等腰三角形和角平分线
角平分线等腰三角形
角平分线与等腰三角形江苏 刘顿角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．一、角平分线+平行线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ．简析 要证AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角形，故AE ＝AP ．例2 如图3，在△ABC 中，∠BAC ，∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB，BC 于点D ，E ．试猜想线段AD ，CE ，DE 的数量关系，并说明你的猜想理由． 简析 猜想：AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA ，OC 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ． 例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E ，F 分别在BD ，AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．简析 由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ．二、角平分线+垂线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若C A B E D O图3 图4 F C D E B A M 图2F B A C D P E 图1① D ② C D C ④F C DAD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形．例4 如图6，已知等腰R ｔ△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ．简析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，并在图5的揭示之下，延长线BA ，CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，故BF ＝2CD ．三、作倍角的平分线→等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形．如图7中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形．例5 如图8，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°．简析 由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对∠ACB ＝2∠B 进行技术处理，即作CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则由∠ACB ＝2∠B 知∠B ＝∠BCD ，即△DBC 是等腰三角形，而DE ⊥BC ，所以BC ＝2CE ，又BC ＝2AC ，所以AC ＝EC ，所以易证得△ACD ≌△ECD ，所以∠A ＝∠DEC ＝90°．E 图5 AB C D 图6 B F DE C A 图7 B C D A E 图8 C B A D。
三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型(解析版)
三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。
(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。
结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．【答案】25度/25°【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．【详解】∵MN∥OA，∴∠AOB=∠MNB=50°，由题意可知：OM平分∠AOB，∠AOB=25°．故答案为：25°．∴∠AOM=∠MOB=12【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．【答案】13【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD-AD=3+3-5=1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．【答案】4cm；4cm．【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证△AEC≌△EHC；由角度分析易知∠AEF=∠AFE，即AE=AF，则有EH=EA=AF；又可证△AGF≌△BHE，则AG=EB=12-4=8，则BG=8-4=4，GE=4．【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。
初中数学之等腰直角三角形的角平分线知识点
初中数学之等腰直角三角形的角平分线知识点
【题文】
已知等腰△ABC，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
求证：AC＋CD＝AB．
【解析】
证法一：过点D作DE⊥AB，易得CD＝ED，AC＝AE，
△DBE为等腰直角三角形，ED＝EB，
所以，AB＝AE＋EB＝AE＋DE＝AC＋CE
证法二：延长AC至点E，使CE＝CD，并连接DE，易得AB ＝AC，所以AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CE
证法三：延长BC至点E，使CE＝BC，连接AE，
则AE＝AB（垂直平分线的性质），
易得∠EAD＝∠EDA＝22.5°＋45°＝67.5°，
则AB＝AE＝ED，
所以AB＝ED＝EC＋CD＝BC＋CD＝AC＋CD
证法四：过点C作CG⊥AB，垂足为点F，交AD于点E，使得CF＝GF，并连接AG，
易得AF＝GF＝BF＝CF，AB＝CG，AG＝BC＝AC，
