中垂线、角平分线与等腰三角形性质综合应(北师大)

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北师大版八年级数学(下)第一章等腰三角形

1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。

6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。

2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。

北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧记方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直平分底边。

方法之二：1、连接这两个交点。

原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。

)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。

)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。

专题角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

P O N M B AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

北师大版初中数学各册章节知识点总结

北师大版初中数学各册章节知识点总结第一册：《初二上册》1.直角三角形：直角三角形的定义、直角三角形的性质、勾股定理。

2.平面图形的表示：点、线、线段、射线、角度、平行线、垂直线、相交线等基本概念。

3.二次根式：二次根式的定义、运算法则。

4.初中平面几何基本定理：垂线定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、角平分线定理等。

5.多边形：多边形的定义、正多边形、变位积分、多边形的内角和、多边形的外角和。

6.梅涅劳斯定理：梅涅劳斯定理的概念、定理的应用。

第二册：《初二下册》1.线性方程：线性方程的定义、解线性方程的常用方法。

2.三角函数的定义和初步认识：三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等。

3.平行线与相交线：平行线的性质、平行线之间的角对、相交线之间的角对等。

4.二次函数：二次函数的基本性质、二次函数图像的性质与应用。

5.海伦公式：海伦公式的概念、海伦公式的应用。

第三册：《初三上册》1.集合：集合的概念、集合的运算、集合的表示等。

2.图形的相似：图形相似的概念、相似比、相似三角形的性质等。

3.三角形的性质：三角形的角与边的关系、角边关系等。

4.空间几何基本概念：欧几里得空间几何学的基本概念、空间图形与平面图形的关系等。

5.高中数学预修知识：比例与相似、复数等。

第四册：《初三下册》1.数系的扩充：有理数和无理数的概念、实数的分类等。

2.几何体的计算：几何体的表面积、几何体的体积等。

3.空间几何基本定理：角的平分线、角的辅助线等。

4.三角恒等式：三角函数的反函数、三角函数的周期等。

第五册：《九年级上册》1.一次函数：一次函数的定义、一次函数图像的性质、线性规律等。

2.向量几何：向量的定义、向量的运算、向量的平行和垂直等。

3.数的四则运算：整数、有理数、无理数的四则运算等。

4.二次方程与不等式：二次方程的定义、解二次方程的方法等。

5.三角形的面积：三角形的名字、面积的计算公式等。

第六册：《九年级下册》1.指数与对数：指数、对数和底数的概念、指数与对数的性质等。

专题1.1 三角形的证明章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(原卷版)

专题1.1 三角形的证明章末重难点题型【北师大版】【考点1 等腰三角形的性质】【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

【例1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°【变式1-1】（2018秋•洪山区期中）如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（）A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2【变式1-2】（2018秋•邗江区期中）如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）【变式1-3】（2018秋•新吴区期中）如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）A．175°B．170°C．10°D．5°【考点2 等腰三角形的判定】【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

简称“等角对等边”牢记：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。

八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线第2课时三角形三边垂直平分线的性质教案新版北师大版

八年级数学下册教案:第2课时三角形三边垂直平分线的性质1．能够证明三角形三边垂直平分线的相关结论．2．能够利用尺规作已经底边及底边上的高的等腰三角形．重点掌握三角形三边垂直平分线的性质．难点会用所学知识按要求作图．一、复习导入活动一：尺规作图作三角形三条边的垂直平分线．师：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示作图过程)引导学生得出：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．活动二：下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．师：这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．二、探究新知1．三角形三边垂直平分线的性质(1)教师引导学生分析，寻找证明方法．师：我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．我们不妨再来看一下作图过程，或许你能从中受到启示．通过回顾作图过程，引导学生认同：两直线必交于一点，那么要想证明“三线共点”，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．(2)师生共同分析，完成证明．处理方式：讨论结束后，学生书写证明过程．教师点评，注意几何符号语言的规范性．已知：在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：点P在AC的垂直平分线上．证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理PB＝PC.∴PA＝PC.∴点P在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P.师：从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？ (交点P到三角形三个顶点的距离相等)(3)多媒体演示我们得出的结论：定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．2．按要求作图(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？处理方式：学生通过小组讨论得出结论，并尝试作出草图，验证自己的结论．解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个．已知：三角形的一条边a和这边上的高h，求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h.从上图我们会发现，先作已知线段BC＝a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD＝A1D＝h，连接AB，AC(或A1B，A1C)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．说明：不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上排除．(3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．已知：线段a，h.求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h.作法：①作BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；③以点D为圆心，h长为半径作弧交MN于点A；④连接AB，AC.∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．三、练习巩固1．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是( ) A．三角形三条角平分线的交点B．三角形三条垂直平分线的交点C．三角形三条中线的交点D．三角形三条高的交点2．已知△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．等腰Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是________．4．如图，有A，B，C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置．(要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法)四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？五、课外作业1．教材第26页“随堂练习”．2．教材第26～27页习题1.8第1～4题．本节课主要学习“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”和“已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形”，在讲解的过程中从尺规作图、逻辑推理等多层次地理解并证明了定理，学生思维活跃，能够积极参与到学习中来，教学效果较好．。

