垂直平分线性质
三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质
三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质三角形是几何学中最基本的平面图形之一，有许多有趣的性质和定理与之相关。
本文将讨论关于三角形中线角平分线和垂直平分线的性质。
一、中线角平分线的性质中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
而三角形的中线角平分线则是从三角形的一个顶点到对边的中点后继续延伸至对边上某一点的线段，它具有以下性质：1. 中线角平分线将三角形的对边平分成两个相等的线段。
这意味着通过中线角平分线将三角形划分为两个面积相等的小三角形。
2. 三角形三个中线角平分线的交点称为三角形的重心，重心位于三角形的内部，且到三角形的三个顶点距离相等。
3. 三角形的重心到三个顶点的距离之和等于重心到三边的距离之和。
这个性质在解决实际问题中有广泛的应用，例如确定三个城市的最佳集中点。
4. 三角形的重心将中线分成2:1的比例。
也就是说，从顶点到中线交点的距离是从中线交点到对边中点的距离的两倍。
二、垂直平分线的性质垂直平分线是从三角形某一边上的点垂直地到达对边的线段，具有以下性质：1. 垂直平分线将三角形的一条边平分成两个相等的线段。
这表明通过垂直平分线可以将三角形划分为两个面积相等的小三角形。
2. 三角形三个垂直平分线的交点称为三角形的外心，外心即位于三角形的外部，且到三角形的三个顶点距离相等。
3. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，且等于外心到三边的距离。
4. 三角形的外心和三个顶点共线，且外心和三个顶点的连线垂直于各边。
总结：三角形的中线角平分线与垂直平分线是三角形内部特殊线段的几何性质，在解决几何问题和推导其他定理时起到重要作用。
中线角平分线将三角形对边平分，三个中线角平分线的交点为三角形的重心，重心有着特殊的位置和性质；而垂直平分线将三角形的一边平分，三个垂直平分线的交点为三角形的外心，外心也有着特殊的位置和性质。
研究三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质，有助于加深我们对于三角形几何形状的理解，以及解决与三角形相关的数学问题。
线段的垂直平分线的性质教案
线段的垂直平分线的性质教案一、教学目标1.了解线段的垂直平分线的定义；2.学习垂直平分线的性质；3.能够应用垂直平分线的性质解决相关问题。
二、教学重点1.垂直平分线的性质；2.应用垂直平分线解决问题。
三、教学难点1.垂直平分线的构造和性质的理解；2.运用垂直平分线解决相关问题。
四、教学过程1.导入（5分钟）通过导入问题引起学生思考和讨论：“在平面直角坐标系中，如果一条线分别与x轴和y轴相交，该线的斜率和与该线垂直的两条直线之间有什么关系？”引导学生思考，并预测垂直平分线的性质。
2.展示（10分钟）将一条线段AB展示在黑板上，并以该线段为直径画一个圆，找出线段AB的中点C，并在线段AB上任取一点D，然后连接CD并延长到圆上，假设CD与圆交于点E，引导学生一起观察并思考，是否存在线段CD垂直平分线，如果存在，该垂直平分线有什么性质？3.讲解（15分钟）解答学生提出的问题，讲解线段的垂直平分线的定义：“在线段上取一点，它到线段的两个端点的距离相等，且与线段垂直的直线称为线段的垂直平分线。
”讲解线段的垂直平分线的性质：(1)线段的垂直平分线与线段的中垂线重合；(2)如果一条线段的垂直平分线与线段相交，那么相交点就是线段的中点；(3)如果一条线段的垂直平分线与直线相交，那么相交点到线段两个端点的距离相等。
4.练习（20分钟）让学生分组进行练习，通过解答问题掌握线段的垂直平分线的定义和性质。
练习题：(1)如图，在线段AB上取一点P（不在AB的延长线上），连PA，PB，画出线段AB的垂直平分线，判断垂直平分线与线段AB的位置关系，并说明理由。
(2)如图，在线段AB的一侧以BC为直径画一个圆，过点A作圆的切线AC，连接线段AB的中点M与线段AC的交点N，画出线段AB的垂直平分线，并判断垂直平分线与线段AB的位置关系，并说明理由。
5.总结（10分钟）帮助学生总结垂直平分线的性质，引导学生再次思考垂直平分线与线段和直线之间的关系。
垂直平分线性质
A N
P
C
B
练习一：
1.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线， 垂足为D，点P是MN上一点。 若AB=10 cm，则BD=__________cm； 若PA=10 cm，则PB=__________cm； 此时，PD=__________cm.
