角平分线平行线等腰三角形“知识板块”的应用
平行线角平分线构造等腰三角形专题
龙文教育个性化辅导教案讲义任教科目：授课题目：年级：任课教师：授课对象：武汉龙文个性化教育常青二校区教研组组长签字：教学主任签名：日期：武汉龙文教育学科辅导讲义教学流程及授课详案一由课本例题引入1 近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等，从而推证两边相等。
或者由其中两个条件推证另一个条件例 (1)AD是 ABC的外角平分线，（2）AD // BC （3）求证： ABC是等腰三角形分析讨论想一想能不能由（1）（3）证明（2）或者（2）（3）证明（1）？变式（2012京门）已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF 与FG的数量关系并证明你的结论．EFCBAD2试一试1、 （2011）如图,AC 和BD 相交于O ，且AB ∥DC ，OA=OB, 求证：OC=OD.2．（2012）如图，△ABC 中，AM ，CM 分别是角平分线，过M 作DE ∥AC 求证：AD+CE=DE 3．（2012）如图，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，CD ⊥OA 于D ，CE ∥AO 交OB 于E CE=20cm ，求CD 的长。
4．（2012）如图，△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数（ ）（A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个5（2012北京）、如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ）Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3D ．2ODCBAAEB CD 第16题例2（2012浙江）．（8分）如图， AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm ，求四边形ABCD 的周长．[来源:Z*xx*]三 课堂小结1 当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： （1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
角平分线与平行线结合的等腰三角形问题Word版
角平分线与平行线构造等腰三角形问题基本图形1已知： AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形？（2）反过来，若AC＝AE,问CE是∠ACD的平分线吗?基本图形2已知：△ABC,AB＝AC,（1）AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗？（2）若AE∥BC，问∠DAE＝∠BAE吗？（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC，AB＝AC吗？问题举例1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。
2．（2016•泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。
则△AEF的周长是______ 4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC 交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．85.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=3CE时，EP+BP= ．6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．47.已知：□ABCD,BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,BE、CF分别交AD于E、F，BE与CF交于点G．(1)求证：BE⊥CF．(2)若AB=5，BC=8，求EF的长．8.（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.求证：OE=OF；9.（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；10.已知：△ABC，AB＝AC，AE是外角∠BAD的平分线，点D为BC的中点，DE∥AC交AE于E,连接BE.求证：四边形AEBD是矩形. 11.（2017.岱岳区）如图，已知一次函数y=23x-3与反比例函数y=xk的图象相交于点A（4，n），与X 轴相交于点B.（1）求反比例函数的表达式；（2）将线段AB沿X轴向右平移5个单位到DC，设DC与双曲线交于点E，求点E到x轴的距离.。
专题 角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)
N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
P O N M B AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。
结论：△AOB 是等腰三角形。
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。
结论：△POQ 是等腰三角形。
【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
角平分线等腰三角形平行线课件
总结词
平行线具有传递性、同位角相等、内错角相等、同旁内角互 补等性质。
详细描述
平行线具有一系列的性质，其中最重要的是传递性，即如果 两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 。此外，平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 等性质也是平行线的重要性质。
平行线的判定
总结词
可以通过同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等条件来判定两条直线是否 平行。
角平分线将一个三角形分为两个 面积相等的子三角形，且角平分 线上的任意一点到三角形的两个 顶点的距离之比等于这两个子三
角形的面积之比。
等腰三角形性质
等腰三角形两腰相等，两个底角 相等，且顶角的角平分线、中线
和垂线重合。
综合应用
在等腰三角形中，利用角平分线 定理可以证明两腰之间的距离相 等，同时也可以证明两腰之间的
的角平分线。
若一条射线与一个角的两边平行 ，则该射线为该角的角平分线。
02
等腰三角形的基本性质
平行线的定义
总结词
在同一平面内，两条永不相交的直线 称为平行线。
详细描述
平行线是几何学中的基本概念之一， 它描述了直线之间的位置关系。在同 一平面内，如果两条直线永不相交， 则它们被称为平行线。
平行线的性质
角平分线等腰三角形平行线课件
目录
• 角平分线的基本性质 • 等腰三角形的基本性质 • 平行线的基本性质 • 角平分线等腰三角形和平行线的综合应用
01
角平分线的基本性质
角平分线的定义
01
02
03
角平分线
从一个角的顶点出发，将 该角平分为两个相等的角 的射线。
角平分线定理
角平分线上的任意一点到 该角的两边的距离相等。
专题 三角形中的重要模型-平分平行(平分射影)构等腰、角平分线第二定理模型(老师版)
专题08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。