北师大版七年级下册数学[《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版七年级下册数学[《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]研究目标】1.增进对身边轴对称图形的认识和欣赏，提高对数学的兴趣。

2.了解轴对称的概念，探索轴对称图形的基本性质和应用。

3.探究线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质及判定方法。

4.能够按照要求画出一些轴对称图形。

要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。

要点诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上。

3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。

联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一。

同时也给出了引辅助线的方法，即遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。

北师大版三角形的证明（全章节复习题）

北师⼤版三⾓形的证明（全章节复习题）等腰三⾓形（基础）知识讲解【学习⽬标】1. 了解等腰三⾓形、等边三⾓形的有关概念, 掌握等腰三⾓形的轴对称性；2. 掌握等腰三⾓形、等边三⾓形的性质，会利⽤这些性质进⾏简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三⾓形、等边三⾓形的判定⽅法及其证明过程. 通过定理的证明和应⽤，初步了解转化思想，并培养学⽣逻辑思维能⼒、分析问题和解决问题的能⼒.4. 理解反证法并能⽤反证法推理证明简单⼏何题.【要点梳理】要点⼀、等腰三⾓形的定义1.等腰三⾓形有两条边相等的三⾓形，叫做等腰三⾓形，其中相等的两条边叫做腰，另⼀边叫做底，两腰所夹的⾓叫做顶⾓，底边与腰的夹⾓叫做底⾓.如图所⽰，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三⾓形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶⾓，∠B、∠C是底⾓．2.等腰三⾓形的作法已知线段a,b(如图).⽤直尺和圆规作等腰三⾓形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆⼼，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三⾓形3.等腰三⾓形的对称性(1)等腰三⾓形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的⾼线.结论：等腰三⾓形是轴对称图形，顶⾓平分线(底边上的⾼线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三⾓形三条边都相等的三⾓形叫做等边三⾓形.也称为正三⾓形.等边三⾓形是⼀类特殊的等腰三⾓形，有三条对称轴，每个⾓的平分线(底边上的⾼线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三⾓形的底⾓只能为锐⾓，不能为钝⾓（或直⾓），但顶⾓可为钝⾓（或直⾓）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A-∠.（2）等边三⾓形与等腰三⾓形的关系：等边三⾓形是特殊的等腰三⾓形，等腰三⾓形不⼀定是等边三⾓形.要点⼆、等腰三⾓形的性质1.等腰三⾓形的性质性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等，简称“在同⼀个三⾓形中，等边对等⾓”．推论：等边三⾓形的三个内⾓都相等，并且每个内⾓都等于60°.性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上中线和⾼线互相重合.简称“等腰三⾓形三线合⼀”．2.等腰三⾓形中重要线段的性质等腰三⾓形的两底⾓的平分线（两腰上的⾼、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推⼴到⼀下结论：（1）等腰三⾓形底边上的⾼上任⼀点到两腰的距离相等。

九上北师大版线段垂直平分线和角平分线专题教案

教师：科目：学生：上课时间：授课内容：线段的垂直平分线与角平分线专题知识要点详解：1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等。

（2）线段关于它的垂直平分线对称。

（折叠问题）2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部。

反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形。

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

北师大版八年级数学下册线段的垂直平分线---知识讲解(基础) 含答案解析

线段的垂直平分线----知识讲解(基础)责编：杜少波【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD 的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】（2015秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。

八年级上册北师大版数学知识点(精品4篇)

八年级上册北师大版数学知识点(精品4篇）八年级上册北师大版数学知识点（1）轴对称一、知识框架：二、知识概念：基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等(等边对等角).③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一(1条).⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一(3条).基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.八年级上册北师大版数学知识点（2）全等三角形一、知识框架：二、知识概念：基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的判定定理：⑴边边边()：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边()：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角()：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边()：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边()：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.八年级上册北师大版数学知识点（3）三角形一、知识框架二、知识概念：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.八年级上册北师大版数学知识点（4）三角形一、知识框架二、知识概念：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.。

初中数学三角形的中线,角平分线,高线,垂直平分线

三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线•三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。

角的平分线是射线。

高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。

•三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长：ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ；mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。