练习二：
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平 分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长 等于50,求BC的长. A
D E B C
变式1：如图1，在△ABC中， AB的垂直平 分线交AB于点D，交AC于点E，若 ∠BEC=70°，则∠A=？
A
D E
B
C
练习三：
3 : 如图，在△ABC中，AB=AC, BC=12, ∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边 于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状
线段的垂直平分线：
定义：经过某一条线段的中点，并ห้องสมุดไป่ตู้垂 直于这条线段的直线叫做这条线 段的垂直平分线。（也称为中垂线） 特点：直线垂直且平分线段。
定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段的 两个端点距离相等.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点距离相等. 书写格式： M ∵MN为线段AB的垂直平分线 ∴PA=PB
线段的垂直平分线的性质
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*线段的垂直平分线的性质知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
2、逆定理是：3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
典例分析：例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。
若BE=2，∠B =15° 求：AC 的长。
[变式练习1] 如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BC=2+2，AE=2,∠B =22.5° 求：AC 的长.B CA E D 图1AE DC B 图3 A EDCB图4例2: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.(3) 判断△AEN 的形状.[变式练习3]:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*[变式练习4]如图8，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.求:∠EAN 的度数.A B CD E M N 图5 C图7 图8练习（1）如图，已知：BD BC AD AC ==,，那么（ ） （A ）CD 垂直平分AB （B ）AB 垂直平分CD （C ）CD 与AB 互相垂直平分 （D ）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上， 那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）以上都有可能（3）在ABC ∆中，AC AB =，AD 为角平分线，则有AD______BC （填⊥或//），=BD _____. 如果E 为AD 上的一点，那么=EB _______. 如果︒=∠120BAC ，8=BC ，那么点D 到AB 的距离是______.5. （4）如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，ABD ∆的周长为cm 12，cm AC 5=，则ABC ∆的周长为_______cm .（5）如图，已知在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于E ，5=BE ，则=AC ______. ．证明题（1）如图，已知：AD 是ABC ∆的高，E 为AD 上一点，且CE BE =. 求证：ABC ∆是等腰三角形.（2）如图，已知：在ABC ∆中，A B AC AB ∠=∠=2,，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求证：BC AD =.（3）如图，已知：在ABC ∆中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P . 求证：点P 在AC 的垂直平分线上.（4）如图，已知：AD 是ABC ∆的BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的延长线于F ，交AD 于E ，求证：CAF BAF ∠=∠.(5)、如图，已知：BC AB ⊥，BC CD ⊥，︒=∠75AMB ，︒=∠45DMC ，DM AM =. 求证：BC AB = （6）如图，已知：在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E 、F . 求证：AD 是EF 的垂直平分线.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*（7）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*。
线段的垂直平分线性质及其应用
线段的垂直平分线性质及其应用一、基础知识归纳1 线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程.2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P作已知线段AB的垂线PC，再证明PC平分AB；②取AB的中点C，证明PC⊥AB；③作∠APC的平分线PC，证明PC⊥AB，且AC=AB.3 三角形的三边的垂直平分线定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．二、典型例题剖析典例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM .图11/ 22 / 2【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来.证明：连接AM ，∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵MN 垂直平分AB ， ∴MB =MA ，∴∠B =∠MAB =30°，∴∠MAC =90°，∴AM =21CM ， ∴CM =2BM典例2：城A 和城B 相距24千米，如今政府为便利两城居民生活，决定修建一个仓库，使得仓库到两城距离相等，请问这样的仓库位应该修建在什么位置？仓库的位置唯一吗？若要求仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置惟一吗？【研析】：这是一个把数学知识运用到生活中的实际问题，也就是找一个点到线段AB 的两个端点的距离相等，因此仓库的位置在线段AB 的垂直平分线上，这样的点有无数个，所以仓库的位置不唯一；若仓库到两城距离均为15千米，则AM=BM=15，AC=BC=12，所以MC=9，所以仓库可以修建在点M 的位置，同理也可以修建在点N 的位置，故仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置也唯一.典例3： 已知：三个村庄分别是A 、B 、C ，其位置如图所示，现在三个村庄联合打一机井向三个村庄供水，从各自的利益考虑，都为了使机井到自己的村庄的距离最近，请你帮助他们设计一个方案.【研析】：这是一个实际问题，它的本质就是寻求一个点到A 、B 、C 三个点的距离都最小，实际就是找一个点P 到A 、B 、C 三个点的距离相等,因此，可以作三边的垂直平分线，相交于点P.图2。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。
性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。
第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。
判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。
2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。
方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。
第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。
3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。