（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1图2图3条件：如图1，OO ’平分∠MON ，过OO ’的一点P 作PQ//ON.结论：△OPQ 是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC 。
结论：△BDE 是等腰三角形。
条件：如图3，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．结论：△BOM 、△CON 都是等腰三角形。
2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE 平分∠CBA ，∠ACB ＝∠CDA ＝90°.结论：三角形CEF 是等腰三角形。
A ．20︒B ．25︒【答案】B 【分析】根据作图可知AB 是CAE ∠【详解】解：∵12l l ∥，∴BCA ∠∵130BCA ∠=︒，∴50CAE ∠=︒例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．【答案】5【详解】由角度分析易知AEF AFE ∠=∠，即AE AF =，∵3AE =∴3AF =∵2DF =∴5AD AF DF =+=【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC 中，AB =AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F .(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）△AEF 、△OEB 、△OFC 、△OBC 、△ABC 共5个，EF =BE +FC ；（2）有，△EOB 、△FOC ，存在；（3）有，EF =BE -FC ．ABC EBO模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型1）内角平分线定理图1图2图32【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质得出A ．1:1:1B ．1:2:3【答案】D 【分析】过点O 作OD BC ⊥于点条角平分线，根据角平分线的性质，OA ，OB ，OC 是ABC 的三条角平分线，ABC 的三边AB 、BC 、AC 长分别为111():():(222AB OF BC OD AC =⨯⨯⨯⨯证明：过C 作AD 的平行线交AB 于点E ．∵//EC AD ∴BD CD AB AE =::，∠1=∠3，∠∵AD 为∠BAC 的外角平分线∴∠1=∠2∴AE=AC ∴BD CD AB AC=::例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在（3）∵AD DE =，∴由（1）知：:1:1ABD EBD S S =，∵10BDE S ∆=，∴10ABD S =△，∵3,5AC AB ==，AD 平分BAC ∠，∴由（2）知：::5:3ABD ACD S S AB AC ==△△，∴6ACD S =，∴10616ABC S =+=△，故答案为：16．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．课后专项训练A．1B．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可验证结论①；如图所示，在△≌△，根据全等三角形的性质可验证结论②；如图所示，连接BOE BOK(ASA)∵,AE BD 是ABC 的角平分线，∴∴在,AOD AOK △△中，AD AO ⎧⎪∠⎨⎪⎩∵,AE BD 是ABC 的角平分线，OF AC ⊥，OF n =，∴OC 平分ACB ∠，OF OG OH n ==，且AB AC BC ++=∵111222ABC AOC AOB S S S S AB OG AB OF BC OH =++++△△△△∴11(ABC S OF AB BC mn mn =++=≠，故结论③错误；∴12AOBS AO BM=△，BOES EO BM△，∴1212BOEAOBOESS OA=△△∴13BE OEAB OA==，同理，ADAB，如图所示，1BE OE A．1个B．2个【答案】C【分析】①根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明；AEB ∵BE 平分ABC ∠，∴EM ∵CE 平分ACD ∠，∴EN 设ACE DCE x ∠=∠=，则1802BAC z ∠=︒-，∠FCA．EC＝EF B．FE＝FC【答案】C【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠是等腰三角形，而可得A ．AD 是BAC ∠的平分线C ．点D 在线段AB 的垂直平分线上【答案】D【分析】由作图可得：AD 30B ∠=︒，2,AB AC ∴=ACAC A BC5∠【答案】95【分析】根据角平分线的判定与性质可知【详解】解：过点D作DF1【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题关键．11．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）（1）如图1，当AD 平分BAC ∠时，若5AB =，延长AD 到E ，使得AD DE =，连接BE ，如果AC 【答案】53/2139AD 是BAC ∠的角平分线，5AB =，3AC =，12.（2023.广东九年级期中）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=(1)求证：CDM V 是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)1.8【分析】（1）根据题意和图形，可以求得（2）根据勾股定理可以求得BC 的长，设∵BD 平分ABC ∠，BCD ∠=∠设CD x =，则CM x =，DF x =∴6BC BF ==，∴AF AB BF =-在Rt ADF 中222AD AF DF =+【答案】见解析【分析】根据直角三角形两锐角互余求得对等边求得CE CF =，从而求得【详解】证明：∵在ABC（2）如图2，若将（1）中“ABC 中，10AB AC ==”改为“若ABC 为不等边三角形，8AB =，10AC =”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；EF 与BE 、CF 之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出AEF △的周长．（3）已知：如图3，D 在ABC 外，AB AC >，且BD 平分ABC ∠，CD 平分ABC 的外角ACG ∠，过点D 作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则EF 与BE 、CF 之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．【答案】（1）5，EF BE CF =+，20（2）2，EF BE CF =+，证明见详解，18（3）EF BE CF =-，证明见详解【分析】（1）根据角平分线的定义可得,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知DB DC =,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可求出AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，根据“等角对等边”可知,,BE DE CF DF AE AF ===，即可确定等腰三角形的数量，EF 与BE 、CF 之间的数量关系以及AEF △的周长；（2）若ABC 为不等边三角形，根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，然后解答即可；（3）根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD GCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC GCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，即可证明EF 与BE 、CF 之间的数量关系．