又得∠CED＝∠CDE＝∠AEG＝∠EAG＝67.5°，
所以CE＝CD，AG＝EG，
所以AB＝CG＝EG＋CE＝AC＋CD
证法五：延长AC至点E使得CE＝CD，并连接BE，易得△ACD≌△BCE，∠E＝∠ADC＝∠ABE＝67.5°，则AE＝AB，
所以AB＝AC＋CE＝AC＋CD
证法六：易得S△ACD：S△ADB＝CD：DB＝AC：AB，设AC＝CB＝1，则AB＝，CD＝x，BD＝1－x
代入比例式x：（1－x）＝1：，
∴x＝－1，
所以AC＋CD＝1＋－1＝＝AB。
三角形的三边关系与角平分线
三角形的三边关系与角平分线三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形时，我们常常会遇到三边之间的关系以及角平分线的性质。
本文将就这两个主题展开讨论。
一、三边关系在三角形中，三条边的关系可以帮助我们研究其形状以及内部角度的关系。
常见的三边关系有以下几种：1. 三边的长度关系：在任意三角形ABC中，三边的长度满足以下不等式关系：AB+BC＞AC，AC+BC＞AB，AB+AC＞BC。
这一关系被称为三角形的三边不等式。
根据这个不等式，我们可以判断三条线段是否能够构成一个三角形。
2. 等边三角形：等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
在等边三角形中，每一个内角都是60度。
等边三角形具有对称性和稳定性，常常在建筑和设计中被广泛应用。
3. 等腰三角形：等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边两边对应的内角）是相等的。
等腰三角形也具有对称性，常用于制作礼花和图腾等艺术设计中。
二、角平分线角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将相邻两边的内角平分为两个相等的角的线段。
角平分线具有以下几个重要性质：1. 角平分线的存在性：对于任意一个三角形ABC，从顶点A出发，可以找到一条角平分线AD。
AD将角BAC平分为两个相等的角。
同样地，我们还可以找到BC和CA的角平分线。
2. 角平分线的性质：a) 角平分线与边的关系：角平分线与三角形的边垂直且平分对边上的角。
例如，在三角形ABC中，如果AD是角BAC的平分线，则AD 与BC垂直且平分角BAC。
b) 角平分线的交点：角平分线的三条线段AD、BE、CF的交点O 称为三角形ABC的内心。
内心是三角形的一个重要特点，它有许多有趣的性质，例如内心到三角形的顶点距离相等。
c) 角平分线的角度关系：在三角形ABC中，如果AD是角BAC的平分线，那么角BAD和角CAD是相等的。
类似地，BE和CF也分别是三角形ABC其他两个内角的平分线。
等腰三角形的定理
等腰三角形的定理
等腰三角形的判定定理：
1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
3、顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
4、所有的等边三角形为等腰三角形。
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
3、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
等腰三角形+角平分线
第一部分：知识点回顾角平分线的性质及判定：1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：例：如图角的平分线的性质定理的几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE角的平分线的判定定理的几何语言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上等腰三角形的性质及判定：1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.2.等腰三角形的性质和判定性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）判定(1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）3.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.4.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.5.等边三角形有关判定(1 )三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.6.由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的直角边等于斜边的一半. 第二部分：典型例题如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于Ｏ，ＯＢ＝ＯＣ。
等腰三角形、垂直平分线、角平分线的有关计算证明问题
垂直平分线、角平分线的有关证明问题一、主要知识点(1)线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(2)角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
(3)逆命题、互逆命题的概念，及反证法如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
二、重点例题分析例1：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。
（垂直平分线的性质）例2：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。
求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
（用定义去证）AC D EB例3：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。
（连AE ，AG ）AB E G C例4：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。