(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

•垂直平分线的尺规作法：方法一：1、取线段的中点。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

北师大2024八年级数学下册 1.4 第2课时三角形三条内角的平分线教案

1.4 角平分线主要师生活动一、创设情境，导入新知活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？师生活动：学生在练习本上画三角形，并按照要求画出三条角平分线.猜想结论：三角形的三条角平分线相交于一点.活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？师生活动：在上述活动的基础上画垂线段，并且思考问题.猜想结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.师追问：你能证明以上两个结论吗？二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：三角形的内角平分线已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：∠A的平分线经过点P，且PD = PE = PF.师生活动：引导学生类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的证法尝试完成证明.师生共同归纳：结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.典例精析例1如图，在△ABC中，已知AC = BC，△C = 90°，AD是△ABC的角平分线，DE△AB，垂足为E.(1)如果CD = 4 cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD.证明：由(1) 的求解过程易知，Rt△ACD△Rt△AED (HL).△ AC＝AE.设计意图：通过活动引入让学生进一步掌握如何把文字命题转化为符号语言、图形语言，并进行严格的证明.既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题的能力.设计意图：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题.△ BE＝DE＝CD，△ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.师生活动：1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题.2小组内批阅.3.对板演的内容进行评价纠错.例2 如图，在直角△ABC中，AC = BC，△C = 90°，AP平分△BAC，BD平分△ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM△AC，若OM＝4，(1) 点O到△ABC三边的距离和为.温馨提示：不存在垂线段——构造应用(2) 若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.解：如图，过点O作OE△AB于点E，ON△BC 于点N，连接OC.师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导.例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若△A＝40°，则△BOC的度数为()A．110° B．120°C．130° D．140°设计意图：让学生能够进一步熟练运用角平分线性质定理与判定定理解决问题，通过此题让学生对定理的理解与使用更为明确. 培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识.设计意图：综合提升学生对角平分线性质判定定理解的运用水平与解决问题的能力.三、当堂练习，巩固所学师生活动：学生代表回答，教师引导学生阐述思路，教师整理板书：三、当堂练习，巩固所学1. 如图，已知△ABC，求作一点P，使P到△A的两边的距离相等，且P A＝PB．下列确定P点的方法正确的是( )A. P为△A，△B两角平分线的交点B. P为△A的平分线与AB的垂直平分线的交点C. P为AC，AB两边上的高的交点D. P为AC，AB两边的垂直平分线的交点题1 题22. 如图，在△ABC中，△C = 90°，DE△AB，△CBE=△ABE，且AC = 6 cm，那么AE + DE= cm.3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A. △ABC的三条中线的交点B. △ABC三边的垂直平分线的交点C. △ABC三条角平分线的交点D. △ABC三条高所在直线的交点设计意图：考查学生对角平分线的判定的理解.设计意图：考查学生对角平分线性质与判定的运用.设计意图：考查学生对“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”的运用.BCA4. 已知：如图，△ABC中，△C = 90°，AD是△ABC 的角平分线，DE△AB于E，F在AC上，BD = DF.求证：CF = EB.5.如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处？画出它的位置. 设计意图：考查学生对角平分线性质与判定的掌握，提高学生作图能力.板书设计1.4.2等腰三角形三角形三条内角的平分线三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.课后小结教学反思。

北师大版八年级(下)数学知识点归纳总结

第一章三角形的证明第1节等腰三角形一、全等三角形的性质与判定1、全等三角形的性质定理1 全等三角形的对应边相等。

定理2 全等三角形的对应角相等。

推论1 全等三角形的面积相等。

推论2 全等三角形的周长相等。

2、全等三角形的判定公理1 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）公理2 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）公理3 三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）定理1 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）定理2 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

（HL ）二、等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）推论1 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

（三线合一）推论2 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。

【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，周长为C ，则2b ＜a ＜2C ④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠C ，底角为∠A 、∠B ，则∠C ＝180°—2∠A＝180°—2∠B ，∠A ＝∠B ＝2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）三、等边三角形的性质与判定1、等边三角形的性质定理1 等边三角形的三条边都相等。

定理2 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。

2、等边三角形的判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。

北师大版八年级数学下册等腰三角形知识点整理及重点题型梳理

八年级数学等腰三角形知识点整理及重点题型梳理一、等腰三角形含义：有两条边相等的三角形。

常见题：已知两边长和第三边，求周长。

例题：两条边长分别为3和4，求周长，注意：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

二、等腰三角形的性质：1.等边对等角，例如：已知AB=AC ，∠B=∠C 等腰三角形的性质：2等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。

注意：只有等腰三角形才有三线合一。

[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD=DC=AD ，求：△ABC 各角的度数．D CAB3. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．4. [例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC （等角对等边）．练习：已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC （两直线平行，内错角相等）．又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD （等角对等边）．[例3]如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B 距离相等21EDABDCAB的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？(1)EDCA B (2)分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．一、复习知识要点1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．2．三角形按边分类：三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．二、例题例：如图，五边形ABCDE 中AB=AE ，BC=DE ，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．•求证：AF ⊥CD.分析：要证明AF ⊥CD ，而点F 是CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，•于是连接AC 、AD ，证明AC=AD ，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．证明：连接AC 、AD 在△ABC 和△AED 中()()()AB AE ABC AED BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知已知 ∴△ABC ≌△AED （SAD ）∴AC=AD （全等三角形的对应边相等）又∵△ACD 中AF 是CD 边的中线（已知）EDCABF ∴AF ⊥CD （等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）三、练习（一）、选择题1．等腰三角形的对称轴是（）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和7cm ，则该三角形的周长是（） A ．17cm B ．22cm C ．18cm 或15cm D ．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A ．30° B ．50° C ．60° D ．40° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80°5．如图1，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°E DCABHFG如图1答案:1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 如图2 （二）、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图2，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________；（2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；（3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．11．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．12．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 13．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________．答案:6．60 7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+12n ）° 9．70° 10．略 11．1 12．AB=AC 13．2cm 14．30海里（三）、解答题15．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB16．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB17．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF答案:15．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形16．连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ．∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ． ∴∠ABC=∠ADC 17．证明∠D=∠BED等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB ． ABDC AB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=12AD ，BC=12AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=14AB ． [例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD ．等边三角形一、复习知识要点1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．2．等边三角形的性质：•等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．D C AEBDCA二、练习（一）、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形DA B F21EDCAB4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B（二）、填空题6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD•的长度是_______．答案：6．60° 7．60°8．三；三边的垂直平分线 9．1cm （三）、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？ 11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ， •求证：•BC=3AD.D CAB12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDABHF13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）EDCA答案：10．60°或120°11．∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt △ADC 中CD=•2AD ，•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD ，∴AD=BD ，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD ．又∵BC=AC ，CE=CD ， ∴△BCE ≌△ACD ； ②证明△BCF ≌△ACH ； ③△CFH 是等边三角形．13．连接CE ，先证明△BCE ≌△ACE 得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE•≌△BCE 得到∠BDE=∠BCE=30° Ⅲ、随堂练习，变式训练练习1：请同学们做课本51页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目：求等腰三角形个角度数：（1）在等腰三角形中，有一个角的度数为36°. （2）在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进行归纳总结。