【详解】解：（1）∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∴DBC DCB ∠=∠，∴DB DC =，∵EF BC ∥，∴,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，∴,,BE DE CF DF AE AF ===，∴等腰三角形有,,,,ABC AEF DEB DFC DBC ，共计5个，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+，∴AEF △的周长AE EF AF =++AE DE DF AF =+++AE BE CF AF =+++AB AC =+1010=+20=，故答案为：5，EF BE CF =+，20；（2）若ABC 为不等边三角形，∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∵EF BC ∥，∴,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，个，故答案为：，最后依据三角形内角和求解即可．小明的解法如下：过点D 作DE AB ⊥于点∵AD 是BAC ∠的角平分线，且DE AB ⊥∴，1212ABD ADCAB DES AB S AC AC DF ⨯==⨯△△，的延长线交于点于【答案】(1)DE DF =(2)见解析(3)20(4)67【分析】(1)根据角的平分线性质定理解答即可．(2)过点D 作DN AB ⊥于N ，过点D 作DM AC ⊥于M AP BD ⊥于点P ．仿照第一问的解答求解即可．(3)过点D 作DN AB ⊥于N ，证明ADC ADN ≌，直接利用证明的结论，列式计算即可．(4)先算2210AC AB BC =+=，后两次运用证明的结论，依次计算即可．AC ⊥，∵AD 是NAM ∠的角平分线，∴DM DN =．∴1212ABD ADCAB DNS AB SAC AC DM ⨯==⨯，1212ABD ADCBD S S CD ⨯=⨯（3）∵Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠∵DC DN AD AD =⎧⎨=⎩，∴ADC ADN ≌，∴∴12820AB AN BN =+=+=，故答案为：（4）解：∵90ABC ∠=︒，6AB =∵将ABC 先沿BAC ∠的平分线AD ∴6AB AE ==，BAD EAD ∠=∠∴4EC =，由（1）可得AB BD AC DC =∴13462DECS =⨯⨯=，同理可求：∴318677DEFS=⨯=，∴6FCGS =(1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明；(2)如图②，ABC ，①画出BAC ∠的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用②若BAC ∠的平分线交BC 于D ，求证：AB BDAC CD=；(3)如图③，E 是平行四边形延长，交AD 的延长线于点F ，连接,AE CF ，若ADE V 的面积为2，则CEF △②证明：如图，过点D 作DE ⊥∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE ∴1212ABD ACDAB DE S AB SAC AC DF ⋅==⋅，由共高定理，得：∴,EDF ECB EFD ∠=∠∠又∵AD BC =，∴DF AD ∴,DEF DEFS S =S ∴AC CD。
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和应用。
本文将探讨等腰三角形的几何性质以及其在实际生活中的应用。
一、等腰三角形的性质1. 基本性质：等腰三角形的两条底边相等，两个底角相等。
2. 高度与底边的关系：等腰三角形的高度是底边的垂直平分线。
3. 顶角与底角的关系：等腰三角形的顶角等于底角的平分角。
二、等腰三角形的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，等腰三角形常被用于设计门窗的形状。
等腰三角形的稳定性能确保了门窗的结构强度，同时其美学性质使得门窗更加具有艺术感。
2. 地质勘探：在地质勘探中，等腰三角形用于计算山体的高度。
通过测量等腰三角形的底边和底角，并利用三角函数的计算方法，可以准确地计算出山体的高度。
3. 测量工具：等腰三角形在测量工具中也有广泛的应用。
例如，在三角板和直角尺等工具中常用等腰三角形的性质来进行角度测量和边长测量。
4. 汽车制造：在汽车制造中，等腰三角形被运用到车灯设计中。
等腰三角形的对称性和稳定性使得车灯分布均匀，提高了行车安全性。
5. 数学教育：等腰三角形是初等数学中的重要内容之一，通过研究等腰三角形的性质，可以帮助学生建立对几何概念的理解，并培养学生逻辑思维和空间想象力。
综上所述，等腰三角形作为一种特殊的三角形，在几何学和实际应用中具有重要的地位。
通过了解等腰三角形的性质和应用，我们可以更好地理解几何学知识，并将其运用到实际生活和工作中。
无论是建筑设计、地质勘探还是科学测量，等腰三角形都发挥着不可替代的作用。
因此，我们应该不断深化对等腰三角形的研究，充分发挥其在各领域中的应用价值。
解几何问题的平行线性质和等腰三角形性质的应用
解几何问题的平行线性质和等腰三角形性质的应用几何学是一门古老而有趣的学科，它研究的是空间中的图形、形状和位置关系。
在几何学中，平行线性质和等腰三角形性质是两个基本概念，它们在解决几何问题中起着重要的作用。
首先，让我们来看看平行线性质。
平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
平行线性质告诉我们，如果两条直线被一组平行线所截断，那么它们之间的对应角是相等的。
这个性质在解决平行线相关问题时非常有用。
例如，我们可以利用平行线性质证明两个三角形相似，从而推导出它们的边长比例关系。
此外，平行线性质还可以用来证明一些关于四边形的性质，比如对角线互相平分的条件。
接下来，我们来讨论等腰三角形性质的应用。
等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
等腰三角形性质告诉我们，等腰三角形的底角（即两边之间的夹角）是相等的。
这个性质在解决三角形相关问题时非常有用。
例如，我们可以利用等腰三角形性质证明两个三角形相似，从而推导出它们的角度比例关系。
此外，等腰三角形性质还可以用来证明一些关于三角形内角和外角之间关系的定理，比如内角和等于外角和。
在实际应用中，平行线性质和等腰三角形性质经常被用来解决各种问题。
例如，在建筑设计中，我们经常需要确定两个线段是否平行，以便确定建筑物的平面结构。
通过利用平行线性质，我们可以轻松地判断两条线段是否平行，从而有效地进行设计。
另外，等腰三角形性质在地图制作中也有广泛的应用。
通过观察地图上的等腰三角形，我们可以测量出地图上的距离和角度，从而绘制出准确的地图。
此外，平行线性质和等腰三角形性质还可以用来解决一些有趣的几何问题。
例如，我们可以利用平行线性质证明梅涅劳斯定理，即平行线截断两个等腰三角形，所得到的线段比等于这两个三角形的底边之比。
这个定理在解决一些复杂的几何问题时非常有用。
综上所述，平行线性质和等腰三角形性质是解决几何问题的重要工具。
它们不仅可以用来证明一些基本的几何定理，还可以应用于实际问题的解决。