求证：BE 垂直平分CD 。
（证全等）CEA D BF例5：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，与∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外例6、如图所示，AB>AC，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE AB ⊥于E ，DF AC F ⊥于，求证：BE=CF 。
（角平分线与垂直平分线的性质的综合应用）AEB MC F【相应练习】1．下列命题中正确的命题有（ ）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、已知：如图4，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC=5、如图5，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B=∠BAE ，∠C=∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。
等腰三角形和等边三角形的性质
等腰三角形和等边三角形的性质一、等腰三角形的性质1.1 定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。
1.2 两边相等：在等腰三角形中，两个底角相等，两条底边相等。
1.3 底角平分线：在等腰三角形中，底边的垂直平分线同时也是底角平分线。
1.4 顶角平分线：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边的中线和底角的平分线三线合一。
1.5 面积公式：等腰三角形的面积公式为：S=12absinC，其中 a 和 b 分别为等腰三角形的底边，C 为顶角。
二、等边三角形的性质2.1 定义：等边三角形是指三边相等的三角形。
2.2 内角相等：在等边三角形中，三个内角都相等，每个内角为60∘。
2.3 外角相等：在等边三角形中，每个外角都相等，每个外角为120∘。
2.4 中线相等：在等边三角形中，三条中线相等，且都垂直于对边。
2.5 高线相等：在等边三角形中，三条高线相等，且都垂直于对边。
2.6 面积公式：等边三角形的面积公式为：S=√34a2，其中 a 为等边三角形的边长。
2.7 圆周角定理：在等边三角形中，每个圆周角都等于60∘。
2.8 圆心对称：等边三角形具有圆心对称性，即三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于同一点，称为三角形的垂心。
2.9 稳定性：等边三角形是稳定的，不会因为外力的作用而变形。
总结：等腰三角形和等边三角形是特殊的三角形，它们具有独特的性质。
通过掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与等腰三角形和等边三角形相关的问题。
习题及方法：1.习题：判断以下三角形是否为等腰三角形。
解答：根据等腰三角形的性质，只需要判断两边是否相等即可。
如果两边相等，则为等腰三角形。
2.习题：已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，求该三角形的面积。
解答：根据等腰三角形的性质，底边上的高也是腰长的垂直平分线。
因此，可以将三角形分成两个直角三角形，每个直角三角形的底边为4cm，高为5cm。
面积公式为S=12×底边×高，所以面积为12×4cm×5cm=10cm2。
等腰三角形角平分线
注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于Ｏ，ＯＢ＝ＯＣ。
求证∠１＝∠２．四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB,BE平分∠ABC，点E恰在DC上，∠C=∠D=90°。
（1）求证：AE⊥BE（2）猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？请证明你的结论。
如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．交BC于E，DBE所以这个三角形腰长为10㎝，底边长为7㎝。
剖析：在处理等腰三角形的问题时，有的同学习惯上总认为腰大于底，这是造成错误的原因所在。
事实上本题有两种情况。
正解：此题有两种情况：∵BD 为等腰△ABC 的中线∴AD=DC 设AB 为x ㎝ ，BC 为ycm.(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122152y x x x 解得 ⎩⎨⎧==710y x 或 (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+152122y x x x 解得 ⎩⎨⎧==118y x 所以这个三角形腰长为10㎝，底边长为7㎝或腰长为8㎝，底边长为11㎝。
三、概念不清造成的错误例3、已知在等腰三角形中，一个角是另一个角的2 倍，求等腰三角形三个内角的度数。
错解：设等腰三角形的顶角为x°，则底角为2 x°。
根据题意，得 x+2x+2x=180解得 x=36 ∴2x=72∴这个等腰三角形的三个内角为：36°、72°、72°.剖析：错误在于误认为等腰三角形的底角一定大于顶角，是概念不清造成的错误想法。
本题应分底角大于或小于顶角两种情况解答。
正解：当等腰三角形的底角大于顶角时，设顶角为x°，则底角为2 x°。
角平分线、垂直平分线、等腰三角形
例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，
DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.
B
练习：
2. 如图所示，直线 表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
例2：△ABC中，AB=AC，BD、CE为角平分线，AH⊥CE于F交BC于H，AG⊥BD于G.
求证：(1)AC=CH (2)AF=AG.