北师大数学八年级下册第一章-等腰三角形与直角三角形经典讲义

第01讲_等腰三角形与直角三角形知识图谱等腰三角形知识精讲一、等腰三角形二、思路点拨等腰三角形边或者周长的计算注意三边关系的隐含条件等腰、角平分线、平行（1）△ABC是等腰三角形，（2）AD∥BC（3）∠1=∠2以上三个结论知二推一（需简单证明）三角形中角的2倍关系三点剖析重难点12B CDA12AB CEDααβββ2αααβ2βα2ββ等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形性质1．两个底角相等，两条腰相等．2．三线合一：（1）顶角角平分线、（2）底边上的中线、（3）底边上的高（可直接使用）判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等三线合一逆定理：一个三角形（1）对角角平分线、（2）该边上的中线、（3）该边上的高有两条互相重合，则是等腰三角形（需简单证明）1．等腰三角形的三线合一及其逆定理2．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 3．等腰三角形与全等三角形综合问题考点1．等腰三角形的性质和判定2．等腰三角形的三线合一及其逆定理3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 4．等腰三角形与全等三角形综合问题易错点1．等腰三角形边或者周长的计算问题容易忽略“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这个隐含的限制条件2．等腰三角形的三线合一及可以直接使用，但是三线合一的逆定理需要证明之后才能用3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一要非常熟练，在使用的时候是需要简单证明的，不可直接得出结论等边对等角例题1、如图，ABC 中，,,18,12==∠=︒∠=︒AB AC AD DE BAD EDC ，则∠DAE 的度数为( )A.58︒B.52︒C.62︒D.60︒ 【答案】 C【解析】暂无解析随练1、如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，∠A=36°，则∠1的度数为（）A.36°B.60°C.72°D.108° 【答案】 C【解析】 ∵∠A=36°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=36°， ∴∠1=∠A+∠ABD=72°随练2、一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长是________．【答案】 22【解析】暂无解析等角对等边例题1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．求证：AD=BC ．【答案】见解析【解析】 ∵AB=AC ，∠A=36°， ∴∠ABC=C=72°，∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ， ∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°， ∴∠A=∠ABD ，∠BDC=∠C ， ∴AD=BD=BC ．例题2、如图，在ABC ∆中，5BC cm =，BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，且PD AB ∥，PE AC ∥，则PED ∆的周长是_______cm【答案】 5【解析】 ∵BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线， ABP PBD ∴∠=∠，ACP PCE ∠=∠．PD AB ∥，PE AC ∥，ABP BPD ∴∠=∠，ACP CPE ∠=∠， PBD BPD ∴∠=∠，PCE CPE ∠=∠，BD PD ∴=，CE PE =， ∴PDE ∆的周长5PD DE PE BD DE EC BC cm =++=++==．随练1、如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE //AB 交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则AC =（）A.11B.12C.13D.14【答案】 B【解析】该题考查的是等腰三角形的判定． ∵DE //AB ，∴BAD ADE ∠=∠，又∵BAD DAE ∠=∠ ∴DAE ADE ∠=∠ ∴7AE DE ==∴7512AC AE EC =+=+= ∴该题的答案是B ．三线合一例题1、如图，△ABC 中，AB AC =，100BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，且BD BE =，则ADE ∠的度数为（）A.10︒B.20︒C.40︒D.70︒【答案】 B【解析】该题考查的是三角形的性质． ∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∵100BAC ∠=︒， ∴40B C ∠=∠=︒，∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD BC ⊥， ∴90ADB ∠=︒， ∵BD BE =，∴70BDE BED ∠=∠=︒， ∴20ADE ∠=︒，故该题答案为B ．例题2、在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于D ，∠BAC 的平分线AF 交CD 于E ，交BC 于F ，CM ⊥AF 于M ，求证：EM FM =．【答案】见解析【解析】 ∵90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， ∴90ADC ∠=︒，∴90AED DAE ∠+∠=︒，90CFE CAE ∠+∠=︒，又∵∠BAC 的平分线AF 交CD 于E ， ∴DAE CAE ∠=∠， ∴AED CFE ∠=∠，又∵AED CEF ∠=∠， ∴CEF CFE ∠=∠，又∵CM ⊥AF ， ∴EM FM =．随练1、如图，在△ABC 中，54B ∠=︒，72ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，ME AD ⊥于G ，交AB 、AC 及BC 的延长线于E 、M 、F ，则BFE ∠=______________．ABC D E【答案】 9︒【解析】该题考查的是等腰三角形三线合一． ∵54B ∠=︒，72ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠∴1805472272BAD CAD ︒-︒-︒∠=∠==︒又∵AD ⊥EF 即90AGM ∠=︒∴902763CMF AMG ∠=∠=︒-︒=︒ 又∵△CFM 的外角72ACB ∠=︒∴72639CFM ACB CMF ∠=∠-∠=︒-︒=︒角平分线，平行线，等腰三角形知二推一例题1、如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（）A.2B.1C.52D.32【答案】 B【解析】该题考查的是等腰三角形三线合一逆定理．延长BD 与AC 交于点E ，∵A ABD ∠=∠， ∴BE AE =， ∵BD CD ⊥， ∴BE CD ⊥， ∵CD 平分ACB ∠， ∴BCD ECD ∠=∠， ∴EBC BEC ∠=∠，MAB CD（第6题）∴△BEC为等腰三角形，∴BC CE=，∵BE CD⊥，∴2BD BE=，∵5BC=，AC=，3∴3CE=，∴532=-=-=，AE AC EC∴2BE=，∴1BD=．所以答案选A例题2、(2013初二上期末怀柔区)如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若△AEF的周长为12，则AB+AC等于____．【答案】12【解析】该题考查的是平行线的性质．