(完整版)等腰三角形三线合一性质应用
等腰三角形专题基本知识总结：1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可）2、性质：①等边对等角②三线合一3、判定：等角对等边常见题型：1、等腰三角形的构造型问题：（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角（2）找点问题例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ∆为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？mn • •A B变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个？变式2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？2、三线合一的性质应用（知二即知三）应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系例1：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.例2：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。
问DM 和DN 有何数量关系。
变式2：如图，在ABC ∆中，︒=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1）DF DE =；（2）DF DE ⊥应用二：证垂直平分例3：已知，如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DF DE 、分别是ABD ∆和ACD ∆的高。
求证：AD 垂直平分EF .例4：已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD .应用三：逆命题：知二即知等腰①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.例5：如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB.例6：已知，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
角平分线和平行线出等腰例题
角平分线和平行线出等腰例题角平分线和平行线出等腰例题角平分线和平行线是我们在几何学中经常遇到的概念。
它们是几何学中的基础知识，很多几何问题都离不开这两个概念。
在这篇文档中，我将讨论关于角平分线和平行线出等腰三角形的例题。
例题1：证明：如果一条角平分线与另一条边相交，那么这条角平分线将这个角分成两个相等的小角。
解析：首先，我们假设有一个角ABC，角平分线AD将其分成两个小角BAD和DAC。
我们需要证明角BAD等于角DAC。
根据角平分线的定义，角BAD和角DAC是由角ABC的两边所构成的。
我们可以将角BAD和角DAC的顶点放在一起，形成一个角BAC。
那么，角BAC的两条边AB和AC都是角ABC的边，这意味着角BAC等于角ABC。
然后，我们可以通过角相等的性质来得到结论。
角BAD等于角BAC，而角DAC等于角BAC，所以角BAD等于角DAC。
这样，我们就证明了角平分线将角ABC分成了两个相等的小角。
例题2：证明：如果一条平行线与一个角的两边相交，那么这条平行线将这个角分成两个相等的小角。
解析：给定一个角ABC和一条平行线DE，我们需要证明角ADE等于角BAC。
首先，我们可以通过转角的定义知道角ADE和角BAC 都是由角ABC的两条边所构成的。
我们将角ADE的顶点放在一起，形成一个角ABC。
由于平行线DE与角ABC的两边相交，可以知道平行线DE和线段AC构成了交角。
接下来，我们可以应用平行线的性质。
平行线与一条直线相交时，对应角相等。
所以，角ADE等于角ABC。
最后，我们可以通过角相等的性质得到结论。
角ADE 等于角ABC，而角BAC也等于角ABC，所以角ADE等于角BAC。
这样，我们就证明了平行线将角ABC分成了两个相等的小角。
例题3：证明：如果一条角平分线与一条平行线相交，那么这条平行线将角平分线所分的角分成两个相等的小角。
解析：给定一条角平分线AD和一条平行线BC，我们需要证明角BAD等于角DAC。
灵活运用角平分线、平行线、等腰三角形知二推一解中考题
回回
画
４ ｃ ｍ， ＡＤ ＝ ５ ｃ ｍ， ￣ Ｉ Ｉ Ｊ Ａ曰 ＝
—
决 问题 。
由点Ｄ、 盼 别是Ｂ Ｃ、 ＡＢ 的中点 ，利用 三角形 中
位 线的 性质， ｇ ｈ ； ｔ ． ￣ Ｄ Ｆ ＝ Ｌ Ａ Ｃ ＝ ÷６ ，Ｆ Ｇ ＝ Ｂ Ｇ — Ｂ Ｆ ， 可
求 得Ｄ Ｆ ＝ Ｆ Ｇ，又 由 Ｄ Ｅ＃Ａ Ｂ， 即 可 求 得 Ｄ Ｃ平 分
‘ ．
衙 旧 凰
—
ｃｍ
。
角 对 等边 ， Ｂ Ｄ ： Ｄ Ｇ ： ｃ Ｄ， 即可 证 明 。
【 分析】 这个 图形 中 出现 了角平 分线Ａ Ｃ 和平 行
【 解答 】 （ １ ） ・ ． ・ Ｄ、 Ｃ、 盼 别是 ＡＡ Ｂ Ｃ ￣ 边中点 ， ＿
・
Ｄ Ｅ ／ ／ Ａ Ｂ ＤＦ ／ ／ Ａ Ｃ
厶Ｆ ＤＧ ＝ ／Ｅ Ｄ ＧＩ Ｏ Ｄ Ｇ 平 分 厶Ｅ ＤＦ
（ ３ ） 在 △Ｄ Ｆ Ｇ 中， ／Ｆ ＤＧ ＝ Ｆ Ｇ Ｄ，
・ ．
． ・
・ ．
【 例２ 】 （ ２ ０ １ ２ 年 安徽 省 第 ２ ２
△Ｄ １ Ｇ 是等腰三角形 ， △Ｂ ＤＧ 与 ＡＤ Ｆ Ｇ ￣ Ｉ 似， ＡＢ ＤＧ 是等腰 三角形 ，
题可以结合前面问题来做 。这里证 明 ＡＤ Ｆ Ｇ为等腰 三 角 形 是 关键 。
（ 作 者单 位 ： 贵 州 省 安 顺 市教 育科 学研 究所 ）
备考方 略
囝
厨 碴 厕 厕
■ 李 志均
２
国 画 量 厕
Ｂ Ｇ ＝ （ Ａ 曰 “ Ｃ） ＝ （ ｃ ＋ ｂ ）
２
（ ２ ） 由于这里 要证 明 的是Ｄ Ｇ平 分 ／ ＿Ｅ Ｄ Ｆ， 而由
“角平分线、等腰三角形、平行线”的转化模型研究
“角平分线、等腰三角形、平行线”的转化模型研究一、研究背景初中课程的教学活动，是基于基础知识、基本技能、基本思想的教学，在和学生探究到等腰三角形的性质等边对等角这一节知识时，课后练习涉及到等腰三角形、角平分线得出平行线，经过后面给学生不断的讲解练习，发现三者之间存在一些转化的关系，再经过不断的做题，经过不断的总结、提炼，得出解题规律，建立数学模型。
“平行线、角平分线、等腰三角形”三者相互组合成新的图形是初中阶段研究几何中常见图形，它将渗透到特殊的四边形以及圆之中，在初中学业水平考试中经常出现。
数学的学习是综合性的，单一的知识点的考察都相对简单，多个知识点综合运用就需要掌握一定的规律和解题技巧，学会知识的联想，从题目已知提炼出更多的已知条件，将所有的已知条件结合，就会为我们解题提供很大帮助。
二、转化模型分析几何数学题目，表面上看题目所给的条件和所要证的结论毫无关联，但结合所学的公式、定理把题目已知信息放大，通过推理得到更多的已知条件，你就会发现它们之间的内在联系，通过自己的总结归纳，便找到规律，当得到共性的结论后，便可用这个共性结论去指导解决类似的题目，看下面转化问题。
转化模型一：角平分线+等腰三角形推出平行线如图1所示，AE平分∠BAC，且AD=ED，求证：DE∥AB证明：∵ AE平分∠BAC，∴ ∠CAE=∠BAE又∵ AD=ED，∴ ∠CAE=∠AED.∴ ∠BAE=∠AED.∴ DE∥AB知角平分线、等腰三角形，得平行线（即知二得一），将此转化的图形记为转化模型一。
转化模型二：平行线+等腰三角形推出角平分线如图1所示，DE∥AB，且AD=ED，求证：AE平分∠BAC证明：∵DE∥AB,∴ ∠BAE=∠AED.又∵ AD=ED,∴∠CAE=∠AED.∴∠CAE=∠BAE.∴ AE平分∠BAC知平行线、等腰三角形，得角平分线（即知二得一），将此转化的图形记为转化模型二。