课后作业：
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：________
教师评定：
1、学生上次作业评价： ○特别满意 ○满意 ○一般 ○差
2、线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，
并且这一点到三个顶点的距离相等.（三种情况）
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
龙文教育个性化辅导授课案
教师：学生时间：年_月__日__段第__次课
课题
垂直平分线与角平分线的性质和应用
考点分析
重点难点
垂直平分线与角平分线的性质和应用、等腰三角形
授课内容
一、线段的垂直平分线
1、垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
全等三角行 等腰三角形 角平分线和垂直平分线
2BC，线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于图1图2点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
角平分线与等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。如图7中，若，作BD平分，则是等腰三角形。
图7
例4.如图8，在中，，BC＝2AC。求证：
图8
简析：由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对进行处理，即作CD平分交AB于D，过D作于E，则由，知，即是等腰三角形。而，所以。又BC＝2AC，所以AC＝EC。易证得，所以。
二、角平分线＋垂线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图5中，若AD平分，，则是等腰三角形。
图5
例3.如图6，在等腰中，AB＝AC，，BF平分，，交BF的延长线于D。求证：BF＝2CD
图6
简析：由BF平分，，延长BA、CD交于点E，于是是等腰三角形，并有ED＝CD，余下来的问题只需证明BF＝CE。事实上，由，，，得。而AB＝AC，所以，则BF＝CE，易知，故BF＝2CD。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图3
简析：猜想：AD＋CE＝DE。理由如下：由于OA、OC分别是的平分线，DE//AC，所以和均是等腰三角形，则DO＝AD，CE＝EO。故。
训练题：如图4，在中，AD平分，E、F分别在BD、AD上，且，求证：EF//AB
图4
（提示：由于这里要证明的是EF//AB，而AD平分，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了）
图1
例1.如图2，在中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作，交BA的延长线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP
图2
简析：要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分，此时。而，故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE＝AP。
如何求解等腰三角形的底边
如何求解等腰三角形的底边等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形，底边则是等腰三角形中较长的一条边。
在解题过程中，我们可以利用等腰三角形的特性和一些几何定理来求解底边的长度。
本文将介绍两种常见的方法，一种是利用勾股定理，另一种是利用角平分线及正弦定理。
方法一：利用勾股定理勾股定理是一个描述直角三角形边长关系的定理，根据勾股定理可以得出如下关系式：c²= a²+ b²（其中c为斜边的长度，a、b分别为两条直角边的长度）对于等腰三角形，两条边的长度相等，假设等腰三角形的两条等边分别为a，底边的长度为b。
我们可以将其中的一条等边作为直角边，然后利用勾股定理来求解底边的长度。
设等边长度为a，底边长度为b，则有：b² = (a/2)² + a²化简上述等式，可得：b² = a²/4 + a²b² = (5a²)/4通过开方操作，可以得到等腰三角形的底边长度：b = √((5a²)/4)方法二：利用角平分线及正弦定理角平分线是指将一个角平分为两等分角的直线，利用角平分线可以求解等腰三角形的底边长度。
同时，我们也可以利用正弦定理来辅助求解。
假设等腰三角形的两条等边分别为a，底边的长度为b。
设角平分线与底边的交点为E，将角平分线分为两段，分别为DE和EF。
利用正弦定理，可以得到如下关系式：a/sin(A/2) = b/sin(A)其中A为顶角的度数。
由于等腰三角形的两个底角相等，所以角A/2和角A也相等，可以简化上述关系式：a/sin(A/2) = b/sin(A/2)进一步化简，可以得到：b = a所以，等腰三角形的底边长度等于其两条等边的长度。
综上所述，我们介绍了两种求解等腰三角形底边长度的方法。
根据题目要求，我们不再赘述标题和其他内容，通过上述叙述，您可以清楚地了解如何求解等腰三角形的底边长度。
数学人教版八年级上册角平分线和平行线构成等腰三角形的探究
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究-----李春蕊北京市育英学校一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。
这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据.学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。
学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。