∵BO平分CBA∠，CO平分ACB∠，∴OBC OBA∠=∠，∠=∠，OCB OCA∵EF∥BC，∴OBA BOE∠=∠，OCA COF∠=∠，∴BE OE=，=，CF OF∴△AEF的周长AE OE OF AF AE BE CF AF AB AC=+++=+++=+，∵△AEF的周长为12，∴12+=．AB AC例题3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形．【解析】（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=12∠EAC+12∠BAC=12×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．随练1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？【答案】（1）见解析（2）70°（3）△DEF不可能是等腰直角三角形，见解析【解析】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中BD CEB C BE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B ∴∠DEF=∠B∵AB=AC ，∠A=40°∴∠DEF=∠B=18040702︒︒︒-=（3）解：△DEF 不可能是等腰直角三角形． ∵AB=AC ，∴∠B=∠C ≠90° ∴∠DEF=∠B ≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形等腰三角形与全等三角形综合例题1、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°．点D 在线段BC 上运动（点D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BAD ＝20°时，∠EDC ＝________°；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？试说明理由；（3）△ADE 能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD 的度数；若不能，请说明理由．【答案】（1）20（2）当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE ，证明见解析（3）∠BAD ＝30°或∠BAD ＝60°【解析】（1）∵∠BAD ＝20°，∠B ＝40°， ∴∠ADC ＝60°， ∵∠ADE ＝40°，∴∠EDC ＝60°－40°＝20°（2）当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE ；理由：∵∠ADE ＝40°，∠B ＝40°，又∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ． ∴∠BAD ＝∠EDC ．在△ABD 和△DCE 中， B C AB DCBAD EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩． ∴△ABD ≌△DCE （ASA ）；（3）当∠BAD ＝30°时，∵∠B ＝∠C ＝40°，∴∠BAC ＝100°， ∵∠ADE ＝40°，∠BAD ＝30°， ∴∠DAE ＝70°，∴∠AED ＝180°－40°－70°＝70°，∴DA ＝DE ，这时△ADE 为等腰三角形；当∠BAD ＝60°时，∵∠B ＝∠C ＝40°，∴∠BAC ＝100°， ∵∠ADE ＝40°，∠BAD ＝60°，∠DAE ＝40°， ∴EA ＝ED ，这时△ADE 为等腰三角形．例题2、如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB 、AC 、BC 于点N 、E 、M ．（1）当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．【答案】（1）见解析（2）2CD CE =（3）当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+；当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质．（1）证明：连接ND ． ∵AO 平分∠BAC ， ∴12∠=∠， ∵直线l ⊥AO 于H ， ∴4590∠=∠=︒， ∴67∠=∠， ∴AN AC =， ∴NH CH =，∴AH 是线段NC 的中垂线， ∴DN DC =， ∴89∠=∠． ∴AND ACB ∠=∠，∵3AND B ∠=∠+∠，2ACB B ∠=∠， ∴3B ∠=∠， ∴BN DN =． ∴BN DC =；（2）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE = 证明：过点C 作CN '⊥AO 交AB 于N '．由（1）可得BN CD '=，AN AC '=，AN AC '=． ∴43∠=∠，NN CE '=．过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ． ∴42∠=∠，1B ∠=∠． ∴23∠=∠．ABC M ElNHD O lNH A ABBC CD O O D 图1图2图3∴CG CE =． ∵M 是BC 中点， ∴BM CM =在△BNM 和△CGM 中， 1B BM CMNMB GMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BNM ≌△CGM ．（ASA ） ∴BN CE =．∴2CD BN NN BN CE ''==+=．（3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系：当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+；当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-．随练1、如图，已知线段AC ∥y 轴，点B 在第一象限，且AO 平分∠BAC ，AB 交y 轴于G ，连OB 、OC ．（1）判断△AOG 的形状，并予以证明；（2）若点B 、C 关于y 轴对称，求证：AO ⊥BO ．【答案】（1）等腰三角形；证明见解析（2）见解析【解析】（1）△AOG 是等腰三角形； ∵AC ∥y 轴，∴∠CAO=∠AOG ， ∵AO 平分∠BAC ， ∴∠CAO=∠GAO ， ∴∠GAO=∠AOG ， ∴AG=GO ，∴△AOG 是等腰三角形；（2）连接BC 交y 轴于K ，过A 作AN ⊥y 轴于N ，∵AC ∥y 轴，点B 、C 关于y 轴对称， ∴AN=CK=BK ，在△ANG 和△BKG 中，AGN BGK ANG BKG AN BK ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANG ≌△BKG ，（AAS ） ∴AG=BG ， ∵AG=OG ，（1）中已证， ∴AG=OG=BG ，∴∠BOG=∠OBG ，∠OAG=∠AOG ，∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°， ∴∠AOG+∠BOG=90°， ∴AO ⊥BO ．等边三角形知识精讲等边三角形（1）三条边都相等的三角形（2）是一种特殊的等腰三角形性质三个内角都等于60︒判定判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形判定2：有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明：延长BC 至'B 使'CB CB =∴AC 垂直平分'BB ，∴'AB AB =，60B ∠=︒，∴'ABB △是等边三角形，∴'2AB BB BC ==，∴12BC AB =二．思路点拨90°60°60°30°A BCDB'CBA三点剖析一．考点：1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．二．重难点：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形基础上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．