转化模型三：平行线+角平分线推出等腰三角形如图1所示，DE∥AB，AE平分∠BAC，求证：AD=ED（或者△ADE是等腰三角形）证明：∵DE∥AB,∴ ∠BAE=∠AED.又∵ AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.∴ ∠CAE=∠AED.∴ AD=ED.知平行线、角平分线，得等腰三角形（即知二得一），将此转化的图形记为转化模型三以上就是三者在同一个图中的转化问题，上图看似简单，但在平时解题的过程中常见其阴影，在解题中利用此模型，快速解题，为证明提供便捷。
角平分线-平行线-等腰三角形
“角平分线+平行线”
角平分线的常用使用环境
基本图形
当角平分线构成的等量关系和“平行”结合的时候，可以形成等腰三角形，从而得到等边的关系.
当角平分线构成的等量关系和与180°有关的角相结合的时候,可以转化得垂直关系.
1、根据以下各图及已知条件，分别指出图形中的等腰三角形，并说明理由.
（l ）如图7，OC 平分∠A OB ，C D∥OB. （2）如图8，OC 平分∠AOB ，OC ∥BD.
（3）如图9，AD 平分∠BAC，C E∥AD . （4）如图10，AD 平分∠BAC，G E∥AD .
3
2
1E B
C
D
A
a
b
43
2
1B
A E D
C 4
321
A
B
O
[说明]要求巩固“等角对等边”，归纳：角平分线加平行线、出现等腰三角形
（l ）如图11，已知BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，EF ∥BC 说明EF=BE+CF ；
（2）如图12，已知BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，DE ∥AB ，DF ∥AC 说明△DEF 的周长为
BC ；
（3）如图13，已知BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，DE ∥BC ，说明EF=BE –CF ；
（4）如图14，已知AB 平分∠DAE ，AC 平分∠DAF ，BC ∥EF 。
说明AD=2
1
BC.。
由角平分线与平行线构成的等腰三角形
由角平分线与平行线构成的等腰三角形在我们学习几何的过程中，有些知识点之间关系密切，往往带有一定的共性,比如当角平分线与平行线同时出现，那么一定会得到等腰三角形.下面通过几例说明“角平分线＋平行线→等腰三角形”的规律，希望同学们能够举一反三，触类旁通，在解题中灵活运用.一、基本图形（分两种情况）：1.平行线平行于角的一边,如图1，OC 平分∠AOB ，CD ∥OB. 则DO=DC,2.平行线平行于角的平分线，如图2，OC 平分∠AOB ，OC ∥BD.则OD=OB.二、应用举例例1.如图3，在△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，交BC 于D,DE ∥AB ，则△ADE 是等腰三角形.证明：如图3，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ∥AB ，∴∠BAD ＝∠ADE ，∴∠CAD ＝∠ADE ，∴AE ＝DE ，即△ADE 为等腰三角形.变式1：如图4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D,CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；变式2：如图5，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D, BE ∥AC ，则△A BE 是等腰三角形.仿例1可以给出证明.例2.如图6，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D,CE ∥AD ，则△ACE 是等腰三角形.证明：∵AD 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2,AEB CD图3图5 AE BCD图4 AEBCD图1图2∵CE ∥AD ，∴∠2＝∠3，∠1＝∠E ， ∴∠3＝∠E ，∴AC ＝CE.变式1：如图7，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D,EF ∥AD ，交AC 于点G ，交BA 延长线于E,则△AEG 是等腰三角形.变式2：如图8，在△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，交BC 于D, EF ∥AD ，交BC 于F ,交CA 的延长线于G ，则△AEG 是等腰三角形.这些基本规律在解题中有一定的指导作用.例3.如图9，在△A BC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，（1）求证：EF ＝BE ＋CF ．（2）若AB=9,AC=8，求△AEF 的周长.分析：观察图形，看到EF 已被点D 分成了两条线段(DE 和DF)，而条件中恰好具备“角平分线＋平行线”，可得到两个等腰三角形△BDE 和△CDF ，于是可分别证明DE ＝BE ，DF ＝CF 即可.(1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2， ∵EF ∥BC ，∴∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE ＝DE ， 同理DF ＝CF ，∴DE ＋DF ＝BE ＋CF ，即EF ＝BE ＋CF (2)由（1）得：△AEF 的周长 =AE+AF+EF =AE+AF+(BE ＋CF) =AB+AC =9+8 =17.上述两例都是由角平分线、平行线构成的等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键.例4.如图10，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，∠BCD 的平分线交AD 于点F ，BE 、CF 交于点G ，,AEB CD F G图7BCDFE AG 图8)13(AE BCF D 图9)2A EB CD)1)2图6（1）求证:AF=DE,（2）若AB=3，BC=4，FG=1,求∠A 的度数. (3) 若△EFG 为等腰直角三角形,求∠A 的度 数.解：（1）在平行四边形ABCD 中 ∵AD ∥BC, ∴∠2=∠5，又 ∠2=∠5， ∴∠1=∠5，∴AE=AB, 同理可证：DF=CD. ∵AB=CD ∴AE=DF .∵ AF=AE －EF; DE=DF-EF , ∴AF=DE.（2）在平行四边形ABCD 中，设BE 与CF 交于点G,， ∵AB ∥CD ，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∴12,2ABC ∠=∠ 13,2BCD ∠=∠ 123()902ABC BCD ∠+∠==∠+∠=°，∴∠BGC=90°，即BE ⊥CF ； 因为AD=BC=4，DF=DC=3，∴AF=AD-DF=4-3=1; 又AF=AE －EF; ∴1=3-EF , ∴EF=2.又∵FG=1，∴1,2FG EF =∴∠5=30°，∵AE=AB ，∠1=∠5=30°, ∴∠A=120°. （3）由（2）得∠BGC=90°，∴∠EGF=90°,若△EFG 为等腰直角三角形,则∠5=45°，∴∠1=∠5=45°， ∴∠A=90°.评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE 和△DCF,②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1,③利用平行线的性质得到Rt △BGC ，Rt △EGF , ④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为30°.