3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。
第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。
4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。
4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。
第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。
5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 导入：引入线段的垂直平分线的概念，让学生直观地了解垂直平分线的作用和意义。
1.2 教学内容：1.2.1 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直平分线是线段上一点到线段两端点的距离相等的直线。
1.2.2 垂直平分线的性质：引导学生探究垂直平分线的性质，如垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，垂直平分线与线段垂直相交等。
1.3 教学活动：1.3.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线概念的理解。
1.3.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的性质，并找出相关的证据和证明方法。
1.4 作业布置：布置一些有关垂直平分线性质的练习题，巩固所学知识。
第二章：垂直平分线的判定2.1 教学内容：2.1.1 垂直平分线的判定方法：介绍垂直平分线的判定方法，即如果一条直线垂直平分一条线段，则该直线满足一定的条件。
2.1.2 判定条件的应用：引导学生理解和掌握判定条件，并能够运用到实际问题中。
2.2 教学活动：2.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线判定方法的理解。
2.2.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的判定条件的应用，并找出相关的证据和证明方法。
2.3 作业布置：布置一些有关垂直平分线判定的练习题，巩固所学知识。
第三章：垂直平分线的性质与判定综合应用3.1 教学内容：3.1.1 综合应用：引导学生将垂直平分线的性质与判定方法综合运用到实际问题中，解决一些与垂直平分线相关的问题。
3.1.2 问题解决：让学生尝试解决一些与垂直平分线相关的问题，如寻找线段的垂直平分线、判断直线是否为线段的垂直平分线等。
3.2 教学活动：3.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，理解综合应用的意义和方法。
3.2.2 小组讨论：让学生分组讨论如何综合运用垂直平分线的性质与判定方法解决实际问题，并找出相关的证据和证明方法。
角平分线和线段垂直平分线的性质
角平分线和线段垂直平分线的性质1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90，AP 平分∠DAB ，PB平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。
5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）PDCBA EDCB A DCB AE D CB A图图图图A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（ ） A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、②③④7题图8题图 9题图 8、如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝DECBADECBAcb aD、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分2、逆定理是：3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
典例分析：例1如图1,在厶ABC中，已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC 于点E,A BCE 的周长等于50，求BC的长.变式1:如图1 ,在厶ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若/ BEC=7C° , 则/ A= 变式2 :如图3，在Rt A ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。
若BE=2,Z B =15° 求：AC的长。
如图4,在Rt△ ABC中, AB的垂直平分线交BC边于点E.若BC=2+i 2 , AE=2,/ B =22.5AB=AC,BC=12,Z BAC=12C° ,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求厶AEN的周长.(2)求/ EAN的度数.⑶ 判断△ AEN的形状.图1B求：AC的长.MDE N/ 4图5[变式练习3]:如图7,在厶ABC中，BC=12, / BAC =100° ,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1)求厶AEN的周长.(2)求/ EAN的度数.[变式练习4]如图8,A ABC中,/ BAC =70° , BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.求：/ EAN的度数.练习(1)如图，已知：AC AD, BC BD，那么()(A) CD垂直平分AB ( B) AB垂直平分CD(C) CD与AB互相垂直平分(D)以上说法都正确(2 )如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是( )(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)以上都有可能(3)在ABC中，AB AC , AD为角平分线，则有AD ___________ BC填或// ), BD .如果E为AD上的一点，那么EB _________ .如果BAC 120 , BC 8,那么点D到AB的距离是______ .。
13.5.2线段垂直平分线的性质和判定
A N
C
B
试一试：
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
A
O
P
B
基础闯关
1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上 的一点,如果EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 0. ∠ECD=600,那么∠EDC= 60
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、线段垂直平分线的判定性质:
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
C
二、线段垂直平分线的判定:
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易的“弓”， “箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木 棒垂直呢？为什么？
A
答：当PA=PB时，射出的箭 的方向与木棒垂直
O
P
与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
B
二、线段垂直平分线的判定:
线段垂直平分线的性质和判定
垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段 的垂直平分线。
图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平分线。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
垂直平分线的性质及做法(
如下图△ABC中，AC=16cm，
A
DE为AB的垂直平分线，
△BCE的周长为26cm，求BC
的长。
D
E
B
C
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P. （1）求证：PA=PB=PC （2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？
（1）证明：∵点Ｐ在边AB的垂直平分线上，
A
∴PA=PB.