三．易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是30︒所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的性质例题1、(2013初二上期末怀柔区)如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为____．【答案】3 2【解析】该题考查的是∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为ABC∠的平分线，∴60ABC∠=︒，30DBE∠=︒，又DE DB=，∴30E DBE∠=∠=︒，∴30CDE ACB E∠=∠-∠=︒，即CDE E∠=∠，∴CD CE=；∵等边△ABC的周长为9，∴3AC=，∴1322 CD CE AC===，即32 CE=．例题2、如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为___________．【答案】60°．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=180°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=360°﹣60°﹣150°﹣90°=60°．例题3、在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A.AE∥BCB.∥ADE=∥BDCC.∥BDE是等边三角形D.∥ADE的周长是9【答案】B【解析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．首先由旋转的性质可知∥AED=∥ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由∥ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∥EBD=60°，BE=BD即可判断出∥BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故∥AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．∥∥ABC是等边三角形，∥∥ABC=∥C=60°，∥将∥BCD绕点B逆时针旋转60°，得到∥BAE，∥∥EAB=∥C=∥ABC=60°，∥AE∥BC，故选项A正确；∥∥ABC是等边三角形，∥AC=AB=BC=5，∥∥BAE∥BCD逆时针旋旋转60°得出，∥AE=CD，BD=BE，∥EBD=60°，∥AE+AD=AD+CD=AC=5，∥∥EBD=60°，BE=BD，∥∥BDE是等边三角形，故选项C正确；∥DE=BD=4，∥∥AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；而选项B没有条件证明∥ADE=∥BDC，∥结论错误的是B，故选：B．随练1、如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A.150°B.160°C.130°D.60°【答案】A【解析】∵AB∥ED，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，在四边形ABCD中，∠BCD=12（360°﹣∠BAD）=12（360°﹣60°）=150°．随练2、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】B【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；随练3、如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=___________．【答案】 2．【解析】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=∠E=30°，BD ⊥AC ， ∴∠BDC=90°， ∴BC=2DC ，∵∠ACB=∠E+∠CDE ， ∴∠CDE=∠E=30°， ∴CD=CE=1， ∴BC=2CD=2．等边的判定例题1、 △ABC 中，①若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】 D【解析】 ①三边相等的三角形是等边三角形，正确；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确； ③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确； ④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确；则正确的有4个．例题2、如图所示，AD 是ABC △的中线，60ADC ∠=°，8BC =，把ADC △沿直线AD 折叠后，点C 落在C '位置，则BC '的长为________.【答案】 4【解析】本题考察的是等边三角形．由题意，60ADC ADC '∠=∠=︒，DC DC DB '==． 180606060BDC '∠=︒-︒-︒=︒，有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形，118422BC BD BC '===⋅=．故本题的答案是4．例题3、已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆，CBN ∆都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：CEF ∆为等边三角形．【答案】见解析【解析】（1）ACM ∆，CBN ∆是等边三角形， AC MC ∴=，BC NC =，60ACM NCB ∠=∠=︒，ACM MCN NCB MCN ∴∠+∠=∠+∠，即ACN MCB ∠=∠．在ACN ∆和MCB ∆中，AC MC =，ACN MCB ∠=∠，NC BC =， ACN MCB ∴∆≅∆，AN BM ∴=．（2）ACN MCB ∆≅∆，CAN CMB ∴∠=∠，又18060MCF ACM NCB ∠=︒-∠-∠=︒，MCF ACE ∴∠=∠，在CAE ∆和CMF ∆中，CAE CMF ∠=∠，CA CM =，ACE MCF ∠=∠， CAE CMF ∴∆≅∆，CE CF ∴=，CEF ∴∆为等腰三角形，又60ECF ∠=︒，CEF ∴∆为等边三角形．随练1、已知：如图，△AOB 的顶点O 在直线l 上，且AO AB =．（1）画出△AOB 关于直线l 成轴对称的图形△COD ，且使点A 的对称点为点C ；（2）在（1）的条件下，AC 与BD 的位置关系是_________；（3）在（1）、（2）的条件下，联结AD ，如果2ABD ADB ∠=∠，求∠AOC 的度数．【答案】（1）如图1（2）平行（3）60AOC ∠=︒ 【解析】该题考查的是轴对称与全等三角形．（1）如图1；（2）平行．AC DB∵AC与BD是对应点的连线，l为对称轴，∴AC l⊥，⊥，BD l∴AC∥BD．（3）如图2，∵由（1）可知，△AOB与△COD关于直线l对称，∴△AOB≌△COD．∴AO AB CO CD===，∵2∠=∠=∠，ABD CDB ADB而ADB DAC∠=∠，∴CDA CAD∠=∠，∴CD CA=，∴CA CO OA==，∴△COA为等边三角形，∴60∠=︒．AOC直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一边例题1、如图，已知ABC⊥，则下列关系式正确的为（）∠=︒，AB AD∆中，AB AC=，30CA.BD CDBD CD= D.4=BD CDBD CD= B.2= C.3【答案】B【解析】该题考查的是特殊的直角三角形．C CAD∠=∠=︒，30∴DAC∆为等腰三角形，∴CD AD=，在Rt BAD∆中，30∠=︒，B∴22==BD AD CD故选B．例题2、如图，30∥交OA于C.