例5.已知：如图11,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,EF ∥AB 交BC 于E 、交AD 于F ,若DE=DC.求证：EF=AC.证明:过作CM ∥EF ,交AD 的延长线于M ，连结CM ，则∠M=∠3，，ABCDFE G)2)1 4(3(5(图10图11∠EDF=∠CDM ，又 DE=DC. ∴△EDF ≌△C DM ， ∴EF=CM. ∵ EF ∥AB ，∴∠3=∠1，又∠1=∠2，∴ ∠M=∠2，∴AC=CM ， 从而EF= AC.评析：本题的关键在于作通过添加平行线构成以AC(或EF)为腰的等腰三角形，再证EF=CM.通过上述例题，我们发现，尽管每道题目的结论各异，但每道题中都有角平分线、平行线，故都可得等腰三角形这一共性.所以，在学习过程中，要善于发现、总结规律.真正驳清了基本概念，变成一个个知识板块，其本质属性理解透彻，就能收到举一反三，融会贯通的效果.附：参考习题1.如图12，在△ＡＢＣ中，Ｏ是∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交点，ＯＤ∥ＡＢ，交ＢＣ于点Ｄ，ＯＥ∥ＡＣ，交ＢＣ于点Ｅ，若ＢＣ＝10cm ，求△DOE 的周长,2.如图13，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角∠ACP 的平分线交于D 点，过点D 作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，求证：EF ＝EB －FC3.如图14：平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，∠BCD 的平分线交AD 于F ，且AB=3，DE=2，（1）求平行四边形ABCD 的周长．（2）求证：BE ⊥CF （3）若CF=2，求BE 的长．.参考答案：1.△DOE 的周长为10cm ； 2.证明略；3.（1）平行四边形ABCD 的周长为16；（2）证明略；（3）BE=22226242BE BN EN =-=-=.AE B COD图12 )1 )2 4(图14A EBCFDP图13。
平行线与等腰三角形的应用解析
平行线与等腰三角形的应用解析平行线和等腰三角形是几何学中常见的概念，它们在解决实际问题时有着广泛的应用。
本文将就平行线和等腰三角形在几何学中的应用进行解析。
平行线的应用平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。
它在几何学的应用中可以帮助我们解决与位置、形状以及角度相关的问题。
应用一：平行线的判定平行线的判定是几何学中的基础知识，我们可以通过以下几种方法来判定两条直线是否平行：1. 直线与直线的平行判定：如果两条直线上的任意一对对应角相等，则这两条直线平行。
2. 直线与平行线的平行判定：如果一条直线与一组平行线的对应角相等，则这条直线与这组平行线平行。
这些判定方法为我们构建平行线间的关系提供了基础。
应用二：平行线的性质平行线的性质可以帮助我们解决与角度、距离等相关的问题。
1. 平行线的交角性质：当一条直线与一对平行线相交时，所对的内角互相相等，所对的外角互相相等。
这个性质可以帮助我们求解各种角度相关的问题。
2. 平行线的距离性质：两条平行线之间的距离是它们上面任意一点到另一条直线的垂直距离。
这些性质的应用可以帮助我们求解各种位置和角度相关的几何问题。
等腰三角形的应用等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。
应用一：等腰三角形的判定我们可以通过以下两种方法来判定一个三角形是否为等腰三角形：1. 两边相等：如果三角形的两边长度相等，则这个三角形是等腰三角形。
2. 两角相等：如果三角形的两个角度相等，则这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定方法可以帮助我们在解决几何问题时快速判断三角形的性质。
应用二：等腰三角形的性质等腰三角形的性质可以帮助我们解决与角度、边长等相关的问题。
1. 等腰三角形的底角性质：等腰三角形的底角相等，即两边相等的那两个角是底角。
2. 等腰三角形的高性质：等腰三角形的高是顶角的高线，也是底边的垂直平分线。
这些性质的应用可以帮助我们求解等腰三角形各个部分的长度和角度。
初中数学经典几何模型04-角平分线模型在三角形中的应用(含答案)
初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。
不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。
实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。
能做到这三点，就能在解题时得心应手。
【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用等腰三角形是几何学中常见的一种特殊三角形，它的性质独特，应用广泛。
本文将深入探讨等腰三角形的性质以及在实际问题中的应用。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，有以下几个重要的性质：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两边长相等的角）相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
可以通过对角度进行比较或利用对称性来证明。
2. 顶角平分线与底边垂直：等腰三角形的顶角平分线（即连接顶角和底边中点的线段）与底边垂直。
这个性质对于求解等腰三角形的高、应用中的问题都非常有用。
3. 高重合：等腰三角形的高（即从顶点到底边的垂直线段）重合于底边中点。
这意味着等腰三角形的高也是底边上的中线和中位线。
二、等腰三角形的性质证明1. 两底角相等的证明：以等腰三角形ABC为例，设AC=BC，要证明∠ACB = ∠CAB。
证明：由于AC=BC，且直线段AB共线，所以三角形ABC是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，两边AC和BC相等，而根据三角形中的一对对应角相等的性质，∠ACB = ∠CAB。
2. 顶角平分线与底边垂直的证明：以等腰三角形ABC为例，设AC=BC，M为底边AB的中点，要证明AM ⊥ BC。
证明：连接AM和BM，由于AC=BC，AM=BM，所以三角形ABM和ACM是等腰三角形。
根据等腰三角形高重合的性质，AM重合于CM，而由高重合又可以得到AM ⊥ BC。
三、等腰三角形的应用1. 求解等腰三角形的高：已知等腰三角形的底边长和顶角，可以利用三角函数的性质来计算等腰三角形的高。
例如，如果已知等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则高h可以通过h = a * sin(θ/2) 来计算。
2. 三角形的构造问题：在一些实际问题中，可以利用等腰三角形的特性来进行三角形的构造。
例如，已知一个角的两条边长相等，可以根据等腰三角形的性质构造出一个等腰三角形。
3. 几何证明问题：在几何证明中，等腰三角形常常可以作为中间步骤，起到简化问题的作用。
数学人教版八年级上册角平分线和平行线构成等腰三角形的探究
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究-----李春蕊北京市育英学校一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。
这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据.学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。