又∵点P在边BC的垂直平分线上，
∴PB=PC.
P B
∴PA=PB=PC.
C
（2）答：点P也在AC的平分线上.
如果把这个命题反过来说，还成立吗？
∴ ∠PCA=∠PCB=9=PC（公共边）
∠PCA=∠PCB（已证）
AC=BC（已知）
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), 这∴个P结A=论PB是(线经段常垂用直来平证分明线两上条的线点段到相这等条的线根段据两之个一. 端点距离相等).
（2）点P是否也在边AC的垂直 平分线上呢？由此你能得出什 么结论？
B
P C
结论：三角形三条边的垂直平分线相 交于一点，这个点到三角形三个顶点 的距离相等。
例题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90， DE是AB的垂直平分线，连接AE， C ∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的E 度数。
B
D
A
例题：
在Rt△PAC≌Rt△PBC中
对应角相等）
PA=PB， PC=PC（公共边），
即，P点在AB的垂直平 分线上
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
结论：与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上.
垂直平分线的性质与判定
垂直平分线的性质与判定垂直平分线是几何图形中的一种重要类型，其几何图形的性质与判定与内聚离散几何形式有关。
本文将详细讨论垂直平分线的性质与判定，以及其在实际应用中的重要性。
首先，我们来看看垂直平分线是什么。
垂直平分线又称为垂直线，它是在某一条直线上，将该直线分成两等份的一种几何线段。
它以线段AB为基础，由点C在AB上垂直到AB上，AB分割成AC和CB两段等长的线段。
点C就是垂直平分线的交点。
其次，垂直平分线的性质与判定。
由定义可知，AB的垂直平分线的性质是：它在AB上垂直分割AB，使AB的两段等长，AB的中点即AB的垂直平分线的交点。
显然，垂直平分线的性质是由它是AB上垂直分割AB，使AB的两段等长而决定的。
判定垂直平分线是否存在可以依据它是AB上垂直分割AB，使AB的两段等长的性质，通过直线AB的斜率来进行判定。
如果两条直线的斜率相乘结果为-1，则说明两条直线是垂直的，也就说它们存在一个交点，而这个交点就是垂直平分线的交点。
因此，可以得出结论：当两条直线的斜率相乘结果为-1时，两条直线有一个公共点，这个公共点就是垂直平分线的交点。
最后，重点谈一谈垂直平分线在实际应用中的重要性。
垂直平分线在实际应用中有着广泛的用途。
其一，垂直平分线有助于定位几何图形等内聚离散几何形式，从而更好地掌握和表示几何空间信息；其二，垂直平分线构成的三角形可以用作测量和计算面积，从而更好的应用于科学计算、工程设计、地理测量等；其三，垂直平分线在机械自动化系统中有着重要的作用，它可以作为机械机构的基础支撑，从而增强机械机构的稳定性与耐久性。
综上所述，垂直平分线在几何图形中具有重要的性质与判定以及在实际应用中的重要性，它是几何图形中一种重要类型。
因此，我们应该深入研究垂直平分线的性质与判定，掌握其在实际应用中的重要性，以期更好地应用它，促进科学研究的进步与发展。
垂直平分线的性质与应用
判定方法
定义法：根据垂直平分线的定义进行判定 角平分线法：利用角平分线定理进行判定 勾股定理法：利用勾股定理进行判定 逆定理法：利用垂直平分线的逆定理进行判定
垂直平分线定理
定义：垂直平 分线是过线段 中点并垂直于
线段的直线
性质：垂直平 分线上的任意 一点到线段两 端点的距离相
等
应用：利用垂直 平分线的性质解 决实际问题，如 三角形、四边形 的中垂线性质等
性质：垂直平 分线上的点到 线段两端点的
距离相等
应用：利用性质 证明线段相等， 可以通过证明某 点到线段两端点 的距离相等来实
现
解题步骤：先确 定线段的中点， 然后过中点作线 段的垂直平分线， 最后利用性质进
行证明
利用垂直平分线性质证明角相等
定义：垂直平分线是过线段中 点并与线段垂直的直线
性质：垂直平分线上的点到线 段两端点的距离相等
分：通过中点作直 线的垂直平分线
已知线段和直线
确定线段的中点
连接线段两端与中 点，得到垂直平分 线
证明垂直平分线的 性质和应用
总结垂直平分线的 作法
垂直平分线的性 质在解题中的应 用
利用垂直平分线性质证明线段相等
定义：垂直平 分线是过线段 中点并与线段
垂直的直线
证明方法：利用垂直 平分线的性质，可以 证明两个三角形在两 边和夹角相等的情况 下是全等的。
实例解析：通过具体 例题解析，展示如何 利用垂直平分线性质 证明三角形全等。
利用垂直平分线性质求线段长度
定义：垂直平分线性质是指垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