若10PC=，则OC=__________，⊥于D，PC OBAOB∠=︒，OP平分AOB∠，PD OBPD=__________.【答案】10；5【解析】该题考查的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．∵OP平分AOB∠，∴AOP BOP ∠=∠， ∵PC OB ∥，∴CPO BOP ∠=∠， ∴CPO AOP ∠=∠， ∴PC OC =， ∵10PC =，∴10OC PC ==，过P 作PE OA ⊥于点E ，∵PD OB ⊥，OP 平分AOB ∠， ∴PD PE =，∵PC OB ∥，30AOB ∠=︒ ∴30ECP AOB ∠=∠=︒在Rt ECP ∆中，152PE PC ==∴5PE PD ==随练1、如图，ABC △中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，12AC =，则BCD △中BC 边上的高是____【答案】 6【解析】该题考察的是三角形的高．过A 做BC 的高AE ，在Rt △AEC 中，30C ∠=︒，由在直角三角形中30︒所对直角边等于斜角边的一半得：11=12622AE AC =⨯=．等边三角形与全等三角形综合例题1、如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D 处，它的一边始终经过点A ，另一边与直线a 交于点E ．（1）若D 恰好在BC 的中点上（如图1）求证：△ADE 是等边三角形；ODB P CA E BA DCBA DCE（2）若D 为直线BC 上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵a ∥AB ，且△ABC 为等边三角形， ∴60ACE BAC ABD ∠=∠=∠=︒，AB AC =， ∵BD CD =，∴AD ⊥BC∵60ADE ∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴18090DOC EDC ACB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴30DEC DOC ACE ∠=∠-∠=︒，∴EDC DEC ∠=∠，∴EC CD DB ==，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD AE =，且60ADE ∠=︒， ∴△ADE 是等边三角形；（2）在AC 上取点F ，使CF CD =，连结DF ， ∵60ACB ∠=︒，∴△DCF 是等边三角形， ∵60ADF FDE EDC FDE ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ADF EDC ∠=∠，∵DAF ADE DEC ACE ∠+∠=∠+∠，∴DAF DEC ∠=∠， ∴△ADF ≌△EDC （AAS ），∴AD ED =，又∵60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形．例题2、在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=10cm ，等腰直角三角形DEF 的顶点D 为AB 的中点．（1）如图（1）所示，DE ⊥AC 于M ，BC ⊥DF 于N ，则DM 与DN 在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？（2）在（1）的基础上，将三角形DEF 绕着点D 旋转一定的角度，且AC 与DE 相交于M ，BC 与DF 相交于N ，如图（2），则DM 与DN 在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？【答案】（1）DM=DN ；25cm 2（2）DM=DN ；25cm 2【解析】（1）连接DC ，∵AC=BC ，D 为AB 的中点，∠ACB=90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°， ∴∠A=∠DCN ，AD=DC ， ∵DM ⊥AC ，DN ⊥BC ， ∴∠DMA=∠DNC ，∴△ADM ≌△CDN （AAS ）， ∴DM=DN ，则S 重叠=S △DNC +S △DMC =S △DMA +S △DMC =S △ADC =12S △ABC =12×12×10×10=25（cm 2）；（2）连接CD ，则CD ⊥AB ，∠A=∠DCB=45°，AD=CD ，∵∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDF=90°， ∴∠ADM=∠CDN ，∴△AMD ≌△CND （ASA ）， ∴DM=DN ，同（1）可得S 重叠=12S △ABC =12×12×10×10=25（cm 2）．随练1、如图，已知∥ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∥ABE∥∥CAD ；（2）求∥BFD 的度数．【答案】（1）见解析（2）60° 【解析】（1）证明：∥∥ABC 为等边三角形， ∥∥BAE=∥C=60°，AB=CA ，在∥ABE 和∥CAD 中， AB CA BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABE∥∥CAD （SAS ）．（2）∥∥BFD=∥ABE+∥BAD ，又∥∥ABE∥∥CAD ， ∥∥ABE=∥CAD ．∥∥BFD=∥CAD+∥BAD=∥BAC=60°．随练2、如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是三角形外一点，且60ABD ∠=︒，BD DC AB +=．求证：60ACD ∠=︒．【答案】见解析【解析】延长BD 至E ，使CD DE =，连接AE ，AD ，BD CD AB +=，BE BD DE =+，BE AB ∴=，60ABD ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，AE AB AC ∴==，60E ∠=︒，在ACD ∆和AED ∆中，AC AE CD DE AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACD AED SSS ∴∆≅∆，60ACD E ∴∠=∠=︒．随练3、已知：90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，CE ⊥BD ，垂足为E ．求证：2BD CE =．【答案】见解析【解析】本题考查全等三角形的判定与性质．证明：延长CE 、BA 交于点F ． ∵CE ⊥BD 于E ，90BAC ∠=︒， ∴ABD ACF ∠=∠．又∵AB AC =，90BAD CAF ∠=∠=︒， ∴△ABD ≌△ACF （AAS ）， ∴BD CF =．∵BD 平分ABC ∠， ∴CBE FBE ∠=∠．有BE BE =， ∴CE EF =，∴12CE BD =，∴2BD CE =．勾股定理的证明知识精讲一．勾股定理定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222a b c+=．举例如图，在Rt ABC△中，A B C∠∠∠、、的对边分别用字母a、b、c来表示，则有：222a b c+=其中，当34a b==，时，则有斜边222223425c a b=+=+=变形22c a b=+，22a c b=-，22b c a=-．二．勾股定理的证明证明方法一：（赵爽弦图）22 2222222214()214()222ABCDS c ab b a c ab b ac ab b a abc b a==⨯+-∴=⨯+-=++-=+正方形证明方法二：（等面积法）()2222222214222ABCDS a b ab ca b ab ab ca b c=+=⨯+∴++=+∴+=正方形cbaCBA cabAFDCBEHG证明方法三：（总统证法）()()222222211222222ABCD a b a b S ab c a ab b ab c a b c ++==⨯+∴++=+∴+=梯形三．易错点：1. 运用勾股定理求直角三角形边长时，注意分清直角边和斜边，采用正确的计算公式。