学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。
二、教学目标：（1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律；（2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系.（3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心.教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题.教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题.突出重点方法:观察，思考，证明.突出难点方法:自主探究教学方法：启发与探究相结合教学准备：PPT，课本，作图工具三、教学设计：（一）复习等腰三角形相关知识1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：（由学生先进行回顾，教师补充）（二）探究过程问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？解：是；EB=ED发现：无论点D 在BD 上如何运动，△EBD 都是等腰三角形结论：角平分线+平行线 等腰三角形我们在几何证明中，一般不单独研究角，大多数都是借助图形，比如在三角形中研究问题，上面问题如果放在三角形中，我们可以作三角形中一个角的角平分线，然后过角平分线上一点，作这个角的一边的平行线。
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1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。
分a 、b 两种情形： a 、 如图甲：一直线与角的一边平行 b 、 如图乙：一直线与角的平分线平行2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a 、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行b 、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线a 、如图甲：与一腰平行b 、如图乙：与底边平行角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。
这种思维方法称为“知识板块”思维。
角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：例1、如图1：已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。
求证：DE=BD+CE 。
证明：例2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。
求证：△DIE 的周长等于BC 。
证明：31∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒2123//OA CDDC DO =⇒()DOC 等腰三角形()ODE 等腰三角形⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒214231//OC DE OEOD =⇒∠=∠⇒43⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒=2131DC CO OACD //32⇒∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=4343AOB OE OD ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠⇒AOB AOB 211213DEOC //31⇒∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒=∠=∠⇒1323//DC CO DC OA 21∠=∠⇒214231//43∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒=OC DE OE OD ⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒1232//BC DE 31∠=∠⇒⎭⎬⎫==⇒EI CE DI BD 同理：CE BD IE DI DE +=+=⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒2131//AB DI BDDI =⇒∠=∠⇒23图甲1 3 A BCDEI图（2） 2 3 2 1I ED A B C4 3 2 O DECBA1图乙同理：EI = CE 。
∴△DIE 的周长=DI + IE + ED = BC例3、如图3：已知在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，DE//BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：EF = BE —CF 。
证明：同理：CF = FD ∴ EF = ED – FD = BE – CF例1、 例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键。
例4、平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，BCD ∠ 的平分线交AD 于点F ，BE 、CF 交于点G ，FG=1。
求：A ∠的度数。
解：⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠⎩⎨⎧=∠=∠⇒⇒1252//BCAD BC AD ABCD 平行四边形15∠=∠⇒同理可证：DF = CD = AB = 3 ⇒ AF = 1 ∴EF = AD －（AF + DE ）= 4 －2 = 2∴ ∴ 评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE 和△DCF 。
②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1。
⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒212//BDE BC DEBDE ∠=∠⇒1EDBE =⇒14433=-=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⇒⎭⎬⎫===⇒⎭⎬⎫==⇒AE AD DE AD BC BC AD AE AB AB AE ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠=∠+∠⇒⇒BCD ABC BCD ABC CD AB ABCD 213212180//0平行四边形⎪⎭⎪⎬⎫=∴==∠⇒=∠⇒=∠+∠⇒EF FG FG EGF BGC 21,190909032000Θ0305=∠⇒0120=∠A 0301=∠ 4 3 2 1 F E D MC B A③用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到R T △BGC ，RT △BGF 。
④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。
⑤用三角形内角和定理得0120=∠A 。
例5、在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ；DE 平分∠ADC ，交BC 于点E ，∠BDE=150，求∠COE 的度数。
