS ODPM BO=∴PN PSPM PN PR PS PR PM=⇒⋅=⋅ 点评：本题通过证明原结论的变形式——两个分式（比例）等于一个相同（或相等）的分式（比例）来证明他们【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF于G ．求证：EG GF =．【难度】5星G F ECDBANM G FECD B A【解析】略 【答案】证法一：过C 作MN EF ∥交AE 、AF 于M N ，， 则有MC EM FN CNBD EB FD BD===， ∴MC CN =， 又∵MN EF ∥， ∴MC AC CNEG AG GF==， ∴EG GF =．证法二：由塞瓦定理的充分性可得：1EG FD AB GF DA BE ⋅⋅=．又因为AB ADBE DF=，代入上式得1EG FD AD GF DA DF ⋅⋅=，即1EGGF=．所以EG GF =．【巩固】已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，求证：1AD AEDC EB+=PNME D CBA RQPNME D CBA【难度】5星 【解析】略【答案】延长BD 、CE 分别交过A 的平行BC 的直线于R 、Q 两点，∵QR MN BC ∥∥，且AM BM =， ∴PQ PC =，PR PB =又∵QPR CPB ∠=∠∴PQR PCB ∆∆≌，可得QR BC =， 又∵AD AR DC BC =，AE AQEB BC=， ∴1AD AE AR AQ AR AQ RQ BC CD EB BC BC BC BC BC++=+====☞模型三类综合题【例3】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.DCF EB A【难度】4星 【解析】略【答案】∵//AB EF ∴EF DFAB BD =∵//CD EF ∴EF BFCD BD=两式相加并变形可得，111EF AB CD =+，即111c a b=+.【巩固】如上图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FDCEAB【难度】4星 【解析】略【答案】由AB BD ⊥，CD BD ⊥，EF BD ⊥，则必有////AB CD EF ．进而可知EF DF AB BD =，EF BFCD BD=，两式相加并变形可得，111EF AB CD =+【巩固】如图，已知////AB EF CD ，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.NM H D CF EB A【难度】4星 【解析】略 【答案】111BEDABDBCDS S S ∆∆∆=+，过点A 、E 、C 分别作BD 的垂线，垂足为H 、M 、N .由变式1可知，111EM AH CN =+，故 111111222BD EM BD AH BD CN =+⋅⋅⋅即111BEDABDBCDS S S ∆∆∆=+点评：此题的证明过程体现了“集中”这一思想，将EF AB 、EFCD集中到同一条线段BD 上，从而发现它们的和是一个常数.【拓展】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA【解析】：方法一：由AD BC ∥可知，1212aEP AE a EP a PQ abPQ PB BF b EB a b BC a bb ===⇒==⇒=++ 方法二：观察此题与上题颇为相似，于是猜想////PQ AB CD ，但是本题中没有可以直接使用基本 图形结论的条件，可通过连接EF 来实现，设EF 、PQ 交于点O . ∵//AD BC ∴AP AE PF BF=，DQ DE FQ CF = ∵AE DE =，BF CF = ∴////AP DQ PQ AD BC PF FQ=⇒ ∴OP OF OQ OP OQ AE EF DE ==⇒=（∵AE DE =，其中OFEF为中间过渡量） ∵////AE OP BF ∴111222()abOP OP AE BF a b a b =+=+⇒=+ ∴abPQ a b=+ 如果双向延长PQ 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，则有GP OP OQ QH ===.模块二 角平分线类相似问题角平分线类的相似模型如下：方法点播：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决．【例4】 在Rt ABC △中，线段CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，交斜边上的高AD 于点O ，过O 引BC 的平行线交于F ．求证：AE BF =．321OF E DCBA【难度】3星【解析】在相似问题中遇到证明线段相等的问题时一定要能想到：这个证明可能是由两组成比例线段进行等量代换得到．本题由角平分线得到角相等再由都是直角三角形，可证明一组相似三角形得到一组成比例线段CD AC OD AE =，再根据平行线分三角形两边成比例得到比例线段ADABOD BF =，最后再根据一组相似三角形得到成比例线段AD AB CD AC =，等量代换得到ODBFOD AE =，题目得证AE BF =．【答案】∵CE 平分ACB ∠∴23∠=∠∴Rt CAE Rt CDO △∽△ ∴CDACOD AE =又∵OF BC ∥ ∴ADABOD BF = 又∵Rt ABD Rt CAD △∽△ ∴AD AB CD AC =，即ODBFOD AE =∴AE BF =注意：应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。