二、教学目标：（1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律；（2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系.（3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心.教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题.教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题.突出重点方法:观察，思考，证明.突出难点方法:自主探究教学方法：启发与探究相结合教学准备：PPT，课本，作图工具三、教学设计：（一）复习等腰三角形相关知识1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：（由学生先进行回顾，教师补充）（二）探究过程问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？解：是；EB=ED发现：无论点D 在BD 上如何运动，△EBD 都是等腰三角形结论：角平分线+平行线 等腰三角形我们在几何证明中，一般不单独研究角，大多数都是借助图形，比如在三角形中研究问题，上面问题如果放在三角形中，我们可以作三角形中一个角的角平分线，然后过角平分线上一点，作这个角的一边的平行线。
等腰三角形、角平分线定理、垂直平分线定理
1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形 、等腰三角形的定义： 是等腰三角形。 是等腰三角形。 2、等腰三角形的性质： 、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等。 （简写成 ）等腰三角形的两个底角相等。 等边对等角” “等边对等角”） （2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的 ）等腰三角形的顶角的平分线， 中线，底边上的高重合（简写成“三线合一” 中线，底边上的高重合（简写成“三线合一”） 3、等腰三角形的判定： 、等腰三角形的判定： （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。 ）有两个角相等的三角形是等腰三角形。 简写成“等角对等边” （简写成“等角对等边”）
已知， 已知，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC ABC中 于点D 求证： 于点D，求证：2∠DBC=∠BAC
证明： 证明： 过点A AE⊥BC于点 于点E 过点A作AE⊥BC于点E AB=AC， AE⊥ ∵AB=AC， AE⊥BC EAC=∠ ∴2∠EAC=∠BAC ∴∠EAC+ C=90° EAC+∠ ∴∠EAC+∠C=90° BD⊥ 又∵BD⊥AC DBC=∠ ∴∠DBC=∠EAC 所以2 DBC=∠ 所以2∠DBC=∠BAC
如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD,求∠A的度数 如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD,求∠A的度数 ∠A为 设∠A为x ∵CA=CB ∴ ∠A=∠B=x ∵DF=DB ∴∠F=∠B=x ∴ ∠A=∠B= ∠F =x ∴∠ADE=2x ∵AE=AD ∴∠AED=∠ADE=2x ∠A=180÷5=36° ∴ ∠A=180÷5=36°
开动脑筋
如图， ， 是 边上的两点， 如图，P，Q是△ABC边上的两点，且 边上的两点 BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。 的度数。 ， 的度数
角平分线、等腰三角形复习(精华)
E广州培贤教育机构2010-2011年承诺预备班 第三讲 角平分线、等腰三角形角平分线一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）1．如图1所示，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA ＝PB ，则∠1与∠2的大小是（） A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定2．△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（） A 、12cm B 、10cm C 、14cm D 、11cm3．如图2所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )①AD 平分∠EDF ； ②AE=AF ； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4． 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（ ）． A ．AD =CP B ．△ABP ≌△CBP C ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB =∠CDB ． 二、精心填一填，你会轻松（每题6分，共30分）5．在直角△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD=8，则点D 到斜边AB 的距离等于_____________．名师点睛图1ABC DP 图26．如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．三、细心做一做，你会成功（共40分）7．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.8．如图，已知在△ABC 中，90C ∠= ，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．9．如图，△ABC 中，P 是角平分线A D ，BE 的交点．求证：点P 在∠C 的平分线上．ABCDEP ＢＡＣ等腰三角形一、选择题:(本题共8小题，每小题3分，共24分．下列各题都有代号为A ，B ，C ，D 的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的)1．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A=36度，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中共有等腰三角形的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．下列说法中，正确的有 ( ) ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形． A ．