解：045=∠⇒CED ∴ CE CD =等边△OCD∴∵0306090=-=∠OCE ∴00075230180=-=∠COE 评注：①矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。
②有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。
③等腰三角形的一个底角=()顶角-018021。
④此题关键是CE OC CE CD OC CD =⇒⎭⎬⎫==。
⑤此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE ”。
例6、 在△ABC 中，090=∠CAB ，A D ⊥B C 于点D ，点E 在B C 的延长线上，且B CAE ∠=∠，AD=3，DE=4。
求：CD ：CE 的值。
解：⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒00090BCD 45EDC ADC DE 90ADC ABCD 平分矩形⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===⇒=+=∠∴=∠OCOD AC 21OC BD 21OD AC BD ABCD 601545150000矩形ODC BDE Θ⇒⎩⎨⎧=∠=⇒060OCD OCCD CEDCOE OC CE ∠=∠==5434322=+=⎪⎭⎪⎬⎫==∆⇒⊥AE DE AD ADE RT BC AD ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫=∠+∠⇒⊥=∠+∠⇒=∠⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒2121904190490231//000B B BC AD B BAC F F EA CA DF 的延长线于点，交作 EO D A B C评注：①关键由2,1∠=∠∠=∠B B 发现AC 平分DAE ∠。
②作角平分线的平行线构造出等腰△ADF 。
③由勾股定理求出AE=5，从而求出CD ：CE 的值。
例7、 如图：,1,900===∠AC AB BAC BD 是角平分线DE//BC ，交AB 于点E 。
求DE 之长。
解：AD AE AC AB AC AD AB AE BC DE =⇒⎪⎭⎪⎬⎫==⇒//。
设AE=AD=x ；则DE=2x⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒1232//BC DE DE BE =⇒∠=∠⇒31∴x BE 2= ∴12=+=x x AB∴()12121112-=+=⇒=+x x∴22-=DE评注：① 发现△AED 仍为等腰直角三角形。
② 由角平分线、平行线发现等腰△BED 。
③ 设未知数，列方程求出DE 之长。
（方程思想） 例8、 如图：已知R t △ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交斜边BC 于点D ，OE//BC 交AC 于点E 。
求证：DE 是⊙O 的切线。
333=⇒⎭⎬⎫==⇒∠=∠⇒AF AD AD AF F 53//==⇒CE CD AE AF AC DF 3CBA ED1 2证明：⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠⇒= ⎝⎛∠=∠∠=∠⇒B OD OB B BD DE 3231//Θ⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠⇒公有OE OD OA 21ο90=∠=∠⇒∆≅∆⇒OAE ODE OAE ODE ∴ED 是圆O 的切线。
评注：①只能利用定义证明直线与圆相切。
②由等腰三角形和平行线，发现角平分线得∠1=∠2。
③利用全等三角形证等角，利用垂直证垂直。
例9、AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 外一点。
P B ⊥AB ，AC//OP 交⊙O 于C 点。
求证：PC 是⊙O 的切线。
证明：连结，则⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒=4231//21OP AC OA OCOPB OPC OB OC OP OP ∆≅∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫==∠=∠⇒43 09090=∠⇒⎭⎬⎫=∠⇒⊥∠=∠⇒PCO PBO AB PB PBOPCO 的切线是圆O PC PC DC ⇒⊥⇒。
【切线的判定方法：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
】 评注：①由等腰△AOC 的构造出现，进而可发现∠3 = ∠4。
②利用直角∠B 证明了∠P C O 为直角。
③具体判定直线与圆相切的两个判别方法： ⑴作垂足，垂足在圆上。
⑵连半径，证明半径的外端就是垂足。
例10、已知：AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线。
切点为点B ，DC 是⊙O 的切线。
求证：OC//AD 。
证明:连结OD,则⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒=321//1A AD CD A OA ODOBC ODC OB OD OC ∆≅∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠⇒公有32 的切线。
是圆O DC OBC ODC ⇒=∠=∠⇒090评注：欲证相切，找垂直。
利用直角证直角。
例11、如图：已知在梯形ABCD 中，点O 在AB 上，半圆⊙O 与AD 、CD 、BC 相切，且AD = 5， BC = 3。
求AB 的长。
解：（方法一）连结OC 、OD则有3231//21∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒∠=∠CD AB 3==⇒BC OB 同理：OA = AD = 5∴AB = OA + OB = 5 + 3 = 8（方法二）延长DA 至E ，延长CB 至F ，使AE=AD 、BF=BC ；连结EF ，则EF//CD ，且EF 与⊙O 相切。
则 （圆外切四边形的对边之和相等）。
例12、已知P 为⊙O 外一点，通过作⊙O 的两条割线，分别交⊙O 于A 、B 和C 、D 点，且AB 是⊙O 的直径。
已知PA=OA=4，AC=CD 。
⑴求CD 长。
⑵求cosB 的值。
解：连结BC 、OC 、AD 。
⎭⎬⎫∠=∠∠=∠∠=∠⇒=25,1454CD AC313221∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒=∠=∠⇒OC OBOBPOCD PC BD OC =⇒=⇒ 设PC= y , CD= x . ∵PO = 8 , OB = 4 ∴x y x y 248=⇒= ∴y(y + x) = 4×12124)2(2⨯=+⇒x x x 4862=⇒x 22=⇒x2422222=⨯===⇒y CD AC 且AB 是圆O 的直径.2220,90AC AB BC BAC -==∠⇒∴BC=()1425622822==-PCB PAD P P ∆∆⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠相似于528)610(21)22(21)(21)(21=+=+=+=+=BC AD CF DE CD EF ABAB244142===⇒AD PC AP BC AD 72=⇒AD ∵∠BDA = 90O∴()672822=-=BD cosB=4386==AB BD评注：①平行线截得成比例线段。