1.三角形三条角平分线的性质教学课件北师大版数学八年级下册

练习2. 如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分 ∠ABC，AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.
(1)点O到△ABC三边的距离和为___1__2____；
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
B
O
P
A
DM
C
解：（2）连接OC.
从这道题中，你能归纳出一个求面积的公式吗？
交于三角形内一点到三角形三边的距离相等
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴∠ACE=∠AED=90°（三角形内角和180°）在Rt△ACD 和 Rt△AED中，
AD=AD CD=DE ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE（全等三角形对应边相等）
又∵BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD．
A
D
N
F
P
M
C E
议一议
三角形中垂线与角平分线的区分
三角形
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
交点性质
三边垂直平分线
三条角平分线
交于三角形内一点
交于三角形外一点交于斜边的中点到三角形三个顶点的距离相等
交于三角形内一点到三角形三边的距离相等
练一练
练习1. 如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知 CD=4cm，求AC的长；
BC，CA的距离相等.
A
D
N
F
P
M
B
C
E
思路：
PB平分∠ABC PD⊥AB PE⊥BC
PC平分∠ACB PE⊥BC PF⊥AC

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中垂线、角平分线、等腰三角形性质综合应用
一、知识点回顾
1、线段垂直平分线性质定理及其逆定理：
定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.
2、角平分线的性质定理及其逆定理：
定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.
逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
1、等腰三角形的性质
等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合证明以下推论：
等腰三角形的两底角的平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
4、等腰三角形的判定：
等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形
D
2
1P C
A
B
E
O
二、典型例题讲解
1、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.
2、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。

求证：
90o ACB ∠=
3、如图，已知：在,90,30o
o
ABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。

求证：AF=FG=BG 。

4、如图，已知：在△ABC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，且CE=EF 。

求证：FG//AC
A
F E A M
E
F
B
A C
D
F
B
A
5、如图，在ABC ∆中，OE 、OF 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，,OBC OCB ∠∠的平分线相交于点I ，判断OI 与BC 的位置关系，并证明你的判断。

6：如图，已知：BAC CBF ∠∠与的平分线相交于P ，联结CP ，分别过点B 、C 作PC 、PB 的垂线交AC 、AB 的延长线于E 、F ，G 、H 为垂足。

求证：BF=CE
B
B
课堂随练
1、如图14－73所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.
2、如图14－74所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M，N.求证MB=2AC.
3、如图14－97所示，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平
行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线于点F.试证明DE=DF.
4、如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，
AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。

求证：（1）∠AOB＝120°；
（2）CM＝CN；
（3）MN∥AB。