1个 B ．2个 C.3个 D ．4个3．如果△ABC 的∠A ，∠B 的外角平分线分别平行于BC ，AC ，则△ABC 是 ( ) A ．等边三角形 D ．等腰三角形 C. 直角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如图,把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是 ( )(第4题)A. 等边三角形 B ．等腰三角形 C. 直角三角形 D ．无法确定5．如图，在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D ．(1)(3)(4)二、填空题：(本题共8小题，每小题3分，共24分．把最后结果填在题中横线上) 6．已知等腰三角形的两边长是1cm 和2cm ，则这个等腰三角形的周长为_______cm ． 7．如图，∠A ＝15°，AB ＝BC=CD=DE ＝EF ，则∠GEF=_______．(1)36︒C BA(2)45︒CBA(3)90︒C BA108︒(4)CBAG F ED CBA三、解答题:(本题共5小题，17～20题，每小题10分，21题12分，共52分) 8.如图，DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D ，E ，AE 平分∠BAC ，若∠B=30°，求∠C 的度数．9.如图，点D 、E 在△ADC 的边BC 上，AD=AE ，BD ＝EC ，求证：AB=AC ．10.如图，AB ＝AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF 垂直于CD ．30EDCBAE DCB AF EDBA。
等腰三角形、角平分线
课 题 等腰三角形、角的平分线授课时间： 2013.备课时间：教学目标1. 熟练掌握等腰三角形、角的平分线的相关知识和性质。
教学内容（包括知识点、典型例题、课后作业）等腰三角形知识梳理一、等腰三角形的边角关系 1)判定定理 等角对等边 2)性质定理 等边对等角3)特殊角之间的关系 ∠B = ∠C=90°－21∠BAC∠BAC=180°－2∠B =180°－2∠C 4）底边BC 小于2倍的腰长AB 二、等腰三角形“三线”间的关系1）顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高（“三线合一”）2）等腰三角形两腰上的高相等、两腰上的中线相等、两底角的平分线相等； 三、等边三角形 1）概念2）性质 等边三角形具备所有等腰三角形的性质外还有： 三边都相等；三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
3）判定利用定义； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、含30°的直角三角形1）定理 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边的斜边的一半。
2）逆定理 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°五、等腰三角形的对称性等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（底边的垂直平分线） 等边三角形有三条对称轴，即三边的垂直平分线。
复习巩固1、（2009•山西）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长2线于点E，则CE 的长为 。
2、（2004•湖州）已知如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于 ．3、（2010•娄底）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，E 为CD 的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE 交BC 的延长线于点F．求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD ．典型例题 一.选择题1、已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为 （ ）．A、42 °B、69°C、69°或84°D、42°或69°2、如图，ABC △中，AB AC ，30A ，DE 垂直平分AC ，则BCD 的度数为（ ） Ａ．80 Ｂ．75Ｃ．65 Ｄ．453、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）A．40° B．50° C．60° D．30°4. 如图，15A ∠，AB BC CD DE EF ，则DEF ∠等于（ ）A ．90 B．75 C．70 D．60A B D EC5、如图，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）PQMNGA．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a二.选择题1. 在△ABC 中，AB=AC，若∠B=56º，则∠C=__________．2.等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．3.如图，在△ABC 中，AB=AC，CD 平分∠ACB 交AB 于点D，AE∥DC 交BC 的延长线于点E，已知∠E=36°，则∠B= ．4.如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD °，AB AD DC ，则C ．三.解答题1. 下午2时，一轮船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正南方向行驶，下午4时，到达B 处，在A 处测得灯塔C 在东南方向，在B 处测得灯塔C 在正东方向，在图中画出示意图 ，并求出B、C 之间的距离．2. 如图，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC.AC B D804DCAB加强巩固角的平分线DCAEB一、知识准备： 1)角的平分线的画法2)角的平分线的性质： 。
例谈角平分线、平行线、等腰三角形三者关系
龙源期刊网 例谈角平分线、平行线、等腰三角形三者关系
作者：杨斌