应用场景：在解题中，可以利用垂直平分线性质来求线段的长度。
解题步骤：首先，找到线段的垂直平分线；然后，在垂直平分线上选取一个点，并测量该点到线段 两端点的距离；最后，利用垂直平分线的性质，计算出线段的长度。
平面几何中的垂直平分线有哪些性质
平面几何中的垂直平分线有哪些性质在平面几何中，垂直平分线是指同时垂直于某条线段且将该线段平分成两等分的线。
垂直平分线是一个非常重要的概念，在数学和几何学中有广泛的应用。
本文将介绍垂直平分线的性质，以及它在几何学中的应用。
一、垂直平分线的性质1. 垂直性：垂直平分线与所平分的线段垂直相交。
这是垂直平分线最基本的性质之一，也是其命名的来源。
在平面几何中，两条互相垂直的线段具有特殊的位置关系，可以相互平分对方。
2. 等分性：垂直平分线将线段平分成两等分。
具体来说，从线段的两个端点到垂直平分线的距离相等，使得线段被平分成两个相等的部分。
3. 独特性：垂直平分线是唯一的。
对于任意给定的线段，存在且仅存在一条垂直平分线。
这是因为垂直平分线同时满足垂直性和等分性，只有满足这两个条件的直线才能称为垂直平分线。
二、垂直平分线的应用1. 构造垂直平分线：利用垂直平分线的性质，我们可以通过一些简单的几何构造来绘制垂直平分线。
其中一种方法是使用圆和直线相交的原理，利用圆上的点到圆心的距离相等的特点，可以构造出垂直平分线。
2. 证明两条线段垂直：通过证明两条线段的垂直平分线相交于一点，可以推断出这两条线段是互相垂直的。
这种方法在几何证明中经常被用到，是判断线段垂直性的重要手段之一。
3. 确定不同图形的性质：垂直平分线的性质在确定不同图形的性质时起着重要作用。
例如，在研究三角形的外接圆时，三角形的三条边的垂直平分线可以交于一点，这个点即是三角形外接圆的圆心。
4. 解决几何问题：在解决几何问题时，垂直平分线的性质常常被用来简化问题，并得出准确的结论。
例如，利用垂直平分线的性质可以求解线段的中点、确定多边形的对称中心等。
总之，垂直平分线是平面几何中一个重要的概念，具有垂直性、等分性和独特性等基本性质。
垂直平分线在几何学中有广泛的应用，可以用于构造、证明、确定图形的性质以及解决各种几何问题。
通过深入理解和应用垂直平分线的性质，我们可以更好地理解和掌握平面几何的知识，并应用于实际问题中。
垂直平分线的定理
知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD=BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC=BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
定理的数学表示：如图3，若直线i、j、k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i、j、k相交于一点O，且OA=OB=OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.典型例题：例1如图1，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm例2 1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例3 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC求证：点O在BC的垂直平分线例4 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.4、角平分线的性质定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线的概念。
1.2 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直于线段并且将线段平分的直线。
1.3 性质1：线段的垂直平分线垂直于线段。
1.4 性质2：线段的垂直平分线将线段平分，即线段的两个端点到垂直平分线的距离相等。
第二章：垂直平分线的判定2.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何判定一条直线是线段的垂直平分线。
2.2 判定1：若一条直线垂直于一条线段，并且将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。
2.3 判定2：若一条直线与一条线段相交，并且交点将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。
第三章：垂直平分线的应用3.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在几何中的应用。
3.2 应用1：利用垂直平分线证明线段相等。