来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第12期
在几何教学中，我们常常会发现图形之间并非孤立的，而是你中有我，我中有你的一种感觉，有时甚至有“我的世界离不开你”的共生共存的依恋之情。
而让我们的学生真正能读懂复杂图形中隐含的这种关系，着实是一项必须训练的思维和能力，同时对数学成绩提高有很大的帮助作用。
下面我们从人教新版初中数學八年级上册82页一道课本练习题说起，例谈角平分线、平行线、等腰三角形三者之间的关系。
一、模型来源。
等腰三角形底角平分线和腰的关系
等腰三角形底角平分线和腰的关系一、前言等腰三角形是初中数学中常见的一种几何形状，它具有许多有趣且重要的性质。
其中，等腰三角形底角平分线和腰之间的关系是一个很有趣的话题，它不仅能够帮助我们更深入地理解等腰三角形的性质，还能够拓展我们对三角形性质的认识。
接下来，本文将按照从简到繁、由浅入深的方式，探讨等腰三角形底角平分线和腰的关系，以便读者更好地理解这一主题。
二、基础知识在开始深入探讨等腰三角形底角平分线和腰的关系之前，我们首先需要了解一些基础知识。
等腰三角形是指两条边相等的三角形，其中的两条相等的边称为“腰”，而顶角所对的边称为“底”。
在等腰三角形中，底角平分线是指从底角所对的顶点引出的一条线段，它将底角平分成两个相等的角。
而腰和底角平分线之间的关系，正是本文即将要讨论的重点。
三、底角平分线与腰的关系1. 底角平分线的性质让我们来了解底角平分线的一些性质。
在任意三角形中，底角平分线有一个重要的性质，即它和底边的两边相等。
这意味着在等腰三角形中，底角平分线将底边平分，并且与底边的两边相等。
2. 底角平分线与腰的关系接下来，我们将探讨底角平分线和腰之间的关系。
在等腰三角形中，我们发现底角平分线、腰和顶点之间形成了一个特殊的关系，即这三条线段互相关联，它们共同构成了等腰三角形的主要特征。
具体而言，底角平分线将底角平分成两个相等的角，并且与底边的两边相等。
这说明在等腰三角形中，底角平分线与腰之间存在着密切的几何关系。
四、举例说明为了更好地理解底角平分线与腰的关系，我们可以通过一个具体的例子来加以说明。
假设在一个等腰三角形中，腰的长度为a，底边的长度为b，而底角平分线的长度为c。
根据前面的讨论，我们知道底角平分线将底角平分成两个相等的角，因此底角平分线与底边的两边相等，即有c = b。
另外，根据等腰三角形的性质，我们知道腰的两条边相等，因此有a = b。
综合以上两个等式，我们可以得出结论：在等腰三角形中，底角平分线的长度等于腰的长度。
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等腰三角形和角平分线
1、如图，若AB=AC ，BG ＝BH ，AK=KG ，则∠BAC 的度数为（ )
A ．30° D ．32° C 36° D ．40°
第1题 第3题 第4题 第5题
2、等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ． 120°或150°
D ．30°或120°或150
3、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( )
A ．∠AED>∠AGF
B ．∠AED ＝∠AGF
C ．∠AED<∠AGF
D ．不能确定
4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则 ∠CBE 等于（ ）
A 、80°
B 、70°
C 、60°
D 、50°
5、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）
A 、4㎝
B 、6㎝
C 、10㎝
D 、不能确定
6、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为．
7、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是．
第7题 第8题
8、如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根．
9、如图，已知AE=BE,D 为AB 的中点，，，则
10、如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC 折叠，
使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为_________.
11、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠B=15°,DE 是AB 的中垂线，垂足为
D ，交BC 于
E ，BE=5，则AE=_______，∠AEC=________，AC=______.
12、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ， 求证：AF ＝EF ．
12BF =3CF =AC
=
13、如图，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE ，∠AED ＋∠CAE ＝180度，求证：DE ∥BC
14、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，
且AE=
2
1BD ．求证：BD 是∠ABC 的角平分线．
15、如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．
（1）求证：；（2）求的度数．
16、如图所示，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 交BC•的延长线于F ，
求证：∠B ＝∠FAC
ABC △D E ，BC AB ，BD AE =AD CE F AD CE =DFC
∠
17、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．
18、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，
且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD＝BA．
19、如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D为DC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AB垂直平分DF．。