3.3 应用2：利用垂直平分线证明直角三角形。
3.4 应用3：利用垂直平分线解决线段比例问题。
第四章：垂直平分线的作图4.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何作一条线段的垂直平分线。
4.2 作图方法1：利用直尺和圆规作图。
4.3 作图方法2：利用直尺和圆规作图的变体。
4.4 作图方法3：利用尺规作图的其他方法。
第五章：垂直平分线的综合应用5.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在不同情境下的应用。
5.2 综合应用1：在几何题目中综合运用垂直平分线的性质与判定。
5.3 综合应用2：解决实际问题中涉及垂直平分线的问题。
5.4 拓展思考：探讨垂直平分线在其他数学领域中的应用。
第六章：线段垂直平分线与圆的关系6.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线与圆的关系。
6.2 性质3：线段的垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
6.3 判定3：若一条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等，则该直线是线段的垂直平分线。
6.4 应用4：利用线段垂直平分线性质解决与圆相关的问题。
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AC=BC(已知)
PC=PC(公共边)
A
C
A.3.2cm B.3.9cm C.4.6cm D.7.8cm C
D
3.如图所示，DE 是△ABC 的 AB 边
B 的垂直C,若 ∠B=30°，求∠C 的度数.
A
D
满足以上三个条件就可以说明△PCA≌△PCB(SAS) (教师引导学生进行分析学生自主整理证明过程并进行展示交流)
难 点：线段的垂直
布置作业
B
习题 13.1 第 6 题
C E
平分线的性质的应
板 书 设计
用
&13.1.2 线段的垂直平分线的性质
1、线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
AC=BC(已知)PC=PC(公共边)
2、证明：如图，直线 l⊥AB,垂足为 C,AC=CB,点 P
宁县春荣初中八年级数学同课异构教案
课题
13.1.2 线段的垂直平分线 的性质
类
型
新授
课时
2
主备人 郭照龙 备课成员
备课组长签名
时间 10.14
目标聚焦
教学互动设计（心动不如行动）
教学设想
知识与能力： 掌握线 一、创设情境，导入新课
P1
段垂直平分线的性质定
理
如图，直线 l 垂直平分线段 AB,P1，P2，P3，
四、课时演练，巩固新知
学生会用其解题。 C
学学习中获得成就感， 活动 2：根据以上条件，尝试证明你的结论。
树立自信心。
（学生根据活动要求自主探究，教师巡视指导。）
1.如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，
P
P 为直线 CD 上的一点，已知线段 PA=5，
学点透视
二、综合分析，讲授新课
如图，直线 l⊥AB,垂足为 C,AC=CB,点 P
P2
过程与方法：通过探...是 l 上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，
P3
究、交流、合作，培养
学生的逻辑思维能力。 ...到点 A 与点 B 的距离，你有什么发现？ A
情感与价值目标：体活动 1：请用刻度尺分别度量线段 P1A,
验数学活动充满探索性
和创造性，让学生在数 P1B 的长度，它们之间有什么关系？
l
则线段 PB 的长度为（
）
A
B
A.6 B.5 C.4 D.3
D
P
2.如图所示，直线 CD 是线段 AB
A
的垂直平分线，若 AC=1.6cm，BD=2.3cm,
教后反思
在 l 上。求证 PA=PB
则四边形 ABCD 的周长为 （
）
分析：直线 l⊥AB,垂足为 C，则
重 点：线段的垂直
平分线的性质
∠PCA=∠PCB=90° (垂直性质)；
lP
探究点：用文字语言
在 l 上。求证 PA=PB
叙 述 的 几 何 命 题 的 分析：直线 l⊥AB,垂足为 C，则
证明
∠PCA=∠PCB=90°(垂直性质)；
A
C
满足以上三个条件就可以说明△PCA≌△PCB(SAS) B
l
三、知识提升，形成规律
通过创设情境让学生明确
师生根据上述的探究过程及得出的结论，归纳线段垂直平分线的性质并进 本 节 所学 内容 ，经 历自 主探
行板书。
究、综合分析、形成规律的过
B
线段垂直平分线的性质：
程，使学生掌握线段垂直平分
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
线的性质，经历课时演练，使